2022年浙江省衢州市瑞園外國(guó)語學(xué)校高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年浙江省衢州市瑞園外國(guó)語學(xué)校高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列中，，公差，則使前項(xiàng)和取最大的正整數(shù)是（

）A．4或5

B．5或6

C．6或7

D不存在

參考答案：B2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=，(a≠1，n∈N)”時(shí)，在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊應(yīng)該是

（

）(A)1

(B)1＋a

(C)1＋a＋a2

(D)1＋a＋a2＋a3參考答案：C略3.已知空間四邊形，連接。設(shè)是的中點(diǎn)，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略4.四棱錐的三視圖如圖所示，則最長(zhǎng)的一條側(cè)棱的長(zhǎng)度是（）

A． B．5 C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，通過三視圖的數(shù)據(jù)，求出最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)度即可．【解答】解：由題意可知幾何體是底面為直角梯形，直角邊長(zhǎng)為：4，2，高為3的梯形，棱錐的高為2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角頂點(diǎn)，所以側(cè)棱最長(zhǎng)為，底面梯形下底邊銳角頂點(diǎn)與棱錐頂點(diǎn)連線，所以長(zhǎng)度為：=．故選：A．5.如圖正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】因?yàn)槭钦襟w，又是求空間角，所以易選用向量法，先建立如圖所示坐標(biāo)系，再求得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，相關(guān)向量的坐標(biāo)，最后用向量的夾角公式求解．【解答】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2則A1（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，0），F(xiàn)（0，2，1）∴∴故選B6.已知△ABC的周長(zhǎng)為若△ABC的面積為則角C的度數(shù)為

（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°參考答案：C7.已知中，若，則是

A.直角三角形

B．等腰三角形C.等腰或直角三角形

D.等腰直角三角形參考答案：A略8.△ABC中，對(duì)任意實(shí)數(shù)t，不等式恒成立，則△ABC的形狀是（

）A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．形狀不能確定參考答案：B9.已知的值（

）A．不大于

B．大于

C．不小于

D．小于參考答案：B略10.將二進(jìn)制數(shù)11100（2）轉(zhuǎn)化為四進(jìn)制數(shù)，正確的是（）A．120（4） B．130（4） C．200（4） D．202（4）參考答案：B【考點(diǎn)】進(jìn)位制．【專題】計(jì)算題；算法和程序框圖．【分析】先將“二進(jìn)制”數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)，然后將十進(jìn)制的28化為四進(jìn)制，即可得到結(jié)論．【解答】解：先將“二進(jìn)制”數(shù)11100（2）化為十進(jìn)制數(shù)為1×24+1×23+1×22=28（10）然后將十進(jìn)制的28化為四進(jìn)制：28÷4=7余0，7÷4=1余3，1÷4=0余1所以，結(jié)果是130（4）故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二進(jìn)制、十進(jìn)制與四進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化，其中熟練掌握“除k取余法”的方法步驟是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則的值為

參考答案：12.已知集合,,在集合A中任意取一個(gè)元素,則的概率是_________.參考答案：略13.拋物線上一點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離等于，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 .參考答案：，

14.已知正四面體的俯視圖如圖所示，其中四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，則這個(gè)四面體的主視圖的面積為________.參考答案：略15.在平行六面體中，為與的交點(diǎn).若，則向量可以用表示

．參考答案：在平行四邊形中，與交于M點(diǎn)，，所以。

16.6名運(yùn)動(dòng)員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服，由于燈光暗淡，有一部分隊(duì)員拿錯(cuò)了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到別人的外衣情況個(gè)數(shù)為

.參考答案：13517.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式

當(dāng)時(shí)的值為_________。參考答案：0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)在處的切線的斜率為1．(1)求a的值及的最大值；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：參考答案：（1）；（2）見證明【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用即可求出的值，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的增減性，于是求得最大值；（2）①當(dāng)，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立；驗(yàn)證時(shí)，不等式成立即可.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)數(shù)，得．由已知，得，即，∴．此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，該極大值即為最大值，∴；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，∴左邊＞右邊，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即．那么，由（1），知（，且）．令，則，∴，∴．即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．根據(jù)①②，可知不等式對(duì)任意都成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力，難度較大.19.（13分）根據(jù)政府的要求，某建筑公司擬用1080萬購(gòu)一塊空地，計(jì)劃在該空地上建造一棟每層1500米的高層經(jīng)濟(jì)適用房，經(jīng)測(cè)算，如果將適用房建為x（x∈N*）層，則每平方的平均建筑費(fèi)用為800+50x（單位：元）．（1）寫出擬建適用房每平方米的平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）改適用房應(yīng)建造多少層時(shí)，可使適用房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少值是多少？（（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=）參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；綜合法；不等式．【分析】（1）由已知得，樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為每平方米的平均建筑費(fèi)用為800+50x與平均購(gòu)地費(fèi)用的和，由已知中某單位用1080萬元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟x層，每層1500平方米的樓房，我們易得樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）中的樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式，要求樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值，先利用基本不等式，檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，即可求最小值．【解答】解（1）依題意得y=（800+50x）+=800+50x+（x∈N*）；（2）由y=800+50x+≥800+1200=2000，當(dāng)且僅當(dāng)50x=，即x=12時(shí)取得等號(hào)，故該公寓應(yīng)建造12層時(shí)，可使公寓每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最小值為2000元．【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過審題→建?！饽！€原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問題中，最常見的思路之一．20.（13分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，各棱長(zhǎng)均為2，D為AB的中點(diǎn)．（1）求證：BC1∥平面A1CD；（2）求證：平面A1CD⊥平面ABB1A1（3）求A1B1與平面A1CD所成角的正切值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）連結(jié)AC1，設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)E，連接DE，則DE∥BC1，由此能證明BC1∥平面A1CD．（2）推導(dǎo)出CD⊥AA1，CD⊥AB，從而CD⊥面ABB1A1，由此能證明平面A1CD⊥平面ABB1A1．（3）作B1E⊥A1D于E，則∠B1A1E為所A1B1與平面A1CD所成角，由此能求出A1B1與平面A1CD所成角的正切值．【解答】證明：（1）連結(jié)AC1，設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)E，連接DE，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1A1A是平行四邊形，∴E為AC1中點(diǎn)，∵D為AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC1，∵BC1?平面A1CD，DE?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．…（2）∵A1A⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1，又∵CD⊥AB，AB∩AA1=A，AB，A1A?面ABB1A1，∴CD⊥面ABB1A1，∵CD?面A1CD，∴平面A1CD⊥平面ABB1A1．…（8分）解：（3）作B1F⊥A1D于F，由（2）知B1F⊥面A1DC，∴∠B1A1F為所A1B1與平面A1CD所成角，tan∠B1A1F=tan∠ADA1=2，∴A1B1與平面A1CD所成角的正切值為2．…（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查線面角的正切值求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．21.如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)G，H分別在線段DA，DE上，且GH∥AE．將圖1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如圖2所示），連結(jié)BD、CD，AC、BE．（Ⅰ）求證：平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B﹣GHE的體積最大時(shí)，求直線BG與平面BCD所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)折疊前后的邊角關(guān)系可知道DE⊥底面ABCE，底面ABCE為正方形，從而得到AC⊥DE，AC⊥BE，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到AC⊥DBE，再根據(jù)面面垂直的判定定理得出平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）根據(jù)已知條件知道三直線EA，EC，ED兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)EH=x，從而表示出HG=2﹣x，三棱錐B﹣GHE的高為AB=2，從而可表示出三棱錐B﹣GHE的體積V=，從而看出x=1時(shí)V最大，這時(shí)G為AD中點(diǎn)．從而可求G點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)，可設(shè)平面BCD的法向量為={x，y，z}，根據(jù)即可求出，設(shè)直線BG與平面BCD所成角為θ，而根據(jù)sinθ=求出sinθ．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4；又AE∥BC交CD于點(diǎn)E；∴四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為2的正方形；∴AC⊥BE，DE⊥AE；又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE；∴DE⊥平面ABCE；∵AC?平面ABCE，∴AC⊥DE；又DE∩BE=E；∴AC⊥平面DBE；∵AC?平面DAC；∴平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC；以E為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）；設(shè)EH=x，則GH=DH=2﹣x（0＜x＜2）；∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE；∴=；∵0＜x＜2，∴x=1時(shí)，三棱錐B﹣GHE體積最大，此時(shí)，H為ED中點(diǎn)；∵GH∥AE，∴G也是AD的中點(diǎn)，∴G（1，0，1），；設(shè)是面BCD的法向量；則令y=1，得；設(shè)BG與面BCD所成角為θ；則=；∴BG與平面BCD所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】考查對(duì)折疊前后圖形的觀察能力，面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，以及建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角問題的方法，棱錐的體積公式，兩非零向量垂直的充要條件，平面法向量的概念及求法，直線和平面所成角的概念，直線和平面所成角與直線和平面法向量夾角的關(guān)系，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．22.為了解我市高二年級(jí)進(jìn)行的一次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的分布狀況，有關(guān)部門隨機(jī)抽取了一個(gè)樣本，對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)分析如下表：（1）求出表中m、n、M、N的值，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)在下面給出的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖：分組頻數(shù)頻率[0，30）30.03[30，60）30.03[60，90）370.37[90，120）mn[120，150）150.15合計(jì)MN（2）若我市參加本次考試的學(xué)生有18000人，試估計(jì)這次測(cè)試中我市學(xué)生成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)；（3）為了深入分析學(xué)生的成績(jī)，有關(guān)部門擬從分?jǐn)?shù)不超過60的學(xué)生中選取2人進(jìn)行進(jìn)一步分析，求被選中2人分?jǐn)?shù)均不超過30分的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（I）由頻率分布表利用頻率=，能求出M，m，n，前能出頻率分布直方圖示．（Ⅱ）先求出全區(qū)90分以上學(xué)生的頻率，由此能估計(jì)這次測(cè)試中我市學(xué)生成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)．（Ⅲ）利用列舉法能求出被選中2人分?jǐn)?shù)均不超過30分的概率．【解答】解：（I）由頻率分布表得M==100，∴m=100﹣（3+3+37+15）=42，n==0.42，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1，頻率分布表如右圖所示．（Ⅱ）由題意知，全區(qū)90分