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八y八y作dEdE八-灰y/:其電量為dq /a為電荷線密度)。有限長均勻帶電導(dǎo)體直線的電場分布特點姜付錦(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué),湖北武漢430300)摘要:通過庫侖定律和麥克斯韋方程推導(dǎo)出有限長均勻帶電導(dǎo)體直線的電場線方程和等勢線方程,并利用繪圖軟件WINPLOT對電場線與等勢線畫出函數(shù)圖像,直觀表示了電場的特點。關(guān)鍵詞:有限長均勻帶電導(dǎo)體直線;電場線方程;等勢線方程法拉第為形象地描繪靜電場在空間的分布情況,引入了電場線的概念。麥克斯韋通過對電場線特點的分析總結(jié)出了麥克斯韋方程組。本文將通過庫侖定律和麥克斯韋方程對有限長均勻帶電導(dǎo)體直線的電場線方程與等勢線方程進(jìn)行推導(dǎo),得出它們的分布規(guī)律,并利用繪圖軟件WINPLOT對電場線與等勢線畫出函數(shù)圖像,直觀表示了電場的特點。1電場強度的計算如圖1所示,有一均勻帶電導(dǎo)體直線,長度為。(0<a<8),總電量為q,以直線的中點為坐標(biāo)原點,并以直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xoy,在x軸上坐標(biāo)為X0處取一電荷元,xTJ
0dx0圖1均勻帶電導(dǎo)體直線外任一點處的場強mk人dx ——根據(jù)庫侖定律,它在P(x,y)點激發(fā)的電場強度為dE=^30r,式中:r是從dx0指向P點的矢量,r的大小為寸(x—x0)2+y2。設(shè)dE與x軸的夾角為。,則dE沿x軸和y軸的兩個分量分別為dE=dEcos0,dE=dEsin0[i],則x ydE k入(x—x)dxdE k入ydxx [y2+(x—x)2]3/2'y[y2+(x—x)2]3/2a a k人(X-X)a a k人(X-X)dX=J2dE=J2 0 0—-a[y2+(X-X)2]3/2aE=J2-2dEx_k\ y [,=y a.:y2+(x--)2E=J2dEyay-2a k人ydX=J2 0 -a[y2+(X-X)2]3/22a一砍2-X [y,/a、y2+(x-^)2],/,a、y2+(x+-)2將上列兩式積分,得dydXy,/dydXy,/,a、
y2+(x+-)2,/,a、y2+(X+—)2,/a、y2+(x-—)22電場線方程的推導(dǎo)dyE根據(jù)麥克斯韋方程可知,電場線的微分方程為弓=寸,將上式代入后得dXEXy:,,a、:y2+(x-于TOC\o"1-5"\h\za a——X —+X2+ 2:,/a、 ; ,/, a、:y2+(x--)2 ;y2+(x+吁)2上式可變?yōu)閐[y2+(x+a)2]d[y2+(x-;)上式可變?yōu)閐[y2+(x+a)2]d[y2+(x-;)2]匕- ±一,,/a、y2+(x--)2兩邊同時積分得、:(x+—)2+y2=\:(x—2)2+y2+c(式中c是一常量)通過對電場線方程的分析可知,它們其實是一簇焦點相同的雙曲線,式中-a<C<a。3等勢線方程的推導(dǎo)如圖2所示,圖中P點的電勢fa k人dx平。=%y2+(X-X0)2⑵,將上式整理后得,.9dx20圖2均勻帶電導(dǎo)體直線外任一點處的電勢中=』2kXd(^^jc^=k、[m(:—x+;y2+(x-a)2)-In(-a—x+:y2+(x+a)2)]P -摭y2+(x-x/ 2 2 2 \ 24數(shù)值模擬利用Winplot強大的繪圖功能,對以上的電場線和等勢線進(jìn)行模擬,數(shù)值模擬中令人=1C/m,a=1m,如圖3所示圖3均勻帶電導(dǎo)體直線的電場線和等勢線5結(jié)語通過對電場線與等勢線數(shù)值模擬的分析可以發(fā)現(xiàn):在原坐標(biāo)系中,當(dāng)xT8,yT8時有限長均勻帶電導(dǎo)體直線相當(dāng)于一個“點電荷”,它的電場線的反向延長線趨近于通過原點;等勢面趨近于圓周。以上的推導(dǎo)都是建立在電荷均勻分布的條件下,但是實際上有限長帶電直線的電荷的分布不是均勻的,所以本文中的分析只是一種簡化處理情形[3]。進(jìn)一步研究可以發(fā)現(xiàn),均勻帶電導(dǎo)體直線的電場線和等勢線與波的干涉圖樣相似,干涉圖樣中的波面與本文中的等勢線相似;干涉圖樣中的波線與本文中的電線線相似[4]。參考文獻(xiàn):[1]徐斌富章可欽鄒勇潘傳芳大學(xué)基礎(chǔ)物理(第一冊)[M]北京:科學(xué)出版社,2007:8-9⑵郭碩鴻電動力學(xué)(第二版)[M]北京:高等教育出版社1998:56-57[3] 陳鋼有限長帶電導(dǎo)體直線的電荷分布[J]大學(xué)物理,201010(30):28-29[4] 陳敏數(shù)形結(jié)合剖析水波的干涉圖樣[J]物理通報,2012(5):89~92Thedistributioncharacteristicoftheelectricfieldoftheuniformlychargedconductorstraight-linewithfinitelengthJIANGFujin(TheFirstHighSchoolofHuangpiDistrictinWuhan,Wuhan430300,Hubei)Abstract:Inthispaper,wederivetheelectricfieldlineequationandtheequipotentiallineequationoftheuniformlychargedconductorstraight-linebyCoulomb'slawandtheMaxwellEquation.ThenweplottheimageoftheelectricfieldandtheequipotentiallinewiththemappingsoftwareWINPLOTandgiveanintuitivepresentationoftheelectric
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