2017春季下五年級尖子教師版

平 平[必記平方數(shù)[平方數(shù)的余數(shù)特征

本講鞏固1、本講鞏固3、4、、……這些數(shù)有什么共同的特點(diǎn)解】分別是1、2、3、4、5的平方算一算：24、90、100、144、 這些數(shù)各有多少個因數(shù)解】因數(shù)個數(shù)分別為、、、 個A×A=576，那么A是多少計(jì)算：3761分別除以3、4、8的余數(shù)是多少？分別余2、1、1.完全平方數(shù)的個位數(shù)字可能是什么?除以4的余數(shù)可能是什么個位可能是0、1、4、5、6、9，除以4的余數(shù)可能是0子8方數(shù)閃而開 閃而是0布字方x他：一個定話說數(shù)學(xué)家卡布列克在一次旅行中，遇到猛烈的暴風(fēng)雨，他看到路邊塊牌子被電劈成了兩半，一半上寫著3，另一半寫著25.憑著數(shù)學(xué)家對數(shù)的，忽然發(fā)現(xiàn)個神奇的現(xiàn)象：30與25的和5555的平方恰是0布字方x他：一個定這引起了卡布列 他想還有沒有類似的數(shù)字呢 此他就 搜集這 字.當(dāng)然

有很多 初等數(shù)我們以4位數(shù)為例，介紹一種利用位置原理解不 程的方為的設(shè)該數(shù)前兩位為x，后為的xyxy1

y，則有xy2100y99xxy從而看出x xy1中有一個是9的倍數(shù)，另個是11的倍數(shù)(99是例外)，從找出符條件的數(shù)為44、 99，對 是4522025，5523025，9929801，而像這種數(shù)的平方可以分割為兩個數(shù)字 這兩個 相加后恰等于原數(shù)的數(shù)，我們就叫做“雷劈數(shù)而

以指

了，比 二進(jìn)制 五年子班8

認(rèn)識平方數(shù)完全平方數(shù)的定義一個整數(shù)乘以自己，如：121122223233都是完全平方數(shù).常用的完全平方數(shù)02721422122821282152222292229216223230232102172242312421121822523225212219226262132202272完全平方數(shù)的性質(zhì)例 ⑴寫出1222、32、……202的得數(shù).觀察這些得數(shù)的個位，并總結(jié)一下完全平方數(shù)個位有N123456789N⑵根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷20737是平方數(shù)嗎?為什么⑶進(jìn)一步判斷，1000是平方數(shù)嗎 呢?為什么[必記平方數(shù)五年級春季尖子班第8講完全平方數(shù)教師 n1n146從結(jié)果可以看出平方數(shù)的個位只有0、1、4、 6、9這六可能，且排序時(shí) 1、4、、、、、、

⑵平方數(shù)的末位只可能是0、1、4、5、6、9，不可能是7故 可能是平數(shù) ⑶整十?dāng)?shù)的平方是整百數(shù)，末尾2個0；整百數(shù)的平方是整萬數(shù)，末尾4個0； 數(shù)的 方末尾6個 尾只有 0時(shí)，說明其乘法分拆中存在101010，無千湊成法個相同數(shù)的乘積.1000、1004000都不是完全平方例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------⑴1000更接近 的平方⑵非零自然數(shù)的平方按大小排成

，第92個位置的數(shù)字 [必記平方數(shù)解析】3029003129613221024，因此100032的平方解析】⑵1~3的平方是一位數(shù)，占去3個位4~9的平方是兩位數(shù)，占去12個位置；10~31的平方是三位66個位置131，81個位置 從92減去1，還有11個位置．從32到99的方都是 數(shù)，共占去272個位置.因此第11個位置一中某個數(shù)的平方中的一個數(shù)字．因?yàn)?124334平方的第三個3421156，因此數(shù)字為練------------------------------------------------------

-----------------------------------22501之間存在哪些數(shù)的平方⑵請分析：11025是誰的平方?1764 的平方誰解】211225012500502，所以這些2，3，……

[必記平方數(shù)⑵11025大約是10000多一點(diǎn)， 是100多一點(diǎn)的數(shù) 方；但1102=12100>11025，應(yīng)知答案在100至110之間；又其末位為5，故知只能是105的平方；1764>1600=402 1764<2025=452，故知答案在0至45之；又其 為4，故知只能是 平方 五年子班8

偶指奇因地,因數(shù)個數(shù)為3的自然數(shù)是質(zhì)數(shù)的平方；例 ，b的最小值是 [偶指奇因2402435，要想使乘積或商是一個完全平方數(shù)，則每一個質(zhì)因數(shù)都必須成對出現(xiàn).那么必須乘或除以因數(shù)3515ab15.例 ⑴從1100100個自然數(shù)中，有奇數(shù)個因數(shù)的自然數(shù)有哪些[偶指奇因數(shù)個因數(shù)的自然數(shù)有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100224,3295225,7249練一

從1到400這400個自然數(shù)中，有奇數(shù)個因數(shù)的自然數(shù)有 個.有且僅有3個因數(shù)的自然數(shù) 五年級春季尖子班第8講完全平方數(shù)教師 例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------一個房間中有100盞燈，用自然數(shù)1，2，…，100編號，燈各有一個開關(guān).，所有 燈都不亮.100個人依次進(jìn)入房間，1個人進(jìn)入房間后，將編號為1

下數(shù)的燈的開關(guān)按下，然后離開；第2個人進(jìn)入房間后，將編號為2的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一

，然后離

；如下去，直到第100個人進(jìn)入房間，號為100的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開.問：第對于任何一盞燈，由于它原來不亮，那么，當(dāng)它的開關(guān)被按奇數(shù)次時(shí)，燈是開 ；當(dāng)它開關(guān)被按偶數(shù)次時(shí)，燈是根據(jù)題意可知，當(dāng)?shù)?00個人離間后，一盞燈的開關(guān)被按的次數(shù)，恰等于這盞燈的編號的因數(shù)的個數(shù)；要求哪些燈還亮著，是問哪燈數(shù)．所以用平方數(shù)編號的燈是亮著的

因數(shù)有奇數(shù)．顯然完全平方數(shù)奇1～100的完全1，4，9，16，25，36，49，64，81，100所以當(dāng)?shù)?00離間后，房間里還亮著的燈的編號是 模塊 余數(shù)特完全平方數(shù)的5301；完全平方數(shù)除以8只可0,1完全平方數(shù)除以16只0,1,4例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------⑴111，111，1111，有多少個平數(shù)⑵114，144，1444，14444，……，這些數(shù)中有多少個平方數(shù)[平方數(shù)的余數(shù)特征解】⑴由于奇數(shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方為偶 而奇數(shù)的平方除以4余1，偶數(shù)的平方能被，

余數(shù)都是3，所以只有1⑵共3個，分別是1，144，1444(38的平方 4443611111143 五年子班8(ab)2a2b22ab，3231.證明過程如下：(3n2)23n)223n2229n212n40011(mod3)40后可得到(2n1)24n24n121(mod4)或(2n1)24n)24n121(mod4).判斷下面有沒有平方數(shù)?[必記平方數(shù)解】平方數(shù)的個位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9，因此182，233，387，688都不是平方數(shù).284介于172和182之間，因此也不是平方數(shù). 是不是平方數(shù)?如果是，它是誰的平方；如果不是，那么它介于哪兩個平方數(shù)之間360與a相乘之積為完全平方數(shù)，求正整數(shù)a的最小值.[偶指奇因36023325amin251010000以內(nèi)的自然數(shù)中，有且僅有3個因數(shù)的自然數(shù)有多少個?[偶指奇因少年宮游樂廳內(nèi)懸掛著250個彩色燈泡按1~250編號.它們的亮暗規(guī)則是1秒全部燈泡亮第2秒，凡是編號為2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第3秒，凡是編號為3的倍數(shù)的燈泡改變原來的亮暗狀態(tài)，即亮的變暗，暗的變亮；第n秒，凡編號為n的倍數(shù)的燈泡改變原來的亮暗狀態(tài).這樣繼續(xù)下去，第250秒時(shí)，亮著的燈泡有 2501~250中有多少個完全平方數(shù)，所以答案為15個開學(xué)前，寧寧拿著給的30元錢去買筆，文具店里的圓珠筆每支4元，鉛筆每支3元.寧寧五年級春季尖子班第8講完全平方數(shù)教師 解】由于題中圓珠筆與鉛筆的數(shù)量都不知道，但總費(fèi)用已知，所

據(jù)不定方程分析兩的數(shù)量，進(jìn)而得解．設(shè)她買了x支圓珠筆，所以3y304xy103因?yàn)閤、y均為整數(shù)x應(yīng)該能被3整除，x3時(shí)y6xy9x6時(shí)y2xy

鉛筆， 意列方程：4x3y又因?yàn)? 7，所以x3或所以寧寧共買了9支筆或8支筆用200克鹽，加水稀釋成濃度為5% 水，則需 2005%400040002003800求陰影面積(單位：厘米π取3.1440÷223.1440÷22÷2424562912 計(jì)算75 1717 1051 解析

；17；

將下列分?jǐn)?shù)化成小數(shù)8將下列小數(shù)化成分?jǐn)?shù) 解析528 年 五子班8年+[定義新運(yùn)算進(jìn)階+[分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算[分?jǐn)?shù)比較大小]★★★★ [放縮與估算]★★★ 本講鞏固51、比較0.01、0.1、0.12、0.121的大小,并用“<”連接2345的大小,并說明為什么.777呢 34577 【答案】1616 4、將1.505，1.05，155%，1.5從大到小排列 【答案】1.51551.5055、在55、5.5和55.5%這三個數(shù)中，最小的數(shù) 91五年級9講比較與估算教師版1費(fèi)米估算法美籍意大利物理學(xué)家恩利克·費(fèi)米把筆記本里的一頁紙撕碎了，40秒鐘后，震波傳到費(fèi)米和他的同心算之后費(fèi)米宣布，能量相當(dāng)于10000噸的能量．一些尖端的儀器設(shè)備花了數(shù)星期時(shí)費(fèi)米不僅僅是一位偉大的物理學(xué)家，同時(shí)還是一位啟發(fā)學(xué)生思維的教育家，他特別喜歡用估2555100050位鋼琴調(diào)音師．事后有人229分?jǐn)?shù)小數(shù)比較大小的一般方法例 ⑴把下列小數(shù)用“<”連接起來：1.121，1.121，1.121.12121971310的大小，用“>”連接起來 ⑶比較3.1422355、的大小 [分?jǐn)?shù)比大小【分析】→1.121→1.121→1.121→1.120 . 13大于1，且1310499 10小于1，且79190 . 1397所 9 3.1430.14，3 30.142857 3 30. ，3 顯然0.14

0.142857，所以

35522 3五年級9講比較與估算教師版3練一

.7

.，0.571428，57%

9[分?jǐn)?shù)比大小

90.571428，57%=0.579

940.5714280.57142857 例 ⑴用“＞”13935 ⑵把下列分?jǐn)?shù)用“”號連接起來： ，12，15，20， [分?jǐn)?shù)比大小 【分析】⑴法1：通分母， ， ， ， ， 容易得到 21比較，1311911311511711 579 2

2 2 213136 6,9 4,32,5 2,7 因 因 ＞2＞2＞1，即＞＞＞＞ 、、 1060，12601560206060606060606060 就是1020121560 練一

25151012如果按大小順序排列，排在中間的是哪個數(shù) [分?jǐn)?shù)比大小4五年級9講比較與估算教師版4此我們可以用通分子的方法，分子的最小公倍數(shù)是60．給出的5個分?jǐn)?shù)依次等于：6060606060比較分母的大小,居中的分?jǐn)?shù)是60即12. 92 糖水原理⑴若0b1,mbb⑵若0bd1bbd a a ac，則bcad例 比較以下各數(shù)的大?。孩?515 5 5 616 6 6⑵ 515 5 5

，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎?根據(jù)這個規(guī)律可知：

5m○ 6○ 6m.（內(nèi)填大于、等于或小于m0的自然數(shù)○ 5

[分?jǐn)?shù)比大小5五年級9講比較與估算教師版5例 4大，5 ⑵滿足下式的括號里的數(shù)有多少個自然數(shù)：1 51 ( [分?jǐn)?shù)比大小]1：4599455 1144+1

111+4 283 712和之間的一個分?jǐn)?shù)； 2：首先判斷第一個不15，因此（）35， １ 等號兩邊的關(guān)系，3

，因此 ）15．根據(jù)以上分析，可以確定（）中能教法提示：在講“糖水原理”中的第一條時(shí)，教師可以用糖水濃度進(jìn)行講解，首先說明糖的重量小于糖水的重量，糖水越甜，說明糖與糖水的比值越大，把b看成糖，a看成糖水，再 a混合，混合之后的濃度一定在兩者之間例 11111的大小.你能想到多少種辦法 ⑵比較大?。?/p>

44443（填”，

[分?jǐn)?shù)比大小]6五年級9講比較與估算教師版6【分析】⑴法1：通分母.11111111 111111111 11 21111111 111111111111111 因此

.法411110

，111110

，11.倒數(shù)大，原數(shù)小.因此11111

；；

111111.10.11 0.1111. 法6：化小數(shù).利用abc .

1199 0.099099 0. 0.09111

0.099 11111 7111101101 1110 11110444404444044440344443 88884 拓展隊(duì)，三隊(duì)中得失分率最高的出線，一隊(duì)得失分率為得的總分，如A隊(duì)得失分率為8376， 73隊(duì) 隊(duì)出線【分析】A，B，C三隊(duì)的失分率8376159;7388161;798416373 15783 16288 A是大1所A最大,則A隊(duì)出線7五年級春季尖子班第9講比較與估算教師版 7放縮法求整數(shù)部分例 ⑴算式111 1的整數(shù)部分 ⑵已知:A1111111，則A的整數(shù)部分 【分析】⑴111 1111 1 11 1111 1 ⑵A1(11)(1111)1(11)(1111) A11(11)(111)11(11)(111)2 7

[放縮與估算]8五年級9講比較與估算教師版8bd，則bcad ⑴若0b1,m⑵若0bd1bbdabb a a 比較下列分?jǐn)?shù)的大小，說一說你的方法 [分?jǐn)?shù)比大小]⑴87 79 30⑵35 74； 1723 30【分析】⑴同分母，同分子，直接比較.877> ⑵3<5，7>4，17< 請把2，3，5，15按照從小到大的順序排列 [分?jǐn)?shù)比大小] 【分析】通302303305301530 32515 在1111，1212，1313中，最小的分?jǐn)?shù) [分?jǐn)?shù)比大小] 1111

1212

1313

1112 ，同 ， ，根據(jù)糖水原理，，所以最小的分?jǐn)?shù)是 9五年級9講比較與估算教師版91111用多種方法比較9、8、17的大小 [分?jǐn)?shù)比大小] 【分析】可以用多種方法，用交叉相乘得到，911138，所以9 ，用糖水原理998178 13 111111121011 1314

15

1111

15

5

[放縮與估算2 11 14 2 把50克濃度為50%的鹽水和100克濃度為20%的鹽水混合問混合后鹽水的濃度是多少【分析】混合后505010020%100%30%50計(jì)算陰影部分的面積.（圖中數(shù)據(jù)單位：厘米）（π3.145223.1445525÷239.252514.25（平方厘米324是誰的平方?324分解質(zhì)因數(shù)上坡的路程和下坡的路程相等，一輛汽車上坡速度與下坡速度的速度比是3∶5，這輛汽車上坡與下坡用的時(shí)間比應(yīng)是【答案】甲、乙兩車往返于A、B兩地之間．甲車去時(shí)的速度為60千米每時(shí)，返回時(shí)的速度為40千米時(shí)；乙車往返的速度都是50千米每時(shí)．求甲、乙兩車往返一次所用時(shí)間的比．五年級9講比較與估算教師版【解析】一條公路全長60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是1:2:3，張叔叔騎車經(jīng)過各段路所用時(shí)間之比是3:4:5．已知他在平騎車的速度是每小時(shí)25千米．他行完全程用了【答案2.4620254544345122.4 1五年級春季尖子班9估算11程1程1[比例行程基本知識

1、23、45A、B兩地相距100米，小明從A地去B地，每秒走1米，則幾秒可以走完【答案】100小明A地去B地，若每秒1米，則100秒可以走完;若每秒走2米，則多少秒可以走完【答案】50AB，原計(jì)劃10分鐘到;出發(fā)時(shí)，速度提高到原來的2倍，則現(xiàn)在幾分鐘到【答案】5化簡下列比：39: 2:3

119:6 18:10【答案】13154:93:4【答案51206米/

比計(jì)劃快了20%，那么小明實(shí) 度是每子10行程師開放視 小狗跑了多遠(yuǎn)美以距學(xué)和個無；約翰·馮·諾依曼 ann，1903~157， 美以距學(xué)和個無；人這倍諾計(jì)間的諾 人這倍諾計(jì)間的諾

算機(jī)之 博弈論的青到而國共是，，那米前據(jù)說在一次晚宴上，一個年輕人曾經(jīng)問過馮·諾依曼這樣一個問題：兩個人相隔200米各以每分50米速度相向行.一只小狗從一個人里出發(fā)，每分鐘75米的青到而國共是，，那米前跑個不停，直到兩人相遇，小狗跑過的總距離是多少應(yīng)依每這個問題應(yīng)該很熟悉了，兩人相遇的時(shí)間就是小狗跑的時(shí)間，用時(shí)乘狗的速就是答案了.蘇步先生在德的一個公汽車上，也問過類似的問題.個題對大數(shù)學(xué)家馮·諾曼自然不是難事了，他沉吟幾秒后回答：150，提問的年輕很失望，說你以前一定聽這應(yīng)依每

曼說：“什么訣竅？我所做的就是把狗每次 都算出 然后算那么馮·諾依 怎么計(jì)算的呢？我們設(shè)小狗從一個人跑向另一個人視為一趟，第n 人之間離為an，那么小狗花費(fèi)的時(shí)間 70

一趟兩

，那

75

5050化簡 a

也就 一趟小狗跑的距離是下一趟距離的 ，第一趟小狗跑了75 120米而小狗跑的總距離就是120120120 n可是窮大哦75 1、多學(xué)習(xí)幾種方法，只局于自己 慣很容 入慣性思維——像馮 依曼一2、如果只習(xí)慣用自己的方，那么 到爐火 ——像馮 依曼一樣 班10行程師比例法的基本應(yīng)用①當(dāng)時(shí)間一定時(shí)，路程之比等于速度之比，即TTSSV:V②當(dāng)速度一定時(shí)，路程之比等于時(shí)間之比，即VVSSTTSSVT甲VT乙例 A、B兩地距300千米，甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)⑴甲車的速度是30千米/時(shí)，乙車的速度是20千米/時(shí).相遇時(shí)距A 千米⑵甲車的速度是60千米/時(shí)，乙車的速度是40千米/時(shí).相遇時(shí)距A 千米⑶甲車的速度是40千米/時(shí)，乙車的速度是20千米/時(shí).各自走完全程，兩車行駛的時(shí)間之比 [比例行程基本知識【解析】⑴距A點(diǎn)180千米，時(shí)間相同，速度和路程成正⑵距A點(diǎn)180千米，相遇的位置和速度的比值有關(guān)，和速度的大小無關(guān).5⑷8例 ⑴甲乙兩人的速度比為4:5，兩人同時(shí)出發(fā)，行走的時(shí)間比為3:7，則甲，乙走的路程比 ⑵甲乙兩人要走的路程比為3:2，甲乙的速度比為4:3，則甲乙的時(shí)間比為⑶甲乙兩人的路程比為7:8，兩人用的時(shí)間比為6:5，甲的速度為70千米/時(shí)，則乙的速度為[比例行程基本知識4⑶783548706練一

3:5，兩人同時(shí)出發(fā)，7:4，42千米，[比例行程基本知識3五年級春季尖子班103模塊 行程的正比例型行程的正比例模型是指時(shí)間一定，路程和速度成正比在沒有發(fā)生變速的情況下，路程比

正比例于相遇及問題， 若甲乙同時(shí)出乙，速度比為x:y，設(shè)兩人所行路程和為S，則兩人所行 比為x: 甲走路程

Sx

走的路 Sx--------

---------------------------------------------------------------------------------甲乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)前往B地，甲騎車的速度是15米/，乙步行的速度是5米/秒，如果甲到達(dá)B地后立刻返回，請問兩人在哪里相遇?如果兩人到達(dá)B地后都立刻返回，第二次相遇在哪里?(學(xué)生版只出現(xiàn)第1問)[行程中的正比例模型【解析】甲乙兩人的速度比為3:1，共走完了2倍的全程，所以乙走了2 1

1，兩人在中點(diǎn)2兩相遇.第二次相遇時(shí) 人共走了4倍的全程，所以乙走了4 1

1，兩人在B點(diǎn)相--------

---------------------------------------------------------------------------------甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去公園，兩班的步行速度相等都 千米/小時(shí)，學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)48千米這輛汽車恰好能坐一個班的學(xué)生．為了使兩班學(xué)生最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)公園，設(shè)兩地相距

千米，那么各個班的步行距離是多少[行程中的正比例模型 【解析】由于汽車速度是甲乙兩班步行速度的 倍，設(shè)乙班步行1份，汽車載甲班到A點(diǎn)開始返回到 BDBA1:[(121)2]15.5A

終與乙 時(shí)到達(dá)點(diǎn)，汽車又行走了12份所以總路程分成1 17.5(份)，所以每份1507.50(千米所以各個班的20千米 班10行程例 (學(xué)生版僅有⑴⑵兩問早上8:00，菲菲從家步行去上學(xué)，3分鐘后，狗狗出發(fā)跑去追她，在離家200米的地方追上了她;追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回去追菲菲，在離家400米的地方再次追上了她，追上后又立刻往家跑去到家后又立刻去追菲菲，剛好在學(xué)校追上.請問:⑴狗的速度是菲菲的多少倍⑵菲菲家到學(xué)校的距離為多少⑶菲菲到校時(shí)間是8點(diǎn)多少分[行程中的正比例模型V狗:V菲S狗S菲3家

學(xué) 菲菲到學(xué)校需4.5800=18即 即8點(diǎn)18分練一

上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分?

[行程中的正比例模型圖上可以看出，從第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4（千米）.而騎÷4=3（倍）.按照這個倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，可以騎行8×3=24（千米）.但事實(shí)上，少用了8分鐘，騎行了4＋12=16（千米）.少騎行24-16=8（千米）.摩托車的速度是8÷8=1（千米/分），騎行16千米需要16分鐘.8＋8＋16=32.所以這時(shí)是832五年級春季尖子班第10講比例法解行程教師 模塊 行程的反比例型速度

相互轉(zhuǎn)

①如果已知的兩個量在同一個圓中，我們可以通過差倍問題的方法

，求出速

②如果已知的兩個量不在同一個圓中，我們可以通過轉(zhuǎn)換速度與時(shí)

間的比，變或類型 特別注意:比可以 轉(zhuǎn)換， 不能轉(zhuǎn)換例 ------------------------

-----------------------------------------------------------------⑴若速度提高20%后，每小時(shí)快了20千米，3小時(shí)到達(dá)B地，A、B兩地距離⑵若速度降低了25%后，推遲30達(dá)到，B地所需的時(shí)間⑶若速度降低15千米/，時(shí)間增6

的速度⑷若速度提高20%，提前1小時(shí)到達(dá);如果以原速行駛100千米后再將車速提高30%，也是前1小時(shí)到達(dá)，求A、B兩地距離 [行程中的反比例模型【解析】⑴速度的比為5:6，速度的差為20千米/時(shí)，A、B兩地 20×6×3=360千米所需的時(shí)間為30×3=90分鐘=1.5小時(shí).原來的15×7=105米/時(shí).⑷根據(jù)題意可知車速提高后與原來速度比為

2016:5，由于所行路程相同差用時(shí)間56，所時(shí)間

速時(shí)，即1份是1小時(shí)，所以原來 全程需要6小時(shí)推同理可求出行完100千米后， 提高30％速度比值

1130%)10:13，時(shí)間比13:10這樣節(jié)省了3份，節(jié)省1小時(shí)，可 出行駛100千米后

路程的原間為 )3 班10行程練一

20%，1小時(shí)到達(dá);駛120千米后，再將車速提高25%，則可以提前40分鐘到達(dá)．那么甲、乙兩地相距多少千米[行程中的反比例模型【解析】車速提高20%，速度比為5:6，路程一定的情況下，時(shí)間比應(yīng)為6:5，所以以原始速度行完45，所用時(shí)間比應(yīng)該為5:4，提前40405200(分鐘)，即33

小時(shí)，進(jìn)而用行程問題公式很容易求出甲乙兩地相距1206316270 3 A、B兩地距270千米，甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)⑴甲車的速度是50千米/時(shí)，乙車的速度是40千米/時(shí).相遇時(shí)距A 千米⑵甲車的速度是63千米/時(shí)，乙車的速度是42千米/時(shí).相遇時(shí)距A 千米[比例行程基本知識【解析】⑴距A點(diǎn)150千米，時(shí)間相同，速度和路程成正⑵距A點(diǎn)162千米，相遇的位置和速度的比值有關(guān)，和速度的大小無關(guān).⑴甲乙兩人同時(shí)出發(fā)，速度比為2:3，行走的時(shí)間比為3:5，則甲，乙走的路程比 ⑵甲乙兩人要走的路程比為5:4，甲乙的速度比為3:2，則甲乙的時(shí)間比為[比例行程基本知識3AB地，5:1，B地后立刻返回，請[行程中的正比例模型1 李經(jīng)理的每天早上7點(diǎn)30分到達(dá)李經(jīng)理家接他去公司.有一天李經(jīng)理7點(diǎn)從家里出發(fā)去公司，遇到從公司按時(shí)來接他的車，再乘車去公司，結(jié)果比平常早到5分鐘.則李經(jīng)理乘車的速度是步行速度的 倍.(假設(shè)車速、步行速度保持不變，汽車調(diào)頭與上下車時(shí)間忽略不計(jì))[行程中的正比例模型 五年級春季尖子班第10講比例法解行程教師 一輛汽車從甲地開往乙地，如果把車速提高 ，可以比原定時(shí)間提前1小時(shí)高

達(dá)．如果以原速行駛160千米后，再將速度提 25，則可提前40分鐘到達(dá)．那么，甲、乙 地相距多 行程中反比例模型 計(jì)劃行 時(shí)間為1166

第二次我們用同樣的方法求提速的那一段路程原計(jì)劃所用提提，

，節(jié)省了，所

提速一段路程原計(jì)

40110

么可以求出以原

所160千米用時(shí)兩 地距離為606兩 (千米圓心角為36的扇形的弧長為3.14厘米則這個扇形的面積 平方 .(取，r362r3.14r=5因此扇面3652 兩個整數(shù)的平方和為313，則這兩個整數(shù)的和 【解析】平方數(shù)的尾數(shù)為0，1，4，5，6，9，只有尾數(shù)為49

數(shù)相加數(shù)為3.枚舉尾數(shù)為4 9的平方

4，9，49，64，144，19，289，發(fā)現(xiàn)只有144169=313，因此這兩 數(shù)的和試比較下面幾個數(shù)的大小4,0.1667, 【解析】4 10.1666，因此:41 填空 【答案】6、1、2、0；37、計(jì)算 【答案】計(jì)算 【答案】11111946班 五年級春季尖 第10講比例法解行程教師班+[不定方程[完全平方數(shù)[位值原理的表示] 本講鞏固1、[位值原理的完全拆分★★★本講鞏固3、4[位值原理的整體換元]★★本講鞏固5123中有幾個100，幾個10，幾個abc中有幾個100，幾個10，幾個【答案】 cdef 1000 100 10 abba的和 b (a+b),一定是誰的倍數(shù)111值原師1數(shù)學(xué)——馮·諾依據(jù)他原理制造的，馮·諾依曼打破常規(guī)，提出計(jì)算機(jī)采用二進(jìn)制而不是我們習(xí)慣的十進(jìn)制編碼，“我從昨天晚上一直算到今晨4點(diǎn)半，總算找到那難題的5種特殊解答.它們一個比一個更難咧！”說把題目講給他聽，教授頓時(shí)把自己該辦的事拋在爪哇國，興致勃勃地提議道：“5種大家都想見識一下教授的“神算”本領(lǐng).只見馮·諾依曼眼望天花板，不言不語，迅速進(jìn)到“入定”狀22位值原理的認(rèn)識22個百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù) ，…，a，a是09中的一個，a0Na10r r10r1 a10a例 填空⑴3652022021002102⑵aaa；abc；aabb；⑶abcdabcaabcd⑷ab1234ab23ab1234⑸9a8b7ab⑹ab+ba=a(ab)[位值原理的表示【分析】311值原師3例 ⑴用數(shù)字1、2、3各一個可以組成三位數(shù)，所有這樣的三位數(shù)之和 ⑵三個不同的非零數(shù)字a,b,c共可以組成6個不同的三位數(shù)，這6個三位數(shù)之和一定是 ⑶三個互不相同的數(shù)字，可以組成6個不同的三位數(shù)，知道這6個三位數(shù)的和為2886，那么： .[位值原理的表示【分析】abcacbbacbaccabcba222abc222的倍數(shù)⑶a、b、c222abc2886abc13931.練一

從1～9 九個數(shù)字中取出三個，用這三個數(shù)可組成六個不同的三位數(shù).若這六個三位數(shù)之和是3330，則這六個三位數(shù)中最小可能值是 ,最大可能值是 [位值原理的表示【分析】a、b、c.由于每個數(shù)字都分別有兩次作百位、十位、個位，所以六個不它們組成的三位數(shù)最小為159，最大為951.位值原理的完全拆分例 一個兩位數(shù)，是它各個數(shù)位數(shù)字和的⑴5倍，求這個兩位數(shù)⑵7倍，求這個兩位數(shù)

[位值原理的完全拆分aab7(aba2b,數(shù)字解有b

a，b

a，b

a，b

411值原師4練一

在一個兩位數(shù)的中間加上一個0,得到的新數(shù)是原來數(shù)的6倍，原來的兩位數(shù) [位值原理的完全拆分例 (學(xué)生版僅有2問abcdabcaba1370,求abcd⑵已知一個四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2014，則所有這樣的四位數(shù)之和為多少⑶一個四位數(shù)，將其4個數(shù)位上的數(shù)字求和，再加上原來的四位數(shù)，得到一個新的四位數(shù);再將得到的新四位數(shù)4個數(shù)位上的數(shù)字求和，再加上這個新的四位數(shù)，又得到一個新四位數(shù);如此操作四次，最后得到的數(shù)是202，問最初的四位數(shù)是多少?[位值原理的完全拆分【分析】⑴⑵abcdabcdabcd2014abcd20061988，所以所有四位數(shù)之和為200619883994．⑶abcdabcdabcd2012abcd2005或abcd198719791970;再倒推，可得到第一次得到的數(shù)為19571948;第一個數(shù)為19371928.例 一個4位數(shù)，它和它的反序數(shù)的和是以下4個數(shù)中的一個：①8656;②8657;③8658;④8667.這兩個位數(shù)的和到底是多少[位值原理的完全拆分abcd＋dcba(1000a100b10cd)(1000d100c10b1001a110b 倍數(shù)，因此和為8657.例如：4783 511值原師5拓展以五位數(shù)為例說明：其原序數(shù)和反序數(shù)之差一定是99的倍數(shù)【分析】abcde－edcba b100c10d d100c10b9999a990b990d拓展一輛汽車進(jìn)入高速公路時(shí)，處里程碑上是一個兩位數(shù)，汽車勻速行駛，一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是原來兩位數(shù)字交換后的數(shù).又經(jīng)一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是處兩個數(shù)字中間多一個0的三位數(shù)，請問：再行多少小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個三位數(shù)首末兩個數(shù)字交換所得的三位數(shù).(100a+b)-(10b+a10b+a)-(10a+bb=6a，0≤a,b≤9a=1，b=6;即每小時(shí)走 09中的一個，a0，有Na10rar110r a10a1abcdefa100000b10000c1000d100e10f1000abc位值原理的整體拆分例 一個六位數(shù)，把它的末三位和前三位整體換位，得到一個新的六位數(shù)，并且原六位數(shù)的7 倍正好等于新六位數(shù)的6倍.原來的六位數(shù)是 [位值原理的整體換元得7(1000xy)6(1000yx),化簡得6994x5993y，即538x 所以x=461，y=538，611值原師6填空：1x2y3z x2 y3z

[位值原理的表示3個不同的數(shù)字，用它們組成6個不同的三位數(shù)，如果這6個三位數(shù)的和是1554，那么這個數(shù)字的和 [位值原理的表示abc100a10bc，acb100a10cb，……，它們的和是：222abc1554，abc15542227.在一個兩位數(shù)的中間加上一個0,得到的新數(shù)比原來大8倍，原來的兩位數(shù) [位值原理的完全拆分已知一個四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等 2008，則所有這樣的四位數(shù)之和為多少[位值原理的完全拆分【分析】設(shè)這樣的四位數(shù)為abcdabcdabcd2008，即1001a101b11c2d2008，a1或2．⑴a2，則101b11c2d6，得bc0d3abcd2003⑵a1，則101b11c2d1007，由于11c2d11929117101b1007117890，所以b8，故b9，11c2d100790998，則c且11c982980，故c7，由c為偶數(shù)知c8d5abcd1985 3988一個六位數(shù)，6.6移到第一位，4倍.這個六[位值原理的整體換元即40x24=600000x，39x599976x711值原師7下列四個數(shù)中哪個數(shù)是完全平方數(shù) A. B. C. D.將下面的數(shù)按從小到大的順序排列起來2312 ,, 3413【分析】237 小明從A地去B地，若提速50%，則可以省1小時(shí)，那么原計(jì)劃 小時(shí)一個長方體的長，寬分別是6厘米，5厘米，體積是120立方厘米，則此長方體的高是 【答案】72厘米的小正方體堆疊而成的幾何體，求該幾何體的表面積.[三視圖求表面62的小正方體，表面積變成了多少?[長方體挖【答案】811值原師81和1和

本講鞏固1、2、4、本講鞏固正方體有幾個面?幾個頂點(diǎn)?幾條棱【解析】下圖能否拼成一個正方體【解析】不能請用兩個“×”、兩個“○”和兩個“”標(biāo)示出下面展開圖的三組對立面，觀察每個展開圖的對立面，你能不能找到對立面在展開圖上的規(guī)律呢?【解析】如下所示，對立面在展開圖上相間不相鄰下圖是由5個棱長為1厘米的小正方體堆疊而成的幾何體，求該幾何體的表面積?！窘馕觥?2平方子班12體師下圖是由一些棱長為1厘米的小正方體堆疊而成的幾何體，該幾積可能是多【解析】9立方厘米或10立方開放視 不可能圖AC！坐

積木的玩 已，然而不相信？如果我們只看白色這個平面，那么在三 標(biāo)系中，A、B、C在一個平面中它們應(yīng)，是處于同一高度，然而我們再看灰色部分就會發(fā)現(xiàn)：“A竟然在B的上方”，顯然這是自相的 它是只會在二維世界存在的一種圖形。它是由人類的視覺系統(tǒng)瞬間意識 一個二 形的三投射而形成的光學(xué)錯覺，在幾何意義上它是不可能存在 這個圖形叫做“彭羅斯三角形”，它最先被瑞典藝術(shù)家奧斯卡創(chuàng)造出來，而后在20世紀(jì)50數(shù)學(xué)家彭羅斯所推廣。其特點(diǎn)被以不可能圖形為靈感來創(chuàng)作的藝術(shù)家埃舍爾 作品中 地體現(xiàn)

斯階梯彭羅斯階 彭羅斯正方形 春第圖少 五年級季尖子 12講立體形和空間想象教師春第圖少立體圖形展開圖正方體展開圖口訣：正方體展開圖口訣：對面相隔不相連，識圖巧排7凹田.1411類不同的展開圖；141型(四方成線兩相1種．相對的兩個面展開后不相連，展開圖不可能出現(xiàn)以⑴正方體的展開圖 種，你能都畫出來嗎A. B. ⑵下圖表示正方體的展開圖，將它折疊成正方體，可能的圖形是A、B、C、 中 3五年級春季尖子班12講立體圖形和空間想象師3⑶將如圖所示表面帶有圖案的正方體沿某些棱展開后

，得到的圖形 【解析】

[圖形展開圖]1：141

開圖， 老師先講第⑴題，再講其他小題2：2313：33⑵B,三條線段互相平行，沒有公共⑶三個圖形所在面有公共頂點(diǎn)，因此A、 錯誤；以圓為頂，五角星應(yīng)該

方塊的順時(shí)針D錯誤，C正確例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------⑴把下面這個正方體展開之后，究竟哪個展開圖是正確的?你能把錯誤的圖形改正確嗎 五年級春12講立體形和空間想象師圖⑵正四面體有幾個面、幾個頂點(diǎn)、幾條棱?把下面所展示的正四面體ABD展開之后，究竟哪個展開圖是正確的?A C 【解析】⑴A圖錯在三面不是相鄰三面，可把最右面的副對角線擦掉，或把最中間的副對角線擦掉，改畫上面或下面的正方形的主對角線；B圖正確；C圖錯在對角線方向，把三個對角線都改成副對角線即可；D圖圖案相對位置都正確，但展開圖本身錯誤，可把上方的正方觀察棱DC可知“×”與“□”的相對位置關(guān)系，便能知道選項(xiàng)A、D都是錯誤的；C的圖案練一

圖2為正方體圖1的展開圖．圖1中M、N分別是FG、GH的中點(diǎn)， 試在圖2中畫出這些線段.CADCBCADCBBHN 五年級春季尖子班第12講立體圖形和空間想象教師 N

HNGDCGM DCFM掌握化體為面的方法，注意標(biāo)出對應(yīng)的點(diǎn)

模塊 已知視圖求三例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------

都是1，請問這個立體圖形的體積是多少 正視 俯視 側(cè)視⑵如下圖，用若干塊單位正方體積木堆成一個幾何體，小明正確地畫出了這個幾何體的正視圖、 [三視圖求 五年級春12講立體形和空間想象師圖12123111鋪墊已知某立體圖形的三視圖如下，每個小正方形的邊長都 1，請問這個立體圖形的體積是多少正視 俯視 側(cè)視11211222例 用一些棱長是1的小正方體碼放成一個立體圖形，從上向下看這個立體圖形，如下圖a，從正面看這個立體圖形，如下圖b，則這個立體圖形的體積最大是 7五年級春季尖子班12講立體圖形和空間想象師7【解析】最大值：21221212最小值21111212練------------------------------------------------------

-----------------------------------小明在桌面上擺了一些大小一樣的正方體木塊，擺完后從正面看如左下塊那么他最多用 塊木，最少用 塊木塊

從側(cè)面看如右下圖[三視圖求31312321223123310000200003[教學(xué)提示]由三視圖求原圖形時(shí)，可以在俯視圖上標(biāo)數(shù)確定原圖形的體積拓展（操作趣題一個底座上有一個立方體，立方體只有一面能給底座印上顏色，初態(tài)如左圖示；立方 只能沿底座上的方格無滑動地來回滾動，請?jiān)谟覉D中把所能被印色的部分出來 五年級春12圖形和空間想象師 【解析】利用一個2′3的部分，轉(zhuǎn)換的方向，就一定能印滿整個棋盤，但本題中間只是一個2′2綜合應(yīng)用例 下圖是一個五棱柱的平面展開圖，圖中的正方形邊長都為4．按圖所示數(shù)據(jù)，這個五棱柱的體積等 2 9五年級春季尖子班12講立體圖形和空間想象師9【解

為一 形和一個矩形 ，算 截面 乘以 即可 S底4422214，VS底h1445644224例 ------------------------

-----------------------------------------------------------------⑴一個無蓋的鐵皮展開圖如下圖所示（圖中數(shù)據(jù)單位：米，求這個的容積745⑵現(xiàn)有一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮，請你 做一個深是5厘米的長方體無蓋鐵皮盒(接處及鐵皮厚度不計(jì)，容積越大越好)，你做出的鐵皮盒容積是多少立方厘米，故

[圖形展開圖]【解析】⑴長+寬 寬+高=4，長+高 長=4，寬=3，高=1，容積為43112（立方米，⑵情況⑴如下左圖，在4020的長方形鐵皮的四角截去邊長5厘米 方形鐵 然后接成長方體無這個

皮盒的長405530(厘米)．寬20550(米高5(厘米)．體積301051500情況⑵如下中圖，在4020長方形鐵皮的左側(cè)兩角上割下邊長5厘米的正方形(2塊緊密焊接到右側(cè)的中間部分，這樣做成

的無蓋鐵皮盒的長40 535(厘米)，寬205510(厘米)，高5(厘米)， 351051750(立厘米 情況⑶如下右圖，在4020的長方形鐵皮的左右兩側(cè)各割下一條 5厘米的方形皮(共2)，分別焊到上、下的中間部分，這樣做成的 的40555520(厘米)20(厘米)，高5(厘米)20205米(立方厘)2000 焊 五年級春12講立體形和空間想象師圖切去了一個角的正方體紙盒，切面與棱的交點(diǎn)A，B，C均是棱的中點(diǎn)，如圖所示，現(xiàn)將紙盒剪開展成平面，則展開圖不可能是．CABCAB 【解析】 中有較明顯的錯誤，圖示的地方連接有誤 B xx2(124)212257面的最短路線長度yy212214)2169132z2(121)242185，可見最短路線長度是13．17（1），正視 俯視 側(cè)視31111133111113五年級春季尖子班12講立體圖形和空間想象師沿圖的虛線折疊，可以圍成一個長方體，它的體積 立方厘米78厘5a,bc

aac8bc

ab4，體積為34560c 某種藥盒的展開圖如下所示，如果長方體盒子的長比寬多4厘米，求這種藥盒的積．[圖形展開

長高寬長高寬2b2h2b2hab

bbc

體積為95290立 比較下面兩個數(shù)的大?。?11

【解析】0.808081 甲和乙分別從AB地，甲乙的速度比為2:3，甲比乙提前2小時(shí)出發(fā)，結(jié)果甲共用3小時(shí)到達(dá)．那么當(dāng)甲到B地時(shí)，乙還需要 時(shí)才能到 【解析】甲乙的速度比為2:3，那么路

-同的情況小，時(shí)間比是3:2.所以若甲用 時(shí)，那乙用2小時(shí).甲到達(dá)時(shí)，乙還需 3+2= 時(shí)才能到ab5=29(a+b)（其中a、b均為數(shù)字）則ab 【解析】100a10b529a29b，即71a519b，見a應(yīng)當(dāng)于3，枚舉可知a b4．a(chǎn)b 春 五年級12形和空間想象師一個扔兩次，所得點(diǎn)數(shù)之和 種不同的情況一個黑色盒子中放有5個小球，分別為紅色、黃色、白色、藍(lán)色、綠色．⑴從盒子中拿出兩個小球，那么 種不同的情況⑵從盒子中拿出兩個小球，其中一個是紅球的 種不同的情況 C210C1 從A、B、C、D、E、F六位同學(xué)中先選出2個人掃地，再選出2個人拖地，一共有 C2C215690 五年級春季尖子班12講立體圖形和空間想象師+[基本概率]★★★★ [計(jì)數(shù)計(jì)算概率]★★★ 本講鞏固3艾迪切下一整塊蛋糕的1打 不同意，便從艾迪的蛋糕上切掉一部分，只剩下 給他吃，請問最終艾迪只吃到一整塊蛋糕的幾分之幾【答案】133 般來說，投擲一枚硬幣結(jié)果是正面朝上或 朝上的可能性是相等的，各自占 ；艾2有一次湊巧連續(xù)投擲出10次正面，請問他第11次投擲出正面的可能性是多少？2薇兒拋一枚兩次,一共會出現(xiàn)多少種不同的情況?和為 的情況占總數(shù)的多少36，老師從10個人里選出3個人參加游戲，有多少種不同的選擇方法？【答案】C31098120 32105個人執(zhí)行任務(wù)，其中艾迪和薇兒都被選中的情況有多少【答案】C387656 321五年級13率初1換還是不換？這是個問題！后面則各藏有一只，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未打開之前，節(jié)目打開剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只。之后會問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門。汽車的概率都是1，換不換都是一樣的。21我們的選擇有下列三種可能的情況，全部都有相等的可能性︰3 一號。轉(zhuǎn)換將失敗，參賽者挑汽車，挑二號。轉(zhuǎn)換將失敗。此情況的可能性為：11111。 2這個概率是

2五年級13率初2認(rèn)識概率朝. 朝上 mn需要我們用枚舉、加乘原理、排列組合等方法求出做不確定事件,概率是0到1之間的一個數(shù)；有些事情是一定發(fā)生的 從東方升起),這樣的事件叫做必然事件,概率是1；有些事情 擲出7點(diǎn)),這樣的事件叫做不可能事件,概率是0.(學(xué)生版只有1、2、有數(shù)顆質(zhì)量分布均勻的正方體,六個面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,且相對的兩面的和是如果拋1 ,數(shù)字“2”朝上的可能性 如果拋2 ,點(diǎn)數(shù)之和為6的概率 .點(diǎn)數(shù)之積為6的概率 如果拋2 ,所得兩個數(shù)的乘積大于10的可能性 艾迪、薇兒和大寬三人玩擲的游戲：將兩顆一起擲出,看朝上兩個數(shù)的和是多少．和 算艾迪勝；和是7,算薇兒勝；和是8,算大寬勝.他們?nèi)齻€ 獲勝的可能性最大如果將7顆投擲后,規(guī)定：向上的七個面的數(shù)的和是10則甲勝,向上的七個面的數(shù)的和是39則 【分析】(1)161,5,2,4,3,3,4,2,5,1點(diǎn)數(shù)之積6的情況162,3326,1

為41 61524334251,716253443526182635445362,和為7的情況最多,薇兒勝的概率最大；五年級春季尖子班第13講概率初 練一

100張卡片,1,2,3,…,100.從中任意抽出一張.請問：(1)抽出的卡片上的數(shù)正好是37的概率是多少?抽出的卡片上的數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率是多少?是合數(shù)的概率是多少?既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)的概率是多少?抽出的卡片上的數(shù)是偶數(shù)的概率是多少?是奇數(shù)的概率是多少?既不是偶數(shù)也不是奇數(shù)的概率是多少?抽出的卡片上的數(shù)正好是101的概率是多少?抽出的卡片上的數(shù)小于200的概率是多少

(2)

1；7437； 4

501； ；

例 艾迪在愉快地玩飛鏢,飛鏢的鏢盤如圖1所示,投擲到對應(yīng)的區(qū)域得到對應(yīng)的分?jǐn)?shù).10分所對應(yīng)的圓半徑1,每向外一層則對應(yīng)圓的半徑1,投擲一鏢后,假設(shè)艾迪沒脫靶,請問：56789圖 圖艾迪得到10分的概率是多少艾迪得到的分?jǐn)?shù)大于5分小于8分的概率是多少艾迪至多得到8分的概率是多少突然,艾迪發(fā)現(xiàn)了一種新型靶盤,如圖2所示,紅域稱為幸運(yùn)區(qū),紅域?qū)?yīng)的圓心角是60,投擲到紅色的區(qū)域也可以得到10分,求艾迪得到10分的概率是多少?1)10,最大圓的面積是3610分的概率是1

49 8 4五年級13率初44158118 應(yīng)的面積是

,重合的面積是

,所以總的面積是6

65,對應(yīng)的概率是65 641

概率中的經(jīng)典模型相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個概率,PABPAP(B.特別地,AB中至少有一個發(fā)生的概率PAB)PA)P(B)1.記為PAB)PA)P(B).例 薇兒在玩拋硬幣的游戲：如果拋一枚硬幣,3次中,2次朝上,1次朝下,問第4次硬幣朝上的概率是多少如果拋一枚硬幣6次,5次是正面朝上的概率是多少如果拋一枚硬幣6次,至少有一次正面朝上的概率是多少1次,兩枚都正面朝上的概率是多少?一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是多少?至12

[計(jì)數(shù)計(jì)算概率]6從6次中選5次正面朝上C5611111111,所以總概率是C51613 朝上,對應(yīng)的概率是1111111 五年級春季尖子班第13講概率初 ；率是11； 111 111,所以總的概率是2111,也可以理解為：兩枚中選一枚正面朝上,另一枚 正面朝下,對應(yīng)的概率為C11

1 考慮,先求全部背面朝上的概率是111,則至少一枚 面朝上的概率為113 練一

這時(shí),大寬走過來說：“薇兒,我們一起愉快地玩耍吧！”于是他們一起做游戲：兩人擲一枚硬幣,大寬擲兩次,薇兒擲兩次,大寬擲兩次,……,這樣輪流擲下去．若大寬連續(xù)兩次擲得的結(jié)果相同,則記1分,否則記0分．若薇兒連續(xù)兩次擲得的結(jié)果中至少有1次硬幣的正面向上則記1分否則記0分．誰先記滿10分誰就贏．贏的可能性較大(請?zhí)畲髮捇蜣眱海甗計(jì)數(shù)計(jì)算概率11111 至少有一次正面向上的概率為1113 例 袋子中有大小、形狀都相同的紅球、藍(lán)球、綠球各2個；從中無放回地摸出2個球,2個球都是紅色的概率是多少2個球,2個球顏色相同的概率是多少2個球顏色不同的概率是多少?(3)2個球,2個球顏色相同的概率是多少?2個球顏色不同的概率是多少?[計(jì)數(shù)計(jì)算概率] 1 C 16【分析】(1)無放回地摸球,2個球都是紅色的概率是 ；也可以理解為：2 6 顏色相同,可以都是紅色、藍(lán)色或綠色,概率為311

C 顏色不同可以從114得出,也可以先算一個紅球一個藍(lán)球的概率為2224 C1

4 2 ,同理一個紅球一個綠球、一個藍(lán)球一個綠球的概率都 ,所以總的概率C2C63

4 有放回地摸球,23221 顏色不同的概率是112,也可以先算出一個紅球一個藍(lán)球的概率為2222 6五年級13率初6C1 C1 2C1 322

9例 15個白球,A、B、C、D、E、F1個A獲勝的概率是多少?B獲勝的概率是多少?6個人中誰獲勝的概率更大如果規(guī)則改為：每個人摸完后都要把球再放回袋中,直到有人摸出紅球,之后的人就不再摸球；在這種規(guī)則下,誰獲勝的概率更大? 6

5

練一

551,D5551,…,可見,在這種規(guī)則下,A 率更大,且B、C、D、E、F的概率依A、B、C、D、E、F六人抽簽推選代表人共制作了六枚外表一模一樣的簽其中只有一枚刻著“中六人按照字母順序先后抽簽,抽完不放回,誰抽到“中字,即被推選為代表那么這六人被抽中?

5511 同理,C抽中的概率為5411D抽中的概率為54311E抽中的概率為 543211F5432111 綜如圖所示,將球放在頂部,讓它們從頂部沿軌道落下,每一個小球在交點(diǎn)處有一半的可能向左滑落,有一半的可能向右滑落.球落到底部的從左至右的概率依次是 ．五年級春季尖子班第13講概率初 1,而每到一個岔口,它落入兩邊的機(jī)會是均等的,因此,可以采用標(biāo)數(shù)法,如右上圖所示,故從左至右落到底部的概率依次為1131、1．22118學(xué)范圍內(nèi),概率=滿足條件的情況總數(shù)m.其中的m和n需要我們用枚舉、加乘原理、排列組 PABPAP(B).特別地,對立事件P(AB)P(A)P(B)A和BP(AB)P(A)P(B)生活中的概率例 學(xué)校打算在1月4日或1月10日組織看.確定好日期后,老師告訴了班長,但是由于“四”和“十”發(fā)音接近,班長有10%的可能性聽錯(把4聽成10或者把10聽成4).班長又把日期告訴了小明,小明也有10%的可能性聽錯.那么小明認(rèn)為看的日期是正確日期的可能性為%.[計(jì)數(shù)計(jì)算概率]10.110.10.10.10.8282%.8五年級13率初8甲、乙兩個學(xué)生各從0~9這10個數(shù)字中隨機(jī)挑選了兩個不同的數(shù)字,求：這兩個數(shù)字的差是2的概率是多少這兩個數(shù)字的差不超過2的概率是多少[基本概率88況是C245,所以概率是 如果飛鏢隨意地投向下圖所示的木板上且不脫靶,那么飛鏢落在木板上陰影部分的可能性是_.(用分?jǐn)?shù)表示4442126 【分析】即求陰影部分占總面積的比例 22136

[基本概率任意向上擲一枚硬幣若干次那么第4次擲硬幣時(shí)正面向上的概率是多少如果擲6次,3次正面朝上的概率是多少(1)1263C315

[計(jì)數(shù)計(jì)算概率袋子里有大小、形狀都相同的小球共5個,其中白球3個,紅球2個；從中無放回地摸出兩個球,這2個球都是白色的概率是多少從中有放回地摸出兩個球,這 個球顏色相同的概率是多少?顏色不同的概率是多少[基本概率3【分析】(1)概率為C 33C5 C5顏色全是白色的概率是33=5

,全是紅色的概率是22=5

,所以顏色相同的概率是9413,則顏色不同的概率是11312 A、B、C、D、E、F六人抽簽推選代表,人一共制作了六枚外表一模一樣的簽,其中只有一枚刻著“中”,六人按照字母順序先后抽簽,抽完放回,誰抽到“中”字,即被推選為代表,那么這六人第一輪被抽中的概率分別為多少?誰被抽中的概率最大五年級春季尖子班第13講概率初 [基本概率A1,B51,C551 5551,E55551,F 555551.A

回,如果AB兩地相距1000米,問：甲乙第二次相遇的地點(diǎn)距A地多少米?3個全程,甲走了9份,即一個全程又多了4份,距A地1一個兩位數(shù),是它各個數(shù)位數(shù)字和的3倍,求這個兩位數(shù)ab,則由題10ab3(ab7a2ba2,b7下圖中,能折成正方體的有哪些AB B1、100個人參加測試，要求回答五道試題，并且規(guī)定凡答對3題或3題以上的為測試合格，是答對第一題的有81人，答對第二題的有91人，答對第三題的有85人，答對第四題的有79人，答對第五題的有74人，那么至少有多少人合格？互相交錯，關(guān)系很復(fù)雜，不太好考慮，如果從考慮，想“最多有多少人不合格？”這道題就迎刃而解了。100人共答錯500－（81+91+85+79+74）=90（題，因?yàn)榇饘?題或3題以上的為測試合格，那么答錯3題或3題以上的為測試不合格，所以最多有90÷3=30（人）不合格，也就是至少有100－30=70（人）合格。五年級13率初2、六年級共有190個學(xué)生參加考試，數(shù)學(xué)考試有178人及格，語文考試有181人及格，英語考試有人及格，那么三科全部及格的學(xué)生至少有多少人？目1]一樣也不太好考慮，如果從考慮，思考“不是三科全部及格的學(xué)生至多有多少人？”最的，因此，三科全部及格的至少有190－37=153（人。300:0023:59四個數(shù)字之和為23的概率為多少？【分析】本題若從正面考慮和為23，會很麻煩，此時(shí)啟發(fā)我們從考慮（這也是這類題的特點(diǎn)，題設(shè)的數(shù)字一定是和情況很靠近的值，最大的顯然是19:59這一時(shí)刻。它的和為1+9+5+9=24。而題目要求的是23,正中下懷！我們只要將1959分別減1即可，從而09:59,18:59,19:49,19:5824×60=1440414401五年級春季尖子班1311 [計(jì)數(shù)中的考慮[最值中的考慮

本講鞏固1、本講鞏固3、4、從4個男生和5個中選出5個人，至多選3人，那么男生至少 人5- 名隊(duì)員兩兩配對，進(jìn)行淘汰賽，要決出冠軍，需要 場淘汰賽，每次淘汰1人.從8人到剩下1人，淘汰了7人，因此需要比7用3個2分的硬幣，5個5分的硬幣，能構(gòu)成2分，4分，5分，6分，……，則能構(gòu)成的第三 構(gòu)成最大的錢數(shù)為31，第二大的錢數(shù)為31-2，第三大的錢數(shù)為31-如圖，平行四邊形的面積為18平方厘米，陰影部分面積 平方厘米一共有3×6=18個角形，空白部分是5個三角形，陰影部分則為18-5=13個角形面積為13平方厘米計(jì)算：

C9C1 C98C2 從五年級春季從五年級春季尖子班第14講 情況考慮教師開放視 是逆向思維的錯嗎虎“老悖論”是博弈論中一個著名的邏輯悖論虎國王要處決一個犯，但給他一個生還的機(jī)會.犯被帶到5扇緊閉的門

其中一扇后面關(guān) 只 ：“你必須依次打開 門.我可以肯定的是，在你沒有 關(guān)著那扇門，前，你是無法知道是在那扇門后.”顯

，如果犯有可能在打開有的那扇門前知 就證明五王在撒謊，那么就可以活命.開門之前，犯行了如下分析 假

他把前四 打開后都沒發(fā) 那他肯定猜 在 扇門中

的說話 了.因此 肯定 第五扇

既

第五依次類推 不存在任何一道門后；犯這時(shí)就不再多想，冒冒失失

次推門，結(jié)果從你

的意 難很明顯，這個推理結(jié)果是錯誤的，那么到底是哪里出錯了呢 道是我們推用數(shù)學(xué) 法倒推 身論證方法沒問題，問題的關(guān)鍵在于——國王的話 就有邏 盾， 理的前提：1、門后 一 ；2、前 門沒有 ；3 可預(yù)料，虎據(jù)前提1、2可以推出第五扇門 虎，這虎與前提3的，如果國王嚴(yán)格按照自己的邏輯放置 的話， 放哪個 不行，都的前提下推斷出的結(jié)論當(dāng)然也是錯誤的，“沒有”與“門后有只”本來就是嘛慮模塊 幾何中的

徒在的方向,即從結(jié)論入手或從條件及結(jié)

進(jìn)行思考,而使問題得到解決．例 ------------------------------------------------------

----------------------------------- DE 級反 五年春季尖子班第14講從面情況考 級反⑵ABCDAD9cmAB6cm，△ADEDEBF及△CDF的面積DE [幾何中的考慮]★★解】⑴陰影部分是一個三角形，要求面積必須先找底和高，但是發(fā)現(xiàn)不管以哪條邊為底，底和高都很難求，所以我們從考慮，先求出空白部分面積，再用長方形面積減掉空三角ABCD的面9×6=54平方厘米，ADE的面積9×4÷2=18平方厘米△CDF6×5÷2=15平方厘米，△BEF2×4÷2=4平方厘米，所以△DEF的面積為54-18-15-4=17平方厘米.⑵ABCD9×6=54平方厘米，△ADEDEBF及△CDF的面積相54÷3=18AE18×2÷9=4厘米，CF18×2÷6=6BE=6－4=2厘米，BF=9－6=3厘米，所以△BEF的面積為2×3÷2=3平方厘米，所以陰影部分面積為18－3=15平方厘米．例 ⑴如圖，已知正方形的邊長為10厘米，則陰影部分的面積 平方厘米.(圓周率取3.14⑵如圖所示，圖中是一個正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個半徑為10厘米的小扇形，則陰影的面積為 平方厘米.(圓周率取3.14)[幾何中的考慮3五年級春季尖子班第14講 情況考慮教師3解】⑴陰影部分的面積為

總面積減 ，空白 的面積可以合成一個圓形分因此陰影部分的面積為1023.145221.5平方厘米白⑵所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去

形面積.扇形的6

π

米

)，陰影部分的面積1040628412(平方厘模塊 計(jì)數(shù)中的考------------------------------------------------------

-----------------------------------下圖為4×4的點(diǎn)陣，取不同的三個點(diǎn)可能組合一個三角形，問總共可以組 個三角形解】考慮，可以從總解】

數(shù)中去掉不能組成三角形的點(diǎn)

[計(jì)數(shù)中的考慮 C3 2C34C3560324 練------------------------------------------------------

-----------------------------------如下圖，在半圓弧及其直徑上共有7