2022年高考數(shù)學(xué)強基計劃講義《專題11：三角函數(shù)綜合培優(yōu)》

2022年高考數(shù)學(xué)強基計劃專題11三角函數(shù)綜合

一、真題特點分析：

1.12021中科大5］求函數(shù)/(x)=5+6cosx-3cos2x-4cos3x+；sing的取值

范圍.

2.【2020年武大】設(shè)正整數(shù)上使得關(guān)于％方程依=sinx在區(qū)間(-3萬,3%)

內(nèi)恰有5個實根玉</<演<*4</，貝U()

C.天=tan%D.9，%,工5成等差數(shù)列

3.【2020年武大15】設(shè)函數(shù)/(x)=sinxsin2x,則下列錯誤的是()

A.方程/(x)=2有解B.方程在［02r)內(nèi)解的個數(shù)為偶數(shù)

C./(x)的圖像有對稱軸D./(x)的圖像有對稱中心

二、知識要點拓展

兩角和、差的三角公式:

1.正弦：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB

2.余弦：cos(A±5)=cosAcosB+sinAsinB

tanA±tanB

3.正切:tan(A±B)=

1+tanAtanB

二.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號看象限。

nn

.’幾兀、(一1)2sin。，〃為偶數(shù)(-cosa,〃為偶數(shù)

sin(—+a)=<'cos(—n7I+?)="

n+l

.(-1)2cosa,〃為奇數(shù)(-1)2sina,i為奇數(shù)

三.二倍角公式：

1.余弦：cos2a=cos2(2-sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a

2tancc

2.正弦：sin2a=2sinacosa、(3)正切：tan2a=----------

1一tan"a

四.輔助角公式：asina+bcosa=yja2+b2sin(a+^)(tan(p=—)

a

a注意：Asinx+8cosx=C有實數(shù)解=4+笈之。2

五.半角公式(萬能公式)：

?a,/1-COS6Ta,/1+COS6Z

sin—=±rr-C0S=±V2

21A2

a1-cosa_1-cosa_sina

tan一二±4

21Vl+cosasina1+cosa

a/1+cosa_1+cosa_sina

cot—=±4

21Jl-cosasinal-cosa

六.正弦定理：—9—=—竺=—J=2R(R為三角形外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

七.余弦定理：

a2=b2+c2-2Z?ccosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2+b2-2abcosC

A.三角形面積公式：S=—absinC--besinA=—casinB

222

三角這一章的特點是公式多，除了高考要求一些基本知識點和公式之外，自

主招生考試中還有一些需要進(jìn)一步拓展的公式及結(jié)論，歸納如下：

8.三倍角公式：

sin3a=3sina-4sin3a,

cos3。=4cos2a-3cosasinasin(600+a)sin(600-a)=—sin3a

4

cosacos(60°+a)cos(60°-a)=—cos3a,

4

tanatan(60°+a)?tan(60。-a)=tan3a。

a注意：利用三倍角公式可以推導(dǎo)出sinl80這一特殊值：令。=18°,則

3a=90°-2a,sin3a=cos2a,

3sina-4sin3a=l-2sin2a,(sin(7-1)(4sin2a+2sina-l)=0。顯然sinaw1,

sina="也(舍去負(fù)根)。

4

9.常見三角不等式：

1.若X￡(0,一),則sinx<x<tanx；

2

2.若xc(03),貝"1<sinx+cosx<>72.

2

3.|sinx|+|cosx|>l.

三.和差化積與積化和差公式:

和差化積積化和差

sinor+sin°=2sincos

?.oga-\-(3.a—f3

sina-smp=2cosJsinJ2sinAcosB=sin(A+8)+sin(A一B)

22

2cosAcosB=cos(A+3)+cos(A一B)

ca+Boc—13

cosa+cospo=2cos------cos......-2sinAsin3=cos(A-B)_cos(A+B)

22

cosa-cosB=2sin""sin―—―

"22

四.三角形中的一些三角恒等式：在AA8C中,

(T)sinA+sinB+sinC=4cos—cos—cos—；

222

ABC

(2)cosA+cosB+cosC=l+4sinysin-siny；

③sin2A+sin28+sin?C=24-2cosAcosBcosC；

?cos2A4-cos2B+cos2C=l-2cosAcosBcosC；

自「4.oB.2CA.B.C

(§)sin——bsin~—+sm—=l-2sin—sm—sin—；

222222

禽2A2B2c..A.B.C

(6)cos—+cos—+cos—=2+2sin—sin—sin—；

222222

⑦tanA4-tan5+tanC=tanA-tanB-tanC；

⑧cotA?cot3+cotAcotC+cotScotC=l；

4ABCABC

⑨cot——I-cot—+cot—=cot—cot—cot—；

222222

ABBCCA

(10)tan—tan—+tan—tan—+tan—tan-=1

222222o

以上十個式子中，前六個式子可由降暴公式、和差化積、積化和差得到。⑦

式與⑧式是等價的，⑨式與⑩式也是等價的。這里尤其值得一提的是⑦式：

tanA+tanB+tanC=tanA-tantanCo這是一個非常有用的式子，在自主招生

考試中經(jīng)常用到，希望引起足夠的重視。

?注意：銳角AA3C中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，如sinA>cosB。

事實上，由A+5>工=>A>工一3nsinA>sin（工-B]=COS3,即得。由此對任

2212J

意銳角AABC,總有sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosCQ

五.三角恒等式:

aaaaasina

Aco=cos—cos—cos—??cos一

nv2482"?a

*=1Z2sin

2"

Ssin((〃+l)d)cos(%+〃d)

>cos(x+kd)-cosx+cos(x+a)-\----Fcos(%+nd)--------------------------------

占sind

S,八./八sin((〃+l)d)sin(x+〃d)

>sin(%+kd)=smx+sm(x+a)41-sm(x+nd)=------------------------------

~sind

tancr+tan/7+tany-tan(ztan/7tan/

tan(a+/?+7)

l-tanatan/-tanQtany-tanytana

三、典例講解

例1.（清華）函數(shù)y=c°s，（6eR）的值域是____________。

2+sinB

AT

例2.（復(fù)旦）在AABC中，tanA:tan6:tanC=l:2:3,求---。

AB

例3.（北京）求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在［0,乃）有唯一解的a。

例4.（北京）AABC的三邊a、b、c滿足Q+Z?22C,A、B、。為A4BC的內(nèi)角。

求證：C<60°o

例5.（清華）A、B、。為AA6C的內(nèi)角，且AA8C不為直角三角形。

（1）求證：tanA+tan3+tanC=tanAtan^BtanC；

（2）當(dāng)6tanC—l=則0tt貶，且sin2A、sin25、sin2c的倒數(shù)成等差數(shù)列時,

tanA

求cos-----的值。

2

1I?

例6.AA3C的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求證：」一+」一=—-—

a+bb+ca+b+c

例7.在AA3C中，猜想T=sinA+sinB+sinC的最大值，并證明之。

例8.(清華)求sin"10°+sin450°+4/70°的值。

例9.(上海交大)是否存在三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形，使得:

(1)最大角是最小角的兩倍；

(2)最大角是最小角的三倍；

若存在，求出該三角形；若不存在，請說明理由。

四、真題訓(xùn)練

1.(復(fù)旦)已知sin2(a+y)=〃sin2p,則tan(a+￡+y)==()。

tan(6z-/?+/)

(A)■(B)工(C)(D)四

〃+1H+ln-ln-\

2.(復(fù)旦)已知函數(shù)

/(X)=cos]?K+2尤)+cos16：1n一2x)+2Gsin,其中x為實數(shù)且

k為整數(shù)，在，(x)的最小正周期是()

TT1T

(A)-(B)-(C)7i(D)2兀

32

3.(復(fù)旦)當(dāng)。和〃取遍所有實數(shù)時，函數(shù)

/3,份=(。+5-31cos切)2+(a-2|sin/?|)2所能達(dá)到的最小值為()

(A)1(B)2(C)3(D)4

4.(復(fù)旦)已知sino,cosa是關(guān)于x的方程％2-以+〃=0的兩個根，這里QER,

則sin3a+cos3tz=()

(A)-1-V2(B)1+V2(C)-2+V2(D)2-V2

5.(武大)如果sirr'e+cosSgcO,那么sinS+cos。的取值范圍是()。

(A)[-V2,0)(B)[-72,1)(C)(0,V2](D)(0,V2)

rrrr

6.(復(fù)旦)設(shè)a,/?￡o且滿足51111(:05/?+5詁，8$口=1,則sina+sin尸

的取值范圍是()

(A)[-y/2,y/2](B)[-1,72](C)[0,V2](D)[1,72]

7.(上海交大)若cosx-sinx=L,則cos'x-sin'xu。

2

8.(南大)(1+tan「)(1+tan2")…(1+tan44")(1+tan45")=。

9.(復(fù)旦)設(shè)f(x)=sin(s:+0XG>O，ewR),設(shè)T(T〈0),若存在T,使

/(x+T)=V(x)恒成立，在勿的范圍為o

10.(南開)實數(shù)A、B、C滿足A+8+C=zr,cosA+cos8+cosC=l,求證:

(1-cosA)(l-cos8)(1-cosC)=0o

11.(復(fù)旦)在A4BC中，AB=2AC,AD是A的角平分線，且AD=fc4C。

(1)求k的取值范圍；

(2)若SMBC=1，問k為何值時，BC最短？

Ar

12.(五校聯(lián)考)AA8C中，a+c=3b,求tan—tan—。