高中數(shù)學高考二輪復習（市一等獎）

第一部分一21一、選擇題1．(2023·甘肅省三診)我校要從4名男生和2名女生中選出2人擔任H7N9禽流感防御宣傳工作，則在選出的宣傳者中男、女都有的概率為()A．eq\f(8,15) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,5) D．eq\f(4,15)[答案]A[解析]從4名男生和2名女生選出2人共有Ceq\o\al(2,6)＝15種不同選法，男、女都有的選法有4×2＝8種，故所求概率P＝eq\f(8,15).[方法點撥]用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前對問題進行仔細分析，確定需要分類還是分步．①分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．②分步要做到“步驟完整”，只有完成所有步驟，才算完成任務，當然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．③對于復雜的問題，有時可依據(jù)題目特點列出示意圖或表格以助分析．2．(2023·湖北理，3)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A．29 B．210C．211 D．212[答案]A[解析]由題意可得，二項式的展開式滿足Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xr，且有Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，因此n＝10.令x＝1，則(1＋x)n＝210，即展開式中所有項的二項式系數(shù)和為210；令x＝－1，則(1＋x)n＝0，即展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)與偶數(shù)項的二項式系數(shù)之差為0，因此奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為eq\f(1,2)(210＋0)＝29.故本題正確答案為A．[方法點撥]解決二項式定理問題時，一要熟記通項公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它是第r＋1項，且不要顛倒a、b的順序，二要明確求某些特定項或其系數(shù)時用通項公式，與二項式系數(shù)有關的命題或各項系數(shù)和的問題用賦值法結合二項式系數(shù)的性質求解，不等式問題主要用放縮法求解．3．(2023·唐山市二模)將6名男生，4名女生分成兩組，每組5人，參加兩項不同的活動，每組3名男生和2名女生，則不同的分配方法有()A．240種 B．120種C．60種 D．180種[答案]B[解析]不同的分配方法有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,4)＝120.4．12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，其他人的相對順序不變，則不同調整方法的種數(shù)是()A．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)[答案]C[解析]要完成這件事，可分兩步走：第一步可先從后排8人中選2人共有Ceq\o\al(2,8)種；第二步可認為前排放6個座位，先選出2個座位讓后排的2人坐，由于其他人的順序不變，所以有Aeq\o\al(2,6)種坐法．綜上，由分步乘法計數(shù)原理知不同調整方法種數(shù)為Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6)種．[方法點撥]1.熟記兩個記數(shù)原理、排列組合數(shù)公式及性質．(1)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，Aeq\o\al(n,n)＝n！，0?。?(n∈N*，m∈N*，m≤n)．(2)組合數(shù)公式及性質Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)，Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).2．區(qū)分某一問題是排列還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關，若交換某兩個元素的位置對結果產(chǎn)生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，也就是說排列問題與選取元素的順序有關，組合問題與選取元素的順序無關．3．①解排列組合問題常用方法有特殊元素優(yōu)先考慮與特殊位置優(yōu)先考慮兩種．②遵循基本原則：先選后排，即先組合后排列．③注意做到不重復不遺漏．5．(2023·河南省高考適應性測試)3對夫婦去看電影，6個人坐成一排，若女性的鄰座只能是其丈夫或其他女性，則坐法的種數(shù)為()A．54 B．60C．66 D．72[答案]B[解析]記3位女性為a、b、c，其丈夫依次為A、B、C，當3位女性都相鄰時可能情形有兩類：第一類男性在兩端，如XAabcC有2Aeq\o\al(3,3)種，第二類男性在一端，如XXAabc，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種，共有Aeq\o\al(3,3)(2Aeq\o\al(2,2)＋2)＝36種，當僅有兩位女性相鄰時也有兩類，第一類這兩人在一端如abBACc，第二類這兩人兩端都有其他人，如AabBCc，共有4Aeq\o\al(2,3)＝24種，故滿足題意的坐法共有36＋24＝60種．6．(2023·河北唐山市一模)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3展開式中的常數(shù)項為()A．－8 B．－12C．－20 D．20[答案]C[解析]∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，∴常數(shù)項為Ceq\o\al(3,6)(－1)3＝－20.7．由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成且沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有()A．210個 B．300個C．464個 D．600個[答案]B[解析]由于組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，個位小于十位的與個位大于十位的一樣多，故有eq\f(C\o\al(1,5)A\o\al(5,5),2)＝300(個)．[方法點撥]解決數(shù)字問題時，要特別注意“奇數(shù)”、“偶數(shù)”、“被某數(shù)整除”，有無“重復數(shù)字”、“大于”或“等于”某數(shù)等字眼．8．(2023·湖南理，6)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(a,\r(x))))5的展開式中含xeq\f(3,2)的項的系數(shù)為30，則a＝()A．eq\r(3) B．－eq\r(3)C．6 D．－6[答案]D[解析]Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－1)rarxeq\f(5,2)－r，令eq\f(5,2)－r＝eq\f(3,2)得r＝1，可得－5a＝30?a＝－6，故選D．9.如圖，M、N、P、Q為海上四個小島，現(xiàn)要建造三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方法有()A．8種 B．12種C．16種 D．20種[答案]C[解析]把四個小島看作四個點，可以兩兩之間連成6條線段，任選3條，共有Ceq\o\al(3,6)種情形，但有4種情形不滿足題意，∴不同的建橋方法有Ceq\o\al(3,6)－4＝16種，故選C．10．研究性學習小組有4名同學要在同一天的上、下午到實驗室做A、B、C、D、E五個操作實驗，每位同學上、下午各做一個實驗，且不重復，若上午不能做D實驗，下午不能做E實驗，則不同的安排方式共有()A．144種 B．192種C．216種 D．264種[答案]D[解析]根據(jù)題意得，上午要做的實驗是A，B，C，E，下午要做的實驗是A，B，C，D，且上午做了A，B，C實驗的同學下午不再做相同的實驗．先安排上午，從4位同學中任選一人做E實驗，其余三人分別做A、B、C實驗，有Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＝24種安排方式．再安排下午，分兩類：①上午選E實驗的同學下午選D實驗，另三位同學對A、B、C實驗錯位排列，有2種方法，則不同的安排方式有N1＝1×2＝2種；②上午選E實驗的同學下午選A、B、C實驗之一，另外三位從剩下的兩項和D一共三項中選，但必須與上午的實驗項目錯開，有3種方法，則不同的安排方式有N2＝Ceq\o\al(1,3)·3＝9種．于是，不同的安排方式共有N＝24×(2＋9)＝264種．故選D．[方法點撥]“分類”與“分步”的區(qū)別：關鍵是看事情完成情況，如果每種方法都能將事件完成則是分類；如果必須要連續(xù)若干步才能將事件完成則是分步．分類要用分類加法計數(shù)原理；分步要用分步乘計數(shù)原理．11．(2023·河北衡水中學三調)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax6＋\f(b,x)))4的二項展開式中，如果x3的系數(shù)為20，那么ab3＝()A．20 B．15C．10 D．5[答案]D[解析]Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)a4－rbrx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，則4ab3＝20，∴ab3＝5.12．有5名同學參加唱歌、跳舞、下棋三項比賽，每項比賽至少有一人參加，其中甲同學不能參加跳舞比賽，則參賽方案的種數(shù)為()A．112 B．100C．92 D．76[答案]B[解析]甲同學有2種參賽方案，其余四名同學，若只參加甲參賽后剩余的兩項比賽，則將四名同學先分為兩組，分組方案有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,3)＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝7，再將其分到兩項比賽中去，共有分配方案數(shù)為7×Aeq\o\al(2,2)＝14；若剩下的四名同學參加三項比賽，則將其分成三組，分組方法數(shù)是Ceq\o\al(2,4)，分到三項比賽上去的分配方法數(shù)是Aeq\o\al(3,3)，故共有方案數(shù)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36.根據(jù)兩個基本原理共有方法數(shù)2×(14＋36)＝100(種)．[方法點撥]1.把握求解排列組合問題及應用題的基本策略①解排列組合問題應遵循的原則：先特殊后一般，先選后排，先分類后分步．②常用策略：(a)相鄰問題捆綁法；(b)不相鄰問題插空法；(c)定序問題屬組合；(d)至少或至多問題間接法；(e)選排問題先取后排法；(f)局部與整體問題排除法；(g)復雜問題轉化法．2．區(qū)分排列與組合的關鍵是看元素是否與順序有關，“定序”為組合，“有序”為排列，“分堆”為組合，“分配”為排列．二、填空題13．(2023·北京理，13)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．[答案]36[解析]本題考查了計數(shù)原理與排列組合知識．先只考慮A與產(chǎn)品B相鄰，此時用捆綁法，將A和B作為一個元素考慮，共有Aeq\o\al(4,4)＝24種方法，而A和B有2種擺放順序，故總計24×2＝48種方法，再排除既滿足A和B相鄰，又滿足A與C相鄰的情況，此時用捆綁法，將A、B、C作為一個元素考慮，共有Aeq\o\al(3,3)＝6種方法，而A、B、C有2種可能的擺放順序，故總計6×2＝12種方法．綜上，符合題意的擺放共有48－12＝36種．14．若對于任意實數(shù)x，有x5＝a0＋a1(x－2)＋…＋a5(x－2)5，則a1＋a3＋a5－a0＝________.[答案]89[解析]令x＝3得a0＋a1＋…＋a5＝35，令x＝1得a0－a1＋…－a5＝1，兩式相減得a1＋a3＋a5＝eq\f(35－1,2)＝121，令x＝2得a0＝25＝32，故a1＋a3＋a5－a0＝121－32＝89.15．有四種不同的顏色，現(xiàn)用這些顏色給棱長分別為3、4、5的四棱柱的表面涂色，要求相鄰的面涂不同的顏色，共有不同涂色方案________個．[答案]96[解析]由于相鄰兩面不同色，故可以涂相同顏色的只有對面，四棱柱有3對對面，故至少要用3色來涂，因此分兩類：第一類：用三種顏色涂，有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)種；第二類：用四種顏色涂，四棱柱有六個面，則必有兩個面與對面同色，故有一對面不同色．先從3對對面中選取2對，有Ceq\o\al(2,3)處選法，再從4種顏色中選取2種涂這2對對面，有Aeq\o\al(2,4)種涂法，然后用剩下的2色涂剩下的一對對面有Aeq\o\al(2,2)種涂法，因此共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種，綜上共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝96