微分方程模型人口的預(yù)測

微分方程模型人口的預(yù)測第一頁，共四十頁，2022年，8月28日微分方程模型

在許多實際問題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題.求出方程的解

——求出未知函數(shù)的解析表達(dá)式

——利用各種數(shù)值解法、數(shù)值軟件（如Matlab）求近似解不必求出方程的解

——根據(jù)微分方程的理論研究某些性質(zhì)，或它的變化趨勢第二頁，共四十頁，2022年，8月28日

為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過一些簡單模型的復(fù)合來研究，大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。

美麗的大自然

種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的。離散化為連續(xù)，方便研究§5.6人口的預(yù)測第三頁，共四十頁，2022年，8月28日§5.6人口的預(yù)測世界人口年

1625183019301960197419871999人口（億）

5102030405060中國人口年

1908193319531964198219902000人口（億）

34.767.210.311.312.95研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長做出較準(zhǔn)確的預(yù)報建立人口數(shù)學(xué)模型第四頁，共四十頁，2022年，8月28日最簡單的人口增長模型—常用公式記今年人口為

x0,k年后人口為

xk,，年增長率為r則第五頁，共四十頁，2022年，8月28日模型1

馬爾薩斯（Malthus）模型——1798年提出假設(shè)：單位時間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時的人口成正比。（2）

（1）的解為：符號：則（1）

于是x（t）滿足如下微分方程：r--人口增長率（常數(shù)）（可分離變量微分方程）單位時間內(nèi)人口的增長量第六頁，共四十頁，2022年，8月28日

馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時間為T，則有：故（2）

當(dāng)r>0時，表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長，因此又稱為人口指數(shù)模型。與常用公式的一致第七頁，共四十頁，2022年，8月28日模型檢驗用P164給出的近兩個世紀(jì)的美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)（以百萬作單位），對模型作檢驗。參數(shù)估計：r，x0可用已知數(shù)據(jù)利用線性最小二乘法進(jìn)行估計（2）

（2）式兩邊取對數(shù)，得：（3）

以1790－1900年的數(shù)據(jù)擬合（3）式，用Matlab軟件計算得：r＝0.2743/10年，所有散點到曲線的距離平方和最小第八頁，共四十頁，2022年，8月28日Matlab計算示范以1790-1900年共計12個數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合：t=[0：11]；%輸入數(shù)據(jù)x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976];plot(t,x,’o’);

%畫散點圖y=log(x);p=polyfit(t,y,1)（3）

輸出結(jié)果：表示：第九頁，共四十頁，2022年，8月28日以1790-1900年共計12個數(shù)據(jù)為例畫出擬合圖形：t=[0:11];x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976];y=log(x);p=polyfit(t,y,1);

%一次函數(shù)的最小二乘擬合f=polyval(p,t);

%計算所擬合函數(shù)的函數(shù)值ff=exp(f);

%因為事先取過對數(shù)plot(t,x,'o',t,ff,'-')axis([0120100])第十頁，共四十頁，2022年，8月28日以1790-2000年共計12個數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合：r=0.20743/10年，x0=4.1884第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日r=0.2022/10年，x0=6.0450以1790-2000年共計22個數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合：第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日模型預(yù)測假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達(dá)2×1014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級數(shù)的增長Malthus模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性

與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合.

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代.

可用于短期人口增長預(yù)測.

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律.

不能預(yù)測較長期的人口增長過程.19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日模型2阻滯增長模型——邏輯斯蒂(Logistic)模型人口增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(x)

從而有：（4）r(x)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學(xué)模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(x)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項（競爭項）對馬爾薩斯模型引入一次項（競爭項），令此時得到微分方程：或（5）（5）可改寫成：

（6）r--固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日

(2.6)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當(dāng)種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為xm（近似地將xm看成常數(shù)），x表示當(dāng)前的種群數(shù)量，xm-x恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（2.6）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結(jié)果的支持，這就是（2.6）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。（2.5）被稱為Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項系數(shù)是負(fù)的，因為當(dāng)種群數(shù)量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭項?；颍?）（6）dx/dtxOxmxm/2第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日對（6）分離變量：兩邊積分并整理得：令x(0)=x0，求得：故（6）的滿足初始條件x(0)=x0的解為：（7）易見：x(t)的圖形請看圖2txOxmx0xm/2S形曲線x增加先快后慢第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)指數(shù)增長模型Logistic模型的應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的增長規(guī)律(耐用消費品的售量)，新產(chǎn)品的推廣.

種群數(shù)量模型(魚塘中的魚群,森林中的樹木).S形曲線第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日參數(shù)估計先估計模型參數(shù)r,xm

.模型檢驗阻滯增長模型由統(tǒng)計數(shù)據(jù)用線性最小二乘法作參數(shù)估計例：美國人口數(shù)據(jù)(百萬)t186018701880…19601970198019902000x31.438.650.2…179.3204.0226.5251.4281.4r=0.2557/10年，xm=392.0886第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日年實際人口計算人口(指數(shù)增長模型)計算人口

(阻滯增長模型)17903.96.03.918005.37.45.0…………1960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.1指數(shù)增長模型阻滯增長模型第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日用模型計算2000年美國人口誤差約2.5%與實際數(shù)據(jù)比較(2000年281.4)=274.5模型的檢驗和預(yù)報

為作模型檢驗在參數(shù)估計時未用2000年實際數(shù)據(jù)加入2000年數(shù)據(jù)重估模型參數(shù)r=0.2490，xm=434.0x(2010)=306.0

預(yù)報美國2010年人口美國人口普查局2010年12月21日公布：截止到2010年4月1日美國總?cè)丝跒?.087億.預(yù)報誤差不到1%！第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（4）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。

用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進(jìn)行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進(jìn)行修改。

Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日新產(chǎn)品的推廣

經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個數(shù)學(xué)模型來描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯煲銷售模型。

設(shè)需求量有一個上界，并記此上界為K，記t時刻已銷售出的電飯煲數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計籌算律：記比例系數(shù)為k，則x(t)滿足：

此方程即Logistic模型，解為：還有兩個奇解:x=0和x=K

對x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)：第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日容易看出，x’(t)>0，即x(t)單調(diào)增加。由x’’(t0)=0，可以得出=1，此時，。當(dāng)t<t0時，x’’(t)>0，x’(t)單調(diào)增加，而當(dāng)t>t0時，x’’(t)<0，x’(t)單調(diào)減小。實際調(diào)查表明，銷售曲線與Logistic曲線十分接近，尤其是在銷售后期，兩者幾乎完全吻合。在銷出量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增大的，銷出量達(dá)到最大需求量的一半時，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日定義

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程，稱為微分方程.定義

如果一個函數(shù)代入微分方程后，方程兩端相等，則稱此函數(shù)為微分方程的解.通解特解例如，都是微分方程的解.是微分方程的解，因為附：微分方程簡介第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日一、可分離變量微分方程一階微分方程的一般形式是：如果一個一階微分方程能寫成形式，即能把微分方程寫成一端只含y

的函數(shù)和dy，例如定義另一端只含x

的函數(shù)和dx，則原方程就稱為可分離變量的微分方程.第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日的通解.分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或(此式含分離變量時丟失的解y=0)例1求微分方程解:說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)形式：未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程稱為一階線的系數(shù)是都是已知函數(shù).如果稱為一階齊次線性微分方程.性微分方程.它的標(biāo)準(zhǔn)形式中二、一階線性微分方程的系數(shù)是1，和都在方程的左邊，和，則方程變?yōu)槿绻?則稱為一階非齊次線性微分方程.1.一階線性微分方程的概念第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日方程兩邊積分后得即為齊次方程的通解.（C為常數(shù)）分離變量后得將一階齊次線性微分方程2.一階齊次線性微分方程的通解第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日常數(shù)變易法作變換求解一階非齊次線性微分方程則即兩邊積分，得故非齊次線性微分方方程的通解為對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日解：例1第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日二、伯努利（Bernoulli）方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,換回原變量即得伯努利方程的通解.除方程兩邊,得解法:(線性方程)第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日的通解.解:

令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:例1

求方程第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日四、二階線性微分方程時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.齊次方程通解非齊次方程特解解的結(jié)構(gòu)線性無關(guān)）第三十四頁，共四十頁，20