《流體力學(xué)》第十章相似性原理及因次分析

第十章相似性原理和因次分析流體力學(xué)實驗是研究問題的重要手段。相似性原理用于指導(dǎo)實驗非常有用。相似性原理所研究的是相似物理現(xiàn)象之間的關(guān)系。只有同類的物理現(xiàn)象之間才能談?wù)撓嗨茊栴}。同類的物理現(xiàn)象：是指那些用相同形式并具有相同內(nèi)容的微分方程式所描寫的現(xiàn)象。電場和導(dǎo)熱物體的溫度場之間只有類比或比擬，但不存在相似。第一節(jié)力學(xué)相似性原理如果兩個同一類的物理現(xiàn)象，在對應(yīng)的時空點，各標(biāo)量物理量的大小成比例，各向量物理量除大小成比例外，且方向相同，則稱兩個現(xiàn)象是相似的。相似的條件：幾何相似、運動相似、動力相似以及兩個流動的邊界條件和起始條件相似。幾何相似幾何相似是指流動空間幾何相似。即形成此空間任意相應(yīng)兩線段夾角相等，任意相應(yīng)線段長度保持一定的比例。原型管流模型管流幾何相似長度比例常數(shù)：幾何相似是力學(xué)相似的前提。原型管流模型管流運動相似兩流體運動相似：要求兩流動的相應(yīng)流線幾何相似，或者說：相應(yīng)點的流速大小成比例，方向相同。速度比例常數(shù)：時間比例常數(shù)：由于流速場的研究是流體力學(xué)的首要任務(wù)，運動相似通常是模型實驗的目的。動力相似兩流體動力相似，要求兩流動同名力作用，相應(yīng)的同名力成比例。同名作用力，指的是同一物理性質(zhì)的力，如重力，粘性力，壓力，慣性力，彈性力等。動力相似是運動相似的保證第二節(jié)相似準(zhǔn)數(shù)由動力相似的定義推導(dǎo)相似準(zhǔn)數(shù)：由于慣性力與運動相似直接相關(guān)，把以上關(guān)系寫為：原型流動模型流動以慣性力和重力相似的關(guān)系為例：弗諾得數(shù)相等以上提出的一系列數(shù)：歐拉數(shù)、弗諾得數(shù)、雷諾數(shù)、馬赫數(shù)都是反映動力相似的相似準(zhǔn)數(shù)。歐拉數(shù)是壓力的相似準(zhǔn)數(shù)弗諾得數(shù)是重力的相似準(zhǔn)數(shù)雷諾數(shù)是粘性力的相似準(zhǔn)數(shù)馬赫數(shù)是彈性力的相似準(zhǔn)數(shù)。兩個流動現(xiàn)象如果是動力相似的，則它們的同名準(zhǔn)則數(shù)相等。相似理論中的定理：第一定理：兩個相似的現(xiàn)象，它們的同名相似準(zhǔn)數(shù)必定相等。第二定理：由定性物理量組成的相似準(zhǔn)數(shù)，相互間存在函數(shù)關(guān)系。第三定理：兩個現(xiàn)象相似的充分必要條件除了相似準(zhǔn)數(shù)相等外，還包括單值性條件相似。單值性條件相似包括幾何相似，邊界條件和初始條件相似，以及由單值性條件所導(dǎo)出的相似準(zhǔn)數(shù)相等。例如：在考慮不可壓縮流體流動的動力相似時，決定流動平衡的四種力，粘滯力、壓力、重力和慣性力并非都是獨立的，其中必有一力是被動的，只要三個力分別相似，則第四個力必然相似。因此，在決定動力相似的三個準(zhǔn)則數(shù)Eu,Fr,Re中，也必有一個被動的，相互之間存在依賴關(guān)系Eu=f(Fr,Re)。準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系稱為準(zhǔn)則方程。近似模型法：弗諾得模型法適用于水工結(jié)構(gòu)、明渠水流、波浪阻力、閘孔出流等。雷諾模型法適用于管中流動、液壓技術(shù)、孔口出流、水力機(jī)械等。歐拉模型法適用于自動模型區(qū)的管流、風(fēng)洞實驗、氣體繞流等。不能保證全面力學(xué)相似的模型設(shè)計方法。在一個具體問題上。不同的力重要性不同，只要保證實驗在主要問題上不失真，就無礙于實際問題的研究。自動模型區(qū)（自模擬區(qū)）（自模區(qū)）：當(dāng)某一相似準(zhǔn)則在一定的數(shù)值范圍內(nèi)，流動的相似性與該準(zhǔn)則數(shù)無關(guān)，也就是即使原型和模型的該準(zhǔn)則數(shù)值不相等，流動仍保持相似。準(zhǔn)則數(shù)的這一范圍就稱為自動模型區(qū)，并說流動進(jìn)入了該準(zhǔn)則數(shù)的自動模型區(qū)。例10-1、2第四節(jié)因次分析法因次分析的概念和原理因次是指物理量的性質(zhì)和類別。因次分析法就是通過現(xiàn)象中物理量的因次以及因次之間相互聯(lián)系的各種性質(zhì)的分析來研究現(xiàn)象相似性的方法。七個基本因次（量綱）：時間(T)、長度(L)、質(zhì)量(M)、溫度(Θ)、物質(zhì)的量、電流、光強。對可壓縮流動，常采用質(zhì)量、長度、時間、溫度作為基本因次。因次分析法：

π定理：一個表示n個物理量間關(guān)系的量綱一致的方程式，一定可以轉(zhuǎn)換成包含n-m個獨立的無量綱物理量群間的關(guān)系式。m指n個物理量中所涉及到的基本量綱的數(shù)目。π定理這n個物理量中所涉及到的基本量綱有3個,則其中為因次獨立的重復(fù)變量例10-3:由實驗可知有壓管中的壓強損失與管長l,管徑d，管壁粗糙度K,流體運動粘性系數(shù)ν,密度ρ和平均流速v有關(guān),試用因次分析法確定壓強損失的計算公式.解：各變量的量綱為：變量ΔpldKνρv單位Pammmm2/skg/m3m/s量綱ML-1T-2LLLL2T-1ML-3LT-1含有三個基本量綱：M，L，T取d,v,ρ為基本量，則以π1為例：所以：由π定理得：同理可得：函數(shù)的具體形式由實驗確定,由實驗可知：這樣,運用π定理,結(jié)合實驗,得到達(dá)西公式例如想確定λ的計算式，用因次分析法不僅可導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)和結(jié)合實驗得到準(zhǔn)則方程,同樣可用于實驗方案的確定、模型的設(shè)計同和實驗數(shù)據(jù)的整理等。如果每個變量改變10次，則需做實驗次數(shù)分別為這樣,運用π定理,能大幅度減少實驗次數(shù)，又能得到具有通用性的實驗結(jié)果102次104次選多了應(yīng)用因次分析法時,至關(guān)重要的問題是:研究復(fù)雜化規(guī)律錯誤如何正確選定所有有影響的因素選少了相似理論和因次分析法在實驗流體力學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用,要真正掌握,最好親自參與實驗的全過程,包括制定實驗方案,模型設(shè)計及實驗數(shù)據(jù)的整理和應(yīng)用等。解：各量綱為：例題1：三角形水堰的流量Q與堰上水頭H及重力加速度g有關(guān)，試用因次分析法確定Q=f（H，g）的關(guān)系式。設(shè)，則物理量QHg量綱L3T-1LLT-2由L的冪次相等得：由T的冪次相等得：于是例題2：為了求得水管中蝶閥的特性,預(yù)先在空氣中做模型實驗,兩種閥的α角相同,已知原型中流量為8m3/s,直徑D1=2.5m,模型中空氣密度ρ2=1.25kg/m3,流量Q2=1.6m3/s,直徑D2=250mm,測得模型中閥前后的壓強損失為Δp2=275mm水柱,作用力P2=140N,作用力矩M2=3Nm,實驗是根據(jù)力學(xué)相似設(shè)計的,求速度比例常數(shù)λv,長度比例常數(shù)λl,密度比例常數(shù)λρ,及實物閥上的Δp1,P1和M1。例題3：汽車高度h1=2m,速度u1=108m/h,行駛環(huán)境為20℃時的空氣，模型實驗空氣為0℃，氣流速度為u2=60m/s,(1)試求模型中的汽車高度h2？(2)在模型中測得正面阻力為P2=1500N