第三章立體的投影匯總

第3章立體的投影返回3.2直線、平面與立體相交3.1平面立體的投影3.3曲面立體的投影3.4曲面立體的截交線3.5兩立體相交

按照一定規(guī)則形成的簡單立體稱為基本體，基本體分為平面立體和曲面立體兩類。3.1.1平面體三視圖的畫法與識讀3.1.2平面體表面取點3.1平面立體的投影3.1.1平面體三視圖的畫法與識讀

表面均為平面構(gòu)成的立體稱為平面立體，平面立體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。常見的平面立體有棱柱、棱錐和棱臺等。3.1.1平面體三視圖的畫法與識讀

表面均為平面構(gòu)成的立體稱為平面立體，平面立體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。常見的平面立體有棱柱、棱錐和棱臺等。3.1.1平面體三視圖的畫法與識讀

表面均為平面構(gòu)成的立體稱為平面立體，平面立體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。常見的平面立體有棱柱、棱錐和棱臺等。棱柱棱錐3.1.1平面體三視圖的畫法與識讀3.1.1平面體三視圖的畫法與識讀3.1.1平面體三視圖的畫法與識讀3.1.1平面體三視圖的畫法與識讀1.棱柱2.棱錐(1)棱錐的投影sBasa’c’b’csbCASb”(c”)a”主視圖俯視圖左視圖XYWYHZO三視圖的位置關(guān)系和投影規(guī)律長高寬寬上上下下左左右右前前后后主、俯視圖長對正主、左視圖高平齊俯、左視圖寬相等14(1)棱柱表面上取點aa(a)(b)bb3.1.2平面體表面取點15例一棱柱表面上取點aa(a)(b)bba′b′c′1″1(1′)abca″b″(c″)返回例二棱柱表面上的點和直線s(c)saacbbcsba111rr(2)棱錐表面上取點2223(3)3s(c)saacbbcsba111rr例三棱錐表面上取點2223(3)3baa′b′a″b″c′c(c″)返回棱錐體表面上直線和點3.2.1平面體的截交線3.2.2直線與平面立體相交3.2.3坡屋面的投影3.2直線、平面與立體相交

平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線圍成的圖形成為截斷面。截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點是截平面與立體表面上的共有點，它既在截平面上又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條。

基本特性：1、共有性。2、封閉性截平面截交線截交線的概念3.2.1平面體的截交線3.2.1平面與平面立體相交

平面立體是由平面圍成的,截交線是封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。求截交線的問題可以簡化為求平面與平面的交線問題，進而簡化為求直線與平面交點的問題。P平面立體截交線的求法1、線面交點法2、面面交線法

將平面立體上參與相交的各條棱線與截平面求交點，并將位于立體同一棱面上的兩交點依次連接起來，即為所求平面立體的截交線。

將平面立體上參與相交的各棱面與截平面求交線，這些交線即圍成所求的平面立體截交線。1234SABCD求截交線的作圖步驟：1)空間分析及投影分析2)畫出截交線的投影a、截平面與立體的相對位置——

確定截交線的形狀——

確定截交線的投影特性b、截平面、立體表面與投影面的相對位置

運用線面交點法或面面交線法，分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。3)整理立體的棱線投影例1三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影。s’a’b’c’asbcsa(c)bBAⅠⅡⅢ1231yy23123例2求帶切口三棱錐的投影s'ss"b'c'c"b"a"a'bca1"yyyy14"44'233'2'1'3"2"解題步驟1分析截交線的正面投影已知，水平投影和側(cè)面投影未知；2求出截交線上的折點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；4整理輪廓線?！纠}2】完成五棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間分析2、投影分析3、投影作圖4、整理圖線——截交線為平面五邊形

截平面為正垂面，截交線的正面投影落在截平面的積聚性投影上，要求的是截交線的水平投影和側(cè)面投影。1′2′3′4′5′513421〞2〞3〞4〞5〞瀏覽三維動畫采用的是哪種解題方法？【例題2】完成棱柱體被截切后的水平投影和側(cè)面投影。5″4″3″2″1″12453676″7″1′2′3′4′5′6′7′1、空間分析：截交線為平面幾邊形？

——平面七邊形2、投影分析：

截交線的正面投影？

——落在截平面的積聚性投影上；截交線的水平投影？——其中六條邊落在六棱柱棱面的積聚性投影上，另一條邊為截平面與棱柱頂面交于一條正垂線。3、投影作圖：采用的是哪種解題方法？4、整理圖線：3.2.2直線與平面立體相交

直線與平面立體相交的交點，稱為貫穿點。貫穿點的特性如下：1、共有性2、偶數(shù)性通過貫穿點的性質(zhì)可知，求貫穿點的問題，實質(zhì)上就是求線面交點的問題。1、投影面垂直線與立體相交例題3.6已知三棱錐S-ABC和直線DE的兩面投影，求其貫穿點2、直線與棱柱相交例題3.7直線AB貫穿三棱柱，求其貫穿點3、一般位置直線與棱椎相交例題3.8已知直線AB和三棱椎的兩面投影，求貫穿點3.2.3同屋面的投影同坡屋面：當各坡屋面與地面的傾角相對稱時稱為同坡屋頂1.坡屋面各種交線的名稱檐口線——坡屋面與墻體的交線如EF、CD、MN等。屋脊線——屋檐平行的兩坡屋面的相交線，如AB、JG。斜脊線——兩個相鄰屋檐相交成凸角時，兩坡屋面的交線，如AE、AC、GM、GN等。天溝線——兩個相鄰屋檐相交成凹角時，兩坡屋面的交線如DJ。2.坡屋面交線的水平投影特征1）斜脊線和天溝線的水平投影是相鄰兩檐口線水平投影的角平分線；2）屋脊線的水平投影平行去于兩個相對屋檐的投影，且為兩個屋檐間的等分線；3）兩斜脊、兩天溝或一斜脊和一天溝相交于一點時，在該點必有第三條屋脊線通過。3.同坡屋面投影的作圖規(guī)律1）根據(jù)屋面交線的水平投影特征，畫出坡屋面的H投影2）由坡屋面的水平投影和坡屋面的傾角，畫出其正面投影和側(cè)面投影。

表面由曲面或曲面和平面構(gòu)成的立體稱為曲面立體，常見的曲面立體有圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等。曲面可看作由一條母線按一定的規(guī)律運動所形成，運動的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，則形成回轉(zhuǎn)面。圓柱圓錐圓球3.3曲面立體的投影1.圓柱

圓柱由圓柱面、頂面、底面所圍成。圓柱面可看作直線繞與它相平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。

(1)圓柱的投影(2)圓柱表面上取點()A(D)CBc”d’

()12341″(3″)2″(4″)a″(a′)a1′2′3′4′在圓柱體表面的線和點，可利用圓柱面的積聚性求解。返回圓柱體表面上的線和點2.圓錐

圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。(1)圓錐的投影a′aa″返回用素線法在錐面上定點a′aa″返回用緯圓法在錐面上定點返回a′b′c′abc(a″)(b″)c″1″1″2′3′2″3″321圓錐體表面上的線和點3.圓球

球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。(1)圓球的投影(2)圓球表面上取點22’2”m″(m)m’abc(a′)(b′)(c′)a″b″(c″)返回圓球面上的線和點n″n′n返回4、圓環(huán)體(a′)a(a″)返回環(huán)面上的線和點

一動點沿著圓柱面的直母線作等速移動，同時又繞圓柱面的軸線作等速旋轉(zhuǎn)的合運動軌跡，稱為圓柱螺旋線。圓柱螺旋線的畫法1、圓柱螺旋線返回3.3.3圓柱螺旋線與螺旋樓梯平螺旋面的畫法

直母線沿著圓柱螺旋線和其軸線且平行于與軸線垂直的導(dǎo)平面運動所形成的曲面稱為平螺旋面。平螺旋面屬于錐狀面的一種。返回2、平螺旋面返回中空的平螺旋面畫法返回螺旋扶手的畫法返回返回螺旋樓梯返回螺旋樓梯的畫法返回§9-1螺旋線1圓柱螺旋線的形成

當一個動點沿著一直線等速移動，而該直線同時繞與它平行的一軸線等速旋轉(zhuǎn)時，動點的軌跡就是一根圓柱螺旋線。2圓柱螺旋線的畫法螺旋線的畫法6.2.2平面與曲面立體相交

曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形。1.平面與圓柱相交

截平面平行于軸線，交線為平行于軸線的兩條平行直線截平面傾斜于軸線，交線為橢圓截平面垂直于軸線，交線為圓平面與圓柱的截交線兩條平行直線垂直于軸線的圓橢圓例4求斜切圓柱的截交線11'1"4"3"2'2"26543ⅦⅧⅥⅤⅢⅣⅠⅡ3‘(4‘)5‘6'5"6"解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求出若干個一般點Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。877'8'7"8"作圖步驟：

（1）根據(jù)截平面位置與曲面立體表面的性質(zhì)、判別截交線的形狀和性質(zhì)。

（2）求出截交線上的特殊點。

（3）根據(jù)需要求出若干個一般點。

（4）光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性。

（5）最后，補全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線。

特殊點：是指繪制曲線時有影響的各種點。極限位置點：曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點轉(zhuǎn)向輪廓點：曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，它們是區(qū)分曲線可見與不可見部分的分界點。特征點曲線本身具有特征的點，如橢圓長短軸上四個端點。結(jié)合點截交線由幾部分不同線段組成時結(jié)合處的點。例5求切口圓柱的水平投影和側(cè)面投影。例6求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影。解題步驟1分析截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點，作出截交線并判別可見性；4整理輪廓線。ⅠⅡⅢⅣ2.平面與圓錐相交圓橢圓兩條相交直線雙曲線拋物線解題步驟例8已知圓錐與正垂面P相交，求截交線的投影。1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求出一般點Ⅴ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。例9求正平面與圓錐的截交線。解題步驟1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實形；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、ⅡⅢ；3求出一般點ⅣⅤ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。11’1”2”(3”)4”(5”)4’5’2’3’2453例10求帶缺口圓錐的水平投影和側(cè)面投影。11’1”2’(3’)2”3”234’(5’)4”5”546’66”3.平面與圓球相交平面與圓球相交,截交線為

圓例11已知正垂面所截切球的正面投影,求其余兩面投影。例12求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。3.5兩立體相交3.5.1兩平面立體相交3.5.2平面體和曲面體相交3.5.3兩曲面立體相交3.5.4兩曲面立體相貫的特殊情況3.5.1兩平面立體相交

立體與立體相交在兩個立體表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點是兩立體表面的共有點。不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線,特殊情況下為平面曲線或直線。返回㈠兩平面立體相貫線的性質(zhì)㈡兩平面立體相貫線的求法㈢相貫線的可見性平面立體與平面立體相交返回1、相貫線是兩立體表面的公有線；相貫線上的點是兩立體表面的公有點。2、相貫線的形狀為空間多邊形。㈠兩平面立體相貫線的性質(zhì)返回求兩立體相貫線的方法：1.確定兩立體參與相交的棱線和棱面；2.求出參與相交的棱線與棱面的交點；3.依次連接各交點（只有當兩個點對于兩個立體而言都位于同一個棱面上時才能連接，否則不能連接）4.判別相貫線的可見性。㈡兩平面立體相貫線的求法返回

相貫線的可見性取決于相貫線所處立體表面的可見性。若相貫線處于同時可見的兩立體表面上，則相貫線可見，畫成實線；其它情況下均為不可見，畫成虛線。㈢相貫線的可見性例3.18求兩四棱柱的相貫線并補畫相貫體的W面投影

步驟：1.補全相貫體的W面投影；

2.求橫向棱柱棱線與豎直四棱柱表面的交點。利用積聚投影在H面上標注相貫點a、b，并確定其W面的投影；

3.求出a‘

和b’

。同理，可求得其他棱線與豎直四棱柱的相貫點；

4.依次連接各相貫點，并判斷其可見性。例3.19已知三棱柱和三棱錐相交，試完成其三面投影例3.19已知三棱柱和三棱錐相交，試完成其三面投影返回㈠平面立體與曲面立體相貫線的性質(zhì)㈡平面立體與曲面立體相貫線的求法㈢相貫線的可見性3.5.2平面立體與曲面立體相交返回1、相貫線是平面立體和曲面立體表面上的公有線，相貫線上的點是平面立體與曲面立體表面上的公有點；2、相貫線是由若干段平面曲線（截交線）所組成的空間曲線。㈠平面立體與曲面立體相貫線的性質(zhì)返回1.依次求出平面立體上參與相交的各棱面與曲面立體表面的截交線，這些截交線即圍成所求平面立體與曲面立體相貫線。

2.相貫線上的轉(zhuǎn)折點是平面立體上參與相交的棱線與曲面立體的貫穿點。

3.判斷可見性。㈡平面立體與曲面立體相貫線的求法返回

相貫線位于平面立體可見棱面上，且同時又位于曲面立體可見曲面上，則相貫線可見，用實線繪制；而其它情況下，相貫線均為不可見，用虛線繪制。㈢相貫線的可見性返回例3.20已知梯型柱和圓錐相交，試完成其三面投影.返回【例題1】求兩立體表面交線返回【例題2】求兩立體表面交線相貫線性質(zhì)圖例表面取點法求作相貫線的一般步驟

（1）分析首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，進一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況（平面曲線或直線）。分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性。分析相貫線哪個投影是已知的，哪個投影是要求作的。

（2）求特殊點。相貫線上的特殊點包括極限位置點、輪廓轉(zhuǎn)向點、曲線特征點和結(jié)合點四種。

（３）根據(jù)需要求出若干個一般點。

（４）判別可見性，順次光滑連接各點，作出相貫線。（５）補全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。返回（一）兩曲面立體相貫線的性質(zhì)（二）兩曲面立體相貫線的求法（三）相貫線的可見性（四）特殊相貫線3.5.2求兩曲面立體的相貫線返回1、相貫線是兩曲面立體表面的公有線，相貫線上的點是兩曲面立體表面的公有點；2、一般情況下，相貫線為封閉的空間曲線。㈠兩曲面立體相貫線的性質(zhì)

作出相貫線上足夠的公有點，然后用光滑曲線依次連接各點。在求公有點時，首先求出相貫線上的特殊點（最高點、最低點、最左點、最右點、最前點、最后點和轉(zhuǎn)向輪廓線上的點），然后在適當?shù)奈恢米鞒鲆话泓c。2、輔助平面法1、利用曲面的積聚投影法（表面取點法）相貫線上公有點的求法：返回㈢兩曲面立體相貫線的求法例1已知兩圓柱的三面投影,求作其相貫線的投影。yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac圓