高中數(shù)學人教A版3第一章計數(shù)原理排列與組合 精品

1．組合(一)[學習目標]1．理解組合及組合數(shù)的概念．2．能利用計數(shù)原理推導組合數(shù)公式，并會應用公式解決簡單的組合問題．[知識鏈接]1．排列與組合有什么聯(lián)系和區(qū)別？答排列與組合都是從n個不同元素中取出m個元素；不同之處是組合選出的元素沒有順序，而排列選出的元素是有順序的．組合是選擇的結果，排列是選擇后再排序的結果．2．兩個相同的排列有什么特點？兩個相同的組合呢？答兩個相同的排列需元素相同且元素排列順序相同．兩個相同的組合是只要元素相同，不看元素順序如何．[預習導引]1．組合的概念一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)的概念從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．3．組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，m≤n).要點一組合概念的理解例1判斷下列各事件是排列問題還是組合問題，并求出相應的排列數(shù)或組合數(shù)．(1)10人相互通一次電話，共通多少次電話？(2)10支球隊以單循環(huán)進行比賽(每兩隊比賽一次)，共進行多少場次？(3)從10個人中選出3個作為代表去開會，有多少種選法？(4)從10個人中選出3人擔任不同學科的課代表，有多少種選法？解(1)是組合問題，因為甲與乙通了一次電話，也就是乙與甲通了一次電話，沒有順序的區(qū)別，組合數(shù)為Ceq\o\al(2,10)＝45.(2)是組合問題，因為每兩支球隊比賽一次，并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區(qū)別，組合數(shù)為Ceq\o\al(2,10)＝45.(3)是組合問題，因為3個代表之間沒有順序的區(qū)別，組合數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120.(4)是排列問題，因為3個人擔任哪一科的課代表是有順序區(qū)別的，排列數(shù)為Aeq\o\al(3,10)＝720.規(guī)律方法排列、組合問題的判斷方法(1)區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標志是有無順序．(2)區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結果寫出來，然后交換這個結果中任意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題．跟蹤演練1判斷下列問題是組合還是排列，并用組合數(shù)或排列數(shù)表示出來．(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，則集合的子集中有3個元素的有多少？(2)8人相互發(fā)一個電子郵件，共寫了多少個郵件？(3)在北京、上海、廣州、成都四個民航站之間的直達航線上，有多少種不同的飛機票？有多少種不同的飛機票價？解(1)已知集合的元素具有無序性，因此含3個元素的子集個數(shù)與元素的順序無關，是組合問題，共有Ceq\o\al(3,7)個．(2)發(fā)郵件與順序有關，是排列問題，共寫了Aeq\o\al(2,8)個電子郵件．(3)飛機票與起點站、終點站有關，故求飛機票的種數(shù)是排列問題，有Aeq\o\al(2,4)種飛機票；票價只與兩站的距離有關，故票價的種數(shù)是組合問題，有Ceq\o\al(2,4)種票價．要點二組合數(shù)公式的應用例2(1)計算：Ceq\o\al(97,99)＋Ceq\o\al(98,99)＋Ceq\o\al(99,100)；(2)求值：Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)；(3)解方程：Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18).解(1)Ceq\o\al(97,98)＋Ceq\o\al(98,99)＋Ceq\o\al(99,100)＝Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(99,100)＝Ceq\o\al(99,101)＝Ceq\o\al(2,101)＝5050；(2)由組合數(shù)定義知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤5－n≤n，,0≤9－n≤n＋1，))∴4≤n≤5，又∵n∈N*，∴n＝4或5.當n＝4時，Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)＝Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)＝5；當n＝5時，Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)＝Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝16.(3)由原方程及組合數(shù)性質可知3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－(4n－2)，∴n＝2，或n＝8，而當n＝8時，3n＋6＝30＞18，不符合組合數(shù)定義，故舍去．因此n＝2.規(guī)律方法(1)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)，一般用于求值計算；(2)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(m，n∈N*，且m≤n)，一般用于化簡證明．在具體選擇公式時要根據(jù)題目特點正確選擇．(3)根據(jù)題目特點合理選用組合數(shù)的兩個性質Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)，能起到簡化運算的作用，需熟練掌握．跟蹤演練2(1)計算：Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)求Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)的值；(3)證明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1).(1)解Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝4950＋200＝5150.(2)解由組合數(shù)定義知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤38－n≤3n，,0≤3n≤21＋n.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(19,2)≤n≤38，,0≤n≤\f(21,2).))∴eq\f(19,2)≤n≤eq\f(21,2)，∵n∈N*，∴n＝10，∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝Ceq\o\al(2,30)＋Ceq\o\al(1,31)＝eq\f(30×29,2×1)＋31＝466.(3)證明eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(（n－1）！,m?。╪－1－m）！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)＝Ceq\o\al(m,n).要點三組合的簡單應用例3一個口袋里裝有7個白球和1個紅球，從口袋中任取5個球．(1)共有多少種不同的取法？(2)其中恰有一個紅球，共有多少種不同的取法？(3)其中不含紅球，共有多少種不同的取法？解(1)從口袋里的8個球中任取5個球，不同取法的種數(shù)是Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)從口袋里的8個球中任取5個球，其中恰有一個紅球，可以分兩步完成：第一步，從7個白球中任取4個白球，有Ceq\o\al(4,7)種取法；第二步，把1個紅球取出，有Ceq\o\al(1,1)種取法．故不同取法的種數(shù)是：Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,1)＝Ceq\o\al(4,7)＝Ceq\o\al(3,7)＝35.(3)從口袋里任取5個球，其中不含紅球，只需從7個白球中任取5個白球即可，不同取法的種數(shù)是Ceq\o\al(5,7)＝Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2×1)＝21.規(guī)律方法基本組合問題的解法：(1)判斷是否為組合問題；(2)是否分類或分步；(3)根據(jù)組合相關知識進行求解．跟蹤演練3現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學習的選法有多少種？(3)現(xiàn)要從中選出男、女老師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？解(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(種)．(2)可把問題分兩類情況：第一類，選出的2名是男教師有Ceq\o\al(2,6)種方法；第二類，選出的2名是女教師有Ceq\o\al(2,4)種方法．根據(jù)分類加法原理，共有Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝15＋6＝21(種)不同選法．(3)從6名男教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,6)種，從4名女教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,4)種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有選法Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(種).1．已知Ceq\o\al(2,n)＝10，則n的值等于()A．10B．5C．3D．2答案B2．給出下列問題：①從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調查，有多少種不同的選法？②有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，有多少種不同的選法？③某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結果有多少種？其中是組合問題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案C3．下列等式不正確的是()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)B．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1)D．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)答案D4．某餐廳供應飯菜，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種．現(xiàn)在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上不同的選擇，則餐廳至少還需準備不同的素菜品種________種．(結果用數(shù)值表示)答案7解析設餐廳至少還需準備x種不同的素菜．由題意，得Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,x)≥200，從而有Ceq\o\al(2,x)≥20.即x(x－1)≥40.又x≥2，所以x的最小值為7.1．排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別(1)聯(lián)系：二者都是從n個不同的元素中取m(m≤n)個元素．(2)區(qū)別：排列問題中元素有序，組合問題中元素無序．2．關于組合數(shù)的計算：(1)涉及具體數(shù)字的可以直接用公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)計算；(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)計算；(3)計算時應注意利用組合數(shù)的性質Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)簡化運算.一、基礎達標1．下列計算結果為21的是 ()A．Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6) B．Ceq\o\al(7,7) C．Aeq\o\al(2,7) D．Ceq\o\al(2,7)答案D2．下面幾個問題中屬于組合問題的是 ()①由1，2，3，4構成的雙元素集合；②5個隊進行單循環(huán)足球比賽的分組情況；③由1，2，3構成兩位數(shù)的方法；④由1，2，3組合無重復數(shù)字的兩位數(shù)的方法．A．①③ B．②④ C．①② D．①②④答案C3．已知平面內A，B，C，D這4個點中任何3點均不共線，則由其中任意3個點為頂點的所有三角形的個數(shù)為 ()A．3 B．4 C．12 D．24答案B解析Ceq\o\al(3,4)＝4.4．把三張游園票分給10個人中的3人，分法有 ()A．Aeq\o\al(3,10)種 B．Ceq\o\al(3,10)種C．Ceq\o\al(3,10)Aeq\o\al(3,10)種 D．30種答案B解析三張票沒區(qū)別，從10人中選3人即可，即Ceq\o\al(3,10).5．甲、乙、丙三位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種．答案96解析甲選2門有Ceq\o\al(2,4)種選法，乙選3門有Ceq\o\al(3,4)種選法，丙選3門有Ceq\o\al(3,4)種選法．∴共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,4)＝96(種)選法．6．從4臺甲型電視機和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少有甲型和乙型電視機各1臺，則不同的取法有________種．答案70解析根據(jù)結果分類：第一類，兩臺甲型機，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＝30；第二類，兩臺乙型機，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝40.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,3)＝70.7．直線x＝1，y＝x，將圓x2＋y2＝4分成A，B，C，D四個區(qū)域，用五種不同的顏色給他們涂色，要求共邊的兩區(qū)域顏色互異，每個區(qū)域只涂一種顏色，共有多少種不同的涂色方法？解第1步，涂A區(qū)域有Ceq\o\al(1,5)種方法；第2步，涂B區(qū)域有Ceq\o\al(1,4)種方法；第3步，涂C區(qū)域和D區(qū)域；若C區(qū)域涂A區(qū)域已填過顏色，則D區(qū)域有4種涂法；若C區(qū)域涂A、B剩余3種顏色之一，即有Ceq\o\al(1,3)種涂法，則D區(qū)域有Ceq\o\al(1,3)種涂法．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)·(4＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3))＝260種不同的涂色方法．二、能力提升8．某班級有一個7人小組，現(xiàn)任選其中3人相互調整座位，其余4人座位不變，則不同的調整方案的種數(shù)有 ()A．35 B．70 C．210 D．105答案B解析先從7人中選出3人有Ceq\o\al(3,7)＝35種情況，再對選出的3人相互調整座位，共有2種情況，故不同的調整方案種數(shù)為2Ceq\o\al(3,7)＝70.9．(2023·山東)用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 ()A．243 B．252 C．261 D．279答案B解析所有三位數(shù)的個數(shù)為9×10×10＝900.沒有重復數(shù)字的三位數(shù)有Ceq\o\al(1,9)Aeq\o\al(2,9)＝648，所以有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900－648＝252.10．從2，3，5，7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘，有m個不同的積；任取兩個不同的數(shù)相除，有n個不同的商，則m∶n＝________.答案1∶2解析∵m＝Ceq\o\al(2,4)，n＝Aeq\o\al(2,4)，∴m∶n＝1∶2.11．設x∈N*，求Ceq\o\al(x－1,2x－3)＋Ceq\o\al(2x－3,x＋1)的值．解由題意可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3≥x－1，,x＋1≥2x－3，))解得2≤x≤4，∵x∈N*，∴x＝2或x＝3或x＝4.當x＝2時原式的值為4；當x＝3時原式的值為7；當x＝4時原式的值為11.∴所求的值為4或7或11.12．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進行一一測試，直至找出所有次品為止．(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第十次測試才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？(2)若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次