高中數(shù)學(xué)人教A版1第一章常用邏輯用語(yǔ)命題及其關(guān)系 高考沖刺演練(一)

課時(shí)作業(yè)(21)選修2－3高考真題演練(一)作業(yè)設(shè)計(jì)限時(shí)：40分鐘滿分：90分一、選擇題：每小題5分，共30分．1．(2023·福建)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14B．13C．12D．10解析：a＝0時(shí)，方程變?yōu)?x＋b＝0，則b為－1,0,1,2都有解；a≠0時(shí)，若方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，則Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.當(dāng)a＝－1時(shí)，b可?。?,0,1,2.當(dāng)a＝1時(shí)，b可?。?,0,1.當(dāng)a＝2時(shí)，b可?。?,0，故滿足條件的有序?qū)?a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.答案：B2．(2023·全國(guó)課標(biāo)Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5，則a＝()A．－4B．－3C．－2D．－1解析：因?yàn)?1＋x)5的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為Ceq\o\al(r,5)xr(0≤r≤5，r∈Z)，則含x2的項(xiàng)為Ceq\o\al(2,5)x2＋ax·Ceq\o\al(1,5)x＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.答案：D3．(2023·四川)節(jié)日前夕，小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是()\f(1,4)\f(1,2)\f(3,4)\f(7,8)解析：設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時(shí)刻分別為x，y，則由題意可得，0≤x≤4,0≤y≤4；而所求事件“這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮相差不超過(guò)2秒”＝{(x，y)||x－y|≤2}，由圖示得，該事件概率P＝eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(16－4,16)＝eq\f(3,4).答案：C4．(2023·江西)總體由編號(hào)為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481B．07C．02D．01解析：選出的5個(gè)個(gè)體的編號(hào)依次是08,02,14,07,01，故選D項(xiàng)．答案：D5．(2023·福建)某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為()A．588B．480C．450D．120解析：由頻率分布直方圖知40～60分的頻率為＋×10＝，故估計(jì)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為600×(1－＝480.答案：B6．(2023·湖南)通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈.附表：P(K2≥k)k參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”解析：∵K2≈＞.∴有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，即犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%.答案：C二、填空題：每小題5分，共15分．7．(2023·北京)將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是__________．解析：連號(hào)有4種情況，從4人中挑一個(gè)得到連號(hào)參觀券，其余可以全排列，則不同的分法有4×Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝96(種)．答案：968．(2023·全國(guó)課標(biāo)Ⅱ)從n個(gè)正整數(shù)1,2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為eq\f(1,14)，則n＝__________.解析：從1,2，…，n中任取兩個(gè)不同的數(shù)共有Ceq\o\al(2,n)種取法，兩數(shù)之和為5的有(1,4)，(2,3)2種，所以eq\f(2,C\o\al(2,n))＝eq\f(1,14)，即eq\f(2,\f(nn－1,2))＝eq\f(4,nn－1)＝eq\f(1,14)，解得n＝8.答案：89．(2023·福建)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1＞0解析：由3a－1＞0得a＞eq\f(1,3)，由幾何概型知P＝eq\f(1－\f(1,3),1)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)三、解答題：每小題15分，共45分．10．(2023·福建)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為eq\f(2,3)，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為eq\f(2,5)，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？解：方法一：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,3)，小紅中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,5)，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A則事件A的對(duì)立事件為“X＝5”，因?yàn)镻(X＝5)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝eq\f(11,15)，即這2人的累計(jì)得分X≤3的概率為eq\f(11,15).(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)．由已知可得，X1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，X2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,5)))，所以E(X1)＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，E(X2)＝2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,5)，從而E(2X1)＝2E(X1)＝eq\f(8,3)，E(3X2)＝3E(X2)＝eq\f(12,5).因?yàn)镋(2X1)＞E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．方法二：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,3)，小紅中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,5)，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A則事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三個(gè)兩兩互斥的事件，因?yàn)镻(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(2,5)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(11,15).即這2人的累計(jì)得分X≤3的概率為eq\f(11,15).(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X1，X2的分布列如下：X1024Peq\f(1,9)eq\f(4,9)eq\f(4,9)X2036Peq\f(9,25)eq\f(12,25)eq\f(4,25)所以E(X1)＝0×eq\f(1,9)＋2×eq\f(4,9)＋4×eq\f(4,9)＝eq\f(8,3)，E(X2)＝0×eq\f(9,25)＋3×eq\f(12,25)＋6×eq\f(4,25)＝eq\f(12,5).因?yàn)镋(X1)＞E(X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．11．(2023·廣東)某車(chē)間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù).179201530(1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；(2)日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．根據(jù)莖葉圖推斷該車(chē)間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？(3)從該車(chē)間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率．解：(1)樣本均值eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(17＋19＋20＋21＋25＋20)＝22.(2)從莖葉圖知，6名工人中有2名為優(yōu)秀工人，由此推斷該車(chē)間12名工人中，有優(yōu)秀工人：eq\f(2,6)×12＝4(人)．(3)記：任取2人中恰有1名優(yōu)秀工人的事件為A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,8),C\o\al(2,12))＝eq\f(32,66)＝eq\f(16,33).12．(2023·全國(guó)課標(biāo)Ⅱ)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率．(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的數(shù)學(xué)期望．解：(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí)，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\