2023年數(shù)值計算方法試題集及答案

《數(shù)值計算方法》復習試題一、填空題：1、，則A的LU分解為。答案：2、已知，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得,用三點式求得。答案：2.367，0.253、，則過這三點的二次插值多項式中的系數(shù)為，拉格朗日插值多項式為。答案：-1，4、近似值關于真值有(2)位有效數(shù)字；5、設可微,求方程的牛頓迭代格式是()；答案6、對,差商(1),(0)；7、計算方法重要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差；8、用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內的根時，二分n次后的誤差限為()；9、求解一階常微分方程初值問題=f(x,y)，y(x0)=y0的改善的歐拉公式為()；10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為(0.15)；兩點式高斯型求積公式≈()，代數(shù)精度為(5)；解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)。為了使計算的乘除法次數(shù)盡量地少，應將該表達式改寫為，為了減少舍入誤差，應將表達式改寫為。用二分法求方程在區(qū)間[0,1]內的根,進行一步后根的所在區(qū)間為0.5，1,進行兩步后根的所在區(qū)間為0.5，0.75。計算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268，用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309，梯形公式的代數(shù)精度為1，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。求解方程組的高斯—塞德爾迭代格式為，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑=。設,則，的二次牛頓插值多項式為。求積公式的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有()次代數(shù)精度。已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求≈(12)。設f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三點式求(2.5)。21、假如用二分法求方程在區(qū)間內的根精確到三位小數(shù)，需對分（10）次。22、已知是三次樣條函數(shù)，則=(3)，=（3），=（1）。23、是以整數(shù)點為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則(1)，()，當時()。24、解初值問題的改善歐拉法是2階方法。25、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到_____2_____階的連續(xù)導數(shù)。26、改變函數(shù)()的形式，使計算結果較精確。27、若用二分法求方程在區(qū)間[1,2]內的根，規(guī)定精確到第3位小數(shù)，則需要對分10次。28、設是3次樣條函數(shù)，則

a=3,b=-3,c=1。29、若用復化梯形公式計算，規(guī)定誤差不超過，運用余項公式估計，至少用477個求積節(jié)點。30、寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩陣為，此迭代法是否收斂收斂。31、設,則9。32、設矩陣的，則。33、若，則差商3。34、數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為2。線性方程組的最小二乘解為。36、設矩陣分解為，則。二、單項選擇題：Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（C）。A．A的各階順序主子式不為零B．C．D．2、設，則為(C)．A．2B．5C．7D．33、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為(B)。A．2B．5C．3D．44、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是(B)。A．對稱陣B．正定矩陣C．任意陣D．各階順序主子式均不為零5、舍入誤差是(A)產生的誤差。只取有限位數(shù)B．模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C．觀測與測量D．數(shù)學模型準確值與實際值6、3.141580是π的有(B)位有效數(shù)字的近似值。A．6B．5C．4D．77、用1+x近似表達ex所產生的誤差是(C)誤差。A．模型B．觀測C．截斷D．舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A)。A．控制舍入誤差B．減小方法誤差C．防止計算時溢出D．簡化計算9、用1+近似表達所產生的誤差是(D)誤差。A．舍入B．觀測C．模型D．截斷10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效數(shù)字。A．5B．6C．7D．811、設f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為(A)。A．–0．5B．0．5C．2D．-212、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C)。A．3B．4C．5D．213、(D)的3位有效數(shù)字是0.236×102。(A)0.0023549×103(B)2354.82×10－2(C)235.418(D)235.54×10－114、用簡樸迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表達成x=j(x)，則f(x)=0的根是(B)。 (A)y=j(x)與x軸交點的橫坐標(B)y=x與y=j(x)交點的橫坐標(C)y=x與x軸的交點的橫坐標(D)y=x與y=j(x)的交點15、用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為(A)。(A)－4(B)3(C)4(D)－916、拉格朗日插值多項式的余項是(B),牛頓插值多項式的余項是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(B)(C)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(D)17、等距二點求導公式f(x1)(A)。 18、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足(A),則它的解數(shù)列{xn}n=0,1,2,…一定收斂到方程f(x)=0的根。19、為求方程x3―x2―1=0在區(qū)間[1.3,1.6]內的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A)。(A)(B)(C)(D)20、求解初值問題歐拉法的局部截斷誤差是();改善歐拉法的局部截斷誤差是();四階龍格－庫塔法的局部截斷誤差是(A)(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)21、解方程組的簡樸迭代格式收斂的充要條件是（）。（1）,(2),(3),(4)22、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當系數(shù)是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應用中，當（）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1），（2），（3），（4），23、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所擬定的插值多項式的次數(shù)是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次24、若用二階中點公式求解初值問題，試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長的取值范圍為（）。(1),(2),(3),(4)25、取計算，下列方法中哪種最佳？（）(A)；(B)；(C)；(D)。26、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。27、由下列數(shù)表進行Newton插值，所擬定的插值多項式的最高次數(shù)是（）１1.5２2.5３3.5-10.52.55.08.011.5(A)；(B)；(C)；(D)。28、形如的高斯（Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(A)；(B)；(C)；(D)。29、計算的Newton迭代格式為()(A)；(B)；(C)；(D)。30、用二分法求方程在區(qū)間內的實根，規(guī)定誤差限為，則對分次數(shù)至少為()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。31、經典的四階龍格—庫塔公式的局部截斷誤差為()(A)；(B)；(C)；(D)。32、設是認為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則()(A)；（B）；（C）；（D）。33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。34、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是()(A)；(B)；(C)；(D)。36、由下列數(shù)據(jù)012341243-5擬定的唯一插值多項式的次數(shù)為()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非題（認為對的的在后面的括弧中打?，否則打′）已知觀測值,用最小二乘法求n次擬合多項式時，的次數(shù)n可以任意取。()用1-近似表達cosx產生舍入誤差。()表達在節(jié)點x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。(?)4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可運用前一次插值的結果。(?)5、矩陣A=具有嚴格對角占優(yōu)。()四、計算題：用高斯-塞德爾方法解方程組，取，迭代四次(規(guī)定按五位有效數(shù)字計算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；運用此公式求(保存四位小數(shù))。答案：是精確成立，即得求積公式為當時，公式顯然精確成立；當時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保存四位小數(shù)）。答案：差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-104、取步長，用預估-校正法解常微分方程初值問題答案：解：即n01234500.20.40.60.81.011.825.879610.713719.422435.02795、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為6、已知區(qū)間[0.4，0.8]的函數(shù)表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點才干使誤差最??？并求該近似值。答案：解：應選三個節(jié)點，使誤差盡量小，即應使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述規(guī)定。即取節(jié)點最佳，實際計算結果，且7、構造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令.且，故在(0,1)內有唯一實根.將方程變形為則當時，故迭代格式收斂。取，計算結果列表如下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且滿足.所以.8﹑運用矩陣的LU分解法解方程組。答案：解：令得，得.9﹑對方程組試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；取初值，運用（1）中建立的迭代公式求解，規(guī)定。解：調整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)故相應的高斯—塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經7步迭代可得：.10、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。解：11、用列主元素消元法求解方程組。解：回代得。12、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的二次插值多項式,并估計誤差。解：又故截斷誤差。13、用歐拉方法求在點處的近似值。解：等價于()記,取,.則由歐拉公式,可得,14、給定方程1)分析該方程存在幾個根；2)用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；說明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程（1）改寫為（2）作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2)將方程（2）改寫為構造迭代格式計算結果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)，當時，，且所以迭代格式對任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7,計算三次，保存五位小數(shù)。解：是的正根，，牛頓迭代公式為，即取x0=1.7,列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f(1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：17、n=3,用復合梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。解：，時，至少有兩位有效數(shù)字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組=，取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保存三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T，列表計算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52619、用預估—校正法求解(0￡x￡1)，h=0。2，取兩位小數(shù)。解：預估—校正公式為其中，，h=0.2，，代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.4220、（8分）用最小二乘法求形如的經驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解：解方程組其中解得：所以，21、（15分）用的復化梯形公式（或復化Simpson公式）計算時，試用余項估計其誤差。用的復化梯形公式（或復化Simpson公式）計算出該積分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）相應迭代格式；(2)相應迭代格式；（3）相應迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。解：（1），，故收斂；（2），，故收斂；（3），，故發(fā)散。選擇（1）：，，，，，，23、（8分）已知方程組，其中，列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，24、1、（15分）取步長，求解初值問題用改善的歐拉法求的值；用經典的四階龍格—庫塔法求的值。解：改善的歐拉法：所以；經典的四階龍格—庫塔法：，所以。25、數(shù)值積分公式形如試擬定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設，推導余項公式，并估計誤差。解：將分布代入公式得：構造Hermite插值多項式滿足其中則有：，26、用二步法求解常微分方程的初值問題時，如何選擇參數(shù)使方法階數(shù)盡也許高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的解：所以主項：該方法是二階的。27、（10分）已知數(shù)值積分公式為：，試擬定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立；時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。28、（8分）已知求的迭代公式為：證明：對一切，且序列是單調遞減的，從而迭代過程收斂。證明：故對一切。又所以，即序列是單調遞減有下界，從而迭代過程收斂。29、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解：是。由于在基點1、2處的插值多項式為。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程在區(qū)間[0,1]的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(6分)，n=0,1,2,…∴對任意的初值,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并運用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.10+0.0476190(115-100)-0.(115-100)(115-121)

=10.722755532、(10分)用復化Simpson公式計算積分的近似值，規(guī)定誤差限為?；蜻\用余項：，，33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：

3.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.333300001.93759.687534、(8分)求方程組的最小二乘解。，，若用Householder變換，則：最小二乘解：(-1.33333，2.00000)T.35、(8分)已知常微分方程的初值問題：

用改善的Euler方法計算的近似值，取步長。，36、(6分)構造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：

取f(x)=1,x，令公式準確成立，得：，，f(x)=x2時，公式左右=1/4;f(x)=x3時，公式左=1/5,公式右=5/24∴公式的代數(shù)精度=237、（15分）已知方程組，其中，，（1）寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判斷（1）中兩種方法的收斂性，假如均收斂，說明哪一種方法收斂更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式Gauss-Seidel迭代法的分量形式（2）Jacobi迭代法的迭代矩陣為，，，Jacobi迭代法收斂Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為，，，Gauss-Seidel迭代法發(fā)散38、（10分）對于一階微分方程初值問題，取步長，分別用Euler預報－校正法和經典的四階龍格—庫塔法求的近似值。解：Euler