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廣東省揭陽市藍田中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.如圖是某手機商城2018年華為、蘋果、三星三種品牌的手機各季度銷量的百分比堆積圖(如:第三季度華為銷量約占50%,三星銷量約占30%,蘋果銷量約占20%),根據(jù)該圖,以下結(jié)論中一定正確的是(
)A.四個季度中,每季度三星和蘋果總銷量之和均不低于華為的銷量B.蘋果第二季度的銷量小于第三季度的銷量C.第一季度銷量最大的為三星,銷量最小的為蘋果D.華為的全年銷量最大參考答案:D【分析】根據(jù)華為、蘋果、三星三種品牌的手機各季度銷量的百分比堆積圖,分析出每個季度華為、蘋果、三星三種品牌的手機各季度銷量的百分比,再對每個選項進行分析判斷即可.【詳解】對于A,第四季度中,華為銷量大于50%,三星和蘋果總銷量之和低于華為的銷量,故A錯誤;對于B,蘋果第二季度的銷量大于蘋果第三季度的銷量,故B錯誤;對于C,第一季度銷量最大的是華為,故C錯誤;對于D,由圖知,四個季度華為的銷量都最大,所以華為的全年銷量最大,D正確,故選D.【點睛】本題主要考查百分比堆積圖的應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力,屬于中檔題.2.“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案:A3.若為圓的弦的中點,則直線的方程(
)A. B.
C. D.參考答案:A4.設(shè)集合,,則(A) (B)
(C)
(D)參考答案:【答案解析】A
解析:,,選A【思路點撥】先化簡集合M、N,然后再求.5.己知α∈(,π),sinα=
,則tan(α+)的值為(
)
A、7
B、-7
C、
D、-參考答案:答案:A6.已知A={x|,x∈R},B={x||x+1|<4,x>0},則AB=(
)A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)參考答案:C略7.已知中心在原點的橢圓C的右焦點為,離心率等于,則C的方程是()A. B. C. D.參考答案:D試題分析:由題意可知橢圓焦點在軸上,因而橢圓方程設(shè)為,可知,可得,又,可得,所以橢圓方程為.考點:橢圓的標準方程.8.已知平面向量,,若∥,則等于(
)A. B. C. D.參考答案:A9.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若,,則(
)A.16 B.14 C.12 D.10參考答案:A【分析】先由,求出,再由,即可求出結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列{}的前n項和為,且,所以,解得;又,所以.故選A【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計算,熟記等差數(shù)列的求和公式與通項公式,以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可,屬于基礎(chǔ)題型.10.如圖,正方形ABCD中,M是BC的中點,若=λ+μ,則λ+μ=()A. B. C. D.2參考答案:B【考點】向量在幾何中的應(yīng)用.【分析】根據(jù)向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義便可得出,帶入并進行向量的數(shù)乘運算便可得出,而,這樣根據(jù)平面向量基本定理即可得出關(guān)于λ,μ的方程組,解出λ,μ便可得出λ+μ的值.【解答】解:,,;∴===;∴由平面向量基本定理得:;解得;∴.故選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖,某地區(qū)有四個單位分別位于矩形ABCD的四個頂點,且AB=2km,BC=4km,四個單位商量準備在矩形空地中規(guī)劃一個三角形區(qū)域AMN種植花草,其中M,N分別在變BC,CD上運動,若∠MAN=,則△AMN面積的最小值為km2.參考答案:8﹣8【考點】三角函數(shù)的最值.【分析】設(shè)∠BAM=α,由題意可知,AM=,AN=,可求三角形面積,利用三角函數(shù)的恒等變換化簡得到S△AMN關(guān)于α的三角函數(shù),利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合α的范圍即可計算得解.【解答】解:設(shè)∠BAM=α,由題意可知,AM=,AN=,則S△AMN=AM?ANsin=×××=,當(dāng)α=22.5°時,三角形AMN面積最小,最小值為(8﹣8)km2.故答案為:8﹣8.【點評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,三角形的面積公式,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題.12.已知a,b均為正數(shù),且,的最小值為________.參考答案:【分析】本題首先可以根據(jù)將化簡為,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即、時取等號,故答案為:.【點睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.13.若對任意,,(、)有唯一確定的與之對應(yīng),稱為關(guān)于、的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實數(shù)、的廣義“距離”:(1)非負性:,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號;(2)對稱性:;(3)三角形不等式:對任意的實數(shù)z均成立.今給出個二元函數(shù):①;②;③;④.則能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號是__________.參考答案:①略14.不等式的解集是參考答案:(1,2)15.已知向量,夾角為,且||=1,||=,則||=_______.參考答案:16.若函數(shù)為奇函數(shù),則實數(shù)a的值為________.參考答案:a=0易證為奇函數(shù),又因為函數(shù)為奇函數(shù),所以為偶函數(shù).故
17.函數(shù)f(x)=3sin(2x﹣)的圖象為C,如下結(jié)論中正確的是.①圖象C關(guān)于直線x=π對稱;
②函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣,)內(nèi)是增函數(shù);③圖象C關(guān)于點(,0)對稱;
④由y=3sin2x圖象向右平移個單位可以得到圖象C.參考答案:①②③【考點】正弦函數(shù)的圖象.【分析】利用正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)依次判斷即可.【解答】解:函數(shù)f(x)=3sin(2x﹣)對于①:由對稱軸方程2x﹣=k,即x=,(k∈Z),當(dāng)k=1時,可得x=,∴①對.對于②:由≤2x﹣,解得:,(k∈Z),當(dāng)k=0時,可得區(qū)間(﹣,)是增函數(shù);∴②對.對于③:當(dāng)x=時,函數(shù)f()=3sin(2×﹣)=0,故得圖象C關(guān)于點(,0)對稱;∴③對.對于④:y=3sin2x圖象向右平移個單位,可得y=3sin2(x)=3sin(2x),得不到圖象C,∴④不對故答案為①②③.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖,圓柱O﹣O1中,AB為下底面圓O的直徑,CD為上底面圓O1的直徑,AB∥CD,點E、F在圓O上,且AB∥EF,且AB=2,AD=1.(Ⅰ)求證:平面ADF⊥平面CBF;(Ⅱ)若DF與底面所成角為,求幾何體EF﹣ABCD的體積.參考答案:【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積;平面與平面垂直的判定.【專題】計算題;數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化思想;空間位置關(guān)系與距離.【分析】(Ⅰ)利用已知條件證明BF⊥平面ADF,然后證明平面ADF⊥平面CBF.(Ⅱ)推出,求出四棱錐F﹣ABCD的高為,底面面積SABCD=2,求出體積,然后之后求解幾何體EF﹣ABCD的體積.【解答】(Ⅰ)證明:由已知,AF⊥BF,AD⊥BF,且AF∩AD=A,故BF⊥平面ADF,所以平面ADF⊥平面CBF.…(Ⅱ)解:因AD垂直于底面,若DF與底面所成角為,則,故AF=1,則四棱錐F﹣ABCD的高為,又SABCD=2,;三棱錐C﹣BEF的高為1,而△BEF中,BE=BF=1,∠BEF=120°,所以,則,所以幾何體EF﹣ABCD的體積為.…【點評】本題考查直線與平面垂直,平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,幾何體的體積的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力計算能力.19.已知直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù)),若以直角坐標系xOy的O點為極點,Ox方向為極軸,選擇相同的長度單位建立極坐標系,得曲線C的極坐標方程為ρ=2cos(θ﹣).(1)求直線l的傾斜角和曲線C的直角坐標方程;(2)若直線l與曲線C交于A,B兩點,設(shè)點P(0,),求|PA|+|PB|.參考答案:【考點】簡單曲線的極坐標方程;參數(shù)方程化成普通方程.【分析】(1)直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù)),消去參數(shù)t化為普通方程可得,進而得到傾斜角.由曲線C的極坐標方程得到:ρ2=2ρcos(θ﹣),利用ρ2=x2+y2,即可化為直角坐標方程.(2)將|PA|+|PB|轉(zhuǎn)化為求|AB|來解答.【解答】解(1)直線的斜率為,直線l傾斜角為…由曲線C的極坐標方程得到:ρ2=2ρcos(θ﹣),利用ρ2=x2+y2,得到曲線C的直角坐標方程為(x﹣)2+(y﹣)2=1…(2)點P(0,)在直線l上且在圓C內(nèi)部,所以|PA|+|PB|=|AB|…直線l的直角坐標方程為y=x+…所以圓心(,)到直線l的距離d=.所以|AB|=,即|PA|+|PB|=…20.已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為2.對任意的,是和的等比中項.,.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)若,求數(shù)列的通項公式.參考答案:(1)證明見解析;(2).試題分析:(1)要證明數(shù)列是等差數(shù)列,就是要證是常數(shù),為此通過可把用表示出來,利用是等差數(shù)列證明;(2)求通項公式,關(guān)鍵是求,由已知,再由等差數(shù)列的定義就可求得,從而得通項公式.
考點:等差數(shù)列的判斷,等差數(shù)列的通項公式.【名師點睛】等差數(shù)列的判斷方法.在解答題中常用:(1)定義法,對于任意的,證明為同一常數(shù);(2)等差中項法,證明();在選擇填空題中還可用:(3)通項公式法:證(為常數(shù))對任意的正整數(shù)成立;(4)前項和公式法:證(是常數(shù))對任意的正整數(shù)成立.21.
(本小題滿分10分)已知曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為,判斷兩曲線的位置關(guān)系.參考答案:將曲線化為直角坐標方程得:,----------------------------------------------------------------------3分-------------------------------------------------------------------6分即,圓心到直線的距離,-------------------------8分∴曲線相離.------
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