高中數(shù)學北師大版3第二章概率（省一等獎）

學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、選擇題1．設隨機變量ξ～N(2,2)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝()A．1 B．2\f(1,2) D．4【解析】∵ξ～N(2,2)，∴Dξ＝2.∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝eq\f(1,22)Dξ＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).【答案】C2．下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是()A．f(x)＝eq\f(1,\r(2σπ))，μ，σ(σ>0)都是實數(shù)B．f(x)＝eq\f(\r(2π),2π)C．f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))D．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))【解析】對于A，函數(shù)的系數(shù)部分的二次根式包含σ，而且指數(shù)部分的符號是正的，故A錯誤；對于B，符合正態(tài)密度函數(shù)的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正確；對于C，從系數(shù)部分看σ＝2，可是從指數(shù)部分看σ＝eq\r(2)，故C不正確；對于D，指數(shù)部分缺少一個負號，故D不正確．【答案】B3．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝6，則P(X＞4)等于()A．8 B．7C．6 D．5【解析】由于X服從正態(tài)分布N(3,1)，故正態(tài)分布曲線的對稱軸為x＝3，所以P(X＞4)＝P(X＜2)，故P(X＞4)＝eq\f(1－P2≤X≤4,2)＝7.【答案】B4．某廠生產的零件外直徑X～N,5)，單位：mm，今從該廠上、下午生產的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm，則可認為()A．上、下午生產情況均為正常B．上、下午生產情況均為異常C．上午生產情況正常，下午生產情況異常D．上午生產情況異常，下午生產情況正常【解析】根據3σ原則，在(8－3×,8＋3×]即,]之外時為異常．結合已知可知上午生產情況正常，下午生產情況異常．【答案】C5．如果隨機變量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，則P(0<X<1)等于()A．5 B．C． D．【解析】由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3,1)，∴P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝P(0<X<6)＝；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(1<X<5)＝，P(0<X<6)－P(1<X<5)＝2P(0<X<1)＝.∴P(0<X<1)＝5.【答案】A二、填空題6．已知正態(tài)分布落在區(qū)間，＋∞)內的概率為，那么相應的正態(tài)曲線f(x)在x＝________時達到最高點．【解析】由正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱且在x＝μ處達到峰值和其落在區(qū)間，＋∞)內的概率為，得μ＝.【答案】7．已知正態(tài)分布總體的數(shù)據落在區(qū)間(－3，－1)內的概率和落在區(qū)間(3,5)內的概率相等，那么這個正態(tài)總體的均值為________．【解析】區(qū)間(－3，－1)和區(qū)間(3,5)關于直線x＝1對稱，所以均值μ為1.【答案】18．(2023·哈爾濱高二檢測)如果隨機變量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3＜ξ≤－1)＝，則P(ξ≥1)＝________.【解析】P(ξ≥1)＝P(ξ≤－3)＝－P(－3＜ξ≤－1)＝－＝.【答案】三、解答題9．在一次測試中，測量結果X服從正態(tài)分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]內取值的概率為，求：(1)X在(0,4]內取值的概率；(2)P(X>4)．【解】(1)由于X～N(2，σ2)，對稱軸x＝2，畫出示意圖如圖．因為P(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，所以P(0<X≤4)＝2P(0<X≤2)＝2×＝.(2)P(X>4)＝eq\f(1,2)1－P(0<X≤4)]＝eq\f(1,2)(1－＝.10．一建筑工地所需要的鋼筋的長度X～N(8,22)，質檢員在檢查一大批鋼筋的質量時，發(fā)現(xiàn)有的鋼筋長度小于2米，這時，他是讓鋼筋工繼續(xù)用切割機截鋼筋呢，還是停下來檢修切割機？【解】由于X～N(8,22)，根據正態(tài)分布的性質可知，正態(tài)分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率僅為%，長度小于2米的鋼筋不在(2,14)內，所以質檢員應讓鋼筋工馬上停止切割，并對切割機進行檢修．能力提升]1．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c等于()A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴3－c＝c－1，∴c＝2.【答案】B2．已知一次考試共有60名學生參加，考生的成績X～N(110，52)，據此估計，大約應有57人的分數(shù)在下列哪個區(qū)間內()【導學號：62690049】A．(90,110) B．(95,125)C．(100,120) D．(105,115)【解析】P(100＜X＜120)＝P(110－2×5＜X＜110＋2×5)＝%，又%×60＝%≈57%.故選C.【答案】C3．已知正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R.給出以下四個命題：①對任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果隨機變量X服從N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函數(shù)；③如果隨機變量X服從N(108,100)，那么X的期望是108，標準差是100；④隨機變量X服從N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，則P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命題的序號是________．(寫出所有真命題的序號)【解析】畫出正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線如圖：由圖可得：①圖象關于x＝μ對稱，故①正確；②隨著x的增加，F(xiàn)(x)＝P(ξ<x)也隨著增加，故②正確；③如果隨機變量ξ服從N(108,100)，那么ξ的期望是108，標準差是10；④由圖象的對稱性，可得④正確．故填①②④.【答案】①②④4．從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：圖2-6-5(1)求這500件產品質量指標值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P<Z<；②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區(qū)間,的產品件數(shù)，利用①的結果，求EX.附：eq\r(150)≈.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝.【解】(1)抽取產品的質量指標值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2分別為eq\o(x,\s\up6(－))＝170×＋180×＋190×＋200×＋210×＋220