初中數(shù)學(xué)滬科版八年級(jí)上冊(cè)第12章一次函數(shù)12．2一次函數(shù)同課異構(gòu)

第五、六課時(shí)一次函數(shù)表達(dá)式的方法解法（23招）安徽省池州市貴池區(qū)梅龍初級(jí)中學(xué)黃老師（QQ：495014580）四、求一次函數(shù)的表達(dá)式基本解法1、待定系數(shù)法（1）圖象過原點(diǎn)：函數(shù)為正比例函數(shù)，可設(shè)表達(dá)式為y=kx，再找圖象上除原點(diǎn)外的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式，即可求出k.（2）圖象不過原點(diǎn)：函數(shù)為一般的一次函數(shù)，可設(shè)表達(dá)式為y=kx+b，再找圖象上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式，即可求出k，b。例：（中考常州）已知一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，－2）和點(diǎn)B（1，0），則k=______，b=______.答案：k=2，b=-2例：（中考重慶）已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，－2），則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為______答案：y=-2x常見解法：1、定義式例，已知函數(shù)是一次函數(shù)，求其解析式。解析：該函數(shù)是一次函數(shù)解得，m=±3,又m≠3∴m=-3故解析式為：y=-6x+32、點(diǎn)斜式要點(diǎn)：如何求k？（1）公式：（2）圖象（比值）：||=(兩直角邊的比）（3）增量：V（速度）、P（電功率）（4）每每（美美題）：（5）平移變換：k值相等（6）垂直變換：（7）對(duì)稱變換：|k|、|b|不變（8）相似比：(略)（9）正切值：tanα（斜率）（10）旋轉(zhuǎn)變換：（略）例，已知一次函數(shù)y=kx-3的圖象過點(diǎn)（2，-1），求這個(gè)函數(shù)解析式。解析：方法一：（代入法）將點(diǎn)（2,-1）代入y=kx-3得，-1=2k-3，解得，k=1故解析式為：y=x-3方法二：（一點(diǎn)式）解析：一次函數(shù)y=kx-3的圖象過點(diǎn)（2，-1）可令y=k(x-2)-1=kx-2k-1-2k-1=-3,解得，k=1這個(gè)函數(shù)解析式為y=x-33、兩點(diǎn)式例，一次函數(shù)經(jīng)過（-2，0)、(0，4),求此函數(shù)的解析式。解析：方法一：（構(gòu)建方程組）令解析式為y=kx+b,過（-2,0)、(0,4)，則解得，k=2，b=4故解析為y=2x+4方法二：由點(diǎn)斜式得：=2再一點(diǎn)式得：y=2(x+2)+0=2x+4方法三：由斜截式得，y=2x+4方法四：由數(shù)形結(jié)合得，y=2x+4(k=直角邊的比）方法五：（純一點(diǎn)式）y=k(x+2)=k(x+0)+4?k=24、一點(diǎn)式：例，過（2,5）的一次函數(shù)解析式為_____。解析：y=k(x-2)+5＝kx-2k+5例，若a,b為定值，關(guān)于x的方程,無論k為何值，解總是x=1,則2a+3b=_____。解析：化簡得，（4x+b)k=12-2a+x?b=-4,2a=13?2a+3b=15、圖象式：例，如圖，則函數(shù)解析式為______.解析：方法一：易知，b=2（截距）,k=-2(兩直角邊的比）,則y=-2x+2方法二：兩點(diǎn)式：（略）方法三：一點(diǎn)式：y=k(x-1)+0=k(x+0)+2?k=-26、平移式：例，直線y=kx+b與直線y=-2x平行，且截距為2,則直線解析式為____。解析：易知，k=-2,b=2,解析式為y=-2x+2技巧：上下平移：K值不變，上加下減；左右平移：K值不變，左加右減；如：y=kx+b向左平移m個(gè)單位，則平移后的解析式為____________.解：y=k(x+m)+b實(shí)質(zhì)：上下平移橫坐標(biāo)不變；縱坐標(biāo)上加下減。左右平移縱坐標(biāo)不變；橫坐標(biāo)左減右加。例，將y=2x+3向下平移2個(gè)單位，則y=_______；再向左平移2個(gè)單位，則y=_____.解析：方法一：結(jié)論歸納法由上加下減得，y=2x+1;由左加右減得，y=2(x+2)+1=2x+5方法二：數(shù)形結(jié)合法（點(diǎn)值法）詳細(xì)過程：（1）求出y=2x+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（,0）;（2）求出平移后的點(diǎn)坐標(biāo)（,0）（3）求平移后的解析式y(tǒng)=2(x+)+0（一點(diǎn)式）=2x+5。方法三：逆向思維法具體過程：設(shè)平移后的點(diǎn)坐標(biāo)為P（x,y）由逆向思維得，原來該點(diǎn)的坐標(biāo)為P'（x+2,y+2）在y=2x+3上，y+2=2(x+2)+3,y=2x+5[練習(xí)]1、將y=-2x-3向上平移2個(gè)單位，則y=_______；（y=-2x-1）再向右平移2個(gè)單位，則y=_______。(y=-2(x-2)-1=-2x+3)2、將y=-x+1向下平移2個(gè)單位，則y=_____;再向左平移個(gè)單位，則y=_______。7、斜截式例，將y=2x+b向左平移2個(gè)單位后，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），則b=___。解析：由題意知，平移后的解析為y=2(x+2)+b=2x+3?b=-1具體過程：（1）由平移得，y=2(x+2)+b（左加右減）；（2）由斜截式得，k=2,b=3,即y=2x+3（3）聯(lián)立得，2(x+2)+b＝2x+3?b=-18、應(yīng)用式：要點(diǎn)：k表示：速度、單位量、斜率、比值、每每、增量的比……b表示：起始位置例1，某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為升/分，則油箱中剩油量Q（升）與流出時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系式為______。解析：當(dāng)t=0時(shí)，Q=20,即b=20;又流速為升/分，即k=（放油）故解析式為Q=+20（0≤t≤100）例2，已知A、B兩地相距30km，B、C兩地相距48km。某人騎自行車以每小時(shí)12km的速度從A地出發(fā)，經(jīng)過B地到達(dá)C地。設(shè)此人騎車的時(shí)間為x（h），離B地的距離為y（km）。（1）當(dāng)此人在A、B兩地之間時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍。（2）當(dāng)此人在B、C兩地之間時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍。解析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=30,即b=30又速度為12km/h,則k=-12(y隨x增大而減小）故解析式為：y=-12x+30（0≤x≤(5/2)）（2）由速度為12km/h，則k=12(y隨x增大而增大）可令解析式為：y=12x+b又當(dāng)x=時(shí)，y=0,解得，b=-30故解析式為：y=12x-30方法二：（點(diǎn)斜式）y=12(x-)=12x-30例3，在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y（cm）是所掛物體的質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)，當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為1kg時(shí)，彈簧長10cm；當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為3kg時(shí)，彈簧長為12cm。寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式______。解析：增加量為(12-10/3-1)=1，即k=1當(dāng)x=0時(shí)，y=9，即b=9故解析式為y=x+9方法二：令解析式為y=kx+b，過點(diǎn)（1，10）（3，12）解二元一次方程組也可求出此解析式。9、面積式例，y=kx+b是由y=2x平移得到的，且與坐標(biāo)軸圍成的面積為4，求此函數(shù)的解析式_____.解析：如圖，y=kx+b是由y=2x平移得到的k=2由圖可知，A（-(b/2),0）,B(0,b)又S△AOB=4,即AOBO=4,|-||b|=4解得，b=±4故，解析式為y=2x+4或y=2x-4[鞏固]y=kx+3的圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積為9，求此函數(shù)的解析式_____。解析：如圖，由圖可知，A（,0）,B(0,3)又S△AOB=9,即AOBO=4,=9解得，k=±故，解析式為y=x+3或y=-x+310、列表式：k：增量11、規(guī)律式：k：增量12、開放式：例，請(qǐng)寫出一次函數(shù)的解析式。要求：（1）過（3,1）；（2）y隨x增大而減??；（3）當(dāng)x=2時(shí)，y<2，則：_______解析：由過（3,1）知，可令y=k(x-3)+1=kx-3k+1又當(dāng)x=2時(shí)，y<2，得，-k+1<2,k>-1又y隨x增大而減小，得，k<0所以，-1<k<0當(dāng)k=-時(shí),y=-x+213、值域式例，已知一次函數(shù)的自變量的取值范圍是2≤x≤6,函數(shù)值的范圍是5≤y≤9,求這個(gè)一次函數(shù)的解析式。解析：令一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（1）當(dāng)k>0時(shí)，x=2,則y=5;x=6,則y=9.2k+b=56k+b=9解得，k=1,b=3故，解析式為y=x+3（2）當(dāng)k<0時(shí)，x=2，則y=9;x=6,則y=5.2k+b=96k+b=5解得，k=-1,b=11故，解析式為y=-x+1114、動(dòng)點(diǎn)式（略）15、待定系數(shù)式（略）16、分類討論式（略）17、成比例式例，y-1與x+3成正比例，當(dāng)x=2時(shí)，y=6，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式。解析：令y-1=k(x+3),得6-1=k(2+3),解得，k=1故，解析式為y=x+418、對(duì)稱式：例：y=kx+b1）關(guān)于x軸對(duì)稱：P（x,y）→P'(x,-y):-y=kx+b,即y=-kx-b（全變）；2）關(guān)于y軸對(duì)稱：P（x,y）→P'(-x,y):y=-kx+b,即y=-kx-b（k變b不變）；3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：P（x,y）→P'(-x,-y):-y=-kx+b,即y=kx-b（b變k不變）；例，y=2x+1的圖象(1)關(guān)于x軸對(duì)稱的解析式為_____;(2)關(guān)于y軸對(duì)稱的解析式為_____;(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱（了解）歸納：（1）對(duì)稱|k|不變，|b|不變；（2）關(guān)于x軸對(duì)稱：k、b都變號(hào)；關(guān)于y軸對(duì)稱：k變號(hào)，b不變號(hào)。實(shí)質(zhì)：（1）直線的對(duì)稱其本質(zhì)是點(diǎn)的對(duì)稱。（2）再對(duì)稱后的直線上任取一點(diǎn)P(x,y)則關(guān)于x軸對(duì)稱P'(x,-y):-y=2x+1?y=-2x-1關(guān)于y軸對(duì)稱P'(-x,y):y=-2x+1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱P'(-x,-y):-y=-2x+1?y=2x-119、垂直式例，y=2x+1與y=-x+2在位置上的關(guān)系是_____.由此你得出的結(jié)論是＿＿＿＿。（=-1)20、旋轉(zhuǎn)式（關(guān)于某一直線對(duì)稱）例，將直線y=2x+1關(guān)于y=x對(duì)稱，求對(duì)稱后的解析式______。總結(jié):有關(guān)一次函數(shù)的解法：1、定義式；2、兩點(diǎn)式；3、待定系數(shù)式；4、直線方程式；5、點(diǎn)斜式；6、一點(diǎn)式；7、斜截式；8、圖象式；9、比例式；10、平移變換式；11、對(duì)稱變換式；12、垂直變換式；14、旋轉(zhuǎn)變換式；15、面積式；16、列表式；17、規(guī)律式；18、開放式；19、值域式；20、成比例式；21、分類討論式；22、應(yīng)用式；23、動(dòng)點(diǎn)式。[練習(xí)]1、y與x成正比例，且當(dāng)x=1時(shí)，y=2，那么當(dāng)x=3時(shí)，y=___。2、寫出同時(shí)具備下列兩個(gè)條件的一次函數(shù)表達(dá)式_____（1）y隨著x的增大而增大；（2）圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，－3）。3、直線y=3x-3向左平移4個(gè)單位后，則直線解析式為_