因式分解全課程學習

15.4.1因式分解（初級篇）——因式分解的定義與提公因式法第1頁/共73頁第一頁，共74頁。復習回顧口答：第2頁/共73頁第二頁，共74頁。問題：630可以被哪些整數(shù)整除？

解決這個問題，需要對630進行分解質因數(shù)630=2×32×5×7類似地，在式的變形中，有時需要將一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式以便于更好的解決一些問題新課引入第3頁/共73頁第三頁，共74頁。試試看(將下列多項式寫成幾個整式的乘積)回憶前面整式的乘法第4頁/共73頁第四頁，共74頁。上面我們把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式

，也叫做把這個多項式

。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解與整式乘法是逆變形第5頁/共73頁第五頁，共74頁。

依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項式化成幾個整式的積）第6頁/共73頁第六頁，共74頁。創(chuàng)設情景

學校打算把操場重新規(guī)劃一下，分為綠化帶、運動場、主席臺三個部分，如下圖，計算操場總面積。abcm第7頁/共73頁第七頁，共74頁。abcm方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcmm第8頁/共73頁第八頁，共74頁。方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc下面兩個式子中哪個是因式分解？

在式子ma+mb+mc中，m是這個多項式中每一個項都含有的因式，叫做

。公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)第9頁/共73頁第九頁，共74頁。ma+mb+mc=m(a+b+c)

在下面這個式子的因式分解過程中，先找到這個多項式的公因式，再將原式除以公因式，得到一個新多項式，將這個多項式與公因式相乘即可。這種方法叫做提公因式法。提公因式法一般步驟：

1、找到該多項式的公因式，

2、將原式除以公因式，得到一個新多項式，

3、把它與公因式相乘。第10頁/共73頁第十頁，共74頁。

如何準確地找到多項式的公因式呢？

1、系數(shù)所有項的系數(shù)的最大公因數(shù)

2、字母應提取每一項都有的字母，且字母的指數(shù)取最低的

3、系數(shù)與字母相乘第11頁/共73頁第十一頁，共74頁。例題精講最大公因數(shù)為3=3a的最低指數(shù)為1ab的最低指數(shù)為1b(3a–5bc)=–4st2(3s2–2t+1)pq(5q+7p+3)=第12頁/共73頁第十二頁，共74頁。做一做

按照提公因式法因式分解。第13頁/共73頁第十三頁，共74頁。提高訓練(一)第14頁/共73頁第十四頁，共74頁。提高訓練(二)第15頁/共73頁第十五頁，共74頁。TheEnd第16頁/共73頁第十六頁，共74頁。15.4.2公式法（中級篇）利用完全平方公式因式分解第3課時利用平方差公式因式分解第2課時第17頁/共73頁第十七頁，共74頁。15.4.2公式法（中級篇1）——利用平方差公式進行因式分解第18頁/共73頁第十八頁，共74頁。復習回顧還記得學過的兩個最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全平方公式：計算：第19頁/共73頁第十九頁，共74頁。=(999+1)(999–1)此處運用了什么公式?新課引入試計算：9992–112=1000×998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2–;（2）y2–4252252=(x+2)(x–2)=(y+5)(y–5)

這些計算過程中都逆用了平方差公式即：第20頁/共73頁第二十頁，共74頁。此即運用平方差公式進行因式分解用文字表述為：

兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。

嘗試練習(對下列各式因式分解)：①a2–9=___________________②49–n2=__________________③5s2–20t2=________________④100x2–9y2=_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y)第21頁/共73頁第二十一頁，共74頁。判斷下列各式是否可以運用平方差公式進行因式分解①x2+4②–4x2+y2③x4–1④x2–x6⑤6x3–54xy2⑥(x+p)2–(x–q)2例(1)第22頁/共73頁第二十二頁，共74頁。=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)=(x2)2–12

=(x2+1)(x2–1)②–4x2+y2③x4–1(x2–1)=–(4x2–y2)=–(2x+y)(2x–y)(x+1)(x–1)將前面②~⑥各式運用平方差公式進行因式分解例(2)因式分解一定要分解徹底!第23頁/共73頁第二十三頁，共74頁。④x2–x6=x2–(x3)2=(x+x3)(x–x3)=x·(1+x2)·x·(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)將前面②~⑥各式運用平方差公式進行因式分解例(2)④x2–x6=x2(1–x4)=x2

(1+x2)(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)更簡便！

在我們現(xiàn)學過的因式分解方法中，先考慮提取公因式，再考慮用公式法。第24頁/共73頁第二十四頁，共74頁。⑤6x3–54xy2=6x(x2–9y2)=6x

(x+3y)(x–3y)⑥(x+p)2–(x–q)2=[(x+p)+(x–q)]·[(x+p)–(x–q)]=(2x+p–q)(p+q)將前面②~⑥各式運用平方差公式進行因式分解例(2)YXYXYX第25頁/共73頁第二十五頁，共74頁。做一做

利用平方差公式因式分解。第26頁/共73頁第二十六頁，共74頁。提高訓練(一)④

設m、n為自然數(shù)且滿足關系式12+92+92+22+m2=n2，則m=____，n=____。第27頁/共73頁第二十七頁，共74頁。提高訓練(二)3、n是自然數(shù)，代入n3–n中計算時，四個同學算出如下四個結果，其中正確的只可能是()。A.421800B.438911C.439844D.428158第28頁/共73頁第二十八頁，共74頁。TheEnd第29頁/共73頁第二十九頁，共74頁。15.4.2公式法（中級篇2）——利用完全平方公式進行因式分解第30頁/共73頁第三十頁，共74頁。復習回顧還記得前面學的完全平方公式嗎？計算：第31頁/共73頁第三十一頁，共74頁。新課引入試計算：9992+1998+12×999×1=(999+1)2

=106此處運用了什么公式?完全平方公式逆用

就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進行一些簡便計算與因式分解。即：第32頁/共73頁第三十二頁，共74頁。這個公式可以用文字表述為：

兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的兩倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方。

牛刀小試(對下列各式因式分解)：①a2+6a+9=_________________②n2–10n+25=_______________③4t2–8t+4=_________________④4x2–12xy+9y2=_____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2第33頁/共73頁第三十三頁，共74頁。判斷下列各式是否可以運用完全平方公式進行因式分解①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2③x2+2x–1④4x2–8xy+4y2⑤1–2a2+a4⑥(p+q)2–12(p+q)+36例(1)

形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。

完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解第34頁/共73頁第三十四頁，共74頁。完全平方式的特點：

1、必須是三項式（或可以看成三項的）

2、有兩個同號的平方項

3、有一個乘積項（等于平方項底數(shù)的±2倍）簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。第35頁/共73頁第三十五頁，共74頁。將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進行因式分解例(2)①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2④4x2–8xy+4y2=(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=4(x–y)2第36頁/共73頁第三十六頁，共74頁。–2a2+⑥(p+q)2–12(p+q)+36將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進行因式分解例(2)a41=(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=[(a+1)

(a–1)]2=(p+q–6)2XXX第37頁/共73頁第三十七頁，共74頁。做一做

用完全平方公式進行因式分解。第38頁/共73頁第三十八頁，共74頁。做一做

用恰當?shù)姆椒ㄟM行因式分解。備選方法：提公因式法平方差公式完全平方公式第39頁/共73頁第三十九頁，共74頁。提高訓練(一)④

給4x2+1加上一個單項式，使它成為一個完全平方式，這個單項式可以是________。第40頁/共73頁第四十頁，共74頁。提高訓練(二)第41頁/共73頁第四十一頁，共74頁。提高訓練(三)第42頁/共73頁第四十二頁，共74頁。TheEnd第43頁/共73頁第四十三頁，共74頁。13.4.3*因式分解（高級篇）——因式分解的其他常用方法第44頁/共73頁第四十四頁，共74頁。知識結構因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項添項法配方法待定系數(shù)法求根法……第45頁/共73頁第四十五頁，共74頁。一、提公因式法

只需找到多項式中的公因式，然后用原多項式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結合起來用。提公因式法隨堂練習：1）15(m–n)+2x(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)第46頁/共73頁第四十六頁，共74頁。二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方法結合或多種公式結合。接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進行因式分解。第47頁/共73頁第四十七頁，共74頁。常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導第48頁/共73頁第四十八頁，共74頁。這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導過程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆第49頁/共73頁第四十九頁，共74頁。公式法隨堂練習：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方法結合或多種公式結合。第50頁/共73頁第五十頁，共74頁。三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進行因式分解（適用于二次三項式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項3=1×3而一次項系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解第51頁/共73頁第五十一頁，共74頁。例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項10=(–2)×(–5)而一次項系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個公式簡單的說，就是把常數(shù)項拆成兩個數(shù)的乘積，而這兩個數(shù)的和剛好等于一次項系數(shù)十字相乘法①隨堂練習：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2第52頁/共73頁第五十二頁，共74頁。三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要將二次項系數(shù)與常數(shù)項分別拆成兩個數(shù)的積，而這四個數(shù)中，兩個數(shù)的積與另外兩個數(shù)的積之和剛好等于一次項系數(shù)，那么因式分解就成功了。第53頁/共73頁第五十三頁，共74頁。=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)第54頁/共73頁第五十四頁，共74頁。=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法②隨堂練習：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy第55頁/共73頁第五十五頁，共74頁。四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別的解法嗎？第56頁/共73頁第五十六頁，共74頁。四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)第57頁/共73頁第五十七頁，共74頁。例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1第58頁/共73頁第五十八頁，共74頁?；仡櫪}：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆項添項法怎么結果與剛才不一樣呢？因為它還可以繼續(xù)因式分解第59頁/共73頁第五十九頁，共74頁。

拆項添項法對數(shù)學能力有著更高的要求，需要觀察到多項式中應拆哪一項使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對結果有一定的預見性，嘗試較多，做題較繁瑣。最好能根據(jù)現(xiàn)有多項式內的項猜測可能需要使用的公式，有時要根據(jù)形式猜測可能的系數(shù)。五*、拆項添項法第60頁/共73頁第六十頁，共74頁。例因式分解x4+4解：原式

=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方項猜測使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項添項法隨堂練習：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn第61頁/共73頁第六十一頁，共74頁。配方法

配方法是一種特殊的拆項添項法，將多項式配成完全平方式，再用平方差公式進行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆項添項法)分組分解法完全平方公式平方差公式第62頁/共73頁第六十二頁，共74頁。六*、待定系數(shù)法試因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。通過十字相乘法得到(2x–3y)(x+3y)設原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)通過比較兩式同類項的系數(shù)可得：解得：，∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)第63頁/共73頁第六十三頁，共74頁。=3=1410+42x2+3xy–9y2+14x–3y+20雙十字相乘