第2章數(shù)學基礎(chǔ)2

§2.3地圖投影

2.3.1地圖投影概述2.3.2我國常用地圖投影2.3.3高斯—克呂格投影地圖投影1.定義按照一定的數(shù)學法則，將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)轉(zhuǎn)換到平面上，使地面點位的地理坐標（ψ，λ）與地圖上相對應(yīng)的點位的平面直角坐標（x,y）或平面極坐標間，建立一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。數(shù)學公式：x=f1（ψ，λ）y=f2（ψ，λ）

給定不同的具體條件，可得到不同種類的投影公式

2.3.1地圖投影概述平面直角坐標系經(jīng)緯線在平面地圖上表現(xiàn)為曲線，單位是按角度的度、分、秒計量，而且單位長度也不是常數(shù)。因此經(jīng)緯線網(wǎng)對于進行量算作業(yè)很不方便。對于較小的制圖區(qū)域（較大比例尺圖的圖區(qū)），由球面投影到地圖平面上所產(chǎn)生的幾何變形較小，在圖上加繪平面直角坐標網(wǎng)有利于做高精度的定位和定向作業(yè)，于是在大中比例尺地形圖上就出現(xiàn)了直角坐標網(wǎng)格。在測繪中所采用的平面直角坐標系是一種笛卡兒坐標系，但與數(shù)學上常用的坐標系的表示方法不同，它是用X表示縱軸，Y表示橫軸，以便角度從X軸按順時針方向計量。

地球橢球面地圖平面B,Lx，y地圖投影的主要任務(wù):建立地圖的數(shù)學基礎(chǔ)，它包括把地球面上的坐標系轉(zhuǎn)化成平面坐標系，建立制圖網(wǎng)——經(jīng)緯線在平面上的表象。為了制作地圖，需要將地球體面這個不可展的曲面展成平面，從而造成地球體面某些部分的破裂或重疊，使位于地表這部分的地物和地貌變得不連續(xù)和不完整。2.地圖投影變形但從實際應(yīng)用角度而言，則要求地圖所反映的事物必須是連續(xù)而完整的。為此就須將裂開的部分予以均勻地拉伸且重疊的部分予以均勻地壓縮，以消除裂縫和褶皺，從而構(gòu)成事物圖像完整的地圖。地圖投影是球面與平面間保持一一對應(yīng)關(guān)系，但不能保持其長度、面積、角度完全不變。地球儀上的經(jīng)緯網(wǎng)特征：1．所有的經(jīng)線圈均為大圓，長度相等，并隨著緯度的增大，由在赤道上的互相平行逐漸收斂于極點；2．所有緯線圈均為互相平行的圓，長度不等，赤道最長，隨緯度增大而逐漸縮短，到了極點稱為一點；3．經(jīng)線與緯線均互相正交，交點處處成直角；4．同一緯線上，經(jīng)差相同的緯線弧長相等；5．同一經(jīng)線上，緯差相同的經(jīng)線弧長基本相等（正球體完全相等，橢球體向兩極逐漸增長，但相差很?。?．同一緯度帶內(nèi)，相同經(jīng)差構(gòu)成的球面梯形形狀相同、面積相等；7．同一經(jīng)度帶內(nèi)，相同緯差構(gòu)成的球面梯形形狀不同、面積不等，由低緯向高緯逐漸縮??；4.地圖投影分類（1）幾何投影：a按承載面不同分為方位投影（平面），圓柱投影（橢圓柱投影，圓柱投影），圓錐投影（橢圓錐投影，圓錐投影）；b按照承載面與球軸之間的關(guān)系分為正軸投影（短軸），橫軸投影（長軸），斜軸投影；c按承載面與球體的關(guān)系分為相切投影，相割投影；a.按構(gòu)成方法分類

地圖投影的分類——按正軸經(jīng)緯線標準網(wǎng)的形狀分類圓柱投影方位投影圓錐投影割投影斜投影（2）非幾何投影：

幾何投影是地圖投影的基礎(chǔ)，具有局限性，通過數(shù)學解析方法，不借助任何投影面，根據(jù)制圖的某些特殊要求，如考慮制圖區(qū)域形狀等特點，選用適合的投影條件，求出投影公式，確定球面與平面的函數(shù)關(guān)系。如偽方位投影、偽圓柱投影等(1)等角投影系指投影面上某點的任意兩方向線夾角與地球橢球體面上相應(yīng)的夾角相等的投影。等角投影在小范圍內(nèi)沒有方向變形，因而便于在圖上量測方向和距離，適用于編制風向、洋流、航海、航空等地圖和各種比例尺地形圖。(2)等積投影系指投影面上的任意圖形面積與地球橢球體面上相應(yīng)的圖形面積相等的投影。等積投影便于在地圖上量測面積，主要用于編制要求面積無變形的地圖，如政區(qū)、人口密度、土地利用、森林和礦藏分布圖以及其它自然和經(jīng)濟地圖。(3)任意投影系指既不是等角投影也不是等積投影，是角度、面積和長度三種變形同時存在的一類投影。即包括了除等角、等積兩類投影之外的所有投影。在任意投影中，有一類保持沿變形橢圓一個主方向長度變形為零，稱等距投影，在等距投影的地圖上，面積變形較等角投影小，角度變形較等積投影小，是一種變形較適中的投影，多用于對投影性質(zhì)無特殊要求或區(qū)域較大的地圖，如教學地圖、科普地圖、世界地圖、大洋地圖，以及要求在一方向上具有等距性質(zhì)的地圖，如交通地圖和時區(qū)地圖等。b.按投影變形分類5.地圖投影的變換地圖投影變換可廣義地理解為研究空間數(shù)據(jù)處理，變換及應(yīng)用的理論和方法，它可表達為：(x'，y')－－－(φ，λ)－－－(X，Y)地圖投影變換可狹義地理解為建立兩平面場之間點的一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。數(shù)字地圖的投影變換：數(shù)字化——（求反解）——投影前一投影：后一投影：x=f1（ψ，λ）X=f1（ψ，λ）y=f2（ψ，λ）－－－(φ，λ)Y=f2（ψ，λ）根據(jù)前一投影求出地理坐標，帶入后一公式計算；在計算機中完成。1：100萬：蘭勃投影（正軸等積割圓錐投影）大部分分省圖、大多數(shù)同級比例尺也采用蘭勃投影1：50萬、1：25萬、1：10萬、1：5萬、1：2.5萬、1:1萬、1：5000采用高斯—克呂格投影。2.3.2我國常用地圖投影2.3.3高斯—克呂格投影地圖投影我國現(xiàn)行的大于（含）1：50萬比例尺的地形圖，都采用高斯—克呂格（Gauss—Kruger）投影。假設(shè)一個橢圓柱橫套在地球橢球面上，使其與某一條經(jīng)線相切，將橢球面上的經(jīng)緯線投影到橢圓柱面上，然后將橢圓柱展成平面；投影后的經(jīng)緯線互相垂直；屬于等角投影；是一種橫切橢圓柱投影；等角橫軸切橢圓柱投影1.原理PPABCDPABCDPXY赤道投影橢圓柱高斯—克呂格投影的平面直角坐標系，是以相切的經(jīng)線（中央經(jīng)線）之投影為X軸，以赤道的投影為Y軸。

2.基本條件高斯—克呂格投影的基本條件為：中央經(jīng)線和赤道被投影為互相垂直的直線，而且是投影的對稱軸；投影后沒有角度變形；中央經(jīng)線上沒有長度變形。500kmOO'YXX'赤道中央經(jīng)線3.坐標公式4.高斯投影性質(zhì)a．中央經(jīng)線投影后為直線，且長度不變形；b．其余經(jīng)線投影后為凹向中央經(jīng)線的曲線，長度均有變形，且比實際經(jīng)線長；（同一緯線上，距中央經(jīng)線越遠，即經(jīng)差越大，變形越大）c．赤道投影后為直線，長度有變形，且比實際赤道長；d．其余緯線的投影為凸向赤道的曲線，長度有變形，且比實際緯線長；（同一經(jīng)線上，緯度越低，變形越大）e．角度無變形（經(jīng)緯線正交）；f．投影后的面積大于投影前的面積；g．具有對稱性（南北對稱，東西對稱）。

5.高斯投影分帶

經(jīng)差越小——長度變形越小——分帶越多——直角坐標系越多劃分投影帶的原則：在滿足長度變形的情況下，分帶越少，越好。我國地形圖除1：100萬為等角正軸割圓錐投影外，其余采用的是高斯投影，分別采取了6°分帶投影（1:2.5萬——1:50萬）和3°分帶投影（1；5000和1：1萬）。這樣可以保證在一個投影帶內(nèi)長度變形不大于1.38‰。高斯——克呂格投影投影分帶6°分帶：小于、等于1:2.5萬3°分帶：大于、等于1:1萬12121314151617181920212223138o0o6o12o66o72o78o84o90o96o102o108o114o120o126o132o12325272931333537394143453o9o69o75o81o87o93o99o105o111o117o123o129o135o高斯6°分帶投影

6°分帶投影是從零子午線起，由西向東，每6°為一帶，全球共分60帶，東半球劃分30個投影帶，從0°至180°，用1、2…30表示。6°分帶投影的帶號：n=[λE/6°]+1，[]取整λE=112°15ˊ03"，計算n，該帶的經(jīng)度范圍，及該帶中央經(jīng)線的經(jīng)度。n=18+1=19，即在高斯6°分帶投影中，第19帶；經(jīng)度范圍：6*（n-1）～6*n=108°～114°中央經(jīng)線：6*n-3=111°高斯3°分帶投影3°分帶投影是從東經(jīng)1°30ˊ，由西向東，每3°為一帶，全球共分120帶，，用1…120表示。3°分帶投影帶號：n=[λE-1°30ˊ/3°]+1，[]取整λE=112°15ˊ03"，計算n，該帶的經(jīng)度范圍，及該帶中央經(jīng)線的經(jīng)度。n=36+1=37，即在3°分帶投影中，第37帶；經(jīng)度范圍：3°*（n-1）+1°30ˊ～3*n+1°30ˊ=109.5°～112.5°中央經(jīng)線：3°*n=111°6.高斯投影坐標網(wǎng)a．經(jīng)緯網(wǎng)在1：5000至1：25萬比例尺地形圖上，經(jīng)緯線只以內(nèi)圖廓線形式直接表現(xiàn)出來，并在圖幅四個角點處注出相應(yīng)的度數(shù)。為了便于在用圖時加密成網(wǎng)，在其中≤1：1萬的地形圖內(nèi)外圖廓間，以1ˊ為單位繪出分度帶短線，供需要量圖時連對應(yīng)短線構(gòu)成加密的經(jīng)緯網(wǎng)。在1：25萬地形圖上，除在內(nèi)圖廓線上繪有分度帶外，在圖內(nèi)還以10ˊ為單位繪出加密用的十字線。1：50萬至1：100萬地形圖，除在內(nèi)圖廓線上繪出加密分劃短線外，還在圖面上直接繪出經(jīng)緯網(wǎng)。

b．方里網(wǎng)方里網(wǎng)，是由距離高斯投影帶縱橫坐標軸均為整公里數(shù)的兩組平行直線所構(gòu)成的方格網(wǎng)，因方里線是平行于直角坐標軸的坐標網(wǎng)線，故又稱直角坐標網(wǎng)。鑒于經(jīng)緯線在實地和地圖上均為曲線，其單位長度不是常數(shù)，不便于量測距離和方向，因此，在大比例尺地形圖上除有地理坐標網(wǎng)外，還繪了直角坐標網(wǎng)。

高斯投影平面直角坐標以中央經(jīng)線投影為縱坐標軸X軸（北為正，南為負），以赤道投影為橫坐標軸Y軸（東為正，西為負），交點為原點。

我國位于北半球，X值全為正值。在每個投影帶中有一半的Y值為負值。為避免計算中因出現(xiàn)負值而出現(xiàn)差錯，規(guī)定縱坐標軸向西平移500km（？）通用坐標：Y+500km+(前綴）帶號思考：方里網(wǎng)一般是正北嗎？YB=-148474.8+500000=351525.2(m)由高斯投影公式可知，在分帶投影時，同緯度，距中央經(jīng)線經(jīng)差相同時，其直角坐標相同，因此為了區(qū)分在橫坐標加上500km后，在前面再加上其所在的帶號，變成通用坐標。如19653，其意義是該點為高斯6°投影帶，第19帶，橫坐標653km。

我國規(guī)定在1：1萬至1：25萬地形圖上均標繪方里網(wǎng)，方里網(wǎng)密度不同：1：1萬，每網(wǎng)線相隔10cm，代表1km；1：2.5萬，每網(wǎng)線相隔4cm，代表1km；1：5萬，每網(wǎng)線相隔2cm，代表1km；1：10萬，每網(wǎng)線相隔2cm，代表2km；1：25萬，每網(wǎng)線相隔4cm，代表10km；鄰帶坐標網(wǎng)，系指一幅地形圖上所繪的相鄰投影帶的坐標網(wǎng)。高斯投影的經(jīng)線是向兩極收斂的，而且又分帶各自單獨投影，自成一個坐標系統(tǒng)；而地圖的分幅是按照經(jīng)緯度進行分幅的，致使鄰帶間相同比例尺圖幅方里網(wǎng)互不聯(lián)系，給拼接使用地圖帶來困難。c．鄰帶坐標網(wǎng)AB§2.4地圖比例尺2.4.1定義：圖上一直線的長度與地面相應(yīng)直線距離水平投影長度之比。可表達為（d為圖上距離，D為實地距離）比例尺精度某一比例尺地圖上0.1mm相當于實地的水平長度，稱為比例尺精度，又稱極限精度。2.4.2表現(xiàn)形式 ①

數(shù)字式比例尺

如1:10000 ②文字式比例尺

如百萬分之一 ③

圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復式比例尺 ④

特殊比例尺 變比例尺 無級別比例尺數(shù)字比例尺文字比例尺圖上1cm相當于實地km數(shù)實地1km相當于圖上cm數(shù)1∶10000一萬分之一0.1101∶25000二萬五千分之一0.2541∶50000五萬分之一0.521∶100000十萬分之一111∶250000二十五萬分之一2.50.41∶500000五十萬分之一50.21∶1000000百萬分之一100.1

2.4.3國家基本地圖的比例尺系列

§2.5地圖分幅編號按一定幅面大小將某種比例尺地圖所包含范圍內(nèi)的圖幅劃分成許多幅地圖，并編注其序號的做法稱地圖的分幅編號。

1．意義：測制地圖時，防止漏測和重測；使用地圖時，便于檢索和管理；2．原則：（1）

以投影帶為基礎(chǔ)，按經(jīng)緯度劃分；（2）圖面大小適宜，各種比例尺圖大小基本一致；（3）照顧編繪系列，防止割裂圖幅；（4）經(jīng)緯度盡可能整分（5）編號簡單明了2.5.1意義、原則和方法

3．主要分幅方法（1）矩形分幅：

按直角坐標網(wǎng)格（矩形）進行分幅；（2）梯形分幅：

按經(jīng)緯網(wǎng)格（梯形）進行分幅；常用于〉1：5000；使用范圍：掛圖、地圖集、專題地圖等

優(yōu)點：圖幅間接合緊密，便于拼接；分幅有意識避開重要地物，保證其完整

缺點：整個制圖區(qū)域只能一次投影制成（適于制圖區(qū)域較小，若大，一次投影完成，部分區(qū)域精度影響）。矩形分幅梯形分幅（經(jīng)緯線分幅）：使用范圍：地形圖、小比例尺地圖等。我國地形圖均采取該種形式；

優(yōu)點：系統(tǒng)性強，可分帶多次投影（能保證精度）；各圖幅有明確的地理位置

缺點：直角坐標網(wǎng)鄰帶接合不緊密（鄰帶方里網(wǎng)），不便于拼接。破壞重要地物的完整性4．主要編號方法：行列式編號法，自然序數(shù)式編號法，行列-自然序數(shù)式編號法；

2.5.2我國基本比例尺地形圖

分幅編號體系目前我國基本比例尺地形圖分幅編號系統(tǒng)有兩種：一種是1991年前的以國際百萬分之一地形圖為基礎(chǔ)的分幅編號系統(tǒng)；另一種是1991年后的在國際百萬分之一基礎(chǔ)上改進的，便于計算機管理和檢索的新《國家基本比例尺地形圖分幅和編號》系統(tǒng)（新編號系統(tǒng)）。兩種系統(tǒng)，分幅是一樣的，所有的分幅經(jīng)差和緯差均相同；不同的是分幅的基礎(chǔ)圖和編號形式不一樣。

1．國際百萬分之一地形圖的分幅編號分幅：Δλ=6o，Δφ=4o，即由赤道起向南北緯度88o，以緯差4o分成22行（Δφ=4o），行代碼為A、B、C…V（即代替1、2、3…22）；從180o經(jīng)度起，自西向東（逆時針），以經(jīng)差6o分成60列（Δλ=6o），列代碼為1、2、3…60；注意1:100萬分列時和高斯6度分帶投影時帶號起點的區(qū)別!（梯形圖幅隨緯度升高不斷縮小，在緯度60—76o時，按經(jīng)差12o，緯差4o雙幅合并；在76—88o，按經(jīng)差24o，緯差4o四幅合并；在88o以上的極地，以極點為中心單獨成一幅圖），我國陸地經(jīng)度在72-136o，緯度在北緯60o以內(nèi)，屬中緯度區(qū)，不考慮圖幅合并問題。編號：行列式編號法，1991年前：行-列，1991年后：行列。

舉例：已知某地λE=112°15′05″，φ=34°52′36″，求該地所在1：100萬圖幅號。4。6。2．91年前其它地形圖分幅編號（圖解法）（1）1：50萬地形圖分幅與編號基礎(chǔ)圖：1：100萬地形圖；分幅：由1：100萬地形圖分成2行2列，即4幅1：50萬地形圖，Δλ=3o，Δφ=2o，代碼為A、B、C、D，代碼順序為從左向右，自上而下；編號：在1:100萬地形圖圖號后加上1：50萬的代碼，行列-自然序數(shù)式編號法，即行-列-自然序數(shù)。ABCDλE=112°15′05″,φ=34°52′36″

求該地所在1：50萬圖幅號首先求其基礎(chǔ)圖幅的經(jīng)緯度范圍：緯度：（h-1）*4°——h*4°經(jīng)度：（l-31）*6°—（l-30）*6°32°36°108°114°32°36°108°114°34°111°則該地所在1：50萬圖幅號為？I-49-B

你作對了嗎？1：100萬基礎(chǔ)圖：1：100萬地形圖；分幅：由1：100萬地形圖分成4行4列，即16幅1：25萬地形圖，Δλ=1o30′，Δφ=1o，代碼為[1]、[2]、[3]…[16]，代碼順序為從左向右，自上而下；編號：在1:100萬地形圖圖號后加上1：25萬的代碼，行列-自然序數(shù)式編號法，即行-列-自然序數(shù)。λE=112°15′05″,φ=34°52′36″

求該地所在1：25萬圖幅號（2）1：25萬地形圖分幅與編號32°36°108°114°36°1：100萬32°36°108°114°34°111°則該地所在1：25萬圖幅號為？I-49-[7]

[1][16][13][9][5][4][3][2]109°30′112°30′33°35°[7]基礎(chǔ)圖：1：100萬地形圖；分幅：由1：100萬地形圖分成12行12列，（如果分成10行10列，那么由1：10萬的圖編繪1：25萬時，將是兩幅半的行列成一幅圖，造成圖幅分裂，因此分成12行12列，3行3列成一幅圖）即1幅基礎(chǔ)圖分成144幅1：10萬地形圖，Δλ=30′,Δφ=20′，代碼為1、2、3…144，代碼順序為從左向右，自上而下；2列一經(jīng)度，3行一緯度；編號：在1:100萬地形圖圖號后加上1：10萬的代碼，行列-自然序數(shù)式編號法，即行-列-自然序數(shù)，如I-49-45。

（3）1：10萬地形圖分幅與編號32°36°108°114°34°111°則該地所在1：10萬圖幅號為？I-49-45

109°30′112°30′33°35°111°30′112°34°20′34°40′45基礎(chǔ)圖：1：10萬地形圖；分幅：由1：10萬地形圖分成2行2列，即1幅基礎(chǔ)圖分成4幅1：5萬地形圖，Δλ=15′，Δφ=10′，代碼為A、B、C、D，代碼順序為從左向右，自上而下；編號：在1:10萬地形圖圖號后加上1：5萬的代碼，行列-自然序數(shù)式編號法，即行-列-自然序數(shù)，。計算：首先計算1：10萬分幅號，找出四點坐標

（4）1：5萬地形圖分幅與編號ABCDλE=112°15′05″,φ=34°52′36″

求該地所在1：5萬圖幅號35°112°35°112°則該地所在1：5萬圖幅號為？I-49-45-B

1：10萬112°30′34°40′34°50′34°40′112°30′112°15′基礎(chǔ)圖：1：10萬地形圖；分幅：由1：10萬地形圖分成8行8列，即1幅基礎(chǔ)圖分成64幅1：1萬地形圖，Δλ=3′45″，Δφ=2′30″，代碼為(1)、(2)、(3)…(64)，代碼順序為從左向右，自上而下；編號：在1:10萬地形圖圖號后加上1：1萬的代碼，行列-自然序數(shù)式編號法，即行-列-自然序數(shù)，。計算：首先計算1：10萬分幅號，找出四點坐標

（5）1：1萬地形圖分幅與編號λE=112°15′05″,φ=34°52′36″

求該地所在1：1萬圖幅號35°112°35°112°則該地所在1：1萬圖幅號為？I-49-45-(21)

1：10萬112°30′34°40′34°50′34°40′112°30′112°15′(8)(21)1：2.5萬和1：5000地形圖分幅與編號平常用的較少，分別以1：5萬，和1：1萬作為基礎(chǔ)圖分成2行2列。1：2.5萬:I-49-45-B–1(或2、3、4)1：5000:I-49-45-（21）–a(或b、c、d)91年前其它地形圖分幅編號（解析法）

參考其他書籍自學比例尺基礎(chǔ)圖行*列數(shù)ΔλΔφ代碼編號示例1:100萬

1*16o4o1、2…60，A、B…VI-491:50萬1:100萬2*23o2oA、B、C、DI-49-B1:25萬1:100萬4*41o30′1o[1]、[2]…[16]I-49-[7]1:10萬1: