一階偏微分方程

第三章一階偏微分方程

1、特征線法2、非線性波與追趕現(xiàn)象第1頁/共50頁第一頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法§1.1一階偏微分方程的定解問題偏微分方程與常微分方程求解思路的不同

常微分方程：求方程通解，初、邊值定常數(shù) 一階偏微分：求方程通解，初、邊值確定任意函數(shù) 二階偏微分：不求通解，從問題出發(fā)求解

例，一階PDE

通解第2頁/共50頁第二頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法初值問題（Cauchy問題）初、邊值問題（Riemann問題）

第3頁/共50頁第三頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法一般的一階擬線性偏微分方程的問題

第4頁/共50頁第四頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法§1.2特征線法的幾何原理向量

(P,Q,R)

與解曲面u=u(x,y)的法線方向 相互垂直，與

(P,Q,R)

共線的線元(dx,dy,du)必定滿足偏微分方程，稱為特征曲線，經(jīng)過初始曲線的特征曲線的全體構(gòu)成解曲面u=u(x,y)

。 第5頁/共50頁第五頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法

第6頁/共50頁第六頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法

第7頁/共50頁第七頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法因此，特征線法的求解思路是

——用特性曲線來編織解曲面

1。求出與向量場(P,Q,R)

共線的特征曲線；

2、讓該曲線通過初始曲線

第8頁/共50頁第八頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法特征線方程解x=x(s),y=y(s),u=u(s)含任意常數(shù)，由初始曲線 確定 第9頁/共50頁第九頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法解曲面由以下雙參變量形式給出 參變量s沿特征曲線方向變化， 參變量沿初始曲線方向變化。

第10頁/共50頁第十頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法例2.1

特征線方程初始曲線

第11頁/共50頁第十一頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法解出

消去參變量

第12頁/共50頁第十二頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法以積分常數(shù)形式給出的特征線解

特征方程通解初始曲線限制解曲面

第13頁/共50頁第十三頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法例2.3

特征方程通解解曲面由初值得解 第14頁/共50頁第十四頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法§1.3特征線法的物理意義 波動——物理量在空間的傳播過程 特征線——物理量的傳播軌跡，沿該軌跡的變化關(guān)系例1．管道中的溶質(zhì)輸送問題

第15頁/共50頁第十五頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法特征線

初始曲線解得

x－vt＝ξ

第16頁/共50頁第十六頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法圖象——矩形方波以速度v傳播

c0xt=0t=t1t=t2vvv第17頁/共50頁第十七頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法 x-t平面的特征線及圖解法

第18頁/共50頁第十八頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法

例2．線性色譜問題 特征線

第19頁/共50頁第十九頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法x軸給出的初值的解

t軸給出的邊值的解

第20頁/共50頁第二十頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法 x-t平面的特征線

第21頁/共50頁第二十一頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法

斜坡輸入時的圖象

第22頁/共50頁第二十二頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——特征線法

例3

有化學(xué)反應(yīng)時的色譜波動圖象

——濃度沿特征線傳播時呈指數(shù)衰減線性波的特點(diǎn) 波速與因變量無關(guān) 保持初始間斷和光滑性質(zhì)不變 特征線不相交

第23頁/共50頁第二十三頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象

§2非線性波與追趕現(xiàn)象

1。追趕問題——稀疏波 身高曲線 初始分布

第24頁/共50頁第二十四頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象特征線

解得

第25頁/共50頁第二十五頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象——

稀疏波

xh00hh00hxxt=0時刻的初始分布t=t1時刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0攜帶不同h值的特征線第26頁/共50頁第二十六頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象 2。追趕問題——激波初始分布：前低后高 解得

第27頁/共50頁第二十七頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象

xh00hx/h0t0t</h0t=/h0t>/h0t=0h=h0h=0第28頁/共50頁第二十八頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象特點(diǎn) 追趕，特征線相交，不真實(shí)的多值分布， 非線性本征屬性原因：形成強(qiáng)間斷——激波，微分方程失效 問題：補(bǔ)充間斷面上的關(guān)系

第29頁/共50頁第二十九頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象 3。激波間斷關(guān)系

x0xsxrxll,qlr,qrdxs/dt第30頁/共50頁第三十頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象激波間斷關(guān)系

熵條件處理含間斷問題的原則：分段求解

第31頁/共50頁第三十一頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象例1

含有激波的追趕問題

間斷條件

初值

第32頁/共50頁第三十二頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象

xh00hx/h0t0t</h0t=/h0t>/h0t=0CSI第33頁/共50頁第三十三頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象

例2

非線性吸附反應(yīng)器

第34頁/共50頁第三十四頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象特征曲線

波速

第35頁/共50頁第三十五頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象激波間斷條件

特征線光滑解

第36頁/共50頁第三十六頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象

將光滑解代入激波間斷條件，解出激波軌跡

第37頁/共50頁第三十七頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象

x0cxt0t=t1S第38頁/共50頁第三十八頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問題

§3化學(xué)劑段塞的色譜運(yùn)動問題

第39頁/共50頁第三十九頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問題物理圖象：前沿——激波；后緣——中心稀疏波 激波與稀疏波相互作用

第40頁/共50頁第四十頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問題特征線

第41頁/共50頁第四十一頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問題解題思路

1。運(yùn)動初期：激波與稀疏波互不干擾，分別求解；

2。運(yùn)動后期：后緣侵蝕，稀疏波與激波聯(lián)立求解。

第42頁/共50頁第四十二頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問題

問題

第三章一階偏微分方程——色譜段塞問題特征線方程

初始曲線

第43頁/共50頁第四十三頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問題

1。運(yùn)動初期激波稀疏波平臺區(qū) 第44頁/共50頁第四十四頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問題2。運(yùn)動后期激波（濃度在變化）稀疏波（給出激波濃度） 聯(lián)立得到 第45頁/共50頁第四十五頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問題激波軌跡激波濃度段塞寬度

第46頁/共50頁第四十六頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——小結(jié)1、關(guān)于特征線法 幾何上，一階偏微分方程可以看成向量（P,Q,R)與曲面法向之間的正交關(guān)系.特征線法就是先由向量（P,Q,R)求出滿足方程的特征線，再以此為元素構(gòu)造出解曲面。 物理上，波動總是從初始曲線出發(fā)沿特征線傳播，特征線方程給出了波的速度和傳播中的變化關(guān)系。

第47頁/共50頁第四十七頁，共51頁。第三章一階偏微分方程——小結(jié)2、關(guān)于非線性波動的概念 線性波的波速與因變量無關(guān)，傳播過程中保持初始間斷或光滑性質(zhì)不變，特征線不相交。 非線性波容易發(fā)生追趕，形成稀疏波和激波，其類型與通量曲線的性質(zhì)和初始分布狀況兩方面因素有關(guān)。 處理激波問題的思