第十章曲線積分與曲面積分

第二 對坐標(biāo)的曲線積 十第 對坐標(biāo)的曲線積分的概十章曲 對坐標(biāo)的曲線積分的性線積與分 對坐標(biāo)的曲線積分的計算與分 兩類曲線積分的關(guān)-1第二 對坐標(biāo)的曲線積 對坐標(biāo)的曲線積LiMLiMiBAM2第 L:A章 F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)線 WF曲 積 分割A(yù)M0,M1(x1,y1) ,Mn1(xn1,yn1),Mn Mi1Mi(xi)i(yi)j-2第二 對坐標(biāo)的曲線積i 常代 取(i,i)i F(F(i,iBMLMMi1AMMF(i,i)P(i,i)iQ(i,i)j 章 F(i,i)Mi1Mi章 即WiP(i,i)xiQ(i,i)yi n積線n積 近似和WWi in曲n i

[P(i

)

Q(,)y n分n

W0

[P(i,i)xii1

Q(

)yi-3 2定義.L為xoyA到B的一條弧段 在L上定義了一個有界向量函 F(x,y){P(x,y),Q(x,十L的任意分割和在局部弧段上任意取點n曲 limP(k,k)xkQ(k,k)ykn曲 面

k

L

P(x,y)dxQ(x,y)d都存在F(xy)L分對坐標(biāo)的曲線積分,或第二類曲線積分.其中Pxy),Qxy稱為,L稱為-4第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積LP(x,y)dxlimP(k,k)xk0kn

稱為x的曲線積分 LQ(x,y)dylimQ(k,k)yk 0k章

稱為y的曲線積分曲若記ds{dx,d 積分線積分 LFdsLP(x,y)dxQ(x,y)d曲積面類似地,若為空間曲線弧,記ds{dxdy曲積分F(x,y,z){P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,FdsP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,-5第二 對坐標(biāo)的曲線積 對坐標(biāo)的曲線積分的性十 L(P1(x,y)P2(x,十L P1(x,y)dxLL

P2(x, (Q1(x,y)Q2(x, 分 分與

L

(x,y)dy

LQ2

(x,LPdxQdyLPdxQdy1LPdxLPdxQdyLPdxQdy1LPdx2面-6 LP(x,y)dxLP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x,曲-7第二 對坐標(biāo)的曲線積 對坐標(biāo)的曲線積分的計算定理:Pxy),Qxy)L x(t章連續(xù),L章曲存在且有

y(t

t,證明LP(x,y)dxQ(xLP(x,y)dxQ(x,y)dP[(t(t (tQ[(t),(t(t

P[(t),(t)](t-8第二 對坐標(biāo)的曲線積 P(x,y)dx P(,)0ixi對應(yīng)參數(shù)ti,十 xixixi1(ti)(ti1)(i十章取(ii((i),(in線曲線L

P(x,y)dxlimP[(i),(i)](i0i因為L所以(t)n面 lim面

P[

),

)](

0i分

P[(t),(t)](t同理可證LQxy)d

Q[(t),(t)]

(t)d-9第二 對坐標(biāo)的曲線積特別是,如果L的 y(x),x:ab,線曲線積分

x(ty(t)t,z(tLP(x,y)dxQ(x,y)daP[x,(x)]Q[x,LP(x,y)dxQ(x,y)daP[x,(x)]Q[x,((x曲積 P[(t),(t),(t)](t積分 [(t),(t),(t)](t) [(t),(t),(t)](t-10例1計算

第二 對坐標(biāo)的曲線積xydx其中L為沿拋物線y2xA(11)到B(11)的一段

十第解法1x為參數(shù)則LAO十 AO:y x,x:1 OB:y x, x:0積

y y x分 xydx

xydx

xydx1

32 32面 1 x)dx面

20 dx分11

取y為參數(shù),則L:xy2 y:1

xydx

y2y(y2)dy2-11

y4dy5第二 對坐標(biāo)的曲線積例2

y2dx

La上半圓周方向為逆時針方向十

(2)從點A(a,0)沿x軸到點B(–a,0線曲解:(1)取L的參數(shù) xacost,yasint,t:0線積則 y2dx則 曲

a2sin2 (asint)d0 2a3

2sin3td

2a

214a30積0 取L的 y0,x:aa,y2dx

0dx -12第二 對坐標(biāo)的曲線積例3.計 2xydxx2dy,其中L L

(1L:yx2x0十 (2)拋物線L:xy2,y:01十章 (3)有向折線L:OAAB

xyyx A(1,0)線解(1)分與

111

(2x

2

2x

40111

x3dx面 (2)原式面積

(2y2y2yy4)dy0

y4dy0分原式OA2xydxxdy 2xydxxd分 0(2x0 0)dx-13

0(2y01)dy 例4Fyx,z)作用下質(zhì)點由A(R0沿移動到B(R,0,2k),其中 (1)xRcost,yRsint,zkt 章 章 分積解:(1)WFdsydxxdyzd分

(R2k2t)d

R2分積(2)的參數(shù) xR,y0,zt,t:02分2W

Fds ydxxdyzd

td22k

-14第二 對坐標(biāo)的曲線積

Lx2y2

,其中Lxacost,第yasint,z 相應(yīng)于0t2的一段，依增長十解 解 Lx2y2積分

面 0 a2b2t面1積1

-15第二 對坐標(biāo)的曲線積例6求I(zy)dxxz)dyxy)dz,x2y21十 xyz十章

z軸正向看為順時針方向zoxy解zoxy線 xcost,ysint,z2costsin線

I 曲

[(2cost)(sint (22costsint)cos積 (costsint)(costsint)]d

t)d

-16第二 對坐標(biāo)的曲線積 兩類曲線積分之間的聯(lián) L L L F(x,y)ds P(x,y)dxQ(x, 中 F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j,dsdxidyj 中 |ds (dx)2(dy)2 分

ds為弧微t0為以ds ds dx dy積 t0 積

i L以弧長為參數(shù)的參數(shù)方xx(s),yy(s) 0sl),則L-17第二 對坐標(biāo)的曲線積dx dyi t0cosicosj,則cos,cos為L的正向切章曲

P(x,y)dxQ(x,y)dy L

F(x,y) F(x,y)t0ds面

(P(x,y)cosQ(x,y)cosLLP(x,y)dxQ(x,L(P(x,y)cosQ(x,y)cos-18第二 對坐標(biāo)的曲線積LP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y, (PcosQcosRcos 章其中cos,cos,cos為空間曲線L線線分 分

曲 FPiQj dsdxidyj曲積 t0cosicosjcos積分LFdsLFt LFdsLFt 0LFt-19P2第二P2例7設(shè)M

,Px,yQx,y)在L續(xù)L的長度為s十 PdxQd十L章

M線曲證 LPdxQd LPcosQcos線分 分

PcosQcos 曲 設(shè)A(P,Q),t(cos,cos曲積 二者夾角為積分 At cosdsM說明:上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分-20