一數(shù)學(xué)的發(fā)源地：古希臘91課件

應(yīng)該知道的事件一數(shù)學(xué)的發(fā)源地：古希臘

華人中最杰出的數(shù)學(xué)家陳省身最近去世了。在彌留之際，他一直在說(shuō)：“送我去希臘?！本拖覃溂邮且了固m的圣地，恒河是佛教徒心中的圣地一樣，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家心中的圣地就是希臘。古希臘群星璀璨，亞里士多德，蘇格拉底，阿基米德這樣的博學(xué)而又智慧的大家讓其它民族望塵莫及。有記載第一位哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家是泰勒斯，哲學(xué)是從泰勒斯開始的，他預(yù)言過(guò)一次日蝕，所以我們就很幸運(yùn)地能夠根據(jù)這件事實(shí)來(lái)斷定他的年代；據(jù)天文學(xué)家說(shuō)，這次日蝕出現(xiàn)于公元前585年。他第一次證明了在圓上，直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角是90度，這也標(biāo)志這幾何學(xué)的誕生和證明的開始。

希臘人中能產(chǎn)生那么多哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，幾乎可以肯定的是那里的公民有辯論的自由，他們崇尚邏輯思維而不是崇尚武力。畢達(dá)哥拉斯算是希臘數(shù)學(xué)家中的一個(gè)杰出的人物，他創(chuàng)立的有理數(shù)的概念至今對(duì)于一些受過(guò)高等教育的中國(guó)人還是一個(gè)難的東西。說(shuō)它難，其實(shí)不難，關(guān)鍵是學(xué)習(xí)知識(shí)太功利，徹底搞清這個(gè)概念遠(yuǎn)遠(yuǎn)比背誦一段政治容易。

他建立了一種宗教，主要的教義是靈魂的輪回和吃豆子的罪惡性。他的宗教體現(xiàn)為一種宗教團(tuán)體，這一教團(tuán)到處取得了對(duì)于國(guó)家的控制權(quán)并建立起一套圣人的統(tǒng)治。但是未經(jīng)改過(guò)自新的人渴望著吃豆子，于是就遲早都反叛起來(lái)了。畢達(dá)哥拉斯教派有一些規(guī)矩是：1．禁食豆子。2．東西落下了，不要揀起來(lái)。3．不要去碰白公雞。4．不要擘開面包。5．不要邁過(guò)門閂。

6．不要用鐵撥火。7．不要吃整個(gè)的面包。8．不要招花環(huán)。9．不要坐在斗上。10．不要吃心。11．不要在大路上行走。12．房里不許有燕子。13．鍋從火上拿下來(lái)的時(shí)候，不要把鍋的印跡留在灰上，而要把它抹掉。14．不要在光亮的旁邊照鏡子。15．當(dāng)你脫下睡衣的時(shí)候，要把它卷起，把身上的印跡摩平。畢達(dá)哥拉斯在代數(shù)上的主張是認(rèn)為數(shù)是萬(wàn)物之源，并且認(rèn)為一切數(shù)都能寫成兩個(gè)自然數(shù)相除的形式。畢達(dá)哥拉斯的在幾何上最偉大的發(fā)現(xiàn)，或者是他的及門弟子的最偉大的發(fā)現(xiàn)，就是關(guān)于直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等于另一邊的平方，即弦的平方。來(lái)表示，也就是說(shuō)不是有理數(shù)。這剛好否定了畢達(dá)哥拉斯關(guān)于數(shù)的存在都是有理的（rational）的想法，這個(gè)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了他的喪命：被教眾拋進(jìn)了大海。這次事件被稱作數(shù)學(xué)歷史上的第一次危機(jī)，它否定了一切數(shù)都是有理數(shù)的結(jié)論。直到18－19世紀(jì)，關(guān)于微積分嚴(yán)格性的討論才對(duì)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)給出了解答。

二幾何至上和阿基米德的裸奔

現(xiàn)在中學(xué)生學(xué)習(xí)的平面幾何，都是來(lái)源于兩千多年前的一本奇書：《幾何原本》，它是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽杰作，是當(dāng)時(shí)整個(gè)希臘數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的結(jié)晶，其內(nèi)容和形式對(duì)幾何學(xué)本身和數(shù)學(xué)的發(fā)展有著不可估量的影響。自它問(wèn)世之日起，在長(zhǎng)達(dá)二千多年的時(shí)間里一直盛行不衰。它歷經(jīng)翻譯和修訂的次數(shù)更是不勝枚舉，自1482年第一個(gè)印刷本出版以來(lái)，至今已有一千多種不同的版本。

除了《圣經(jīng)》之外，沒(méi)有任何著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比。但《幾何原本》卻有著超越民族、種族、宗教信仰、文化意識(shí)方面的影響，是《圣經(jīng)》所無(wú)法比擬的。《幾何原本》的希臘原始抄本現(xiàn)在已經(jīng)流失了，它的所有現(xiàn)代版本都是以希臘評(píng)注家泰奧恩編寫的修訂本為依據(jù)的?！稁缀卧尽返奶W恩修訂本分13卷，總共有465個(gè)命題，其內(nèi)容是闡述平面幾何、立體幾何及算術(shù)理論的系統(tǒng)化知識(shí)。

古人學(xué)習(xí)幾何更是困難，據(jù)說(shuō)當(dāng)學(xué)到‘一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角相等'這個(gè)定理時(shí)，好多人就無(wú)論怎樣都學(xué)不會(huì)了，因此這個(gè)定理又叫‘驢子的梯子'，指它難住了一大批人。直到現(xiàn)在，平面幾何的一些知識(shí)或者立體幾何的一些定理仍然難住了一大批人，大概學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要一些天賦吧。因此當(dāng)國(guó)王多祿米向歐幾里德討教學(xué)習(xí)幾何的捷徑時(shí)，歐幾里德告訴他："在幾何里面，沒(méi)有為國(guó)王提供的捷徑。"

在數(shù)學(xué)上，古希臘人提出"三大問(wèn)題"：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍；化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這些問(wèn)題的難處，是作圖只許用直尺(沒(méi)有刻度的尺)和圓規(guī)。這類問(wèn)題直到近代群論的出現(xiàn)，才得以得到解決，這三個(gè)問(wèn)題都是不可解的。

阿基米德就是學(xué)習(xí)《幾何原本》的學(xué)生中最杰出的一位。他11歲便離開家鄉(xiāng)到當(dāng)時(shí)希臘文化中心的亞歷山大城去學(xué)習(xí)《幾何原本》，按輩份他應(yīng)該是歐幾里德的徒孫。他在數(shù)學(xué)和物理上所創(chuàng)造的奇跡使他成為人類歷史上最杰出的科學(xué)家。一個(gè)著名的故事是：敘拉古的亥厄洛國(guó)王委托金匠造一頂純金的皇冠，但是懷疑里面被摻了銀子，當(dāng)然不可能通過(guò)把皇冠割開來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)王冠，于是便請(qǐng)阿基米德鑒定一下。

他在數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造更是數(shù)不勝數(shù)，阿基米德螺線，拋物線上的弓形求面積方法含有現(xiàn)代積分思想，求圓的面積，球的表面積和體積的公式，圓周率的求法和誤差估計(jì)，等等，直到現(xiàn)在，全世界活著的人中，至少還有百分之六十的人數(shù)學(xué)知識(shí)比不上兩千年前的阿基米德。

阿基米德的死也具有傳奇色彩，甚至可以編成一部精彩的電影。公元前212年，羅馬軍隊(duì)攻入敘拉古，并闖入阿基米德的住宅，他們看見(jiàn)一位老人在地上埋頭作幾何圖形，士兵們將沙盤踩壞。阿基米德怒斥士兵："不要弄壞我的圖！"士兵拔出短劍，刺死了這位曠世絕倫的大科學(xué)家，阿基米德竟死在愚蠢無(wú)知的羅馬士兵手里。還有一個(gè)版本是他死前說(shuō)的話是："讓我做完最后一道題。"

關(guān)于阿基米德在數(shù)學(xué)史上的地位，美國(guó)的數(shù)學(xué)史學(xué)家E.T.貝爾在《數(shù)學(xué)人物》上是這樣評(píng)價(jià)阿基米德的："任何一張開列有史以來(lái)三位最偉大的數(shù)學(xué)家的名單之中，必定會(huì)包括阿基米德，而另外兩們通常是牛頓和高斯。不過(guò)以他們的宏偉業(yè)績(jī)和所處的時(shí)代背景來(lái)比較，或拿他們影響當(dāng)代和后世的深邃久遠(yuǎn)來(lái)比較，還應(yīng)首推阿基米德。"

數(shù)學(xué)思想在十七世紀(jì)中葉以后，數(shù)學(xué)知識(shí)的火山似乎在一夜之間爆發(fā)了。其中以微積分為代表的變量數(shù)學(xué)徹底改變了人們的數(shù)學(xué)思想和方法，解決了物理上提出的大量問(wèn)題，并且給出了用傳統(tǒng)方法想都不敢想的問(wèn)題的解法。在微積分發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)執(zhí)上，英國(guó)數(shù)學(xué)家和大陸數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了嚴(yán)重糾紛。牛頓于是用了好多編造的名字來(lái)‘證明'萊布尼茨的知識(shí)不是原創(chuàng)而是抄襲牛頓的。

其言辭之尖刻、辱罵之惡毒令人難以想像。萊布尼茨死后，牛頓還津津樂(lè)道的向別人講述怎樣用馬甲使萊布尼茨傷透了心，并沾沾自喜。這個(gè)時(shí)代，法國(guó)的貝努力（Bernoulli）家族是一個(gè)數(shù)學(xué)家族，三代出現(xiàn)了十多位杰出的數(shù)學(xué)家。這個(gè)家族人的脾氣都不太好，最奇怪的他們是開始都不是從事數(shù)學(xué)，可是到后來(lái)全部迷上了數(shù)學(xué)。父親因?yàn)閮鹤拥昧藬?shù)學(xué)大獎(jiǎng)，嫉妒之下竟然一腳從窗戶把兒子踹到了室外。

1696年，約翰.貝努力（JohnBernoulli）在《教師學(xué)報(bào)》的雜志上面提出最速降線問(wèn)題，公開針對(duì)他的哥哥雅克比.貝努力（Jacobi.Bernoulli）,這兩個(gè)人在學(xué)術(shù)讓一直相互不忿，據(jù)說(shuō)當(dāng)年約翰求懸鏈線的方程，熬了一夜就搞定了，雅克比做了一年還認(rèn)為懸鏈線應(yīng)該是拋物線，實(shí)在是很沒(méi)面子。那個(gè)雜志是萊布尼茨主辦的，影響很大，歐洲的所有杰出數(shù)學(xué)家都嘗試這來(lái)做這個(gè)問(wèn)題。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，萊布尼茨的,還有一個(gè)羅必達(dá)侯爵的，然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是蓋著英國(guó)郵戳匿名的。

類比了費(fèi)馬光學(xué)原理作了出來(lái)，用光學(xué)一下做了出來(lái)。但是從影響來(lái)說(shuō)，弟弟的做法真正體現(xiàn)了變分思想。這個(gè)思想是把每條曲線看作一個(gè)變量，進(jìn)而在每條曲線上所用時(shí)間便是曲線的函數(shù)，這就是泛函。類似于微積分求最大最小值的辦法，把微積分推廣到一般函數(shù)空間去，這就是【變分法】。不過(guò)變分法真正成為一門理論還要屬于約翰的弟子歐拉和法國(guó)的拉格朗日。

貝努力一家在歐洲享有盛譽(yù)，有一個(gè)傳說(shuō)，講的是丹尼爾.貝努力（DanielBernoulli，他是約翰.貝努力的兒子）有一次正在做穿越全歐洲的旅行，他與一個(gè)陌生人聊天，他很謙虛的自我介紹：“我是丹尼爾.貝努力?！蹦莻€(gè)人當(dāng)時(shí)就怒了，說(shuō)：“我是還是伊薩克.牛頓呢?！睆拇酥笤诤芏嗟膱?chǎng)合丹尼爾都深情的回憶起這一次經(jīng)歷，把他當(dāng)作他曾經(jīng)聽(tīng)過(guò)的最衷心的贊揚(yáng)。

貝努力家族對(duì)數(shù)學(xué)最大的貢獻(xiàn)還不是在數(shù)學(xué)本身，而是發(fā)現(xiàn)了歐拉。

以至于貝努力不得不規(guī)定，吃飯時(shí)間不許看書。他19歲時(shí)被俄羅斯卡德琳娜女王邀請(qǐng)到彼得堡科學(xué)院從事研究。歐拉解決的問(wèn)題實(shí)在太多了，解決問(wèn)題過(guò)程中創(chuàng)造出的方法不知開創(chuàng)了多少個(gè)數(shù)學(xué)分支。歐拉因?yàn)榻鉀Q著名的七橋問(wèn)題開創(chuàng)了拓?fù)鋵W(xué)，歌德巴赫猜想是因?yàn)楦璧掳秃蘸蜌W拉的通信而出名的。任何一個(gè)正整數(shù)都一定能寫成不超過(guò)四個(gè)平方數(shù)之和是歐拉最早證明的，這可是將近兩千年無(wú)人解決的問(wèn)題。數(shù)論，幾何，力學(xué)，天體力學(xué)，到處留下歐拉的足跡?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的符號(hào)和表達(dá)式，如三角，指數(shù)，e，i，π等等，都是歐拉創(chuàng)立的。歷史上第一本流行的微積分教科書也是歐拉寫的。后來(lái)所有的微積分教科書，或者是抄襲歐拉的，或者是抄襲抄襲歐拉的。歐拉研究數(shù)學(xué)，就像人在呼吸，鳥在飛翔一樣自由和自在。歐拉早就發(fā)現(xiàn)了‘變分法'可是當(dāng)他發(fā)現(xiàn)法國(guó)人拉格朗日也有這類思想時(shí)，就把自己的藏起來(lái)不發(fā)表，把出名的機(jī)會(huì)留給年輕人。

歐拉由于看書過(guò)多，年輕時(shí)就瞎了一只眼睛，到59歲時(shí)，他的左眼也逐漸失明了。正當(dāng)他搶在完全失明前搶救資料時(shí)，一場(chǎng)大火燒毀了他的一切資料。歐拉大部分工作是在失明以后完成的，包括四平方定理。歐拉的兩個(gè)學(xué)生因?yàn)橛?jì)算一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)答案不一樣發(fā)生爭(zhēng)執(zhí)，失明的歐拉用心算找出了小數(shù)點(diǎn)后第50位的錯(cuò)誤，結(jié)果證明這兩個(gè)學(xué)生都算錯(cuò)了。這就是歐拉。五業(yè)余高手

在數(shù)學(xué)發(fā)展起步時(shí)期，業(yè)余數(shù)學(xué)家取得了驕人的成績(jī)。依我看，費(fèi)爾馬（Femart）應(yīng)該是自古以來(lái)沒(méi)有與之相比的，估計(jì)今后也不會(huì)有超越他的業(yè)余數(shù)學(xué)家了。費(fèi)馬(1601年～1665年)是一位具有傳奇色彩的業(yè)余數(shù)學(xué)家，他最初學(xué)習(xí)法律并以當(dāng)律師謀生，后來(lái)成為議會(huì)議員，數(shù)學(xué)只不過(guò)是他的業(yè)余愛(ài)好，只能利用閑暇來(lái)研究。雖然年近30才認(rèn)真注意數(shù)學(xué)，但費(fèi)馬對(duì)數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻(xiàn)。費(fèi)馬提出了光線沿最快的路徑行進(jìn)的原理，進(jìn)而揭示了隱藏在光的折射定律后面的自然界的秘密，原來(lái)只有服從折射定律，才能保證光線從一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)用的時(shí)間最短。費(fèi)馬在數(shù)論上為我們留下了大量的定理和猜想，其中相當(dāng)一部分未給出證明。挑選這些‘定理'中最有趣的兩個(gè)給大家介紹一下。費(fèi)爾馬猜測(cè)，形如2^(2^n)+1（這里符號(hào)‘^'表示冪，如4^2=16）的數(shù)都是素?cái)?shù)，這類數(shù)成為費(fèi)爾馬數(shù)。對(duì)于n＝0，1，2，3，4，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證果然如此。不過(guò)對(duì)于n＝5，歐拉用心算得出：2^(2^5)+1=2^32+1=641×6700417，不是素?cái)?shù)。有趣的對(duì)于其它的n，至今沒(méi)發(fā)現(xiàn)一個(gè)費(fèi)爾馬數(shù)是素?cái)?shù)。下面說(shuō)說(shuō)著名的‘費(fèi)馬大定理'：那是費(fèi)馬去世后，人們整理他留下的筆記發(fā)現(xiàn)的。費(fèi)馬熱衷于不定方程的研究。我想能夠堅(jiān)持讀本文的讀者應(yīng)該都知道勾股定理，并知道3^2+4^2=5^2，5^2＋12^2＝13^2，等等，這類數(shù)叫做勾股數(shù)（國(guó)際上叫畢達(dá)哥拉斯數(shù)），這類數(shù)究竟是怎樣構(gòu)造出來(lái)的，古希臘時(shí)期已經(jīng)給出了完整的答案：如果x是偶數(shù)，且x和y沒(méi)有公因數(shù)，那么必然有有一奇一偶兩個(gè)正整數(shù)a，b，使得：x＝2ab，y＝a^2-b^2，z=a^2+b^2，其中a和b沒(méi)有公因數(shù)。費(fèi)爾馬在閱讀一本書叫做【丟番圖方程】里面關(guān)于勾股數(shù)這部分時(shí)，在旁邊寫到：把一個(gè)整數(shù)的立方寫成兩個(gè)整數(shù)的立方之和，把一個(gè)整數(shù)的四次方寫成兩個(gè)整數(shù)的四次方之和，等等，都是不可能的。我已經(jīng)找到了絕妙的證明，可惜這本數(shù)旁邊的空白處太少了，我寫不下來(lái)。費(fèi)爾馬這個(gè)沒(méi)有寫下來(lái)的證明，天曉得到底存在還是不存在，可是他的這段話是坑了不少人。歐拉和高斯試圖證明這個(gè)定理，最后都失敗了。一戰(zhàn)之前，曾經(jīng)有個(gè)德國(guó)人懸賞十萬(wàn)馬克給第一個(gè)證明費(fèi)爾馬大定理的人，一時(shí)許多業(yè)余高手都投入到這場(chǎng)獎(jiǎng)金的爭(zhēng)奪中，但是沒(méi)有一個(gè)證明是正確的。一戰(zhàn)以后，德國(guó)馬克貶值，這筆獎(jiǎng)金化作一堆廢紙。有人問(wèn)大數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）為什么不試試證明這個(gè)定理，

他說(shuō)："這是只下金蛋的鵝，我為什么要?dú)⒌羲兀?（意思是說(shuō)這個(gè)定理能引誘好多人從事數(shù)學(xué)研究，不證明它更好。）這個(gè)定理折磨了數(shù)學(xué)家整整三百年，直到1993年，一個(gè)叫懷爾斯的數(shù)學(xué)家用難以置信的方法給出了證明。1980年懷爾斯在劍橋大學(xué)取得博士學(xué)位后來(lái)到了美國(guó)普林斯頓大學(xué)，并成為這所大學(xué)的教授。從1986年開始，這家伙七年時(shí)間沒(méi)有發(fā)表任何論文，要是在中國(guó)他什么經(jīng)費(fèi)和津貼都別指望了。1993年6月23日，牛頓研究所舉行了20世紀(jì)最重要的一次數(shù)學(xué)講座。

兩百名數(shù)學(xué)家聆聽(tīng)了這一演講，但他們之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希臘字母和代數(shù)式所表達(dá)的意思。演講者就是是安德魯·懷爾斯。懷爾斯回憶起演講最后時(shí)刻的情景："雖然新聞界已經(jīng)刮起有關(guān)演講的風(fēng)聲，很幸運(yùn)他們沒(méi)有來(lái)聽(tīng)演講。但是聽(tīng)眾中有人拍攝了演講結(jié)束時(shí)的鏡頭，研究所所長(zhǎng)肯定事先就準(zhǔn)備了一瓶香檳酒。當(dāng)我宣讀證明時(shí)，會(huì)場(chǎng)上保持著特別莊重的寂靜，當(dāng)我寫完費(fèi)馬大定理的證明時(shí)，我說(shuō)：‘我想我就在這里結(jié)束'，會(huì)場(chǎng)上爆發(fā)出一陣持久的鼓掌聲。

"因?yàn)樗C明了這個(gè)大定理。不過(guò)說(shuō)點(diǎn)題外的話，后來(lái)又發(fā)現(xiàn)他的證明有漏洞，又折磨了他一段時(shí)間，到1994年9月，他把所有的漏洞都堵上了。這個(gè)證明后來(lái)經(jīng)過(guò)精練，已經(jīng)縮短到130多頁(yè)，最初的證明有400多頁(yè)。懷爾斯一下子成了傳媒的寵兒和明星，這是數(shù)學(xué)家少有的拋頭露臉的機(jī)會(huì)，大概是費(fèi)爾馬大定理的內(nèi)容通俗易懂而證明卻持續(xù)了300多年吧。

懷爾斯的故事告訴我們：中國(guó)目前高校搞急功近利的唯文章數(shù)量評(píng)價(jià)水平的作法，肯定不會(huì)出現(xiàn)重大的研究成果。

德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯（Weierstrass：1815--1897）也算業(yè)余高手，后來(lái)走上了職業(yè)數(shù)學(xué)家的道路。他開始是學(xué)習(xí)法律和財(cái)經(jīng)，一度在在中學(xué)任教。這大概是中學(xué)數(shù)學(xué)教師中最杰出的一位了。德國(guó)是一個(gè)多出哲學(xué)家的國(guó)度，德國(guó)人又以嚴(yán)格認(rèn)真見(jiàn)長(zhǎng)，外爾斯特拉斯也是一樣，他的品性最能體現(xiàn)德國(guó)人對(duì)待真理的態(tài)度了。他最大的貢獻(xiàn)是在微積分嚴(yán)格化上作出了杰出的貢獻(xiàn)。

微積分在創(chuàng)立初期，理論上還不夠嚴(yán)密性，無(wú)窮小變成了神秘和隨心所欲被理解的量。因此1734年，英國(guó)哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表了文章《向一個(gè)不信神的數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無(wú)窮小的問(wèn)題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出："牛頓在求x^n的導(dǎo)數(shù)時(shí)，采取了先給x以增量０，應(yīng)用二項(xiàng)式（x+0）^n，從中減去x^n以求得增量，并除以０以求出x^n的增量與x的增量之比，然后又讓０消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)──先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒(méi)有增量。"他認(rèn)為無(wú)窮小dx既等于零又不等于零，召之即來(lái)，揮之即去，這是荒謬，）"是消失了的量的鬼魂......能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會(huì)因吞食了神學(xué)論點(diǎn)就嘔吐的。"無(wú)窮小量究竟是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。外爾斯特拉斯和法國(guó)的一些數(shù)學(xué)家一道，使得微積分無(wú)懈可擊。

外耳斯特拉斯還告訴我們，直觀有時(shí)是靠不住甚至是完全錯(cuò)誤的。從前人們直觀上一直認(rèn)為連續(xù)曲線肯定是光滑的，或者大多數(shù)點(diǎn)都是光滑的。用在函數(shù)上，就是一直認(rèn)為連續(xù)函數(shù)是可導(dǎo)的，或者在多數(shù)點(diǎn)是可導(dǎo)的?？墒峭鉅査固乩箙s舉出一個(gè)反例，在每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，卻有在任何點(diǎn)都不可導(dǎo)。他舉出這個(gè)函數(shù)是畫不出圖像的，當(dāng)時(shí)作為一個(gè)中學(xué)教師，的確令數(shù)學(xué)家們大跌了眼鏡。

1851年，大數(shù)學(xué)家高斯最得意的弟子黎曼，在博士論文中提出了一個(gè)原理：狄利赫來(lái)（Dirichlet）原理，利用這個(gè)‘原理'，可以美妙的解決變分中提出的一系列問(wèn)題，并且在數(shù)學(xué)物理上有著廣泛的應(yīng)用。按照微積分理論，狄利赫來(lái)原理應(yīng)該算是理所當(dāng)然成立的?？墒峭鉅査固乩箙s說(shuō)："不加證明的使用狄利赫來(lái)原理，是不嚴(yán)格的。"黎曼也是很謙虛的，便回應(yīng)到："您說(shuō)的對(duì)，不過(guò)這個(gè)原理肯定是正確的，很快我就會(huì)證明出來(lái)。"但是黎曼直到去世也沒(méi)有證明出來(lái)，又是這個(gè)中學(xué)教師，舉出了一個(gè)反例，徹底推翻了狄利赫來(lái)原理。于是黎曼博士論文中的一切結(jié)果都是值得懷疑的了。因此數(shù)學(xué)家卡爾.諾依曼嘆息道："如此美妙而又有廣泛應(yīng)用前景的原理，已經(jīng)永遠(yuǎn)從我們視野中消失了。"1899年，曠世奇才希爾伯特（Hilbert）用了不到6頁(yè)紙，通過(guò)附加一個(gè)條件，就消除了黎曼理論的缺陷，從而挽救了這個(gè)原理。更神奇的是，還挽救了黎曼的名聲，因?yàn)橛眠@個(gè)改造的原理發(fā)現(xiàn)黎曼所得的其它結(jié)果又都是正確的了。

這真是群星閃耀的年代，是數(shù)學(xué)家自由飛翔的年代。可惜一去不復(fù)返了。六天妒英才

下面要說(shuō)到兩個(gè)英年早逝的數(shù)學(xué)家，伽羅瓦和阿貝爾，不過(guò)要先從一個(gè)故事說(shuō)起。凡是受過(guò)初中教育的人都知道，任何一個(gè)一元二次方程都可以用求根公式求出它的解，這大概是很久就有的公式了。其中根和系數(shù)的關(guān)系被稱作韋達(dá)定理，有著廣泛的應(yīng)用。然而三次方程和四次方程甚至更高階方程的求解公式一直不被人們所知。在文藝復(fù)興時(shí)期，

有個(gè)叫塔塔利亞的業(yè)余數(shù)學(xué)家首先得到了這個(gè)公式，不過(guò)他秘而不宣，這是當(dāng)時(shí)搞研究的人的一個(gè)傳統(tǒng)?？墒牵@個(gè)消息還是在尋求公式的一些業(yè)余數(shù)學(xué)家之間流傳著。

有一個(gè)叫卡當(dāng)?shù)臉I(yè)余研究者找到了塔塔利亞，懇求得到塔塔利亞的真?zhèn)?。這個(gè)卡當(dāng)在賭博上也不是一般的賭徒，是他在賭博中提出了概率的思想，他還熱衷于煉金術(shù)，星象學(xué)。塔塔利亞肯定被卡當(dāng)打動(dòng)了，也許卡當(dāng)常跪不起，也許甜言蜜語(yǔ)，總之塔塔利亞告訴了他自己知道的一些公式?？ó?dāng)學(xué)到手求解公式后就離開了塔塔利亞，甚至把對(duì)塔塔利亞許下的諾言拋到了九霄云外，寫出了一本術(shù)，名字叫做‘大術(shù)'，介紹了三次方程四次方程的求解方法。于是卡當(dāng)聲名雀起，因?yàn)樗跁行Q這些公式是他自己發(fā)現(xiàn)的。兩個(gè)人的爭(zhēng)執(zhí)開始了，解決爭(zhēng)端的方法很簡(jiǎn)單，來(lái)一場(chǎng)決斗：兩人各自給對(duì)方出20道題，看誰(shuí)先解出來(lái)。塔塔利亞大獲全勝，卡當(dāng)一道題都沒(méi)有解出來(lái)，因?yàn)樗麃喗趟麜r(shí)留了一招，沒(méi)有把公式的一般情況告訴卡當(dāng)。這大概是人類歷史上的第一場(chǎng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽這只有兩個(gè)人，這個(gè)故事發(fā)生在四百多年前。不過(guò)至今這些公式還被稱作卡當(dāng)公式，而塔塔利亞連名字都沒(méi)有留下來(lái)，塔塔利亞只是一個(gè)外號(hào)，意大利語(yǔ)意思是‘結(jié)結(jié)巴巴的人'的意思。

歷史就像一條河流，沉到河里的往往是金子，浮在河面上的往往是水草和馬糞。三次四次方程求根公式得到了以后，人們尋求五次和五次以上方程的求解公式?？墒菤W拉高斯等杰出數(shù)學(xué)家都沒(méi)有找到求解公式，成了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的難題。有兩個(gè)青年匆匆的來(lái)到了這個(gè)世界，又匆匆的離開了，也許他們來(lái)到人世的目的就是為了給我們一些驚訝和慨嘆。

尼爾斯·亨利克·阿貝爾(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一個(gè)名叫芬德的小村莊。阿貝爾幸運(yùn)的碰到了一個(gè)有數(shù)學(xué)頭腦卻無(wú)多大數(shù)學(xué)成果的老師，老師很快發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學(xué)才能，使得他很早就接觸到了微積分。在中學(xué)的最后一年，阿貝爾開始試圖解決困擾了數(shù)學(xué)界幾百年的五次方程問(wèn)題。在19歲那年，他證明了一般五次方程求解公式不存在，就是說(shuō)，不能用方程系數(shù)和開根號(hào)的有限多次運(yùn)算來(lái)表示方程的根。阿貝爾認(rèn)為這結(jié)果很重要，便自掏腰包在當(dāng)?shù)氐挠∷^印刷他的論文。因?yàn)樨毟F，為了減少印刷費(fèi)，他把結(jié)果緊縮成只有六頁(yè)的小冊(cè)子。

阿貝爾滿懷信心地把這小冊(cè)子寄給國(guó)內(nèi)外的一些數(shù)學(xué)家，包括數(shù)學(xué)王子的高斯，希望能得到一些反應(yīng)?？上奈恼绿?jiǎn)潔了，沒(méi)有人能看懂。高斯收到這小冊(cè)子時(shí)覺(jué)得不可能用這么短的篇幅證明這個(gè)世界著名的問(wèn)題―――連他還沒(méi)法子解決的問(wèn)題。他看都沒(méi)看一眼，就把它扔在書堆里了。阿貝爾的另一篇論文是他在歐洲旅行時(shí)通過(guò)別人轉(zhuǎn)交給大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）手里，柯西連看都沒(méi)看就扔到紙簍里。

阿貝爾饑寒交迫的回到了挪威，還欠了一身債，最后在絕望中死去，年僅27歲。他活著最大的理想是在大學(xué)里當(dāng)一個(gè)講師，可是到死都沒(méi)有實(shí)現(xiàn)?？纯船F(xiàn)在大學(xué)里教授成堆，博士成群，可是這個(gè)群體再也沒(méi)有瘋瘋癲癲的學(xué)者，沒(méi)有目光深邃的思想者，沒(méi)有瘋狂的怪癖人物了。

伽羅瓦(EvaristeGalois)1811年10月25日生于巴黎附近的一個(gè)小城。1829年他兩次投考巴黎綜合工科學(xué)校，卻因思想激進(jìn)，兩次被拒絕錄取，最后只好進(jìn)入高等師范學(xué)校學(xué)習(xí)。1829年5月，17歲的他寫出了關(guān)于五次方程的代數(shù)解法的論文，論文中首次引入"群"的概念。他把論文寄給經(jīng)由柯西，請(qǐng)他交給法蘭西科學(xué)院審查?？挛鲗?duì)此根本不屑一顧，把這個(gè)中學(xué)生的文章給弄丟了。1830年2月伽羅瓦再次將他的研究成果寫成一篇詳細(xì)的論文，寄給科學(xué)院秘書傅立葉，不料當(dāng)年5月傅立葉病死，伽羅瓦的文稿再次被丟失。1831年伽羅瓦第三次將論文送交法國(guó)科學(xué)院。

泊松院士看了4個(gè)月，最后在論文上批道："完全無(wú)法理解"?？上н@些大數(shù)學(xué)家的傲慢和自大，使得伽羅瓦的理論被埋沒(méi)了將近50年。伽羅瓦因?yàn)檎渭みM(jìn)，被陰謀的政客們用一件小事慫恿和一個(gè)軍官?zèng)Q斗。在決斗前一個(gè)晚上，他急切地寫著他的遺言。想在死亡來(lái)臨之前盡快把他的思想中那些有意義的東西寫出來(lái)。他不時(shí)中斷，在紙邊空白處寫上"我沒(méi)有時(shí)間，我沒(méi)有時(shí)間。"接著伽羅瓦又寫下一個(gè)潦草的大綱。他在天亮之前那最后幾個(gè)小時(shí)寫出的東西，一勞永逸地給一個(gè)折磨了數(shù)學(xué)家?guī)讉€(gè)世紀(jì)的難題題找到了真正的答案，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要的分支―――群論。伽羅瓦在決斗中被打成重傷，死在家里，年僅21歲。盡管阿貝爾和伽羅瓦創(chuàng)造的群論是純粹的抽象代數(shù)，可是卻在后來(lái)量子力學(xué)中得到了很好的運(yùn)用。利用對(duì)稱群理論，人們能夠事先預(yù)測(cè)晶體的種類，群論還會(huì)出現(xiàn)在意想不到的地方。比如玩魔方，就可以利用群論的知識(shí)。

數(shù)學(xué)啊，你是如此的具有魅力，如此讓人癡迷。UlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w*w-A1D5G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo