第二章運(yùn)算方法和運(yùn)算器

第二章運(yùn)算方法和運(yùn)算器PrinciplesofComputerOrganization主講教師：黃藝美UniversityofJinan12.1數(shù)據(jù)與文字的表示方法2.4定點(diǎn)除法運(yùn)算2.3定點(diǎn)乘法運(yùn)算2.2定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算2.5定點(diǎn)運(yùn)算器的組成主要內(nèi)容2.6浮點(diǎn)運(yùn)算方法和浮點(diǎn)運(yùn)算器2一、數(shù)據(jù)編碼三、數(shù)的定點(diǎn)、浮點(diǎn)表示二、數(shù)的機(jī)器碼表示2.1數(shù)據(jù)與文字的表示方法四、字符與字符串的表示方法五、漢字的表示方法六、校驗(yàn)碼3數(shù)據(jù)編碼計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)編碼需要考慮的因素:數(shù)的類型(小數(shù)、整數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)）數(shù)值范圍

數(shù)值精確度

數(shù)值存儲(chǔ)和處理所需的硬件代價(jià)

日常生活：十進(jìn)制計(jì)算機(jī)：二進(jìn)制天生十個(gè)手指頭0/1（開/關(guān)、低/高、真/假）0+1=1+0=11+1=00+0=0（用異或門實(shí)現(xiàn)）4幾個(gè)概念長(zhǎng)度：在同一計(jì)算機(jī)中，長(zhǎng)度統(tǒng)一，不足補(bǔ)0。正負(fù)：最高位符號(hào)位（0:正、1:負(fù)）真值數(shù)：帶正負(fù)號(hào)如：–0101100機(jī)器碼：符號(hào)位和數(shù)值位一起編碼如：10101100小數(shù)點(diǎn)：隱含的小數(shù)點(diǎn)位置可以固定，也可以可變。固定：定點(diǎn)數(shù)一般表示純小數(shù)或純整數(shù)可變：浮點(diǎn)數(shù)數(shù)值范圍很大，硬件較復(fù)雜原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼5數(shù)的機(jī)器碼表示正負(fù)問題計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示：原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼機(jī)器數(shù)或機(jī)器碼真值+0.1011+1100–

1100–0.10110

1011小數(shù)點(diǎn)的位置0

1100小數(shù)點(diǎn)的位置1

1100小數(shù)點(diǎn)的位置1

1011小數(shù)點(diǎn)的位置一般書寫表示機(jī)器中編碼表示6原碼表示法整數(shù)x為真值n為整數(shù)的位數(shù)如x=+1110[x]原=01110[x]原=24+1110=11110x=1110[x]原=x0≤x＜2n2n

－x=2n＋|x|

－2n＜x≤0[x]原為機(jī)器數(shù)x=+0000[x]原=00000（正零）[x]原=24+0000=10000（負(fù)零）x=00007原碼表示法小數(shù)x為真值如x=+0.1101[x]原=0.1101x=0.1101[x]原=1(0.1101)=1.1101x0≤x＜1[x]原=1－x=1＋|x|－1＜x≤0x=0.1000000[x]原=1(0.1000000)=1.1000000x=+0.1000000[x]原=0.1000000[x]原為機(jī)器數(shù)[+0]原=0.000…0[-0]原=1.000…08原碼表示法原碼為符號(hào)位加上數(shù)的絕對(duì)值，0正1負(fù)。簡(jiǎn)單、直觀但是用原碼作加法時(shí)，會(huì)出現(xiàn)如下問題：能否只作加法?

找到一個(gè)與負(fù)數(shù)等價(jià)的正數(shù)

來代替這個(gè)負(fù)數(shù)加法正正加加法正負(fù)加法負(fù)正加法負(fù)負(fù)減減加正可正可負(fù)可正可負(fù)負(fù)

要求

數(shù)1數(shù)2

實(shí)際操作結(jié)果符號(hào)9補(bǔ)碼的概念假設(shè)要校準(zhǔn)的時(shí)間為1點(diǎn)整。逆時(shí)針10－9＝1順時(shí)針10＋3＝13兩種方法：可見，減9和加3是等價(jià)的，即3是(-9)對(duì)12的補(bǔ)碼，可以用數(shù)學(xué)公式表示：－9＝＋3(mod12)結(jié)論：負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí),可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。同理：－4＝＋8(mod12)－5＝＋7(mod12)10模的概念一個(gè)負(fù)數(shù)加上“?！奔吹迷撠?fù)數(shù)的補(bǔ)數(shù)時(shí)鐘的模數(shù)為12，可以把模定義為一個(gè)計(jì)量器的容量。例如：一個(gè)4位的計(jì)數(shù)器，它的計(jì)數(shù)值為0～15。當(dāng)計(jì)數(shù)器計(jì)滿15之后再加1，這個(gè)計(jì)數(shù)器就發(fā)生溢出，其溢出量為16，也就是模等于16（即24，10000）。小數(shù)的溢出量為2，即以2為模。一個(gè)字長(zhǎng)為n+1位的定點(diǎn)整數(shù)的溢出量為2n+1，即以2n+1為模。11補(bǔ)碼表示法整數(shù)（mod

2n+1）如x=+1010[x]補(bǔ)=01010[x]補(bǔ)=27+1+（－1011000）=100000000－1011000

=10101000x=1011000[x]補(bǔ)=x0≤x＜2n2n+1

＋x=2n+1

－|x|

－2n≤x≤0對(duì)于0，[+0]補(bǔ)＝[-0]補(bǔ)＝0000

(mod

2n+1)

注意：0的補(bǔ)碼表示只有一種形式。12補(bǔ)碼表示法小數(shù)如x=+0.1011[x]補(bǔ)=0.1011x=0.1011[x]補(bǔ)=10＋(－0.1011)=1.0101x0≤x＜1[x]補(bǔ)=2＋

x=2－

|x|－1≤x≤0[+0]補(bǔ)＝[-0]補(bǔ)＝0.0000

(mod2)（mod

2）13求補(bǔ)碼的快捷方式=100000=1011010101+1=10110又[x]原=11010則[x]補(bǔ)=24+11010=11111+11010=1111110101010當(dāng)真值為負(fù)

時(shí)，補(bǔ)碼

可用原碼除符號(hào)位外每位取反，末位加1求得+1設(shè)x=1010時(shí)14舉例解：x=+0.0001解：由定義得x=[x]補(bǔ)–2=1.0001–10.0000[x]原=1.11112、已知[x]補(bǔ)=1.0001求x[x]補(bǔ)[x]原

？由定義得1、已知[x]補(bǔ)=0.0001，求x∴x=0.1111–=0.1111–15舉例解：x=[x]補(bǔ)–24+1

=11110–100000[x]原=10010[x]補(bǔ)[x]原

？∴x=0010=00103、已知[x]補(bǔ)=11110，求x由定義得x=－1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋0×20=－16+14=－24、已知[x]補(bǔ)=01110，求x解：x=+1110由定義得x=0×24＋1×23＋1×22＋1×21＋0×20=1416反碼表示法整數(shù)[x]反=x0≤x＜2n(2n+1

－1)＋x

－2n＜x≤0如x=+1101[x]反=01101=10010x=1101[x]反=(24+1－1)－1101=11111－110117反碼表示法小數(shù)x=+0.1101[x]反=0.1101x=0.1010[x]反=(2–2-4)–0.1010=1.1111–0.1010=1.0101如[x]反=x0≤x＜1(2–2-n)+x－1＜x≤0[+0.0000]反=0.0000[+0]反=00000[

0.0000]反=1.1111[0]反=11111∴[+0]反≠[0]反

18小結(jié)對(duì)于正數(shù)，原碼=補(bǔ)碼=反碼對(duì)于負(fù)數(shù)

，符號(hào)位為1，其數(shù)值部分原碼除符號(hào)位外每位取反反碼原碼除符號(hào)位外每位取反末位加1補(bǔ)碼原碼為符號(hào)位加上數(shù)的絕對(duì)值，0正1負(fù);[+0]原≠[0]原[+0]補(bǔ)＝[-0]補(bǔ)[+0]反≠[0]反

原碼加減運(yùn)算復(fù)雜。補(bǔ)碼能很好用于加減運(yùn)算。反碼表示法可以解決負(fù)數(shù)的求補(bǔ)問題。19舉例x=＋122，y=－122，求x、y的原碼、反碼、補(bǔ)碼。解：x=(＋122)10=(＋1111010)2y=(－122)10=(－1111010)2[x]原=01111010[x]反=01111010[x]補(bǔ)=01111010[y]原=11111010[y]反=10000101[y]補(bǔ)=1000011020移碼表示法補(bǔ)碼表示很難直接判斷其真值大小如十進(jìn)制x=+21x=–21x=

+31x=–31大大錯(cuò)錯(cuò)010101101011011111100001+10101–

10101+11111–

11111二進(jìn)制補(bǔ)碼x+25+10101+100000+11111+10000010101+10000011111+100000大大正確正確=110101=001011=111111=00000121移碼定義x為真值，n為整數(shù)的位數(shù)移碼在數(shù)軸上的表示[x]移碼2n+1–12n2n

–1–2n00真值如x=10100[x]移=25+10100x=–10100[x]移=25

–10100[x]移=2n+x（2n＞x

≥2n）=110100=00110022移碼和補(bǔ)碼的比較設(shè)x=+1100100[x]移=27+1100100[x]補(bǔ)=01100100設(shè)x=–1100100[x]移=27

–1100100[x]補(bǔ)=10011100補(bǔ)碼與移碼只差一個(gè)符號(hào)位=11100100=0001110023移碼的特點(diǎn)當(dāng)x=0時(shí)[+0]移=25+0當(dāng)n=5時(shí)n=5時(shí)，移碼的表示范圍為000000～111111=100000=100000=000000[+0]移=[0]移[

100000]移=25

100000最小的真值為25=

100000[0]移=250最大的真值為25-1=011111[011111]移=25+011111=11111124小結(jié)數(shù)據(jù)四種機(jī)器表示法中：(1)移碼表示法主要用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼。(2)補(bǔ)碼表示對(duì)加減法運(yùn)算十分方便，因此目前機(jī)器中廣泛采用補(bǔ)碼表示法。(3)在一些機(jī)器中,數(shù)用補(bǔ)碼形式表示、存儲(chǔ)、運(yùn)算。在有些機(jī)器中,數(shù)用原碼進(jìn)行存儲(chǔ)和傳送,運(yùn)算時(shí)改用補(bǔ)碼。還有些機(jī)器在做加減法時(shí)用補(bǔ)碼運(yùn)算,在做乘除法時(shí)用原碼運(yùn)算。25數(shù)的定點(diǎn)、浮點(diǎn)表示小數(shù)點(diǎn)問題定點(diǎn)表示（小數(shù)點(diǎn)位置固定，不使用“.”）浮點(diǎn)表示（小數(shù)點(diǎn)位置浮動(dòng)）定點(diǎn)小數(shù)定點(diǎn)整數(shù)一般表示純整數(shù)、純小數(shù)目前多采用定點(diǎn)純整數(shù)表示，稱為整數(shù)運(yùn)算26定點(diǎn)小數(shù)符號(hào)位小數(shù)點(diǎn)位置數(shù)值部分X0X1X2X3………Xn最低有效位最高有效位最大數(shù)值X0111……112-12-22-32-(n-1)2-n最大數(shù)值=2-1+2-2…+2-n=1-2-n

數(shù)的表示范圍：0≤|x|≤1-2-n

最小數(shù)值=027定點(diǎn)整數(shù)最大數(shù)值2n2n-12n-22221最大數(shù)值=21+22…+2n=2n-1數(shù)的表示范圍：0≤|x|≤2n-1最小數(shù)值=0符號(hào)位小數(shù)點(diǎn)位置數(shù)值部分X0X1X2X3………Xn最高有效位最低有效位X0X1X2X3………Xn28舉例設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)16位,定點(diǎn)表示,尾數(shù)15位,數(shù)符1位,問：定點(diǎn)原碼整數(shù)表示時(shí),最大正數(shù)是多少?最小負(fù)數(shù)是多少?解：定點(diǎn)原碼整數(shù)表示：最大正數(shù)：0111111111111111x=(215－1)10=(＋32767)10最小負(fù)數(shù)：1111111111111111x=－(215－1)10=(－32767)1029浮點(diǎn)數(shù)通過小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)改變數(shù)的大小如：0.2×1034=0.02×1035N=M×RE當(dāng)R=2時(shí)，M尾數(shù)E階碼R基數(shù)（基值）N=11.0101=0.110101×210=1.10101×21=1101.01×2-10

=0.00110101×2100

規(guī)格化數(shù)二進(jìn)制表示計(jì)算機(jī)中M小數(shù)、可正可負(fù)E整數(shù)、可正可負(fù)30浮點(diǎn)數(shù)ES

E1

E2

Em

MS

M1M2

Mn

……E

階碼M

尾數(shù)階符數(shù)符階碼的數(shù)值部分尾數(shù)的數(shù)值部分小數(shù)點(diǎn)位置MS代表浮點(diǎn)數(shù)的符號(hào)n其位數(shù)反映浮點(diǎn)數(shù)的精度m其位數(shù)反映浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍ES和m共同表示小數(shù)點(diǎn)的實(shí)際位置31浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)格式IEEE754標(biāo)準(zhǔn)：尾數(shù)用原碼；階碼用移碼，基為2。SEM31302322032位SEM63625251064位S：尾數(shù)符號(hào)，0正1負(fù)；M：尾數(shù),純小數(shù)表示,小數(shù)點(diǎn)放在尾數(shù)域的最前面。原碼。E：階碼，采用移碼表示（移碼可表示階符）;階符采用隱含方式，即采用移碼方法來表示正負(fù)指數(shù)。32浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化表示非“0”的有效位最高位為“1”(尾數(shù)的絕對(duì)值>=1/2)一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)有不同的表示：1.11；0.11121；0.011122；11.12-1規(guī)格化表示：如：0.1000101010規(guī)格化處理：通過尾數(shù)移位和修改階碼實(shí)現(xiàn)。隱藏位技術(shù)：尾數(shù)域最左位總是1，保存時(shí)左移去掉。執(zhí)行運(yùn)算時(shí)恢復(fù)。如：0.11000101.10001033規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的真值x=

(-1)s

(1.Ｍ)2Ｅ－127e=Ｅ–127一個(gè)規(guī)格化的32位浮點(diǎn)數(shù)ｘ的真值為：32位浮點(diǎn)數(shù)格式：移碼定義：SEM313023220[x]移=2n+x（2n＞x

≥2n）一個(gè)規(guī)格化的64位浮點(diǎn)數(shù)ｘ的真值為：x=

(-1)s

(1.Ｍ)2Ｅ－1023e=Ｅ–102334舉例1、若浮點(diǎn)數(shù)x的754標(biāo)準(zhǔn)存儲(chǔ)格式為(41360000)16,求其32位浮點(diǎn)數(shù)的十進(jìn)制值。解：01000001

001101100000000000000000包括隱藏位1的尾數(shù)：1.M＝1.01101100000000000000000＝1.011011于是有x＝(－1)s×1.M×2e

＝＋(1.011011)×23＝＋1011.011＝(11.375)10指數(shù)e＝階碼－127＝10000010－01111111＝00000011=(3)10S階碼(8位)尾數(shù)(23位)35舉例2、將十進(jìn)制數(shù)20.59375轉(zhuǎn)換成754標(biāo)準(zhǔn)的32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制格式來存儲(chǔ)。解：20.59375＝10100.10011＝1.010010011×24

S＝0，E＝4＋127＝131=10000011，M＝010010011e=4最后得到32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)格式為:01000001101001001100000000000000＝(41A4C000)16

36舉例3、假設(shè)由S,E,M三個(gè)域組成的一個(gè)32位二進(jìn)制字所表示的非零規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)x,真值表示為：x＝(－1)s×(1.M)×2E－128問：它所表示的規(guī)格化的最大正數(shù)、最小正數(shù)、最大負(fù)數(shù)、最小負(fù)數(shù)是多少？(3)最小負(fù)數(shù)

111111111111

11111111111111111111

x＝－[1＋(1－2－23)]×2127(4)最大負(fù)數(shù)

100000000000

00000000000000000000

x＝－1.0×2－128

解：(1)最大正數(shù)01111111111111111111111111111111

x＝[1＋(1－2-23)]×2127

(2)最小正數(shù)

000000000000

00000000000000000000

x＝1.0×2－12837十進(jìn)制數(shù)串的表示方法目前，大多數(shù)通用性較強(qiáng)的計(jì)算機(jī)都能直接處理十進(jìn)制形式表示的數(shù)據(jù)。字符串形式：一個(gè)字節(jié)存放一個(gè)十進(jìn)制的數(shù)位或符號(hào)位。在主存中，一個(gè)十進(jìn)制數(shù)占用連續(xù)的多個(gè)字節(jié)。壓縮的十進(jìn)制數(shù)串形式：一個(gè)字節(jié)存放兩個(gè)十進(jìn)制的數(shù)位。每個(gè)數(shù)位占用半個(gè)字節(jié)(即4個(gè)二進(jìn)制位),其值可用二－十編碼(BCD碼)或數(shù)字符的ASCII碼的低4位表示。123C012D+123-1238字符與字符串的表示方法現(xiàn)代計(jì)算機(jī)處理：數(shù)值領(lǐng)域的問題和非數(shù)值領(lǐng)域的問題。非數(shù)值領(lǐng)域的問題需引入文字、字母以及某些專用符號(hào)，以便表示文字語(yǔ)言、邏輯語(yǔ)言等信息。目前，國(guó)際上普遍采用的字符系統(tǒng)——ASCII碼(美國(guó)國(guó)家信息交換標(biāo)準(zhǔn)字符碼)總共128個(gè)元素，7位二進(jìn)制編碼，加上一個(gè)偶校驗(yàn)位，共8位一個(gè)字節(jié)。字符串是指連續(xù)的一串字符，通常方式下，占用主存中連續(xù)的多個(gè)字節(jié)，每個(gè)字節(jié)存放一個(gè)字符。39ASCII碼字符編碼表40漢字的表示方法輸入編碼

數(shù)字編碼（國(guó)標(biāo)區(qū)位碼）、拼音碼、字形編碼

漢字內(nèi)碼

用于漢字信息的存儲(chǔ)、交換、檢索等操作，一般采用兩個(gè)字節(jié)。為了能區(qū)分漢字與ASCII碼，兩個(gè)字節(jié)最高位均規(guī)定為1。漢字字模碼

用點(diǎn)陣表示的漢字字形代碼，是漢字的輸出形式。所謂點(diǎn)陣，實(shí)際上就是一組二進(jìn)制數(shù)。一個(gè)m行n列的點(diǎn)陣共有m×n個(gè)點(diǎn)。每個(gè)點(diǎn)可以是“黑”(1)點(diǎn)或“白”(0)點(diǎn)。注意：漢字的輸入編碼、漢字內(nèi)碼、字模碼是計(jì)算機(jī)中用于輸入、內(nèi)部處理、輸出三種不同用途的編碼，不要混為一談。41校驗(yàn)碼元件故障、噪聲干擾等因素常常引發(fā)錯(cuò)誤?？刹捎脤ｉT的邏輯線路進(jìn)行編碼檢測(cè)、校正錯(cuò)誤。通常的方法：在每個(gè)字上添加一些校驗(yàn)位，用來確定字中出現(xiàn)錯(cuò)誤的位置。常用方法：奇偶校驗(yàn)碼；海明校驗(yàn)與糾錯(cuò)碼；循環(huán)冗余校驗(yàn)碼。42奇偶校驗(yàn)原理：在k位數(shù)據(jù)碼之外增加1位校驗(yàn)位，使k+1位碼字中取值為1的位數(shù)保持為偶數(shù)（偶校驗(yàn)）或奇數(shù)（奇校驗(yàn)）偶校驗(yàn)奇校驗(yàn)校驗(yàn)位00010001100010

0101010100101

1原有數(shù)據(jù)位

兩個(gè)新的碼字例如：43校驗(yàn)碼設(shè)x＝(x0

x1…xn-1)是一個(gè)n位字,則奇校驗(yàn)位Ｃ定義為:C＝x0⊕x1⊕…⊕xn-1按位加x中包含奇數(shù)個(gè)1時(shí)，C=1，C=0。偶校驗(yàn)位Ｃ定義為:C＝x0⊕x1⊕…⊕xn-1x中包含偶數(shù)個(gè)1時(shí)，C=0。44舉例已知下表中左面一欄有5個(gè)字節(jié)的數(shù)據(jù)。請(qǐng)分別用奇校驗(yàn)和偶校驗(yàn)進(jìn)行編碼。數(shù)據(jù)偶校驗(yàn)編碼Ｃ奇校驗(yàn)編碼Ｃ101010100101010000000000011111111111111110101010010101000000000001111111111111111010101001010100000000000111111111111111010101010145校驗(yàn)方法（偶校驗(yàn)）發(fā)送：x0

x1…xn-1C（算出C加到需發(fā)送字的后面）接收：x0'

x1'

…xn-1

'

C'

計(jì)算：F＝x'0⊕x'1⊕…⊕x'n-1⊕C'結(jié)果：若F＝1，意味著收到的信息有錯(cuò)；若F＝0，表明x字傳送正確。奇偶校驗(yàn)可提供單個(gè)錯(cuò)誤檢測(cè)，但無法檢測(cè)多個(gè)錯(cuò)誤，更無法識(shí)別錯(cuò)誤信息的位置及糾正錯(cuò)誤。46一、補(bǔ)碼加法三、溢出概念與檢測(cè)方法二、補(bǔ)碼減法2.2定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算四、基本的二進(jìn)制加法/減法器47補(bǔ)碼加法整數(shù)[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=[x+y]補(bǔ)（mod2n+1）小數(shù)[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=[x+y]補(bǔ)（mod2）特點(diǎn)：不需要事先判斷符號(hào)，符號(hào)位與碼值位一起參加運(yùn)算。符號(hào)位相加后若有進(jìn)位，則舍去該進(jìn)位數(shù)字。x0≤x＜1[x]補(bǔ)=2＋

x=2－

|x|－1≤x≤0（mod

2）公式證明：（以定點(diǎn)小數(shù)為例）證明的先決條件：︱x︱﹤1,︱y︱﹤1,︱x＋y︱﹤1。證明的依據(jù)：48公式證明(1)x﹥0,y﹥0,則x＋y﹥0。[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝x＋y＝[x＋y]補(bǔ)(mod2)(2)x﹥0,y﹤0,則x＋y>0或x＋y<0。[x]補(bǔ)＝x,[y]補(bǔ)＝2＋y

[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝x＋2＋y＝2＋(x＋y)

當(dāng)x+y>0時(shí),2+(x+y)>2,進(jìn)位2舍去。

[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝x＋y＝[x＋y]補(bǔ)(mod2)當(dāng)x+y<0時(shí),2+(x+y)<2,又因(x+y)<0，[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝2＋(x＋y)＝[x＋y]補(bǔ)(mod2)49公式證明(3)x<0,y>0,則x＋y>0或x＋y<0。

證明同(2)(4)x<0,y<0,則x＋y<0。

相加兩數(shù)都是負(fù)數(shù),則其和也一定是負(fù)數(shù)?！遊x]補(bǔ)＝2＋x,[y]補(bǔ)＝2＋y∴[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝2＋x＋2＋y＝2＋(2＋x＋y)

因?yàn)閨x＋y|<1,1<(2＋x＋y)<2,2＋(2＋x＋y)>2，進(jìn)位2必丟失。又因x+y<0，故

[x]補(bǔ)＋[y]補(bǔ)＝2＋(x＋y)＝[x＋y]補(bǔ)(mod2)50結(jié)論在模2意義下，任意兩數(shù)的補(bǔ)碼之和等于該兩數(shù)之和的補(bǔ)碼。其結(jié)論也適用于定點(diǎn)整數(shù)。補(bǔ)碼加法的特點(diǎn)：

（1）符號(hào)位要作為數(shù)的一部分一起參加運(yùn)算；（2）在模2的意義下相加，即大于2的進(jìn)位要丟掉。51舉例1、x＝0.1001,y＝0.0101,求x＋y。解:[x]補(bǔ)＝0.1001,[y]補(bǔ)＝0.0101[x]補(bǔ)0.1001＋[y]補(bǔ)0.0101[x＋y]補(bǔ)0.1110所以x＋y＝＋0.111052舉例2、x＝＋0.1011,y＝－0.0101,求x＋y。所以x＋y＝0.0110解:[x]補(bǔ)＝0.1011,[y]補(bǔ)＝1.1011[x]補(bǔ)0.1011＋[y]補(bǔ)1.1011[x＋y]補(bǔ)10.011053舉例3、x＝＋1011,y＝－0101,求x＋y。所以x＋y＝＋0110解:[x]補(bǔ)＝01011,[y]補(bǔ)＝11011[x]補(bǔ)01011＋[y]補(bǔ)11011[x＋y]補(bǔ)10011054補(bǔ)碼減法x–y=x+(–y

)整數(shù)[x

–y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)–[y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)+[

–

y]補(bǔ)(mod2n+1)小數(shù)[x

–y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)–[y]補(bǔ)(mod2)公式證明：[–y]補(bǔ)＝–[y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)+[

–

y]補(bǔ)[

–

y]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=[y+(–y)]補(bǔ)=[0]補(bǔ)=0故[–y]補(bǔ)=–[y]補(bǔ)由[y]補(bǔ)求[

–

y]補(bǔ)的法則是：包括符號(hào)位“求反末位加1”。55舉例1、已知:x1=–0.1110,x2=+0.1101,求：[x1]補(bǔ),[–

x1]補(bǔ),[x2]補(bǔ),[–

x2]補(bǔ)。解:[x1]補(bǔ)=[–0.1110]補(bǔ)=1.0010

[–

x1]補(bǔ)

=[0.1110]補(bǔ)=0.1110[x2]補(bǔ)=[+0.1101]補(bǔ)=0.1101[–

x2]補(bǔ)=[–0.1101]補(bǔ)=1.001156舉例2、x=+0.1101,y=+0.0110,求x–

y。解:[x]補(bǔ)=0.1101[y]補(bǔ)=0.0110,[–

y]補(bǔ)=1.1010[x]補(bǔ)0.1101+[–

y]補(bǔ)1.1010[x–

y]補(bǔ)10.0111所以x–

y=+0.011157舉例3、x=–0.1101,y=–0.0110,求x–

y。解:[x]補(bǔ)=1.0011[y]補(bǔ)=1.1010,[–

y]補(bǔ)=0.0110[x]補(bǔ)1.0011+[–

y]補(bǔ)0.0110[x–

y]補(bǔ)1.1001所以x–

y=–

0.011158溢出概念與檢測(cè)方法在定點(diǎn)小數(shù)機(jī)器中，數(shù)的表示范圍為|ｘ|<1。在運(yùn)算過程中如出現(xiàn)大于1的現(xiàn)象,稱為“溢出”。機(jī)器定點(diǎn)小數(shù)表示上溢下溢例如：x=+0.1011,y=+0.1001,x+y=1.0100；正溢x=–0.1101,y=–0.1011，x+y=0.1000；負(fù)溢59溢出的檢測(cè)方法(1)雙符號(hào)位法（變形補(bǔ)碼/模4補(bǔ)碼）[x]補(bǔ)'

=

x1＞x≥04+x0＞x≥–1（mod4）[x]補(bǔ)'+[y]補(bǔ)'=[x+y]補(bǔ)'（mod4）[x

–y]補(bǔ)'=[x]補(bǔ)'+[–

y]補(bǔ)'（mod4）結(jié)果的雙符號(hào)位相同未溢出結(jié)果的雙符號(hào)位不同溢出最高符號(hào)位

代表其真正的符號(hào)00.×××××11.×××××10.×××××01.×××××60舉例1、x=+0.1100,y=+0.1000,求x+y。

解：[x]補(bǔ)=00.1100

[y]補(bǔ)=00.1000[x+y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)

+

[y]補(bǔ)

=00.1100+00.1000=01.1000

兩個(gè)符號(hào)位出現(xiàn)“01”，表示已正溢出，即結(jié)果大于+1。2、x=–0.1100,y=–0.1000,求x+y。

解：[x]補(bǔ)=11.0100

[y]補(bǔ)=11.1000[x+y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)

+

[y]補(bǔ)

=11.0100+11.1000=10.1100

兩個(gè)符號(hào)位出現(xiàn)“10”，表示已負(fù)溢出，即結(jié)果小于–1。61溢出的檢測(cè)方法(2)單符號(hào)位法硬件實(shí)現(xiàn)最高有效位的進(jìn)位符號(hào)位的進(jìn)位=1溢出[x]補(bǔ)

00.1100+[y]補(bǔ)

00.1000

01.1000[x]補(bǔ)

11.0100+[y]補(bǔ)

11.1000

10.1100溢出：最高有效位溢出（正溢）或符號(hào)位溢出（負(fù)溢）正數(shù)相加為負(fù)數(shù)或負(fù)數(shù)相加為正數(shù)則產(chǎn)生溢出（結(jié)果符號(hào)與操作數(shù)符號(hào)不同）62基本的二進(jìn)制加法/減法器“1/0”邏輯屬性“有/無”、“真/假”、“是/非”邏輯運(yùn)算：與（全1為1）、或（有1為1）、非交換律：A+B=B+AA·B=B·A結(jié)合律：A+(B+C)=(A+B)+CA·(B·C)=(A·B)·C分配律：A+B·C=(A+B)·(A+C)A·(B+C)=A·B+A·C吸收律：A+A·B=AA·(A+B)=A第二吸收律：A+A·B=A+BA·(A+B)=A·B63邏輯運(yùn)算重疊律：A+A=AA·A=A0-1律：0+A=A1·A=A0·A=01+A=1互補(bǔ)律：A+A=1A·A=0反演律：A+B=A·BA·B=A+B包含律：A·B+A·C+B·C=A·B+A·C(A+B)·(A+C)·(B+C)=(A+B)·(A+C)64邏輯門65一位全加器一位全加器真值表輸入輸出AiBiCiSiCi＋10000000110010100110110010101011100111111加法運(yùn)算：Ai+Bi+Ci=Si(Ci+1)加數(shù)進(jìn)位輸入和進(jìn)位輸出Si＝Ai⊕Bi⊕CiCi＋1＝AiBi＋BiCi＋CiAiCi＋1=AiBi·(Ci·(Ai⊕Bi))66一位全加器一位全加器邏輯圖Si＝Ai⊕Bi⊕CiCi＋1＝AiBi＋BiCi＋CiAiCi＋1=AiBi·(Ci·(Ai⊕Bi))與非門異或門n個(gè)1位的全加器(FA)可級(jí)聯(lián)成一個(gè)n位的行波進(jìn)位加減器。一位全加器邏輯符號(hào)67n位行波進(jìn)位加減器加法運(yùn)算M=0；減法運(yùn)算M=1,A–B=[A]補(bǔ)+[–B]補(bǔ)；求補(bǔ)過程由B＋1來實(shí)現(xiàn)；溢出檢測(cè)：?jiǎn)畏?hào)位法。68時(shí)間延遲ta=n·2T+9T=(2n+9)T(1)對(duì)一位全加器(FA)來說，Si的時(shí)間延遲為6T(每級(jí)異或門延遲3T)；Ci＋1的時(shí)間延遲為5T。T3T(2)n位行波進(jìn)位加法器的延遲時(shí)間ta為:考慮溢出檢測(cè)時(shí)，有：?9T為最低位上的兩極“異或”門再加上溢出“異或”門的總時(shí)間；?2T為每級(jí)進(jìn)位鏈的延遲時(shí)間。

ta為在加法器的輸入端輸入加數(shù)和被加數(shù)后,在最壞的情況下加法器輸出端得到穩(wěn)定的求和輸出所需要的最長(zhǎng)時(shí)間。越小越好。69時(shí)間延遲0Bi,Ai(i=0,1,2,…n-1)C0輸入3T所有Bi與M異或完畢進(jìn)入FA完成必需的第0級(jí)FA的A0B0,同時(shí)也完成了AiBi(i=1,2,…,n-1)3T2TC1C2C32T2T3T3T3TCn-1Cn2T3TS0S1S2Sn-13T異或門檢測(cè)輸出ta＝n·2T＋9T＝(2n＋9)T70時(shí)間延遲C1C2C3Cn-2Cn-10Bi,Ai(i=0,1,2,…n-1)C0輸入3T所有Bi與M異或完畢進(jìn)入FA完成必需的第0級(jí)FA的A0B0,同時(shí)也完成了AiBi(i=1,2,…,n-1)3T2T2T2T3T3T3T2T3TS0S1S2Sn-1ta＝(n-1)·2T＋9T71一、原碼一位乘法三、原碼并行乘法二、補(bǔ)碼一位乘法2.3定點(diǎn)乘法運(yùn)算四、補(bǔ)碼并行乘法72分析筆算乘法A=–0.1101B=0.1011A×B=–0.100011110.11010.101111011101000011010.10001111符號(hào)位單獨(dú)處理乘數(shù)的某一位決定是否加被乘數(shù)4個(gè)位積一起相加乘積的位數(shù)擴(kuò)大一倍×乘積的符號(hào)心算求得

？？73改進(jìn)A

?B=A

?0.1011=0.1A+0.00A+0.001A+0.0001A=0.1A+0.00A+0.001(A+0.1A)=0.1A+0.01[0?

A+0.1(A+0.1A)]=0.1{A+0.1[0?

A+0.1(A+0.1A)]}=2-1{A

+2-1[0?

A+2-1(A

+

2-1(A+0))]}①②⑧第一步被乘數(shù)A

+0第二步右移一位，得新的部分積第八步右移一位，得結(jié)果③第三步部分積

+

被乘數(shù)…右移一位74改進(jìn)后的乘法過程0.00000.11010.11010.11010.00000.1101初態(tài)，部分積=0乘數(shù)為1，加被乘數(shù)乘數(shù)為1，加被乘數(shù)乘數(shù)為0，加01.00110.10011.0001乘數(shù)為1，加被乘數(shù)0.100011111，得結(jié)果1011=0.01101，形成新的部分積1101=0.10011，形成新的部分積11

10=0.01001，形成新的部分積111

1=部分積乘數(shù)說明＋＋＋＋75小結(jié)

被乘數(shù)只與部分積的高位相加

由乘數(shù)的末位決定被乘數(shù)是否與原部分積相加，然后1位形成新的部分積，同時(shí)乘數(shù)1

位（末位移丟），空出高位存放部分積的低位。硬件3

個(gè)寄存器，具有移位功能1

個(gè)全加器乘法

運(yùn)算可用加和移位實(shí)現(xiàn)

n=4，加4次，移4次76原碼一位乘法以小數(shù)為例設(shè)[x]原=0.x1x2

xn…[y]原=0.y1y2

yn…x?

y=x(0.y1y2

yn)…=x(y12-1+y22-2++yn2-n)…=2-1(y1x+2-1(y2x+2-1(ynx+0)))……z1znz0=0z1=2-1(ynx+z0)z2=2-1(yn-1x+z1)zn=2-1(y1x+zn-1)……z0每次只要相加兩個(gè)數(shù)再右移一位。77舉例0.00000.11100.11100.00000.11100.1110部分積初態(tài)z0=0部分積乘數(shù)說明0.01111.00011.01100.101101101，得

z41101=0.01111，得

z10

110=0.00111，得

z210

11=0.10001，得

z3110

1=+++++x+0+x+x已知x=–0.1110y=0.1101求x?y=–0.1011011078時(shí)間延遲總時(shí)間為：tm=n(ta+tr)其中：ta為加法器執(zhí)行一次加法操作的時(shí)間；

tr為執(zhí)行一次移位操作的時(shí)間。

原碼一位乘法的主要問題是：符號(hào)位不能參與運(yùn)算，而補(bǔ)碼乘法可以實(shí)現(xiàn)符號(hào)位直接參與運(yùn)算。采用比較法。比較法是Booth夫婦首先提出來的，又稱Booth算法。79補(bǔ)碼一位乘法設(shè)[x]補(bǔ)=x0.x1x2

xn[y]補(bǔ)=y0.y1y2

yn……真值與補(bǔ)碼的關(guān)系：x=-x0+[x·y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)·y或：[x·y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)·有補(bǔ)碼乘法算式：80補(bǔ)碼一位乘法設(shè)[x]補(bǔ)=x0.x1x2

xn[y]補(bǔ)=y0.y1y2

yn……[x

·y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)(0.y1

yn)–[x]補(bǔ)

·y0…=[x]補(bǔ)(y12-1+y22-2++yn2-n)–[x]補(bǔ)

·y0…=[x]補(bǔ)(–y0+y1

2-1+y22-2++yn2-n)…=[x]補(bǔ)[–y0+(y1–

y12-1)+(y22-1–y22-2)++(yn2-(n-1)–yn2-n)]…=[x]補(bǔ)[(y1–y0)+(y2–y1)2-1++(yn–yn-1)2-(n-1)+(0

–yn)2-n)]…y12-1++…yn

2-n–[x]補(bǔ)=+[–x]補(bǔ)

2-1=20

–2-12-2=2-1

–2-22-12-2=[x]補(bǔ)[(y1–y0)+(y2–y1)2-1++(yn+1–yn)2-n]…

附加位

yn+181補(bǔ)碼一位乘法[z0]補(bǔ)=0[z1]補(bǔ)=2-1{(yn+1–yn)[x]補(bǔ)+[z0]補(bǔ)}yn+1=0[zn]補(bǔ)=2-1{(y2–y1)[x]補(bǔ)+[zn-1]補(bǔ)}…[x

·

y]補(bǔ)=[zn]補(bǔ)+(y1–y0)[x]補(bǔ)最后一步不移位如何實(shí)現(xiàn)

yi+1–yi

?000110111+[x]補(bǔ)

1+[–x]補(bǔ)

1101-10yi

yi+1操作yi+1–yi82已知x=+0.0011y=–0.1011求[x·y]補(bǔ)解：00.000011.110111.110100.001111.110100.001111.11011.0101000.0001111.11011100.000111111.11011111

[x]補(bǔ)=0.0011

[y]補(bǔ)=1.0101[–x]補(bǔ)=1.1101+[–x]補(bǔ)11.111011010

11+[x]補(bǔ)00.00001110101+[–x]補(bǔ)11.1110111101100.00001111101+[–x]補(bǔ)+[x]補(bǔ)∴

[x·y]補(bǔ)=1.11011111最后一步不移位6.3補(bǔ)碼右移補(bǔ)碼右移補(bǔ)碼右移補(bǔ)碼右移+++++83時(shí)間延遲總時(shí)間為：tm=(n+1)ta+ntr其中：ta為加法器執(zhí)行一次加法操作的時(shí)間；

tr為執(zhí)行一次移位操作的時(shí)間。串行1位乘法的優(yōu)劣：不需要很多器件，硬件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單；速度太慢，執(zhí)行一次乘法操作的時(shí)間至少是加法操作的n倍；已被淘汰。由于乘法操作大約占全部算術(shù)運(yùn)算的1/3，故采用高速乘法部件是非常必要的。84原碼并行乘法不帶符號(hào)的陣列乘法器設(shè)有兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù)A＝am－1…a1a0,B＝bn－1…b1b0它們的數(shù)值分別為a和b,即：m-1a＝∑ai2ii＝0n-1b＝∑bj2jj＝0在二進(jìn)制乘法中,被乘數(shù)A與乘數(shù)B相乘,產(chǎn)生m＋n位乘積P：

P＝pm＋n－1…p1p0

乘積P的數(shù)值為:85不帶符號(hào)的陣列乘法器

am-1am-2···

a1a0

)

bn-1···

b1b0

am-1b0am-2b0···

a1b0a0b0

am-1b1am-2b1···

a1b1a0b1......+)

am-1bn-1am-2bn-1

···

a1bn-1a0bn-1pm+n-1pm+n-2pm+n-3···

pn-1···p1

p0運(yùn)算過程86不帶符號(hào)的陣列乘法器m×n位不帶符號(hào)陣列乘法器邏輯框圖n(n－1)個(gè)全加器n×n位時(shí)n2個(gè)與門n×n位時(shí)87不帶符號(hào)的陣列乘法器11011(x)

×10101(y)11011000001101100000+110111000110111(z)例如88不帶符號(hào)的陣列乘法器2T6T6T6T6T6T6T2T2T2T2T2T2T2T6T6T6T6Ttm＝Ta＋(n-2)×6T＋(n-1)×Tf+6T

2T89時(shí)間延遲令Ta為“與門”的傳輸延遲時(shí)間，Tf為全加器(FA)的進(jìn)位傳輸延遲時(shí)間，假定用2級(jí)“與非”邏輯來實(shí)現(xiàn)FA的進(jìn)位鏈功能，有：

Ta＝Tf＝2T

從演示中可知，最壞情況下延遲途徑,即是沿著矩陣P4垂直線和最下面的一行。因而得n位×n位不帶符號(hào)的陣列乘法器總的乘法時(shí)間為：tm＝Ta

＋(n－2)×6T＋

(n-1)

×Tf+6T＝2T＋(n－2)×6T＋

(n-1)

×2T+6T

＝(8n－6)T

90舉例已知兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù)A＝11011,B＝10101,求每一部分乘積項(xiàng)aibj的值與p9p8……p0的值。11011=A(2710)

10101=B(2110)11011000001101100000+110111000110111=P91舉例解:a4b0＝1a3b0＝1a2b0＝0a1b0＝1a0b0＝1a4b1＝0a3b1＝0a2b1＝0a1b1＝0a0b1＝0a4b2＝1a3b2＝1a2b2＝0a1b2＝1a0b2＝0a4b3＝0a3b3＝0a2b3＝0a1b3＝0a0b3＝0a4b4＝1a3b4＝1a2b4＝0a1b4＝1a0b4＝1P＝p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0＝1000110111(56710)92帶符號(hào)的陣列乘法器對(duì)2求補(bǔ)：

1100——001110100

101

1——01001

0101方法：從數(shù)的最右端a0開始,由右向左,直到找出第一個(gè)“1”,例如ai＝1,0≤i≤n。這樣,ai以左的每一個(gè)輸入位都求反,即1變0,0變1。93對(duì)2求補(bǔ)器電路圖101010110E：符號(hào)位3T2T2T時(shí)間延遲：tTC=n·2T+5T=(2n+5)T（n+1位數(shù)）94帶求補(bǔ)級(jí)的陣列乘法器95帶符號(hào)的陣列乘法器包括求補(bǔ)級(jí)的乘法器又稱為符號(hào)求補(bǔ)的陣列乘法器。在這種邏輯結(jié)構(gòu)中，共使用三個(gè)求補(bǔ)器:?兩個(gè)算前求補(bǔ)器作用是：將兩個(gè)操作數(shù)A和B在被不帶符號(hào)的乘法陣列(核心部件)相乘以前，先變成正整數(shù)。?算后求補(bǔ)器作用是：當(dāng)兩個(gè)輸入操作數(shù)的符號(hào)不一致時(shí)，把運(yùn)算結(jié)果變成帶符號(hào)的數(shù)。結(jié)構(gòu):96帶符號(hào)的陣列乘法器設(shè)A=anan-1…a1a0和B=bnbn-1…b1b0均為用定點(diǎn)表示的(n＋1)位帶符號(hào)整數(shù)。在必要的求補(bǔ)操作以后，A和B的碼值輸送給n×n位不帶符號(hào)的陣列乘法器，并由此產(chǎn)生2n位的乘積，其中P2n為符號(hào)位。A·B＝P＝p2n－1…p1p0p2n＝an⊕bn運(yùn)算:帶求補(bǔ)級(jí)的陣列乘法器既適用于原碼乘法，也適用于間接的補(bǔ)碼乘法。在原碼乘法中，算前求補(bǔ)和算后求補(bǔ)都不需要，因?yàn)檩斎氲臄?shù)據(jù)都是立即可用的。97舉例設(shè)x=+15，y=–

13，用帶求補(bǔ)器的原碼陣列乘法求出乘積x·y=？解：設(shè)最高位為符號(hào)位，輸入數(shù)據(jù)為原碼：

[x]原=01111

[y]原=11101因符號(hào)單獨(dú)考慮，所以：|x|=1111，|y|=1101

1111

×

1101

1111

0000

1111

+

1111

11000011符號(hào)位運(yùn)算：0⊕1=1[x×y]原=111000011

x·y=(–11000011)2=(–195)10驗(yàn)證：15×(–13)=19598舉例設(shè)x=15(+1111B)，y=–

13(–1101B)，用帶求補(bǔ)器的補(bǔ)碼陣列乘法求出乘積x·y=？

解：設(shè)最高位為符號(hào)位，輸入數(shù)據(jù)用補(bǔ)碼表示：

[x]補(bǔ)=01111

[y]補(bǔ)=10011算前求補(bǔ)器輸出為|x|=1111，|y|=1101

1111

×

1101

1111

0000

1111

+

1111

11000011符號(hào)位運(yùn)算：0⊕1=1，乘積為負(fù)算后求補(bǔ)：[x·y]補(bǔ)=100111101

x·y=–1×28+1×25+1×24+1×23+1×22+1×20=(–195)10驗(yàn)證15×(–13)=–19599一、原碼除法算法原理二、并行除法器2.4定點(diǎn)除法運(yùn)算100分析筆算除法x=–0.1011y=0.1101求x÷y0.10110.1101⌒0.011010.010010.0011010.0001010.000011010.000001111商符單獨(dú)處理心算上商余數(shù)不動(dòng)低位補(bǔ)“0”減右移一位的除數(shù)上商位置不固定x÷y=–0.1101余數(shù)0.00000111商符心算求得00.101000

？？？101原碼除法算法原理筆算除法機(jī)器除法商符單獨(dú)處理心算上商符號(hào)位異或形成|x|–|y|＞0上商1|x|–|y|＜0上商0余數(shù)不動(dòng)

低位補(bǔ)“0”減右移一位

的除數(shù)2倍字長(zhǎng)加法器上商位置不固定余數(shù)左移一位

低位補(bǔ)“0”減

除數(shù)1倍字長(zhǎng)加法器在寄存器最末位上商102原碼除法算法原理機(jī)器不會(huì)心算，必須先作減法，若余數(shù)為正，才知道夠減；若余數(shù)為負(fù)，才知道不夠減。不夠減時(shí)必須恢復(fù)原來的余數(shù)，以便再繼續(xù)往下運(yùn)算。這種方法稱為恢復(fù)余數(shù)法。要恢復(fù)原來的余數(shù)，只要當(dāng)前的余數(shù)加上除數(shù)即可。但由于要恢復(fù)余數(shù)，使除法進(jìn)行過程的步數(shù)不固定，因此控制比較復(fù)雜。實(shí)際中常用不恢復(fù)余數(shù)法，又稱加減交替法。其特點(diǎn)是運(yùn)算過程中如出現(xiàn)不夠減，則不必恢復(fù)余數(shù)，根據(jù)余數(shù)符號(hào)，可以繼續(xù)往下運(yùn)算，因此步數(shù)固定，控制簡(jiǎn)單。103恢復(fù)余數(shù)法0.10111.00111.00111.00110.0000+[–y*]補(bǔ)01.1110余數(shù)為負(fù)，上商00.1101恢復(fù)余數(shù)00.1001余數(shù)為正，上商1+[–y*]補(bǔ)1.0110011.0010011+[–y*]補(bǔ)解：被除數(shù)（余數(shù)）商說明[x]原=1.1011[y]原

=1.1101x=–0.1011

y=–0.1101求[]原

xy10.1011恢復(fù)后的余數(shù)0+[y*]補(bǔ)[y*]補(bǔ)=0.1101[–y*]補(bǔ)