廣東省梅州市梅北中學2022-2023學年高三數學理模擬試題含解析

廣東省梅州市梅北中學2022-2023學年高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數（其中A>0,）的圖像如圖所示，為了得到的圖像，則只要將的圖像（

）A.向右平移個單位長度B.向右平移個單位長度

C.向左平移個單位長度

D.向左平移個單位長度

參考答案：A2.下列各坐標系中是一個函數與其導函數的圖象，其中一定錯誤的是（)

參考答案：C略3.已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．參考答案：A【考點】平面向量數量積的運算．【分析】根據條件對兩邊平方，從而可求出，這樣即可求出的值，進而求出的值．【解答】解：根據條件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故選：A．4.已知雙曲線的右焦點為F，P為雙曲線左支上一點，點，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．參考答案：B曲線右焦點為F，周長要使周長最小，只需最小，如圖：當三點共線時取到,故l=2|AF|+2a=

故選B

5.定義在上的函數滿足，當時，，則時，的最小值為A.

B.

C.

D.參考答案：C6.已知tanx=2，則1+2sin2x=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】三角函數的化簡求值；同角三角函數間的基本關系．

【專題】計算題；三角函數的求值．【分析】根據tanx=2，利用同角三角函數的商數關系算出cosx=sinx，代入sin2x+cos2x=1解出sin2x=，由此即可得出1+2sin2x的值．【解答】解：∵tanx=2，∴=2，得cosx=sinx．又∵sin2x+cos2x=1，∴sin2x+（sinx）2=1，得sin2x=1，解得sin2x=．由此可得1+2sin2x=1+2×=．故選：D【點評】本題給出x的正切之值，求1+2sin2x的值，著重考查了同角三角函數的基本關系等知識，屬于基礎題．7.已知，則sinθ﹣cosθ的值為(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】同角三角函數基本關系的運用．【專題】三角函數的求值．【分析】由條件求得2sinθcosθ=，再根據sinθ﹣cosθ=﹣，運算求得結果．【解答】解：∵已知，∴1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．故sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，故選B．【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系的應用，屬于基礎題．8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C程序運行過程中，各變量的值如下表示：

是否繼續(xù)循環(huán)

i

S

循環(huán)前

1

0

第一圈

是

2-1

第二圈

是

3

3第三圈

是

4-6第四圈

是

5

10第五圈

否故最后輸出的S值為109.現有四個函數：①；②；③；④的圖象（部分）如下：

則按照從左到右圖象對應的函數序號安排正確的一組是 A．①④②③ B．①④③②

C．④①②③

D．③④②①參考答案：A10.設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，下列命題正確的是(

)A．若，，則

B．若，，則C．若，，則 D．若，，則參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x值為4，則輸出的y值為．參考答案：2【考點】程序框圖．【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是計算并輸出y=的值，根據x的取值即可得解．【解答】解：模擬程序的運行，可得程序框圖的功能是計算并輸出y=的值，由于x=4＞1，可得：y=log24=2，則輸出的y值為2．故答案為：2．12.在△ABC中，點D是BC的中點，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，則△ABC的面積為．參考答案：2【考點】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】由題意畫出圖形并求出角A的值，根據正弦、余弦定理分別列出方程，化簡后求出邊AC、AB，由三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．【解答】解：如圖：設AB=c、AC=b，且BD=DC=，∵AD⊥AB，∠CAD=30°，∴AD2=7﹣c2，∠BAC=120°，在△ABC中，由正弦定理得，∴sinB===，在RT△ABD中，sinB===，∴AC=b=，在△ADC中，由余弦定理得，CD2=AD2+AC2﹣2?AD?AC?cos∠DAC，則7=7﹣c2+﹣2×××，化簡得，c2=4，則c=2，代入b=得，b=4，∴△ABC的面積S===2，故答案為：2．【點評】本題考查正弦、余弦定理，三角形的面積公式，考查了方程思想，以及化簡、計算能力，屬于中檔題．13.函數的部分圖像如圖，則=

。參考答案：14.復數（其中是虛數單位）的虛部為 .參考答案：15.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（1，σ2），若P（0＜X≤1）=0.3，則P（X≥2）=

．參考答案：0.2考點：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），得到曲線關于X=1稱，根據曲線的對稱性得到P（X≥2）=P（X≤0）=0.5﹣P（0＜X≤1），根據概率的性質得到結果．解答： 解：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），∴曲線關于X=1對稱，∴P（X≥2）=P（X≤0）=0.5﹣P（0＜X≤1）=0.2故答案為：0.2．點評：本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義、函數圖象對稱性的應用等基礎知識，屬于基礎題．16.設圓C位于拋物線與直線所圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內，則圓C的半徑能取到的最大值為

▲

.參考答案：-117.平面向量，則向量在向量方向上的投影為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知.(1）當，且有最小值2時，求的值；(2）當時，有恒成立，求實數的取值范圍.參考答案：（1），

又在單調遞增，

當，解得

當，

解得（舍去）

所以

(2），即

，，，，，依題意有

而函數

因為，，所以.19.已知函數f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函數f（x）單調遞增區(qū)間；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對數的底數），求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；絕對值不等式的解法．【分析】（1）求導數，利用導數的正負，可求函數f（x）單調區(qū)間；（2）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．【解答】解：（1）函數f（x）的定義域為R，f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（ax﹣1）lna，h'（x）=2+axln2a，當a＞0，a≠1時，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函數，…又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集為（0，+∞），f'（x）＜0的解集為（﹣∞，0），故函數f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞），單調減區(qū)間為（﹣∞，0）…（2）因為存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而當x∈[﹣1，1]時|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…又因為x，f'（x），f（x）的變化情況如下表所示：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）減函數極小值增函數所以f（x）在[﹣1，0]上是減函數，在[0，1]上是增函數，所以當x∈[﹣1，1]時，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max為f（﹣1）和f（1）中的最大值．…因為f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，令g（a）=a﹣﹣2lna（a＞0），因為g′（a）=＞0，所以g（a）=a﹣﹣2lna在a∈（0，+∞）上是增函數．而g（1）=0，故當a＞1時，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；當0＜a＜1時，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…所以，當a＞1時，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函數y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函數，解得a≥e；當0＜a＜1時，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函數y=+lna在a∈（0，1）上是減函數，解得0＜a≤．綜上可知，所求a的取值范圍為（0，]∪[e，+∞）．…20.已知函數．（Ⅰ）若在處取得極值，求實數的值；（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）由，得.經檢驗，當時取到極小值，故.（Ⅱ）由，即對任意恒成立.（1）當時，有；（2）當時，得令，得；若，則；若，則.得在上遞增，在上遞減。故的最大值為所以綜合（1）（2）得21.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點．（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱錐C﹣BC1D的體積．參考答案：（1）證明：連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．∵D為AC中點，得DO為△AB1C中位線，∴A1B∥OD．∵OD?平面AB1C，A1B?平面BC1D，∴直線AB1∥平面BC1D；（2）證明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中點∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=??6=9．考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．

專題：綜合題；空間位置關系與距離．分析：（1）連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．可得DO為△AB1C中位線，A1B∥OD，結合線面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中線BD⊥AC，結合線面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，證出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等體積轉換，即可求三棱錐C﹣BC1D的體積．解答：（1）證明：連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．∵D為AC中點，得DO為△AB1C中位線，∴A1B∥OD．∵OD?平面AB1C，A1B?平面BC1D，∴直線AB1∥平面BC1D；（2）證明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中點∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=??6=9．點評：本題給出直三棱柱，求證線面平行、面面垂直并探索三棱錐的體積，著重考查了空間線面平行