高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計(jì)數(shù)原理排列與組合 獲獎(jiǎng)作品

1．2排列與組合1．排列(一)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解并掌握排列的概念．2．理解并掌握排列數(shù)公式，能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．[知識(shí)鏈接]1．同一個(gè)排列中，同一個(gè)元素能重復(fù)出現(xiàn)嗎？答由排列的定義知，在同一個(gè)排列中不能重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)元素．2．排列與排列數(shù)的區(qū)別是什么？答“排列”和“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，一個(gè)排列是指完成的具體的一件事，其過(guò)程要先取后排，它不是一個(gè)數(shù)；而排列數(shù)是指完成具體的一件事的所有方法的種數(shù)，即所有排列的個(gè)數(shù)，它是一個(gè)數(shù)．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．排列的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．2．排列數(shù)的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示．3．排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,（n－m）！).要點(diǎn)一排列的概念例1判斷下列問(wèn)題是否是排列問(wèn)題(1)從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)組成直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？(2)從10名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開(kāi)座談會(huì)，有多少種不同的抽取方法？(3)某商場(chǎng)有四個(gè)大門(mén)，若從一個(gè)門(mén)進(jìn)去，購(gòu)買(mǎi)物品后再?gòu)牧硪粋€(gè)門(mén)出來(lái)，不同的出入方式共有多少種？解(1)由于取出的兩數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)與哪一數(shù)作橫坐標(biāo)，哪一數(shù)作縱坐標(biāo)的順序有關(guān)，所以這是一個(gè)排列問(wèn)題．(2)因?yàn)槿魏我环N從10名同學(xué)抽取兩人去學(xué)校開(kāi)座談會(huì)的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問(wèn)題．(3)因?yàn)閺囊婚T(mén)進(jìn)，從另一門(mén)出是有順序的，所以是排列問(wèn)題．∴(1)(3)是排列問(wèn)題，(2)不是排列問(wèn)題．規(guī)律方法確認(rèn)一個(gè)具體問(wèn)題是否為排列問(wèn)題，一般從兩個(gè)方面確認(rèn)．(1)首先要保證元素的無(wú)重復(fù)性，否則不是排列問(wèn)題．(2)其次要保證選出的元素被安排的有序性，否則不是排列問(wèn)題，而檢驗(yàn)它是否有順序的標(biāo)準(zhǔn)是變換某一結(jié)果中兩元素的位置，看結(jié)果是否變化，有變化就是有順序，無(wú)變化就是無(wú)順序．跟蹤演練1下列問(wèn)題是排列問(wèn)題嗎？并說(shuō)明理由．(1)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？(2)從集合M＝{1，2，…，9}中，任取兩個(gè)元素作為a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?解(1)第一問(wèn)不是排列問(wèn)題，第二問(wèn)是排列問(wèn)題．“入座”問(wèn)題同“排隊(duì)”問(wèn)題，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問(wèn)題．(2)第一問(wèn)不是排列問(wèn)題，第二問(wèn)是排列問(wèn)題．若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則必有a＞b，a，b的大小關(guān)系一定；在雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，不管a＞b還是a＜b，方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1均表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，且是不同的雙曲線(xiàn)，故是排列問(wèn)題．要點(diǎn)二列舉法解決排列問(wèn)題例2(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個(gè)不同的兩位數(shù)？(2)寫(xiě)出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有排列．解(1)由題意作樹(shù)形圖，如圖．故所有兩位數(shù)為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個(gè)．(2)由題意作樹(shù)形圖，如圖．故所有的排列為：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24個(gè)．規(guī)律方法“樹(shù)形圖”在解決排列問(wèn)題個(gè)數(shù)不多的情況時(shí)，是一種比較有效的表示方式．在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類(lèi)，在每一類(lèi)中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二位元素，再按此元素分類(lèi)，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹(shù)形圖寫(xiě)出排列．跟蹤演練2將A，B，C，D四名同學(xué)按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，試用樹(shù)形圖列出所有可能的排法．解樹(shù)形圖為(如圖)：由樹(shù)形圖知，所有排法為BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9種排法．要點(diǎn)三排列數(shù)公式的應(yīng)用例3求解下列問(wèn)題：(1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；(2)計(jì)算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))；(3)解方程：Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x).解(1)因?yàn)?5－n，56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(個(gè))，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n)；(2)eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1；(3)根據(jù)原方程，x應(yīng)滿(mǎn)足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，x∈N*))解得x≥3，x∈N*.根據(jù)排列數(shù)公式，原方程化為(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)．因?yàn)閤≥3，兩邊同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)．即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝5eq\f(3,4)(因?yàn)閤為整數(shù)，所以應(yīng)舍去)．所以原方程的解為x＝3.規(guī)律方法1.排列數(shù)公式的乘積的形式適用于個(gè)體計(jì)算和當(dāng)m較小時(shí)的含排列數(shù)的方程和不等式問(wèn)題．2．排列數(shù)公式的階乘的形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問(wèn)題，具體應(yīng)用時(shí)注意提取公因式，可以簡(jiǎn)化計(jì)算．跟蹤演練3(1)解不等式：Aeq\o\al(x＋2,8)＜6Aeq\o\al(x,8)；(2)證明Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n)＝nAeq\o\al(n,n)，并用此結(jié)論計(jì)算Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋8Aeq\o\al(8,8).(1)解原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8！,[8－（x＋2）]！)＜6×\f(8！,（8－x）！)，,x＋2≤8且x∈N*，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－15x＋50＜0，,x≤6且x∈N*.))即5＜x≤6且x∈N*，從而解得x＝6.(2)證明Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n)＝(n＋1)?。璶!＝(n＋1)n！－n?。絥·n?。絥Aeq\o\al(n,n).Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋8Aeq\o\al(8,8)＝(Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(1,1))＋(Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2))＋…＋(Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(7,7))＋(Aeq\o\al(9,9)－Aeq\o\al(8,8))＝Aeq\o\al(9,9)－Aeq\o\al(1,1)＝9?。?＝362879.題型四排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用例4(1)有5個(gè)不同的科研小課題，從中選3個(gè)科研小課題由高二·三班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究，每組一個(gè)課題，共有多少種不同的安排方法？(2)有5個(gè)不同的科研課題，高二·三班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組報(bào)名參加，每組限報(bào)一項(xiàng)，共有多少種不同的安排方法？解(1)從5個(gè)課題中選出3個(gè)，由興趣小組進(jìn)行研究，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列．因此不同的安排方法是Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(種)．(2)3個(gè)興趣小組可能報(bào)同一科研課題，因此元素可以重復(fù)，不是排列問(wèn)題，共有5×5×5＝125種不同的安排方法．跟蹤演練4用一顆骰子連擲三次，投擲出的數(shù)字順序排成一個(gè)三位數(shù)，此時(shí)：(1)各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有多少個(gè)？(2)可以排出多少個(gè)不同的數(shù)？(3)恰好有兩個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)共有多少個(gè)？解(1)Aeq\o\al(3,6)＝120(個(gè))．(2)每擲一次，出現(xiàn)的數(shù)字均有6種可能性，故有6×6×6＝216(個(gè))．(3)兩個(gè)數(shù)字相同有三種可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位相同，而每種情況有6×5種，故有3×6×5＝90(個(gè)).1．下列問(wèn)題屬于排列問(wèn)題的是()①?gòu)?0個(gè)人中選2人分別去種樹(shù)和掃地；②從10個(gè)人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算．A．①④B．①②C．④D．①③④答案A解析根據(jù)排列的定義，選出的元素有順序的才是排列問(wèn)題．2．從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為()A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙答案C解析選出兩人，兩人的不同順序都要考慮．3．設(shè)m∈N*，且m<15，則(15－m)(16－m)…(20－m)等于()A．Aeq\o\al(6,15－m)B．Aeq\o\al(15－m,20－m)C．Aeq\o\al(6,20－m)D．Aeq\o\al(5,20－m)答案C解析因?yàn)?5－m，16－m，…，20－m中的最大數(shù)為20－m，且共有20－m－(15－m)＋1＝6(個(gè))．所以(15－m)(16－m)…(20－m)＝Aeq\o\al(6,20－m).4．8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地上，有________種不同的種法(用數(shù)字作答)．答案1680解析將4塊不同土質(zhì)的地看作4個(gè)不同的位置，從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地上，則本題即為從8個(gè)不同元素中任選4個(gè)元素的排列問(wèn)題．所以不同的種法共有Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝1680(種)．1．排列有兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排成一列”．這里“一定的順序”是指每次取出的元素與它所排的“位置”有關(guān)，所以，取出的元素與“順序”有無(wú)關(guān)系就成為判斷問(wèn)題是否為排列問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)．2．排列數(shù)公式有兩種形式，可以根據(jù)要求靈活選用.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝ ()A．12 B．24 C．30 D．36答案D解析Aeq\o\al(6,7)＝7×6×Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6×Aeq\o\al(4,5)，所以原式＝eq\f(36Aeq\o\al(4,5),Aeq\o\al(4,5))＝36.2．18×17×16×…×9×8＝ ()A．Aeq\o\al(8,18) B．Aeq\o\al(9,18) C．Aeq\o\al(10,18) D．Aeq\o\al(11,18)答案D3．若x＝eq\f(n！,3！)，則x＝ ()A．Aeq\o\al(3,n) B．Aeq\o\al(n－3,n) C．Aeq\o\al(n,3) D．Aeq\o\al(3,n－3)答案B4．與Aeq\o\al(7,10)·Aeq\o\al(2,2)不等的是 ()A．Aeq\o\al(9,10) B．81Aeq\o\al(8,8) C．10Aeq\o\al(9,9) D．Aeq\o\al(10,10)答案B5．若Aeq\o\al(5,m)＝2Aeq\o\al(3,m)，則m的值為 ()A．5 B．3 C．6 D．7答案A6．若Aeq\o\al(m,n)＝17×16×15×…×5×4，則n＝________，m＝________.答案17147．10個(gè)人走進(jìn)只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必須且只能坐一人，共有多少種不同的坐法？解坐在椅子上的6個(gè)人是走進(jìn)屋子的10個(gè)人中的任意6個(gè)人，若把人抽象地看成元素，將6把不同的椅子當(dāng)成不同的位置，則原問(wèn)題抽象為從10個(gè)元素中取6個(gè)元素占據(jù)6個(gè)不同的位置．顯然是從10個(gè)元素中任取6個(gè)元素的排列問(wèn)題．從而，共有Aeq\o\al(6,10)＝151200種坐法．二、能力提升8．將5本不同的數(shù)學(xué)用書(shū)放在同一層書(shū)架上，則不同的放法有 ()A．50 B．60 C．120 D．90答案C解析5本書(shū)進(jìn)行全排列，Aeq\o\al(5,5)＝120.9．(2023·四川卷)從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)是 ()A．9 B．10 C．18 D．20答案C解析首先從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)排列，共有Aeq\o\al(2,5)＝20種排法，因?yàn)閑q\f(3,1)＝eq\f(9,3)，eq\f(1,3)＝eq\f(3,9)，所以從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)是20－2＝18.10．有3名大學(xué)畢業(yè)生，到5家招聘員工的公司應(yīng)聘，若每家公司至多招聘一名新員工，且3名大學(xué)畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，則共有________種不同的招聘方案(用數(shù)字作答)．答案60解析將5家招聘員工的公司看作5個(gè)不同的位置，從中任選3個(gè)位置給3名大學(xué)畢業(yè)生，則本題即為從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的排列問(wèn)題．所以不同的招聘方案共有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(種)．11．某國(guó)的籃球職業(yè)聯(lián)賽共有16支球隊(duì)參加．(1)每隊(duì)與其余各隊(duì)在主客場(chǎng)分別比賽一次，共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？(2)若16支球隊(duì)恰好8支來(lái)自北部賽區(qū)，8支來(lái)自南部賽區(qū)，為增加比賽觀(guān)賞度，各自賽區(qū)分別采用(1)中的賽制決出賽區(qū)冠軍后，再進(jìn)行一場(chǎng)總冠軍賽，共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？解(1)任意兩隊(duì)之間要進(jìn)行一場(chǎng)主場(chǎng)比賽及一場(chǎng)客場(chǎng)比賽，對(duì)應(yīng)于從16支球隊(duì)任取兩支的一個(gè)排列，比賽的總場(chǎng)次是Aeq\o\al(2,16)＝16×1