材料物理性能及測(cè)試

材料物理性能及測(cè)試化學(xué)與材料工程系第0章緒論材料性能的定義材料性能是一種用于表征材料在給定的外界條件下的行為的參量★有多少行為，就對(duì)應(yīng)地有多少性能?！?/p>

外界條件不同，相同的材料也會(huì)有不同的性能?！?/p>

性能必須量化，多數(shù)的性能都有量綱。從定義可以看出：物理性能力學(xué)性能化學(xué)性能

復(fù)雜性能

材料性能的劃分①?gòu)?fù)合性能②工藝性能③使用性能

①抗氧化性②耐腐蝕性③抗?jié)B入性①?gòu)?qiáng)度②延性③韌性④剛性①熱學(xué)性能②聲學(xué)性能③光學(xué)性能④電學(xué)性能⑤磁學(xué)性能⑥輻照性能按材料性能（功能）分類

機(jī)械性能高強(qiáng)材料、超硬材料、耐磨材料、韌性材料、摩擦材料等熱學(xué)性能耐火材料、絕熱材料（保溫材料）、傳熱材料、防火材料等化學(xué)性能耐腐蝕材料、防水材料、吸附材料、離子交換材料、催化劑載體、膠凝材料等光學(xué)性能電光材料、導(dǎo)光材料、透光材料、熒光材料、發(fā)光材料、感光材料、分光材料等電學(xué)性能絕緣材料、介電材料、壓電材料、鐵電材料、超導(dǎo)材料、半導(dǎo)體材料等

磁學(xué)性能磁性材料聲學(xué)性能隔聲材料、吸音材料等核物理性能放射性材料、反應(yīng)材料等生物性能骨科材料、齒科材料、生物陶瓷等

復(fù)合性能智能材料、梯度功能材料等材料性能研究的重要性

1.材料性能的研究，貫穿于整個(gè)人類的文明史此圖片說(shuō)明人類使用的材料，決定了人類的文明程序，實(shí)質(zhì)上，這里談的主要是材料的性能。材料性能研究的重要性

2.材料性能決定了材料用途如：絕緣基板材料，首先必須要具有一定的強(qiáng)度，以便能夠承載起安裝在其上的集成電路元件及布在其上的電路線，要有均勻而平滑的表面，以便進(jìn)行穿孔、開(kāi)槽等精密加工，從而能夠構(gòu)成細(xì)微而精密的圖形，應(yīng)有優(yōu)良的絕緣性能(尤其是在高頻下)，要有充分的導(dǎo)熱性，以迅速散發(fā)電路上因電流產(chǎn)生的熱，硅與基片的熱膨脹系數(shù)之差應(yīng)較小，從而保證基片與電路間良好的匹配性，電路與基片就不會(huì)剝離

3.材料性能的研究，有助于研究材料的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

如：根據(jù)nλ=2dsinθ，利用晶體對(duì)X-ray的衍射圖象，就可以推知晶體中面網(wǎng)間距d，進(jìn)而就可以分析晶體的結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)決定了性能，而性能則是內(nèi)部結(jié)構(gòu)某些方面的體現(xiàn)。

4.對(duì)陶瓷材料性能的要求，決定了陶瓷材料生產(chǎn)的工藝過(guò)程。如：石器：堅(jiān)硬，但難成型 陶器：容易成型，但很不堅(jiān)硬。目標(biāo)是：既要容易成型，又要具有堅(jiān)硬的特征?！岣哔|(zhì)量，這就是矛盾的統(tǒng)一體。解決改進(jìn)的途徑，由所要求的性能來(lái)決定。

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材料性能的研究，既是材料開(kāi)發(fā)的出發(fā)點(diǎn)，也是其重要?dú)w屬。

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材料性能的研究，有助于研究材料的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

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對(duì)材料性能的要求，決定了材料生產(chǎn)工藝。材料性能研究目的

現(xiàn)象與本質(zhì)

同一材料不同性能只是相同的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，在不同的外界條件下所表現(xiàn)出的不同行為。

這也說(shuō)明，不同的外界條件下，材料的性能是不同的，即一種材料有多種性能。材料性能研究注意問(wèn)題

材料性能的劃分只是為了學(xué)習(xí)和研究的方便。要注意材料間的各種性能既有區(qū)別，又有聯(lián)系。材料性能研究注意問(wèn)題

研究材料性能，要注意性能的復(fù)合與轉(zhuǎn)換。材料性能研究注意問(wèn)題

研究材料性能，要注意性能的發(fā)展與改造。陶瓷科學(xué)與技術(shù)是研究無(wú)機(jī)非金屬材料合成與制備、組成與結(jié)構(gòu)、性能與使用效果四者關(guān)系的科學(xué)。使用效能性能組成與結(jié)構(gòu)合成與制備工藝材料科學(xué)與工程研究對(duì)象間的關(guān)系陶瓷科學(xué)偏重于研究材料的合成與制備、組成與結(jié)構(gòu)、性能及使用效能各組元本身及其相互關(guān)系.。陶瓷工程則著重于研究如何利用這些規(guī)律性的研究成果去研制、開(kāi)發(fā)關(guān)生產(chǎn)新材料、新產(chǎn)品。陶瓷材料的特點(diǎn)：塑性差、硬度高、加工性能差。制備特點(diǎn)：不是生產(chǎn)大量不同品種與規(guī)格的原料材料，而是直接生產(chǎn)成產(chǎn)品走向市場(chǎng)。要求更高：具備材料的知識(shí)，還要具備機(jī)械設(shè)計(jì)與機(jī)械加工的知識(shí)。要強(qiáng)調(diào)跨學(xué)科。綜合性的科學(xué)與工程方面的研究。陶瓷材料在工程應(yīng)用中應(yīng)注意的問(wèn)題：

脆性大、塑韌性低：要注意低應(yīng)力下的失效，注意安全性與可靠性。

成本與應(yīng)用：僅數(shù)千元的鐵質(zhì)柴油機(jī)，若用全陶瓷，其價(jià)格要提高2～3個(gè)數(shù)量級(jí)。

強(qiáng)度設(shè)計(jì)與材料的合理使用：抗拉強(qiáng)度差，但抗壓強(qiáng)度卻很高。要盡可能地用其長(zhǎng)處。我國(guó)陶瓷發(fā)展簡(jiǎn)史－－陶器經(jīng)驗(yàn)方法在大量占有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)據(jù)的分析處理，整理為經(jīng)驗(yàn)方程，用以表示它們的函數(shù)關(guān)系。

學(xué)習(xí)研究方法理論方法從機(jī)理著手，即從反映本質(zhì)的基本關(guān)系出發(fā)，按照性能的有關(guān)規(guī)律、建立物理模型，用數(shù)學(xué)方法求解，得到有關(guān)理論方程式。

學(xué)習(xí)研究方法課前預(yù)習(xí)：包括一些普通物理知識(shí)；要認(rèn)真作筆記：能力+考核；自己完成作業(yè)，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)的效果+考核。注意復(fù)習(xí)和閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，撰寫(xiě)相關(guān)專業(yè)論文。要求：1.力學(xué)性能：應(yīng)力、應(yīng)變、脆性斷裂、強(qiáng)度等。2.熱學(xué)性能：熱容、熱膨脹、熱傳導(dǎo)、熱穩(wěn)定性等。3.光學(xué)性能：透光性、反射性、顏色等。4.電學(xué)性能：導(dǎo)電性和介電性。5.磁學(xué)性能：磁性理論和鐵氧體的磁性與結(jié)構(gòu)。

學(xué)習(xí)內(nèi)容該課共32個(gè)學(xué)時(shí)

上課15次課復(fù)習(xí)1次課程安排

晶體結(jié)構(gòu)：原子規(guī)則排列，主要體現(xiàn)是原子排列具有周期性，或者稱長(zhǎng)程有序。有此排列結(jié)構(gòu)的材料為晶體。晶體中原子、分子規(guī)則排列的結(jié)果使晶體具有規(guī)則的幾何外形，X射線衍射已證實(shí)這一結(jié)論。非晶體結(jié)構(gòu)：不具有長(zhǎng)程有序。有此排列結(jié)構(gòu)的材料為非晶體。了解固體結(jié)構(gòu)的意義：固體中原子排列形式是研究固體材料宏觀性質(zhì)和各種微觀過(guò)程的基礎(chǔ)。晶體結(jié)構(gòu)固體的結(jié)構(gòu)分為：非晶體結(jié)構(gòu)多晶體結(jié)構(gòu)1.1晶體結(jié)構(gòu)1.1.1空間點(diǎn)陣1.1.2密勒指數(shù)1.1.3倒格子晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)概括為是由一些相同點(diǎn)子在空間有規(guī)則作周期性無(wú)限分布，這些點(diǎn)子的總體稱為點(diǎn)陣。（該學(xué)說(shuō)正確地反映了晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)長(zhǎng)程有序特征，后來(lái)被空間群理論充實(shí)發(fā)展為空間點(diǎn)陣學(xué)說(shuō)，形成近代關(guān)于晶體幾何結(jié)構(gòu)的完備理論。）1.1.1空間點(diǎn)陣一、布喇菲的空間點(diǎn)陣學(xué)說(shuō)關(guān)于結(jié)點(diǎn)的說(shuō)明：

當(dāng)晶體是由完全相同的一種原子組成，結(jié)點(diǎn)可以是原子本身位置。當(dāng)晶體中含有數(shù)種原子，這數(shù)種原子構(gòu)成基本結(jié)構(gòu)單元（基元），結(jié)點(diǎn)可以代表基元重心，原因是所有基元的重心都是結(jié)構(gòu)中相同位置，也可以代表基元中任意點(diǎn)子結(jié)點(diǎn)示例圖1.點(diǎn)子空間點(diǎn)陣學(xué)說(shuō)中所稱的點(diǎn)子，代表著結(jié)構(gòu)中相同的位置，也為結(jié)點(diǎn)，也可以代表原子周圍相應(yīng)點(diǎn)的位置。晶體由基元沿空間三個(gè)不同方向，各按一定的距離周期性地平移而構(gòu)成，基元每一平移距離稱為周期。在一定方向有著一定周期，不同方向上周期一般不相同?；揭平Y(jié)果：點(diǎn)陣中每個(gè)結(jié)點(diǎn)周圍情況都一樣。2.點(diǎn)陣學(xué)說(shuō)概括了晶體結(jié)構(gòu)的周期性3.晶格的形成通過(guò)點(diǎn)陣中的結(jié)點(diǎn)，可以作許多平行的直線族和平行的晶面族，點(diǎn)陣成為一些網(wǎng)格------晶格。

平行六面體原胞概念的引出：

由于晶格周期性，可取一個(gè)以結(jié)點(diǎn)為頂點(diǎn)，邊長(zhǎng)等于該方向上的周期的平行六面體作為重復(fù)單元，來(lái)概括晶格的特征。即每個(gè)方向不能是一個(gè)結(jié)點(diǎn)（或原子）本身，而是一個(gè)結(jié)點(diǎn)（或原子）加上周期長(zhǎng)度為a的區(qū)域，其中a叫做基矢。這樣的重復(fù)單元稱為原胞。原胞（重復(fù)單元）的選取規(guī)則

反映周期性特征：只需概括空間三個(gè)方向上的周期大小，原胞可以取最小重復(fù)單元（物理學(xué)原胞），結(jié)點(diǎn)只在頂角上。反映對(duì)稱性特征：晶體都具有自己特殊對(duì)稱性。結(jié)晶學(xué)上所取原胞體積不一定最小，結(jié)點(diǎn)不一定只在頂角上，可以在體心或面心上（晶體學(xué)原胞）；原胞邊長(zhǎng)總是一個(gè)周期，并各沿三個(gè)晶軸方向；原胞體積為物理學(xué)原胞體積的整數(shù)倍數(shù)。引出物理學(xué)原胞的意義：三維格子的周期性可用數(shù)學(xué)的形式表示如下：T(r)=T(r+l1a1+l2a2+l2a3)r為重復(fù)單元中任意處的矢量；T為晶格中任意物理量；l1、l2、l3是整數(shù)，a1、a2、a3是重復(fù)單元的邊長(zhǎng)矢量。為進(jìn)行固體物理學(xué)中的計(jì)算帶來(lái)很大的方便。位矢RrR+r布喇菲點(diǎn)陣的特點(diǎn)：每點(diǎn)周圍情況都一樣。是由一個(gè)結(jié)點(diǎn)沿三維空間周期性平移形成，為了直觀，可以取一些特殊的重復(fù)單元（結(jié)晶學(xué)原胞）。

完全由相同的一種原子組成，則這種原子組成的網(wǎng)格為不喇菲格子，和結(jié)點(diǎn)所組成的網(wǎng)格相同。

晶體的基元中包含兩種或兩種以上原子，每個(gè)基元中，相應(yīng)的同種原子各構(gòu)成和結(jié)點(diǎn)相同網(wǎng)格----子晶格（或亞晶格）。

復(fù)式格子（或晶體格子）是由所有相同結(jié)構(gòu)子晶格相互位移套構(gòu)形成。4.結(jié)點(diǎn)的總體------布喇菲點(diǎn)陣或布喇菲格子晶體格子（簡(jiǎn)稱晶格）：晶體中原子排列的具體形式。原子規(guī)則堆積的意義：把晶格設(shè)想成為原子規(guī)則堆積，有助于理解晶格組成，晶體結(jié)構(gòu)及與其有關(guān)的性能等。二、晶格的實(shí)例1.簡(jiǎn)單立方晶格2.體心立方晶格3.原子球最緊密排列的兩種方式特點(diǎn)：層內(nèi)為正方排列，是原子球規(guī)則排列的最簡(jiǎn)單形式；原子層疊起來(lái)，各層球完全對(duì)應(yīng)，形成簡(jiǎn)單立方晶格；這種晶格在實(shí)際晶體中不存在，但是一些更復(fù)雜的晶格可以在簡(jiǎn)單立方晶格基礎(chǔ)上加以分析。原子球的正方排列簡(jiǎn)單立方晶格典型單元????????1.簡(jiǎn)單立方晶格簡(jiǎn)單立方晶格的原子球心形成一個(gè)三維立方格子結(jié)構(gòu)，整個(gè)晶格可以看作是這樣一個(gè)典型單元沿著三個(gè)方向重復(fù)排列構(gòu)成的結(jié)果。????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????簡(jiǎn)單立方晶格單元沿著三個(gè)方向重復(fù)排列構(gòu)成的圖形2.體心立方晶格?????????體心立方晶格的典型單元排列規(guī)則：層與層堆積方式是上面一層原子球心對(duì)準(zhǔn)下面一層球隙，下層球心的排列位置用A標(biāo)記，上面一層球心的排列位置用B標(biāo)記，體心立方晶格中正方排列原子層之間的堆積方式可以表示為：ABABABAB…體心立方晶格的堆積方式體心立方晶格的特點(diǎn)：為了保證同一層中原子球間的距離等于A-A層之間的距離，正方排列的原子球并不是緊密靠在一起；由幾何關(guān)系證明，間隙=0.31r0，r0為原子球的半徑。具有體心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬：Li、Na、K、Rb、Cs、Fe等，密排面：原子球在該平面內(nèi)以最緊密方式排列。堆積方式：在堆積時(shí)把一層的球心對(duì)準(zhǔn)另一層球隙，獲得最緊密堆積，可以形成兩種不同最緊密晶格排列。ABABAB排列（六角密排晶格）ABCABCABC排列（立方密堆）3.原子球最緊密排列的兩種方式前一種為六角密排晶格，（如Be、Mg、Zn、Cd），后一種晶格為立方密排晶格，或面心立方晶格（如Cu、Ag、Au、Al）面心立方晶格（立方密排晶格）面心（111）以立方密堆方式排列面心立方晶體（立方密排晶格）六方密堆晶格的原胞、布喇菲格子與復(fù)式格子把基元只有一個(gè)原子的晶格，叫做布喇菲格子；把基元包含兩個(gè)或兩個(gè)以上原子的，叫做復(fù)式格子。注：如果晶體由一種原子構(gòu)成，但在晶體中原子周圍的情況并不相同（例如用X射線方法，鑒別出原子周圍電子云的分布不一樣），則這樣的晶格雖由一種原子組成，但不是不喇菲格子，而是復(fù)式格子。原胞中包含兩個(gè)原子。1.氯化鈉結(jié)構(gòu)表示鈉表示氯鈉離子與氯離子分別構(gòu)成面心立方格子，氯化鈉結(jié)構(gòu)是由這兩種格子相互平移一定距離套購(gòu)而成。2.氯化銫結(jié)構(gòu)表示Cs

。

表示Cl3.鈣鈦礦型結(jié)構(gòu)?°????????°°表示Ba°表示O?表示Ti結(jié)晶學(xué)原胞氧八面體????????°°????????°°????????°°??????基元中任意點(diǎn)子或結(jié)點(diǎn)作周期性重復(fù)的晶體結(jié)構(gòu)復(fù)式原胞重復(fù)的晶體結(jié)構(gòu)????????????????????????????????°°????????°°????????°°??????????????°°五個(gè)子晶胞°°°°注：結(jié)點(diǎn)的概念以及結(jié)點(diǎn)所組成的布喇菲格子的概念，對(duì)于反映晶體中的周期性是很有用的?；胁煌铀鶚?gòu)成的集體運(yùn)動(dòng)?？筛爬閺?fù)式格子中各個(gè)子晶格之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。固體物理在討論晶體內(nèi)部粒子的集體運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)于基元中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上原子的晶體，復(fù)式格子的概念顯得重要，四、結(jié)晶學(xué)原胞與固體物理學(xué)原胞間的相互轉(zhuǎn)化???????????????????????????????簡(jiǎn)立方體立方面心立方立方晶系布喇菲原胞原胞的基矢為：

a1=ia,a2=ja,a3=ka結(jié)晶學(xué)中，屬于立方晶系的布喇菲原胞有簡(jiǎn)立方、體心立方和面心立方。1.簡(jiǎn)立方2.體心立方固體物理學(xué)的原胞基矢與結(jié)晶學(xué)原胞基矢的關(guān)系：

a1=(-i+j+k)a\2a2=(k+i-j)a\2a3=(i+j-k)a\2體積關(guān)系：結(jié)晶學(xué)原胞的體積是物理學(xué)原胞的2倍。原因是結(jié)晶學(xué)原胞中含有兩個(gè)原子，而物理學(xué)原胞中含有一個(gè)原子。R=l1a1+l2a2+l2a3R=2a1+a2+a3R物理=a2+a3R結(jié)晶=(1/2)a+(1/2)a+a=(1/2)(a+a+2a)3.面心立方a1a2a34.六角密堆固體物理學(xué)的原胞基矢與結(jié)晶學(xué)原胞基矢的關(guān)系：

a1=(j+k)a\2a2=(k+i)a\2a3=(i+j)a\2體積關(guān)系：結(jié)晶學(xué)原胞的體積是物理學(xué)原胞的4倍。原因是結(jié)晶學(xué)原胞中含有4個(gè)原子，而物理學(xué)原胞中含有一個(gè)原子。1.1.2密勒指數(shù)一、晶列

通過(guò)任意兩個(gè)格點(diǎn)連一直線，則這一直線包含無(wú)限個(gè)相同格點(diǎn)，這樣的直線稱為晶列，也是晶體外表上所見(jiàn)的晶棱。其上的格點(diǎn)分布具有一定的周期------任意兩相鄰格點(diǎn)的間距。晶列的特點(diǎn)：（1）一族平行晶列把所有點(diǎn)包括無(wú)遺。（2）在一平面中，同族的相鄰晶列之間的距離相等。（3）通過(guò)一格點(diǎn)可以有無(wú)限多個(gè)晶列，其中每一晶列都有一族平行的晶列與之對(duì)應(yīng)。（4）有無(wú)限多族平行晶列。-。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

晶面的特點(diǎn)：（1）通過(guò)任一格點(diǎn)，可以作全同的晶面與一晶面平行，構(gòu)成一族平行晶面.（2）所有的格點(diǎn)都在一族平行的晶面上而無(wú)遺漏；（3）一族晶面平行且等距，各晶面上格點(diǎn)分布情況相同；（4）晶格中有無(wú)限多族的平行晶面。二、晶面三、晶向一族晶列的特點(diǎn)是晶列的取向，該取向?yàn)榫颍煌瑯右蛔寰娴奶攸c(diǎn)也由取向決定，因此無(wú)論對(duì)于晶列或晶面，只需標(biāo)志其取向。注：為明確起見(jiàn)，下面仍只討論物理學(xué)的不喇菲格子。任一格點(diǎn)A的位矢Rl為

Rl=l1a1+l2a2+l3a3式中l(wèi)1、l2、l3是整數(shù)。若互質(zhì)，直接用他們來(lái)表征晶列OA的方向（晶向），這三個(gè)互質(zhì)整數(shù)為晶列的指數(shù)，記以[l1，l2，l3]同樣，在結(jié)晶學(xué)上，原胞不是最小的重復(fù)單元，而原胞的體積是最小重復(fù)簡(jiǎn)單整數(shù)倍，以任一格點(diǎn)o為原點(diǎn)，a、b、c為基矢，任何其他格點(diǎn)A的位矢為kma+knb+kpc其中m、n、p為三個(gè)互質(zhì)整數(shù)，于是用m、n、p來(lái)表示晶列OA的方向，記以[nmp]。1.晶列指數(shù)（晶列方向的表示方法）ORlAa1a2a3表示晶面的方法，即方位：在一個(gè)坐標(biāo)系中用該平面的法線方向的余弦；或表示出這平面在座標(biāo)軸上的截距。a1a2a3設(shè)這一族晶面的面間距為d，它的法線方向的單位矢量為n，則這族晶面中，離開(kāi)原點(diǎn)的距離等于d的晶面的方程式為：

R?n=d為整數(shù)；R是晶面上的任意點(diǎn)的位矢。R2.密勒指數(shù)（晶面方向的表示方法）設(shè)此晶面與三個(gè)座標(biāo)軸的交點(diǎn)的位矢分別為ra1、sa2、ta3,代入上式，則有

ra1cos(a1,n)=d

sa2cos(a2,n)=dta3cos(a3,n)=da1、a2、a3取單位長(zhǎng)度，則得cos(a1,n)：cos(a2,n)：cos(a3,n)=1\r：1\s：1\t結(jié)論：晶面的法線方向n與三個(gè)坐標(biāo)軸（基矢）的夾角的余弦之比等于晶面在三個(gè)軸上的截距的倒數(shù)之比。已知一族晶面必包含所有的格點(diǎn)，因此在三個(gè)基矢末端的格點(diǎn)必分別落在該族的不同的晶面上。設(shè)a1、a2、a3的末端上的格點(diǎn)分別在離原點(diǎn)的距離為h1d、h2d、h3d的晶面上，其中h1、h2、h3都是整數(shù)，三個(gè)晶面分別有

a1?n=h1d,a2?n=h2d,a3?n=h3dn是這一族晶面公共法線的單位矢量，于是

a1cos(a1,n)=h1d

a2cos(a2,n)=h2da3cos(a3,n)=h3d證明截距的倒數(shù)之比為整數(shù)之比cos(a1,n)：cos(a2,n)：cos(a3,n)=h1：h2：h3結(jié)論：晶面族的法線與三個(gè)基矢的夾角的余弦之比等于三個(gè)整數(shù)之比?？梢宰C明：h1、h2、h3三個(gè)數(shù)互質(zhì)，稱它們?yōu)樵摼孀宓拿嬷笖?shù)，記以（h1h2h3）。即把晶面在座標(biāo)軸上的截距的倒數(shù)的比簡(jiǎn)約為互質(zhì)的整數(shù)比，所得的互質(zhì)整數(shù)就是面指數(shù)。幾何意義：在基矢的兩端各有一個(gè)晶面通過(guò)，且這兩個(gè)晶面為同族晶面，在二者之間存在hn個(gè)晶面，所以最靠近原點(diǎn)的晶面（=1）在坐標(biāo)軸上的截距為a1/h1、a2/h2、a3/h3,同族的其他晶面的截距為這組截距的整數(shù)倍。實(shí)際工作中，常以結(jié)晶學(xué)原胞的基矢a、b、c為坐標(biāo)軸來(lái)表示面指數(shù)。在這樣的坐標(biāo)系中，標(biāo)征晶面取向的互質(zhì)整數(shù)稱為晶面族的密勒指數(shù)，用(hkl)表示。例如：有一ABC面，截距為4a、b、c,截距的倒數(shù)為1/4、1、1，它的密勒指數(shù)為（1，4，4）。另有一晶面，截距為2a、4b、c,截距的倒數(shù)為1/2、1/4、0，它的密勒指數(shù)為（2、1、0）。簡(jiǎn)單晶面指數(shù)的特點(diǎn)：

晶軸本身的晶列指數(shù)特別簡(jiǎn)單，為[100]、[010]、[001]；

晶體中重要的帶軸的指數(shù)都是簡(jiǎn)單的；

晶面指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面如（110）、（111）是重要的晶面；

晶面指數(shù)越簡(jiǎn)單的晶面，面間距d就越大，格點(diǎn)的面密度大，易于解理；

格點(diǎn)的面密度大，表面能小，在晶體生長(zhǎng)過(guò)程中易于顯露在外表；對(duì)X射線的散射強(qiáng)，在X射線衍射中，往往為照片中的濃黑斑點(diǎn)所對(duì)應(yīng)。1.1.3倒格子條件：X射線源、觀測(cè)點(diǎn)與晶體的距離都比晶體的線度大的多，入射線和衍射線可看成平行光線；散射前后的波長(zhǎng)不變,且為單色。一、從X射線衍射方程反射公式引出倒格矢概念CO=-Rl·S0OD=Rl·S衍射加強(qiáng)條件：Rl·（S－S0）=有：ko=(2/)S0k=(2/)S得：Rl·（k－k0）=2設(shè)：k－k0=nKhk－k0=nKh的物理意義：當(dāng)入射波矢和衍射波矢相差一個(gè)或幾個(gè)Kh（倒格矢）時(shí)，滿足衍射加強(qiáng)條件，n為衍射級(jí)數(shù)。1.衍射方程CRlD衍射線單位基矢SOA入射線單位基矢S0晶面2.反射公式|k－k0|=2|S/

-S0/

|

=(4/)sin|k－k0|

=|nKh|=2n/dh1h2h3

|

Kh|=2/dh1h2h3PATAPQQSd入射線與反射線之間的光程差：=SA+AT=2dsin滿足衍射方程：2dh1h2h3sin=nk－k0kk0設(shè)一晶格的基矢為a1、a2、a3，有如下的關(guān)系：b1=

2(a2a3)\說(shuō)明b1垂直于a2和a3所確定的面；

b2=2(a3a1)\說(shuō)明b2垂直于a3和a1所確定的面

b3=2(a1a2\說(shuō)明b3垂直于a1和a2所確定的面

式中：=a1·(

a2a3)為晶格原胞的體積。二、倒格子的概念1.倒格子的數(shù)學(xué)定義倒格子：以b1、b2、b3為基矢的格子是以a1、a2、a3為基矢的格子的倒格子。（1）正格子基矢和倒格子基矢的關(guān)系2.正格子與倒格子的幾何關(guān)系=2(i=j)ai·bj=2ij

=0(ij)證明如下：a1·b1=2

a1·(

a2a3)/a1·(

a2a3)=2

因?yàn)榈垢褡踊概c不同下腳標(biāo)的正格子基矢垂直，有：

a2·b1=0a3·b1=0

（2）除（2）3因子外，正格子原胞體積和倒格子原胞體積*互為倒數(shù)。

*=b1·(

b2b3)=(2）3/

表示正格點(diǎn)表示倒格點(diǎn)ABC為一族晶面（h1h2h3）中的最靠近原點(diǎn)的晶面，與kh垂直a1a2a3BCAkha1/h1a3/h3a2/h2（3）正格子中一族晶面（h1h2h3）和倒格矢

kh=h1b1+h2b2+h3b3正交，即晶面的彌勒指數(shù)是垂直于該晶面的最短倒格矢坐標(biāo).由（3）、（4）可知，一個(gè)倒格矢代表正格子中的一族平行晶面

。

晶面族（h1h2h3）中離原點(diǎn)的距離為dh1h2h3的晶面的方程式可寫(xiě)成：Rl·kh/|kh|=dh1h2h3

(=0,±1,±2,……)得出正格矢和倒格矢的關(guān)系：Rl

·kh=2

結(jié)論：如果兩矢量的關(guān)系：Rl

·kh=2，則其中一個(gè)為正格子，另一個(gè)必為倒格子；即正格矢和倒格矢恒滿足正格矢和倒格矢的關(guān)系。（4）倒格矢的長(zhǎng)度正比于晶面族（h1h2h3）的面間距的倒數(shù)。dh1h2h3=a1/h1·kh/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2/|kh|結(jié)論：倒格矢Kh垂直某一晶面（h1h2h3），也即該晶面的法線方向與此倒格矢方向一致。倒格矢Kh的大小與和其垂直的晶面間距成正比。一個(gè)倒格矢對(duì)應(yīng)一族晶面，但一族晶面可以對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)倒格矢，這些倒格矢的方向一致，大小為最小倒格矢的整數(shù)倍。滿足X射線衍射的一族晶面產(chǎn)生一個(gè)斑點(diǎn)，該斑點(diǎn)代表一個(gè)倒格點(diǎn)，即該倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)一族晶面指數(shù)。k－k0=nKh的物理意義：當(dāng)入射波矢和衍射波矢相差一個(gè)或幾個(gè)倒格矢Kh時(shí)，則該族晶面（h1h2h3）滿足衍射加強(qiáng)條件，n為衍射級(jí)數(shù)。從2dh1h2h3sin=n中可知：對(duì)于某一個(gè)確定的晶面族，要滿足衍射加強(qiáng)條件，可以改變?nèi)肷洳ㄊ傅姆较?，即改變，或改變?nèi)肷洳ㄊ傅拇笮?，即改變。b1a1=2b2

a2=2a2a1b1b2Kl|Kl|=[(3b1)2+4b2)2]1/2=[(32/a1)2+42/a2)2]1/2面間距：d=2/|Kl|=[(6/a1)2+(8/a2)2]1/2RlOABRl=l1a1+l2a2+l3a3Kl=l1b1+l2b2+l3b3Rl=5a1+2a2Kl=3b1+4b2證明：3b1+4b2

(34)有：AB=OA-OB=a1/3-a2/4AB(3b1+4b2

)=(a1/3-a2/4)(3b1+4b2

)=a1b1-a2b2a1b1=0例如利用倒易點(diǎn)陣（倒格子）與正格子間的關(guān)系導(dǎo)出晶面間距和晶面夾角。

晶面間距dh1h2h3：dh1h2h3=2/|kh1h2h3|

兩邊開(kāi)平方，將kh1h2h3=h1b1+h2b2+h3b3及正倒格子的基矢關(guān)系代入，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到面間距公式。晶面夾角：

k1·k2=k1

k2

COS100200300001002003101201301103202203(100)(001)(102)O倒格子與正格子間的相互轉(zhuǎn)化1020b1b2一維格子倒格子原胞：作由原點(diǎn)出發(fā)的諸倒格矢的垂直平分面，這些平面完全封閉形成的最小的多面體（體積最?。?-----第一布里淵區(qū)。b1b20二維格子3.倒格子原胞和布里淵區(qū)????ab????構(gòu)成第一布里淵區(qū)（簡(jiǎn)約布里淵區(qū)）的垂直平分線的方程式如下：

x=±/a及

y=±/a第二布里淵區(qū)的各個(gè)部分分別平移一個(gè)倒格矢，可以同第一區(qū)重合。第三布里淵區(qū)的各個(gè)部分分別平移適當(dāng)?shù)牡垢袷敢材芡谝粎^(qū)重合。

(2/a)i-(2/a)i(2/a)j-(2/a)j4.X射線衍射與倒格子、布里淵區(qū)的關(guān)系（1）X射線衍射與倒格子的關(guān)系根據(jù)公式：k－k0=nKh,建立反射球或衍射球入射線的波矢k0反射線的波矢k倒格矢KhOCA晶面反射球Rl·kh/|kh|=dh1h2h3Rl.(k－k0）=2dh1h2h3=2/|kh1h2h3|（h1h2h3）（h1′

h2′

h3′

）建立反射球的意義通過(guò)所建立的反射球，把晶格的衍射條件和衍射照片上的斑點(diǎn)直接聯(lián)系起來(lái)。利用反射球求出某一晶面族發(fā)生衍射的方向（若反射球上的A點(diǎn)是一個(gè)倒格點(diǎn)，則CA就是以O(shè)A為倒格矢的一族晶面h1h2h3的衍射方向S）。OC倒格矢球面與反射球相交于一圓同一晶面由于晶體的旋轉(zhuǎn)引起該晶面倒格矢的旋轉(zhuǎn)從而形成倒格矢球面。結(jié)論：所有落在此球上的倒格點(diǎn)都滿足關(guān)系式:k－k0=nKh即滿足衍射加強(qiáng)條件。衍射線束的方向是C點(diǎn)至A點(diǎn)的聯(lián)線方向。第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)二維正方格子的布里淵區(qū)

(2/a)i-(2/a)i(2/a)j-(2/a)j（2）X射線衍射與布里淵區(qū)的關(guān)系結(jié)論：

入射波矢從倒格子原點(diǎn)出發(fā)終止在布里淵區(qū)邊界，該對(duì)應(yīng)的入射波滿足衍射條件k－k0=nKh。復(fù)式格子（幾個(gè)子晶格）子晶格復(fù)式原胞基矢子原胞固體物理學(xué)原胞平行六面體最小重復(fù)單元基矢多原子周期性晶格結(jié)點(diǎn)基元空間點(diǎn)陣晶列晶面單原子晶向?qū)ΨQ性晶格面指數(shù)晶列指數(shù)最小重復(fù)單元的布喇菲格子（正格子）倒格子倒格矢結(jié)晶學(xué)原胞布喇菲原胞子原胞復(fù)式原胞基矢

幾倍晶體結(jié)構(gòu)中的概念體系

晶體的基本特征是結(jié)構(gòu)具有周期性。用空間點(diǎn)陣概括周期性，空間點(diǎn)陣是由R

=l1a1+l2a2+l3a3的點(diǎn)的集合組成的點(diǎn)陣。

布喇菲格子的最主要特征是每個(gè)格點(diǎn)周圍的情況都一樣。對(duì)于多個(gè)原子組成的“分子”，將其看作基元。真實(shí)的晶體結(jié)構(gòu)是由點(diǎn)陣+基元構(gòu)成。晶體結(jié)構(gòu)的周期性重復(fù)單元稱為原胞。最小的重復(fù)單元是固體物理學(xué)原胞（包含一個(gè)原子或一個(gè)“分子”），最小單元的整數(shù)倍是結(jié)晶學(xué)原胞（包含多個(gè)原子或多個(gè)“分子”）。由周圍情況相同的原子組成的格子為子晶胞，子晶胞相互沿空間移動(dòng)（套購(gòu)）形成的晶胞為復(fù)式格子。

晶體中的晶面用密勒指數(shù)表示。

重要的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)有體心立方、面心立方、六角密堆、氯化鈉、氯化銫、金剛石結(jié)構(gòu)。小結(jié)

每個(gè)晶體結(jié)構(gòu)有兩個(gè)點(diǎn)陣同它聯(lián)系：晶體點(diǎn)陣和倒格子點(diǎn)陣，正格子點(diǎn)陣是真實(shí)空間的點(diǎn)陣，倒格子點(diǎn)陣是在波矢空間的點(diǎn)陣。結(jié)晶學(xué)家喜歡用正格子，而物理學(xué)家喜歡用倒格子，因?yàn)樗跀?shù)學(xué)處理上具有優(yōu)越性。

兩個(gè)點(diǎn)陣的基矢具有一定的幾何關(guān)系（包括方向、大小）。

倒格子原胞的選?。鹤饔稍c(diǎn)出發(fā)的諸倒格矢的垂直平分面，為這些平面所完全封閉的最小體積------第一布里淵區(qū)。其體積與正格子體積成正比。倒格子中的一個(gè)格點(diǎn)與正格子中的一族晶面相對(duì)應(yīng)。

衍射條件：入射波矢和反射波矢之差為該平面族所對(duì)應(yīng)的倒格矢的整數(shù)倍。

晶體衍射的過(guò)程就是把正格子中一族晶面轉(zhuǎn)化為倒格子中的一點(diǎn)的過(guò)程。1.2.1晶體結(jié)合的類型1.2.2結(jié)合力1.2晶體的結(jié)合結(jié)合力的不同可以將其分成五個(gè)典型的結(jié)合類型:離子晶體原子晶體金屬晶體分子晶體氫鍵晶體1.2.1晶體的結(jié)合類型I-VII族組成的晶體是典型的離子晶體，如：NaCI、CsCI；II-VI族化合物可以看作離子晶體，如：CdS、ZnS。一、離子晶體1.類型剛球模型：組成離子晶體的原子在得失電子后，電子組態(tài)與惰性原子的電子組態(tài)一樣，這種電子殼層結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的，具有球形對(duì)稱性，由此可以把正負(fù)離子作為鋼球來(lái)處理。2.基本概念結(jié)合力：正負(fù)離子間的靜電庫(kù)侖力。配位體：離子的最鄰近的異種離子。配位數(shù)：異種離子的總數(shù)。晶體的結(jié)合能Eb：晶體由N個(gè)原子組成，這些原子的在自由時(shí)的總能量EN與晶體處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的能量（動(dòng)能和勢(shì)能）E0之差。晶體結(jié)合能的意義：結(jié)合能對(duì)了解組成晶體的粒子間相互作用的本質(zhì)，為探索新材料的合成提供了理論指導(dǎo)。

(1）氯化鈉型是由兩種面心立方結(jié)構(gòu)的離子沿晶軸平移1/2間距而成，配位數(shù)為6。NaCI、KCI、AgBr、PbS、MgO等皆屬此類；(2）氯花銫型是由兩種簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)的離子沿空間對(duì)角線位移1/2長(zhǎng)度套購(gòu)而成，配位數(shù)為8。TiBr、TiI等皆屬此類。3.晶格復(fù)式格子。4.典型的離子晶體結(jié)構(gòu)（3）離子結(jié)合成分較大的半導(dǎo)體材料ZnS等，是由兩種各為面心立方結(jié)構(gòu)的離子沿空間對(duì)角線位移1/4程度套購(gòu)而成的閃鋅礦結(jié)構(gòu)，配位數(shù)為4。結(jié)合能的數(shù)量級(jí)約在800kJ/mol，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定導(dǎo)致4.特性導(dǎo)電性能差、熔點(diǎn)高、硬度高、熱膨脹系數(shù)小。在紅外區(qū)有一特征峰，但對(duì)可見(jiàn)光是透明的。晶格：復(fù)式格子類型：IV族元素C（晶剛石）、Si、Ge、Sn(灰錫）的晶體。結(jié)合力：共價(jià)鍵力。特點(diǎn)：飽和性------形成鍵的數(shù)目（配位數(shù)）有一最大值；方向性------各個(gè)共價(jià)鍵之間有確定的取向。

例如：金剛石結(jié)構(gòu)的4個(gè)鍵的方向是沿著正四面體的4個(gè)頂角方向，鍵間的夾角恒為109028‘。二、原子晶體（共價(jià)晶體）特性：特性差別較大。典型的原子晶體，具有熔點(diǎn)高、導(dǎo)電性能差、硬度高等特點(diǎn)。例如：從熔點(diǎn)來(lái)看，金剛石約為3280k、而Si為1693k，Ge為1209k。從導(dǎo)電性來(lái)看，金剛石是一種良好的絕緣體，而Si和Ge在極低溫度下才是絕緣體，同時(shí)它們的電阻率隨溫度升高而急速的下降，是典型的半導(dǎo)體材料。類型：I、II族元素及過(guò)渡元素都是典型的金屬晶體。結(jié)合力：主要是由原子實(shí)和電子云之間的靜電庫(kù)侖力，所以要求排列最緊密。晶格：不喇菲格子。原胞：大多數(shù)金屬為立方密積和六角密積，配位數(shù)均為12。前者如Cu、Ag、Au、AI，后者如Be、Mg、Zn、Cd。少數(shù)金屬具有體心立方結(jié)構(gòu)，如Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W等。特性：具有良好的導(dǎo)電性，結(jié)合力小，但過(guò)渡金屬的結(jié)合能則比較大。三、金屬晶體晶體中粒子的互作用可分為兩大類：

1.吸引作用：是由于異性電荷之間的庫(kù)侖力，引起的作用在遠(yuǎn)距離是主要的。

2.排斥作用：一是同性電荷之間的庫(kù)侖力，二是泡利原理所引起，在近距離是主要的。

在一適當(dāng)?shù)木嚯x吸引作用=排斥作用晶格處于穩(wěn)定狀態(tài)1.2.2結(jié)合力一、結(jié)合力原子間的相互作用由勢(shì)能u(r)可以按下式計(jì)算互作用力：f(r)=-du(r)/dr當(dāng)兩原子很靠近時(shí)，斥力大于引力，總的作用力f(r)0。當(dāng)兩原子相離比較遠(yuǎn)時(shí)，總的作用力為引力，f(r)0二互作用力、互作用勢(shì)能和原子間距的關(guān)系u(r)rrf(r)rorm斥力吸引力1.計(jì)算ro、rm在某一適當(dāng)距離ro，引力和斥力相抵消，f(r)=0即：du(r)/dr|ro=0得ro

由：df(r)/dr|rm=-d2u(r)/dr2|rm=0得rm兩原子間的互作用勢(shì)能可用密函數(shù)來(lái)表達(dá)：

u(r)=A/rm+B/rn

A、B、m、n為大于零的常數(shù)，第一項(xiàng)表示吸引能，第二項(xiàng)表示斥力能。晶體中總互作用勢(shì)能為原子或離子對(duì)間的互作用勢(shì)能之和用經(jīng)典的處理方法：先計(jì)算兩個(gè)原子之間的互作用勢(shì)能，再把晶體的結(jié)構(gòu)因素考慮進(jìn)去，綜合起來(lái)就可以求得晶體的總勢(shì)能。設(shè)晶體中兩原子的互作用勢(shì)能為u(rij),則由N個(gè)原子組成的晶體其總的互作用勢(shì)能為：u(r)=1/2u(rij)2.求結(jié)合能已知原子間的結(jié)合力、結(jié)合能的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以計(jì)算晶格常數(shù)、體積彈性模量、抗張強(qiáng)度等許多物理量。例如：晶胞常數(shù)的計(jì)算：原子處于平衡位置時(shí)，結(jié)合能最小，由du(r)/dr|ro=0求晶格常數(shù)。

三、結(jié)合力、勢(shì)能的意義小結(jié)1.固體的結(jié)合全部歸因于電子的負(fù)電荷和原子核的正電荷之間的靜電吸引作用。但不同類型，表現(xiàn)形式不同。

★離子鍵是由異性離子的靜電吸引而形成；

★共價(jià)鍵是反平行自旋的交疊電子，通過(guò)靜電吸引束縛與它們關(guān)聯(lián)的離子而形成；

★金屬鍵是靠負(fù)電子云同正離子實(shí)間的庫(kù)侖力形成；

★分子鍵靠感生偶極矩間的互作用形成

★氫鍵是氫原子核通過(guò)庫(kù)侖作用與負(fù)電性較大的離子結(jié)合形成。2.原子間的排斥作用來(lái)源于交疊電荷的靜電排斥和泡利原理造成的排斥。3.晶體采用何種結(jié)合類型決定于原子束縛電子的能力，這個(gè)能力由原子的電負(fù)性衡量。4.晶體結(jié)合力是研究其理化性能的基礎(chǔ)。

晶格振動(dòng)對(duì)晶體的許多性質(zhì)有影響，例如，固體的比熱、熱膨脹、熱導(dǎo)等直接與晶格的振動(dòng)有關(guān)。

設(shè)：原胞中只含有一個(gè)原子，整個(gè)原子平面作同位相運(yùn)動(dòng)。

可以有三種振動(dòng)波，一個(gè)縱向振動(dòng)波，兩個(gè)橫向振動(dòng)波.1.3晶格振動(dòng)1.3.1一維原子鏈的的振動(dòng)1.3.2晶體振動(dòng)的量子化1.3.3確定晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)s-1ss+1s+2s+3s+4aK或qK或q一、一維單原子晶格的線性振動(dòng)

1.3.1一維原子鏈的振動(dòng)條件：每個(gè)原子都具有相同的質(zhì)量m；晶格常數(shù)（平衡時(shí)原子間距）為a；熱運(yùn)動(dòng)使原子離開(kāi)平衡位置x。n-2n-1nn+1n+2n+3

xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3設(shè)：原子間的作用力是和位移成正比，但方向相反的彈性力；兩個(gè)最近鄰原子間才有作用力------短程彈性力。xn表示第n個(gè)原子離開(kāi)平衡位置的位移，第n個(gè)原子相對(duì)第n+1個(gè)原子間的位移是：

a+xn–xn+1-a=xn–xn+1同理：第n個(gè)原子相對(duì)第n-1個(gè)原子間的位移是：

xn–xn-1第n個(gè)原子受第n+1個(gè)原子的作用力：

Fn，n+1=-ks(xn-xn+1)第n個(gè)原子受第n-1個(gè)原子的作用力：

Fn，,n-1=-ks(xn-xn-1)

則第n個(gè)原子所受原子的總力為：

F=Fn，n+1+Fn，,n-1

得：F=ks(xn+1+xn-1-2xn)

1.原子間的作用力服從虎克定律第n個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程：

md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)

2.原子間的作用力服從牛頓定律晶格中所有原子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)（或具有前進(jìn)波的形式）：

xn=Aexpi(t-naq)、xn=Aei(t-naq)、xn=Acos(t-naq)A：振幅；：角頻率；n：1，2，3，4……N；aq：相鄰原子的位相差；naq：第n個(gè)原子振動(dòng)的位相差。此式說(shuō)明所有原子以相同的頻率和相同的振幅振動(dòng)。012343.原子振動(dòng)方程如果第n個(gè)和n第個(gè)原子的位相之差：

(qna-qna)=2s(s整數(shù))，即qn-qn=2s/a時(shí)，原子因振動(dòng)而產(chǎn)生的位移相等，因此晶格中各個(gè)原子間的振動(dòng)相互間存在著固定的位相關(guān)系。結(jié)果：在晶格中存在著角頻率為的平面波------格波。格波格波：晶格中的所有原子以相同頻率振動(dòng)而形成的波，或某一個(gè)原子在平衡位置附近的振動(dòng)是以波的形式在晶體中傳播形成的波。格波的特點(diǎn)：晶格中原子的振動(dòng)；

相鄰原子間存在固定的位相。nn+2n-1n+1n-2°°°°°°°°°°°°°°°2/q=4.色散關(guān)系（晶格的振動(dòng)譜）色散關(guān)系：頻率和波矢的關(guān)系。（1）色散關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式將間諧振動(dòng)方程：xn=Aei(t-naq)代入牛頓方程：md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)得：2={1-cos(qa)}2ks/m或=2(ks/m)1/2|sin(qa/2)|上式為一維簡(jiǎn)單晶格中格波的色散關(guān)系（---q的關(guān)系)，也為頻譜關(guān)系。---q的關(guān)系為周期函數(shù)。根據(jù)函數(shù)的周期性，|qa/2|/2即|q|

/a在此范圍以外的一切q值，只是重復(fù)此范圍的q值所得頻率。該范圍的長(zhǎng)度正好是倒格矢的長(zhǎng)度(|-/a|+|/a|=2/a)。q的正負(fù)號(hào)說(shuō)明：正的q對(duì)應(yīng)在某方向前進(jìn)的波，負(fù)的q對(duì)應(yīng)于相反方向進(jìn)行的波。色散關(guān)系為周期函數(shù)；當(dāng)q=0時(shí)，=0當(dāng)sin(qa/2)=1時(shí)，有最大值，且max=2(ks/m)1/2-2/a-/a0/a2/a

maxmax一維不喇菲格子振動(dòng)的頻譜（2）頻譜圖有：(q)=(q+2/a)說(shuō)明波矢空間具有平移對(duì)稱性,其周期為第一布里淵區(qū)邊長(zhǎng).由布里淵區(qū)邊界q=/a=2/得：/2=a滿足形成駐波的條件q=±/a正好是布里淵區(qū)邊界，滿足布拉格反射條件，反射波與入射波疊加形成駐波。入射波反射波一維單原子簡(jiǎn)諧振動(dòng)的波函數(shù)：xn=Aei{t-qna}將波矢：q=2s/a+q′（為任意整數(shù)）代入得xn=Aei{t-(2s/a+q′)na}=Aei2snei(t-q′na)

ei2sn=1xn=Aei{t-q′na}=xn′(3)分析討論結(jié)論如果q-q′=2s/a（為任意整數(shù)）這兩種波矢對(duì)同一種原子所引起的振動(dòng)完全相同。對(duì)應(yīng)某一確定振動(dòng)狀態(tài)，可以有無(wú)限多個(gè)波矢q，它們之間都相差2/a的整數(shù)倍。為了保證xn的單值性，把q值限制在(-/a,/a),其中a是該格子的晶胞常數(shù)，該范圍正好在第一布里淵區(qū)。

例如：波矢q′=/2a原子的振動(dòng)同樣可以當(dāng)作波矢q=5/2a的原子的振動(dòng)（q-q′=2/a）。紅線：q=5/2a,=4a/5兩相鄰原子振動(dòng)的位相差是2+/2。?????綠線：q′=/2a，=4a兩相鄰原子振動(dòng)的位相差是/2。格波與一般連續(xù)介質(zhì)波的比較相同：振動(dòng)方程形式類似區(qū)別：[1]連續(xù)介質(zhì)波中x表示空間任意一點(diǎn)，而格波只取呈周期性排列的格點(diǎn)的位置；[2]一個(gè)格波解表示所有原子同時(shí)做頻率為的振動(dòng)，不同原子間有位相差，相鄰原子間位相差為aq.[3]二者的重要區(qū)別在于波矢的涵義（原子以q與q′振動(dòng)一樣，同一振動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)多個(gè)波矢，或多個(gè)波矢為同一振動(dòng)狀態(tài)）。a2a

2n-22n-12n2n+12n+2°°°???m

M

運(yùn)動(dòng)方程：md2x2n+1/dt2=ks(x2n+2-2x2n+1+x2n)Md2x2n+2/dt2=ks(x2n+3+x2n+1-2x2n+2)1.色散關(guān)系（晶格振動(dòng)譜）雙原子（Mm）一維晶格、一維雙原子晶格的線性振動(dòng)方程的解是以角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：

x2n+1=Aei{t-q(2n+1)a}x2n=Bei{t-q2na}x2n+2=Bei{t-q(2n+2)a}x2n+3=Aei{t-q(2n+2)a}由牛頓方程與簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程得：

-m2A=ks(eiqa+e-iqa)B-2ksA-M2B=ks(eiqa+e-iqa)A-2ksA上式可改寫(xiě)為：(2ks-m2)A-(2kscosqa)B=0-(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0若A、B有異于零的解，則其行列式必須等于零，2ks-m2-2kscosqa-2kscosqa2ks-M2即得：2={(m+M)[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM說(shuō)明：頻率與波矢之間存在著兩種不同的色散關(guān)系，即對(duì)一維復(fù)式格子，可以存在兩種獨(dú)立的格波（對(duì)于一維簡(jiǎn)單晶格，只能存在一種格波）。兩種不同的格波各有自己的色散關(guān)系：

12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM由于q值限制在(-/2a,/2a)，2qa介于(-,)當(dāng)2qa=(或-)時(shí)由12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM得(1)最大=(2ks/M)1/2由22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM

得(2)最小=(2ks/m)1/2因?yàn)镸m，有(2)最小(1)最大。（2）頻率的取值當(dāng)2qa=0時(shí)由12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM得(1)最小=0由22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM得(2)最大=[2ks(m+m)/mM]1/2設(shè)=mM/(m+M)（兩種原子的折合質(zhì)量）則(2)最大=(2ks/)1/2

-/2a,0/2aq

(2ks/M)1/2(2ks/m)1/2(2ks/)1/2光頻支2聲頻支1一維雙原子復(fù)式格子的振動(dòng)頻譜復(fù)式格子兩種格波的振動(dòng)頻率，1—支格波的頻率總比2—支的低。2支格波：光學(xué)支格波（光學(xué)波）可以用紅外光光來(lái)激發(fā)；1支格波：聲頻支格波（聲學(xué)波），可以用超聲波來(lái)激發(fā)。結(jié)論由

(2ks-m2)A-(2kscosqa)B=0得(A/B)1=(2kscosqa)/(2ks-m12)因?yàn)?22ks/M,cos(qa)0得(A/B)10三、聲學(xué)波和光學(xué)波1.聲學(xué)波說(shuō)明：

相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號(hào)或負(fù)號(hào)，即對(duì)于聲學(xué)波，相鄰原子都是沿著同一方向振動(dòng)，當(dāng)波長(zhǎng)很長(zhǎng)時(shí)，聲學(xué)波實(shí)際上代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)。聲學(xué)波示意圖由-(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0得(A/B)2=

(2ks-M2)/2kscos(qa)因222ks/m,cos(qa)0得(A/B)202.光學(xué)波說(shuō)明：對(duì)于光學(xué)波，相鄰兩種不同原子的振動(dòng)方向是相反的。當(dāng)q很小時(shí)，即波長(zhǎng)很長(zhǎng)的光學(xué)波（長(zhǎng)光學(xué)波），cos(qa)1，又22=2ks/，由-(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0得(A/B)2=-M/mmA+MB=0說(shuō)明：原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)，由此也可以定性的看出，光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng)。聲學(xué)波與光學(xué)波的比較說(shuō)明：帶異性電荷的離子間的相對(duì)振動(dòng)產(chǎn)生一定的電偶極矩，可以和電磁波相互作用。且只和波矢相同的格波相互作用，如果有與格波相同頻率的電磁波作用，發(fā)生共振。

-/2a0/2aq

光波=coq共振點(diǎn)四、周期性邊界條件（波恩—卡門(mén)邊界條件）由振動(dòng)波函數(shù)單值的要求，對(duì)波矢的取值范圍進(jìn)行了限定:一維不喇菲格子，q介于(-/a,/a)之間;一維雙原子的復(fù)式格子，q介于(-/2a,/2a)之間.波恩和卡門(mén)把邊界對(duì)內(nèi)部原子的振動(dòng)狀態(tài)的影響考慮成如下面所述的周期性邊界條件模型（包含N個(gè)原胞的環(huán)狀鏈作為有限鏈的模型）：包含有限數(shù)目的原子，保持所有原胞完全等價(jià)。如果原胞數(shù)N很大使環(huán)半徑很大，沿環(huán)的運(yùn)動(dòng)仍可以看作是直線的運(yùn)動(dòng)。和以前的區(qū)別：需考慮鏈的循環(huán)性。即原胞的標(biāo)數(shù)增加N，振動(dòng)情況必須復(fù)原。一維鏈的波恩—卡曼邊界條件

xn=Aei{t-qna}xn+N=Aei{t-q(n+N)a}=Aei{t-qna}ei{-qNa}由于

xn=xn+N有ei{-qNa}=1即Nqa=2h,（h為整數(shù)），或q=2h/Na

q介于(-/a,/a)之間，或-/aq/a得-N/2hN/2說(shuō)明:h只能取由-N/2到N/2，一共有N個(gè)不同的數(shù)值。-N/2hN/2,q是均勻取值。由N個(gè)原胞組成的鏈，q可以取N個(gè)不同的值，每個(gè)q對(duì)應(yīng)著一個(gè)格波，共有N個(gè)不同的格波，N是一維單原子鏈的自由度數(shù)，即得到鏈的全部振動(dòng)模（或振動(dòng)狀態(tài)數(shù)）。同理：可得兩種復(fù)式格子的q取值個(gè)數(shù)為N.結(jié)論晶格振動(dòng)是晶體中諸原子（離子）集體在作振動(dòng)，其結(jié)果表現(xiàn)為晶格中的格波。一般而言，格波不一定是簡(jiǎn)諧波，但可以展成為簡(jiǎn)諧平面波的線性疊加。一、聲子概念的由來(lái)

1.3.2晶格振動(dòng)的量子化---聲子當(dāng)振動(dòng)微弱時(shí)，即相當(dāng)于簡(jiǎn)諧近似的情況，格波為簡(jiǎn)諧波。此時(shí)，格波之間的相互作用可以忽略，可以認(rèn)為它們的存在是相互獨(dú)立振動(dòng)的模式。每一獨(dú)立模式對(duì)應(yīng)一個(gè)振動(dòng)態(tài)(q)。晶格的周期性給予格波以一定的邊界條件，使獨(dú)立的模式也即獨(dú)立的振動(dòng)態(tài)是分立的。可以用獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)來(lái)表述格波的獨(dú)立模式。聲子----晶格振動(dòng)中的獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子的能量量子。二、格波能量量子化1.三維晶格振動(dòng)能量原胞（N個(gè)）內(nèi)含1個(gè)原子系統(tǒng)的三維晶格振動(dòng)具有3N個(gè)獨(dú)立諧振子；晶體中的格波是所有原子都參與的振動(dòng)，含N個(gè)原胞的晶體振動(dòng)能量為3N個(gè)格波能量之和；在簡(jiǎn)諧近似下，每個(gè)格波是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，晶體總振動(dòng)能量等于3N個(gè)簡(jiǎn)諧振子的能量之和。諧振子的能量用量子力學(xué)處理時(shí)，每一個(gè)諧振子的能量l為：

l=(n1+1/2)?I,nl=0,1,2,……則晶格總能量E為：E=(n1+1/2)?I2.格波能量量子化說(shuō)明：晶格振動(dòng)的能量是量子化的，晶格振動(dòng)的能量量子?I稱為聲子。、聲子的性質(zhì)1.聲子的粒子性光子------電磁波的能量量子。電磁波可以認(rèn)為是光子流，光子攜帶電磁波的能量和動(dòng)量。聲子------聲子攜帶聲波的能量和動(dòng)量。若格波頻率為，波矢q為，則聲子的能量為?，動(dòng)量為?q。聲子和物質(zhì)相互作用服從能量和動(dòng)量守恒定律，如同具有能量?和動(dòng)量?q的粒子一樣?？梢詫⒏癫ㄅc物質(zhì)的互作用過(guò)程，理解為聲子和物質(zhì)的碰撞過(guò)程，使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，得出的結(jié)論也正確。如，電子、光子、聲子等。準(zhǔn)粒子性的具體表現(xiàn)：聲子的動(dòng)量不確定，波矢改變一個(gè)周期（倒格矢量）或倍數(shù)，代表同一振動(dòng)狀態(tài)，所以不是真正的動(dòng)量；系統(tǒng)中聲子的數(shù)目一般用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行計(jì)算，具有能量為Ei的狀態(tài)用出現(xiàn)的幾率來(lái)表示。2.聲子的準(zhǔn)粒子性3.聲子概念的意義1.3.3確定晶格振動(dòng)譜(q)的實(shí)驗(yàn)方法晶格的振動(dòng)譜------格波的色散關(guān)系。確定晶格振動(dòng)譜的意義------晶體的許多性質(zhì)和函數(shù)(q)有關(guān)。測(cè)定的依據(jù)------利用波和格波的相互作用。最重要的實(shí)驗(yàn)方法------中子的非彈性散射，即利用中子的德布洛依波與格波的相互作用。其他實(shí)驗(yàn)方法------X射線衍射、光的散射等。本節(jié)介紹------中子的非彈性散射（中子與原子核的作用）一束中子流：動(dòng)量p、能量E=p2/2Mn。樣品（與原子核之間有較強(qiáng)的相互作用，容易