2022-2023學(xué)年天津市海河名校高三年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022—2023第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末質(zhì)量調(diào)查一、單選題（本大題共9小題，共45分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.集合，則（）A B. C. D.2.設(shè)a，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知，則大小關(guān)系為（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)，則的大致圖像正確的是（）A. B.C. D.5.在三棱錐中，平面，，且，則三棱錐外接球的體積等于（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，給出以下四個命題：①的最小正周期為；②在上的值域為；③圖像關(guān)于點中心對稱；④的圖像關(guān)于直線對稱．其中正確命題的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.47.F1、F2分別是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點，若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.8.已知為拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.49.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不等實根．則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共6小題，共30分）10.若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部是___．11.=_____________．12.已知的展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式第三項的系數(shù)是_______．13.若直線被圓截得線段的長為6，則實數(shù)的值為__________.14.已知，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．15.在四邊形中，，，，，為的中點，，則_____；設(shè)點為線段上的動點，則最小值為_____．三、解答題（本大題共5小題，共75．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知的內(nèi)角的對邊分別為，滿足已知.（1）求角的大?。唬?）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長.17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，平面，且，點在棱上（不包括端點），點為中點.（1）若，求證：直線平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其前8項的和為64．?dāng)?shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列和通項公式；（2）記，，求數(shù)列的前項和；（3）記，，證明數(shù)列的前項和．19.已知橢圓的離心率，短軸長為，橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓位于軸上方的部分，（1）求橢圓的方程；（2）若直線的斜率為，求弦的長度；（3）若直線與軸交于點，點是軸上一點，且滿足，直線與橢圓交于點.是否存在直線，使得的面積為2，若存在，求出直線的斜率，若不存在，說明理由.20已知函數(shù)（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，且在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）若，判斷函數(shù)的零點的個數(shù).2022—2023第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末質(zhì)量調(diào)查一、單選題（本大題共9小題，共45分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解二次不等式得集合，然后求即可.【詳解】因為，所以．故選：D.2.設(shè)a，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】方法1:解分式不等式，由小范圍能推出大范圍，大范圍不能推出小范圍可得結(jié)果.方法2:通過作差法可證得充分條件成立,通過舉反例可說明必要條件不成立.【詳解】方法1：∵∴即：∴或解得：或或∴由小范圍能推出大范圍，大范圍不能推出小范圍可得：是的充分而不必要條件.方法2：∵∴，∴∴∴是的充分條件.當(dāng)，時，滿足，但不滿足，所以是的不必要條件.綜述：是的充分而不必要條件.故選：A.3.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)放縮法得出的范圍，利用對數(shù)的運算，比出和的大小，即可得出的大小關(guān)系.【詳解】解：由題意，，∵∴∴故選：D.4.已知函數(shù)，則的大致圖像正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用特殊值，即可判斷；【詳解】解：因為，所以，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，故BD排除；又，因為，所以，，所以，故排除A；故選：C5.在三棱錐中，平面，，且，則三棱錐外接球的體積等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將三棱錐放入一個長方體中，求出長方體的體對角線即為長方體外接球的直徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】因為三棱錐中，平面，不妨將三棱錐放入一個長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，因為長方體的體對角線即為其外接球的直徑，因為，則長方體長寬高分別為所以三棱外接球的半徑為所以三棱錐外接球的體積為.故選：C.

6.已知函數(shù)，給出以下四個命題：①的最小正周期為；②在上的值域為；③的圖像關(guān)于點中心對稱；④的圖像關(guān)于直線對稱．其中正確命題的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由題知，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)依次討論各選項即可.【詳解】解：，所以的最小正周期為，①正確；當(dāng)，，所以，即，故②錯誤；當(dāng)時，，故的圖像關(guān)于對稱，故③錯誤；當(dāng)時，，故的圖像關(guān)于對稱，故④正確.故正確命題的個數(shù)是2個.故選：B7.F1、F2分別是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點，若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】如圖，設(shè)等邊三角形邊長為，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義有，解得.在三角形中，由余弦定理得，化簡得.8.已知為拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知條件寫出直線的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立，最后結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線定義即可求解.【詳解】由題意知,，則直線的方程為：，設(shè)，，將代入的方程得，，則，，因為，且，所以，整理得，故，結(jié)合，解得.故選：C.9.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不等實根．則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用換元法，并構(gòu)造函數(shù)，通過討論的取值范圍即可求解.【詳解】當(dāng)，令解得，令解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下，關(guān)于的方程有四個不等實根，令，，則有兩個不相等的實數(shù)根，（i），，此時各有2個根，滿足題意，所以解得（ii），由，則函數(shù)的一個根在，另一個根在，所以解得，綜上，.故選:C.二、填空題（本大題共6小題，共30分）10.若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部是___．【答案】##1.5【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：11.=_____________．【答案】.【解析】【分析】利用換底公式化為常用對數(shù)，通分后進(jìn)行化簡計算．【詳解】，故答案為：．12.已知的展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式第三項的系數(shù)是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的和的性質(zhì)，求得，結(jié)合二項展開式的通項，即可求解.【詳解】由的展開式的二項式系數(shù)之和為，可得，解得，即則展開式第三項為，所以展開式第三項的系數(shù)是.故答案為：.13.若直線被圓截得線段的長為6，則實數(shù)的值為__________.【答案】25【解析】【分析】先根據(jù)配方法確定圓的圓心和半徑，然后再求出點到直線的距離后用弦長公式即可.【詳解】，圓心又根據(jù)弦長公式可得：故答案為：2514.已知，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，再根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為一元二次不等式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取得等號，所以有最小值為3，因為恒成立，所以，即，解得，故答案為:.15.在四邊形中，，，，，為的中點，，則_____；設(shè)點為線段上的動點，則最小值為_____．【答案】①.②.．【解析】【分析】以為基底，將用基底表示，根據(jù)已知結(jié)合向量的數(shù)量積運算律，可求出；設(shè)用基底表示，求出關(guān)于的二次函數(shù)，即可求出其最小值.【詳解】為的中點，，，，，，，；設(shè)，，，時，取得最小值為.故答案為：；.【點睛】本題考查向量基本定理、向量的數(shù)量積運算，考查計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共5小題，共75．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知的內(nèi)角的對邊分別為，滿足已知.（1）求角的大??；（2）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理，將題中條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為以及誘導(dǎo)公式，即可求得角的大?。?2)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式即可得到，再利用正弦和角公式以及余弦倍角公式即可求得結(jié)果；(3)利用三角函數(shù)面積公式即可得到的值，再利用余弦定理即可求得的值，進(jìn)而得到的周長.詳解】解：（1），由正弦定理得：，即，又，，，，又，；（2）由題意知：，，又，；（3），，由余弦定理得：，即，解得：，的周長為.【點睛】方法點睛：與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊和角的互化.17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，平面，且，點在棱上（不包括端點），點為中點.（1）若，求證：直線平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明過程見詳解（2）（3）存在，，理由見詳解.【解析】【分析】(1)取的一個靠近點的三等分點，連接，利用平行的傳遞性得到，進(jìn)而得到四邊形為平行四邊形，則，再利用線面平行的判定定理即可求解；(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入向量的夾角公式即可求解；(3)假設(shè)存在點，設(shè)，根據(jù)（2）中平面的法向量以及題中與平面所成角的正弦值為，求出即可求解.【小問1詳解】取的一個靠近點的三等分點，連接，因為，所以且,又因為，且，點為中點，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以直線平面.【小問2詳解】如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，又為的中點，則，所以，,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.【小問3詳解】存在，.假設(shè)存在點(不包括端點)，設(shè)，即，，由（2）得，且平面的法向量，，則，所以，因為與平面所成角的正弦值為，則，整理得：，解得：或（舍去），故存在點，使與平面所成角的正弦值為，此時.18.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其前8項的和為64．?dāng)?shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，，求數(shù)列的前項和；（3）記，，證明數(shù)列的前項和．【答案】（1）,（2）（3）證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)等差等比數(shù)列通項公式直接求解；(2)利用錯位相減法求和；(3)利用裂項相消求和.【小問1詳解】設(shè)公差為，公比為，則由題可得數(shù)列的前8項的和，因為，所以，所以，又因為，所以解得或（舍），所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，即，，兩式相減得，所以，【小問3詳解】由（1）得則，.因為所以19.已知橢圓的離心率，短軸長為，橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓位于軸上方的部分，（1）求橢圓的方程；（2）若直線的斜率為，求弦的長度；（3）若直線與軸交于點，點是軸上一點，且滿足，直線與橢圓交于點.是否存在直線，使得的面積為2，若存在，求出直線的斜率，若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在直線，使得面積為2，此時直線的斜率【解析】【分析】（1）由已知有，解方程組即可；（2）直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由弦長公式求解即可；（3）由題意求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程為，并與與橢圓方程聯(lián)立，可得點坐標(biāo)，由此可判斷關(guān)于原點對稱，故直線過原點，所以，令求解即可【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓的方程為；小問2詳解】由（1）可知，設(shè)，直線的方程為，由得，所以，，所以；【小問3詳解】由（2）可知，即，所以，即，直線的方程為，令，解得，即，設(shè)，由題意有，解得，即，進(jìn)而可得直線的方程為，由得，解得，進(jìn)而，即，因為，，所以關(guān)于原點對稱，故直線過原點，所以，當(dāng)時，即，解得，所以存在直線，使得的面積為2，此時直線的斜率20.已知函數(shù)（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，且在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）若，判斷函數(shù)的零點的個數(shù).【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時，函數(shù)恰有1個零點．【解析】【分析】（1）當(dāng)時，對求導(dǎo)，求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程；（2）若，且在區(qū)間，上恒成立，即：在，上的最小值大于1；利用導(dǎo)數(shù)求判斷函數(shù)的最小值．（3）分類討論判斷的單調(diào)性與函數(shù)的最小值，從而驗證在區(qū)間上單調(diào)遞增．再構(gòu)造新函數(shù)，證明，進(jìn)而判斷函數(shù)是否穿過軸即可．【詳解】解：（1）若，則，所以，所以，所以切線方程為（2）依題意，在區(qū)間上因為，．令得，或．若，則由得，；由得，