第六章離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

。

zz。

。

r

r

r2rzz

r

網(wǎng)絡1Yz2rcosz1Yzr2z2YzX

網(wǎng)絡 HzYz X 12rcosz1r2z 1zrej和2有：

zrejWzXzrsinz1Yzrcosz1W1

Xzrz1sinYW1z

1rz11Yzrz1sinWzrz1cosY1將W1z代入得Yz

Xzrz1sinYz1rz1

Yz12rz1cosr2z2rz1sinX

Y

H2

Xz12rcosz1r2z

rz1ejrz1ej2zrej和zrej12圖P6.2代表一個線性常系數(shù)差分方程的信號流圖，求輸出yn關(guān)于輸入xn的差分程解:由最上邊的傳輸路徑可直接得ynAP6.3-1A)，其沖激響應h[n1)nh[n] 1H(ejP6.3-2H(ej1AA而形A1A1的沖激響應為h1[n。P6.3-P6.3-解（a）

1h[n](1)n1

P6.3-H(H(z)(1) 1 H1H(ej1由z變換式H1(z)可以看出，只需要將A網(wǎng)絡中的延遲因子變成(z)－1＝z－1 乘以－1即可。如下圖：h[nej0nu[n]的系統(tǒng)。即h[n]的實部和虛部分別為h[ncosn)u[n]和 所要求復沖激響應的實現(xiàn)差分方程，然后把它分為實部和虛部，畫出實現(xiàn)H(z)

h[n]zn

ei0nzn 1ej0n ny[nei0y[nx[n]y[nyr[njyi[nx[nxr[njxi[n]yr[n]cos0yr[n1]sin yi[n]sin0yr[n1]cos0 x[n]xr[n]。

12z1zHz1

3z14

1z8 12z1z

3z11 又

2z1 z11

z z

。 z

。

。

z z1。 。218。z1 8

。y

。。。

。。

。 z。4

。。

z

z

。 z

z

z

。。。 。。。。

。 z。

。14。z4

。。。 。 z

。 。 z。 6.6.P6.6的流圖是不可計算的；也就是說，用該流圖所表示的差分方程不能計算出w1nxnbw6nw2nw1nw3nw2nw4nw3w5naw3nw4n1ynw2n由上可得ynbyn1對上式兩邊進行z變換得HzYz X 1bzb采用直接型來實現(xiàn)Hz可得。

z

11zH(z) (11z11z2)(11z1 11zH(z) (11z11z2)(11z1 zzz--zzz--zzzz6 v0

xn v1

y x 5

v2n

24y v3n v0

yy[n]1y[n1]

a1214 abcrabcrrrra

1

1 W[n- abcrabcrW[n-rrrY[n- 原流圖點變量的選aa1412rrrrcba

轉(zhuǎn)置后的流圖及相應的節(jié)點變

y[n]ay[nx[n]y[n]ay[nx[n]W(z)X(z)1W(z)z12Y(zW(z1W(zz14H(z)YX

11 112Y(z)X(z)1z1X(z)1z1Y(z)4YHX

11 112Y(z)aX(zbz1X(zcz2X(z)，H(z)

。abz1轉(zhuǎn)置后同樣有：Y(z)aX(zbz1X(zcz2X(z)，H(z)

abz1W(z)X(z)rsinz1Y(z)rcosz1W(z)Y(zrsinz1W(zrcosz1Y(z)H(z12rcosz1r2z2。W(z)X(z)rcosz1W(z)rsinz1Y(z)Y(zzrsinW(zrcosY(zH(z12rcosz1r2z2

。 。。z

。 。。z 。12。

。z。

。z4。

sin4

cos43

sin。4。

。

z4z4。。

。

。4z z。 。。

Hz

1z21

13z4Hz

11z13z sin3z

Hz

441

43z4

z

21zHz 11z13z 21z

Hz 11z13z 11

Hz 11z13z 6.10.P6.10求系統(tǒng)函數(shù)YzXP6.10系統(tǒng)具有相同輸入輸出關(guān)系，但具有最少可能延遲單元個數(shù)的解a)該系統(tǒng)可看成先由兩個系統(tǒng)并聯(lián),再與另一系統(tǒng)串聯(lián)而得.11zH1z1

3z18

7z82Hz12z1z2HzH1zH2112z1z2 13z8然后再與H3z串聯(lián)Hz 1z 12 由Hz可得輸入輸出滿足的差分方程為y 9 。 9

z 88 z188

7

。 。z。787。z。86.11一線性時不變系統(tǒng)用圖P6.11來實現(xiàn)

zzz31zz12LTIv xv v

v vnv Y

H(z) X

zz31z226.12

H(z)

(12z1

7z2)(1z18

1z2)(1

z1z2 HzH(z)

7

(1z1

(1z112z1

z8

1z1

z2

1 z1z20.20.4z10.2z7

12z1z1

12z1z。112z1

z8

1z1

z2

1 z1z26.12

22- -1--W(z)0.2X(z)0.4z1X(z)0.2z2X(z)2z1W(z)7z2W(z)1

w[n0.2x[n0.4x[n10.2x[n22w[n17w[n2 W(z)W(z)z1W(z)1z2W(z) W(z)W(z2z1W(zz2W(z 3(z)

12z1z；1z11z2w[nw[n2w[n1w[n2w[n11w[n2]

W(z)W(z)2z1W(z)z2W(z) Y(z)W(z1z1Y(zz2Y(z4YW

12z1z。1 1

z1z2對應得差分方程為y[nw[n2w[n1w[n21y[n1y[n 6.13下列簡單的FORTRAN程序?qū)崿F(xiàn)了一個二階離散時間濾波器。輸入序列存放在長度為DIMENSIONDIMENSIONX(L),Y(L)DO1N=1,L1CONTINUEYNXNXN10.75YN10.125YN所以YN0.75YN10.125YN2XNXN

H

1z10.75z10.125z。

。

zz。

解

Hz12z14z23z3z4z

3300

nnnnnnn為其Hz12z14z23z3z所以hn同上M13

h

M2Mh0h[n]

0n1a8zH(z)

1az

zaFIRIIR系統(tǒng)級聯(lián)所組成（a1h[n]

0n1a1aa77（b）證明：H(z)(az－1)n

，z)

FIRIIR系統(tǒng)級聯(lián)所組成，那么相應的信號流圖如zza7次加法、77個延遲單元。9個延遲單元，22次乘法。FIR1(1cos[(2/15)(nn

0nh[n]

對n0=0n0＝7H

z15)1證明：若n0＝7，系統(tǒng)的頻率響應可以表示H(ei)

1ej7 n0＝7n0＝0求一個類似的表達式。這個n0＝0時的幅度相應。畫出系統(tǒng)作為系統(tǒng)函數(shù)為(1z15FIRIIR系統(tǒng)并聯(lián)后得到兩圖如6.16-aH(z)

h[n]z1(

n0

15 114

n

j2(e1515n0 1

1

j 1z ee eeh[n]H(ejH(z)zei特別地，當n07H(ej)H

zn05511

)1 j j1(1ej15 e 2j

j j1(1ej15 e 2j

1

j7

j j7sin(15

n07 H

)15

6-16c。同樣，當n00時：H(ej)H

zn0(1ej15)1 j j1(1ej15 e 2j

1

j j 2

2 1111 ej7

je

。

11 H(ei)

1515（d）將系統(tǒng)函數(shù)化為(1z15FIRIIR

2cos2

z1cos

n1)( 15

15

H

)1z1

- 15-6-

N

~Hz1

N Hk01

，z

ej2Nkk0,1,N1該系統(tǒng)函數(shù)Hz可用系統(tǒng)函數(shù)為1zNFIR系統(tǒng)的級聯(lián)與一階IIR系統(tǒng)的證明如上所定義Hz是一個N1階的z1多項式。為此就需要證明除z0外沒有任何極點，也沒有高于N1z1項。關(guān)于該系統(tǒng)沖激響應的 1~ HkN

j2NknununN k 應。

Hej2Nm

m N這就是說，證明常數(shù)

~就是系統(tǒng)頻率響應在等間隔頻率

NHHHm0,1,N1FIRIIRz~ H 1

1NHN

1z1

1z

NkN

Hejej

N16和Hejk k

N1~解 Hz1

N Hk01

z令Hz

N

zH

z，其中Hz1zN，為FIR1HN1H1H2z1k

1zkzHH1NzHN~z1Hz1zNz平面單位圓上有N1j21z

zie

i0,1,,N1H i

ej2Nk

k0,1,,N1ik

zi1z

N11zzi

N 1zz1

z的N11

z

1

z

~~N~NHz1zNN~N

kk01zzkkNk

Nk

1zzzzi11~HNk

zHzz0N1z11（c）Hz1z1

Hz

N

H1H1Hzk

kk

1hnhn(11~zn)ununNN

H Nk1( Hkej2Nkn)ununNN

~

H

N H1

z當mk

k 1z zzm1zk~

1zNH

limHm

1

z用洛 法則

~

N

HNHH

HzlimH

~zm~

~zmzNm

所以Hzm

~HH

H（e）當hn為實數(shù)N為偶數(shù)時,1z

0k0時

2N22N

zN

ej2Nk

ej2k

z

k1,2,,Nk又hn為實數(shù)，所以 k

kkkNkkk1H1H1H1Hz1zN1z 1H1NH1z 1N16Hejk

k3,4,,14HzzH 2Hej828zcos8z 2Hej42cos4zzP6.18M1M倍，按照這個模型，M大的話，濾波器的大部分輸出樣本將被假設該濾波器是一個FIR系統(tǒng)，其沖激響應hn0，n<0n>10。畫出對應該濾P6.18yn時所要求的總計算量降低了幾分之幾？Hz

,z11z 2P6.18中整個系統(tǒng)的直接型實現(xiàn)的流圖。用該系統(tǒng)做線性濾波器，每輸出樣本的MM17zHz ,z111z 2I直接IIIII解:(a)系統(tǒng)首先進行的是xn

hkxnkkhn當n0和n10時為xnhnhkxnkk之后再以M倍減采樣.z1z1z1z1z1

。M y。(b)MM這樣使卷積次數(shù)減小了M倍，所以使用該方法使總計算量降低了1M

MM(c)

Hz

,z11z 2 1n所以hn u2P6.196.7FIR系統(tǒng)的直接型和格型實現(xiàn)流圖。希望證明這兩種流圖zzzP6.19AzP6.19（a）P6.19中兩種系統(tǒng)的沖激響應。i a(i)i a(i)a(i1)k

（注：上標（N）表示第N aa(N

a(1)

275747，a(2)

1aa3

(1)＝k(1k (2)＝a(2)－k 3

(2)＝k－k 3 ＝ 使然

求P6.20-2H11(z)Y1(zX1(zK的取P6.20-2H21(z)Y2(z)/X1(zH21(z)， -

-

圖P6.20- 圖P6.20-y[nx[n1Ky[nKx[n1K2x[n1 Y(z)X(z)

（6.20b- Y(z)KX(z)(1K2)

（6.20b- 將輸出y1[n]和輸入x2[n]連起來，意味著Y1(z)X21，得：

（6.20b-H(z)Y(z)/X(z)

（6.20b-

1

1和2，得：z1KH21(z)Y2(zX1(z)1Kz1。ejej1Ke11Ke

j)

e

1 1并求H1z的極點的模和相角

Xzr1r1P6.21-1P6.21-2系統(tǒng)函數(shù)H2zY21r

Xz，與H1z是什么關(guān)系1

11

1

（a） zYzrz1Yz1r2z2YzG1rXzr1rz1X1

Y H1z

1

X 1

令1rz11r2z20得rr 5r2

z2 r5r2當5r240r5r25

1r 5r24rr 5r24r 5r24argz1argz225當5r240，即r 時25z1z2

44r211r445rargz12argztan2r2YzG1rz21rz1 2H2

H1X 1

210（這就類似于由電流源驅(qū)動的電氣傳輸線。輸出是右端的音圖f在到達某一界面時也是以一種系數(shù)繼續(xù)向前傳，A1的聲道內(nèi)某一入射2fA1rf2

rfrA2A220000樣本/秒采樣。解:3.4厘米,34000厘米/秒,所以經(jīng)過每節(jié)聲管所需的時t為:t

104秒20千赫,TT 20103

0.5104秒進的波與反向行進的波在交界面上相加.當波從橫截面為AkAn的聲管時,kn為 AnAnA Ak

A A2

A2A A3

A3A A4

A4A

z21a2

z21a34z2。。

z

1

z21

z21

z y2

x2aaby2cdx2eey2fx2ArBa,bc和d的值Ar求網(wǎng)絡C的e和f的值B或者網(wǎng)絡CAABC有什么可能的長處？y1[n](1r)x1[n]y[n](1－r)x[n]－rx y1[n](1a)x1[n]y[n](1dc)x[n]abx adbcCy1[n](1e)x1[n]y[n](1ef)x[n]efx ef fBC比網(wǎng)絡AA有較]

{(e[n]m)(e[nm]m)}2 并假設噪聲序列幅度值在量化階2B內(nèi)均勻分布。舍入和截尾的一階概率密度分別如P6.24（a）P6.24（b）所示。meE(e)0 2E(e2)m2E(e2)m22dx0。mE(e) 02 e 0

2網(wǎng)網(wǎng)121解：1

y2nx2nh2n

h2k2x2nk2k2

1

2 Ey1ny2mEh1k1x1nk1h2k2x2mk2k1 k2 h1k1h2k2Ex1nk1x2mk2k1k2 h1k1h2k2Ex1nk1Ex2mk2k1k2 Eh1k1x1nk1Eh2k2x2mk2Ey1nEy2

k2 H

z10.5410.54z求系數(shù)b,cd,以使得圖P6.26的流圖是Hz的一種實現(xiàn)P6.26網(wǎng)絡的實際實現(xiàn)時,b,cd可能用舍入將真正的值量化到最靠近的十分之一的值(例如,0.540.51.85181.9).所得系統(tǒng)仍為一畫出一種網(wǎng)絡的流圖,該流圖要求兩個延遲單元,但僅要求一次乘以常數(shù)(1)的乘法)(c的實現(xiàn)與(a)的實現(xiàn)比較,其主要缺點是要求兩個延遲單元.然而,對于告誡系統(tǒng)有必要實現(xiàn)全通系統(tǒng)的級聯(lián).N個全通節(jié)的級聯(lián),有可能利用由(c)確定的全z1az1bHz 1az11bz1 用量化系數(shù)ab,(e)中的網(wǎng)絡還是一個全通系統(tǒng)嗎H'z

YZXZ

1bz'

z1HzH

10.54zdcdbbcdH'z得系數(shù)舍入后得：b=0.5,c=-1.9,d=- '0.95z1H 10.5z

'

j

0.95ej10.5eH'

j

e 0.950.950.5e10.5e

z

--z

yn0.5yn1xnxn

Hz

z10.510.5z-az-azba,b量化為az1 Hz

a.

b11

1 a 1b P6.27中的網(wǎng)絡全部由相同的系統(tǒng)函數(shù)。假設在全部計算中都采用定點（B+1）

za

zazza圖P6.27中有兩個網(wǎng)絡具有相同的由于運算舍入而產(chǎn)生的總輸出噪聲功率。BB（a）e0z e2e0

za

e0

e2zz （a對于（a）H(z)b0＋b1

（z 22h[n]＋2 B＝2[B

2j

H(z)H(z1)z1dz

b2＋b2＋2abbB( 0 1a2zz B B23

6.28(略

Hz

。10.5z。P6.29中的系統(tǒng)用有限精度運算實現(xiàn)，并在相加之前乘積已舍入到（B+1）P6.29xmax，使得系統(tǒng)中任何地方都不出現(xiàn)溢解：Hz

10.5z

10.5z

0.2z10.5z hn0.20.5nun0.20.5n1unhn

n0.5n1

nn0.2

n

hn0.2

0.20.5n0.5n10.2

0.20.2

1

xmax

h對（a）HzH1zH2z

z1z1

H2z

10.5zhn

n 要使y1n1，0.2x1max

1

h10.5

系統(tǒng)（a）的輸入最大值為2.5

H2z

10.5z1hn1

n1

0.2

h1系統(tǒng)（b）的輸入最大值為2.5

z1z1

H2z

10.5zhn

n1x1max

1

12e3n2e0

z

z

e3n

me0

z

22

,

e3n2e0z

對(a)H

z

10.5z

hn0.5n22222

h2n22

f

e0122B422對(b)

z hn0.5n 10.5z 232

h2n32

0.52n3

f

e0122B422對

H2z

10.5z

2hn0.20.5n2 222h2n220.2f

4

22對(a)和

2e010.52 x 1 x

xmaxx2dx

3xx3

3 222h2n20.220.20.5n0.5n1

0.2533

3

52522B12(a)的輸出信噪比為 2f

522B22b（）的輸出信噪比為 b2f

522B5522B 11 對（c）2max 32 22

h2n

0.16 0.0220.0222B12（c）的輸出信噪比為 2f

0.2522B16.30P6.30系統(tǒng).X

j0,T

,A/D16位的轉(zhuǎn)換器,成使得最大信號電平為一.P6.3016P6.30中整個系統(tǒng)的線性噪聲模型,A/D轉(zhuǎn)換器量化效應和流圖中的運算量化效應.16位舍入運算總噪聲功率2表示每個噪聲源的功率.yn1,輸入信號能夠有多大?你的答案是否意味著A/D全部16位現(xiàn)在假設圖P6.30的A/D12位輸出樣本,A/D轉(zhuǎn)換器還是組裝成使得功率.16位舍入運算的總噪聲功率2表示.xxcHef

z

10.5z

0.50.5Hef

n12

unHef

1z10.5z

2 10.5zhef

n2n3

n

un Hef

z

10.5zhef

n

1nn若要絕對確保yn1,且已 因子

h h1

0.5nn1hn n1 3 x

h

2m

212

13

1max1此時A/D16位字都用上了 f f f(c

19 xxcA/D12位,0.50.53位,15位,無量化誤差e2n6.31

10.25zH(z)10.25zP6.31中的每個網(wǎng)絡，畫出用（B+1）位實現(xiàn)運算，乘積在相加以前P6.31中的每個網(wǎng)絡，圈出溢出必須避免的關(guān)鍵節(jié)點。假設用補碼運xmaxx[n]xmax，則有y[n]1。nn]n]zznn]zzn]nn]zzn]zzzn]n]z10.25z

圖6.31

H(z)10.25z2對于每一個網(wǎng)絡，(B+1)nn]n]zz0n]1n]n]zn]zzn]

1n]

2n]zzze0

由于是(B+1)22－2

，均值 0 22h[n]＋ ＝2(18－7 ＝62 H(z)＝H1(z)H2H1(zH2z 2

1]zz zzz＝31 對于

2221＋2＝5 e H(z)＝34

＋14

222

＝3x[n]xmax,y[n]11maxH(ej1maxH(ejkk1hkBxC

451212對于網(wǎng)絡6.32(略6.33

23ynayn1其中Q·代表原碼截尾（關(guān)于原碼表示見習題ny?ny?n1這種類型零輸入極限環(huán)的可能性。證明，如果該解：對原碼截尾：當輸入xn0時，差分方程為y?nQay?n1，在形成極限環(huán)TT

0 1aa 0

1a0，即a則2B

T 1a0，即aTa1a1，就不可能存在極限環(huán)。TT

0 1aaTT

0 1aa 2B

T 1a0，即aT則2B

T 1a0，即aT6.35P6.35-1x[n]

nn5位寄存器的原碼表示。這就是說，全部數(shù)都是帶符號的小樹，表示成其中b0,b1,b2,b3和b401b21b22b23b24 若b00，小數(shù)是正的，若b01，小數(shù)是負的。序列值用某一系數(shù)相乘的結(jié)果在相加前4位最高有效位。zz計算該量化系統(tǒng)對（a）所給輸入的響應，并畫出對應于0n5，量化和未n，比較這兩個響應如何？x[n]

n （b

n

x[n]H(z)

nn1

41 4 y[n]h[n]x[n]12k

1

＋12＋

4n 1

y[n]3

4y[n]28令

y[]＝3

P6.35-2H(z而輸入序列的Z變換為：X(z)

4 Y(z)X(z)H(z) y[n]

n11 11

4

24y[n]y[0]

2y[1]

8y[2]

y[3]

y[4]

y[5]

6.36(略函數(shù)在習題3.34中已證明它表示補碼（圖P6.37-2略去量化換句函數(shù)f·ayn1byn2xnab值的范圍；也就是說，假設和的幅度是小于1，使得系統(tǒng)表現(xiàn)為線性。性條件下在（a-b）平面上畫出對應于假設xn0，ab在什么條件下保證不產(chǎn)生溢出，也即yn1？在（a-b）n,xn0，yny00ab要求時，y0值是多少在穩(wěn)定限制和0y01之下，ab0現(xiàn)在考慮周期為2的零輸入極限環(huán)的可能性，也即對所有nyn1ny，對滿足線性穩(wěn)定約束條件的ab0y01的什么值是可能的？0112fazbyn解：沒有溢出時fvv，此時ynayn1byn2兩邊作z變換得：Yzaz1Yzbz2YzXHzYz X 1az1bz1系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是Hz的極點1,2都在單位圓內(nèi)，即1

1z2azbz1

z

z2

z1b1a1

，b

2 122