一階偏微分方程

第三章一階偏微分方程

1、特征線(xiàn)法2、非線(xiàn)性波與追趕現(xiàn)象第1頁(yè)/共50頁(yè)第一頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法§1.1一階偏微分方程的定解問(wèn)題偏微分方程與常微分方程求解思路的不同

常微分方程：求方程通解，初、邊值定常數(shù) 一階偏微分：求方程通解，初、邊值確定任意函數(shù) 二階偏微分：不求通解，從問(wèn)題出發(fā)求解

例，一階PDE

通解第2頁(yè)/共50頁(yè)第二頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法初值問(wèn)題（Cauchy問(wèn)題）初、邊值問(wèn)題（Riemann問(wèn)題）

第3頁(yè)/共50頁(yè)第三頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法一般的一階擬線(xiàn)性偏微分方程的問(wèn)題

第4頁(yè)/共50頁(yè)第四頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法§1.2特征線(xiàn)法的幾何原理向量

(P,Q,R)

與解曲面u=u(x,y)的法線(xiàn)方向 相互垂直，與

(P,Q,R)

共線(xiàn)的線(xiàn)元(dx,dy,du)必定滿(mǎn)足偏微分方程，稱(chēng)為特征曲線(xiàn)，經(jīng)過(guò)初始曲線(xiàn)的特征曲線(xiàn)的全體構(gòu)成解曲面u=u(x,y)

。 第5頁(yè)/共50頁(yè)第五頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法

第6頁(yè)/共50頁(yè)第六頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法

第7頁(yè)/共50頁(yè)第七頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法因此，特征線(xiàn)法的求解思路是

——用特性曲線(xiàn)來(lái)編織解曲面

1。求出與向量場(chǎng)(P,Q,R)

共線(xiàn)的特征曲線(xiàn)；

2、讓該曲線(xiàn)通過(guò)初始曲線(xiàn)

第8頁(yè)/共50頁(yè)第八頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法特征線(xiàn)方程解x=x(s),y=y(s),u=u(s)含任意常數(shù)，由初始曲線(xiàn) 確定 第9頁(yè)/共50頁(yè)第九頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法解曲面由以下雙參變量形式給出 參變量s沿特征曲線(xiàn)方向變化， 參變量沿初始曲線(xiàn)方向變化。

第10頁(yè)/共50頁(yè)第十頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法例2.1

特征線(xiàn)方程初始曲線(xiàn)

第11頁(yè)/共50頁(yè)第十一頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法解出

消去參變量

第12頁(yè)/共50頁(yè)第十二頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法以積分常數(shù)形式給出的特征線(xiàn)解

特征方程通解初始曲線(xiàn)限制解曲面

第13頁(yè)/共50頁(yè)第十三頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法例2.3

特征方程通解解曲面由初值得解 第14頁(yè)/共50頁(yè)第十四頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法§1.3特征線(xiàn)法的物理意義 波動(dòng)——物理量在空間的傳播過(guò)程 特征線(xiàn)——物理量的傳播軌跡，沿該軌跡的變化關(guān)系例1．管道中的溶質(zhì)輸送問(wèn)題

第15頁(yè)/共50頁(yè)第十五頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法特征線(xiàn)

初始曲線(xiàn)解得

x－vt＝ξ

第16頁(yè)/共50頁(yè)第十六頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法圖象——矩形方波以速度v傳播

c0xt=0t=t1t=t2vvv第17頁(yè)/共50頁(yè)第十七頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法 x-t平面的特征線(xiàn)及圖解法

第18頁(yè)/共50頁(yè)第十八頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法

例2．線(xiàn)性色譜問(wèn)題 特征線(xiàn)

第19頁(yè)/共50頁(yè)第十九頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法x軸給出的初值的解

t軸給出的邊值的解

第20頁(yè)/共50頁(yè)第二十頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法 x-t平面的特征線(xiàn)

第21頁(yè)/共50頁(yè)第二十一頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法

斜坡輸入時(shí)的圖象

第22頁(yè)/共50頁(yè)第二十二頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——特征線(xiàn)法

例3

有化學(xué)反應(yīng)時(shí)的色譜波動(dòng)圖象

——濃度沿特征線(xiàn)傳播時(shí)呈指數(shù)衰減線(xiàn)性波的特點(diǎn) 波速與因變量無(wú)關(guān) 保持初始間斷和光滑性質(zhì)不變 特征線(xiàn)不相交

第23頁(yè)/共50頁(yè)第二十三頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象

§2非線(xiàn)性波與追趕現(xiàn)象

1。追趕問(wèn)題——稀疏波 身高曲線(xiàn) 初始分布

第24頁(yè)/共50頁(yè)第二十四頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象特征線(xiàn)

解得

第25頁(yè)/共50頁(yè)第二十五頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象——

稀疏波

xh00hh00hxxt=0時(shí)刻的初始分布t=t1時(shí)刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0攜帶不同h值的特征線(xiàn)第26頁(yè)/共50頁(yè)第二十六頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象 2。追趕問(wèn)題——激波初始分布：前低后高 解得

第27頁(yè)/共50頁(yè)第二十七頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象

xh00hx/h0t0t</h0t=/h0t>/h0t=0h=h0h=0第28頁(yè)/共50頁(yè)第二十八頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象特點(diǎn) 追趕，特征線(xiàn)相交，不真實(shí)的多值分布， 非線(xiàn)性本征屬性原因：形成強(qiáng)間斷——激波，微分方程失效 問(wèn)題：補(bǔ)充間斷面上的關(guān)系

第29頁(yè)/共50頁(yè)第二十九頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象 3。激波間斷關(guān)系

x0xsxrxll,qlr,qrdxs/dt第30頁(yè)/共50頁(yè)第三十頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象激波間斷關(guān)系

熵條件處理含間斷問(wèn)題的原則：分段求解

第31頁(yè)/共50頁(yè)第三十一頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象例1

含有激波的追趕問(wèn)題

間斷條件

初值

第32頁(yè)/共50頁(yè)第三十二頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象

xh00hx/h0t0t</h0t=/h0t>/h0t=0CSI第33頁(yè)/共50頁(yè)第三十三頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象

例2

非線(xiàn)性吸附反應(yīng)器

第34頁(yè)/共50頁(yè)第三十四頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象特征曲線(xiàn)

波速

第35頁(yè)/共50頁(yè)第三十五頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象激波間斷條件

特征線(xiàn)光滑解

第36頁(yè)/共50頁(yè)第三十六頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象

將光滑解代入激波間斷條件，解出激波軌跡

第37頁(yè)/共50頁(yè)第三十七頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象

x0cxt0t=t1S第38頁(yè)/共50頁(yè)第三十八頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題

§3化學(xué)劑段塞的色譜運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

第39頁(yè)/共50頁(yè)第三十九頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題物理圖象：前沿——激波；后緣——中心稀疏波 激波與稀疏波相互作用

第40頁(yè)/共50頁(yè)第四十頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題特征線(xiàn)

第41頁(yè)/共50頁(yè)第四十一頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題解題思路

1。運(yùn)動(dòng)初期：激波與稀疏波互不干擾，分別求解；

2。運(yùn)動(dòng)后期：后緣侵蝕，稀疏波與激波聯(lián)立求解。

第42頁(yè)/共50頁(yè)第四十二頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題

問(wèn)題

第三章一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題特征線(xiàn)方程

初始曲線(xiàn)

第43頁(yè)/共50頁(yè)第四十三頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題

1。運(yùn)動(dòng)初期激波稀疏波平臺(tái)區(qū) 第44頁(yè)/共50頁(yè)第四十四頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題2。運(yùn)動(dòng)后期激波（濃度在變化）稀疏波（給出激波濃度） 聯(lián)立得到 第45頁(yè)/共50頁(yè)第四十五頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題激波軌跡激波濃度段塞寬度

第46頁(yè)/共50頁(yè)第四十六頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——小結(jié)1、關(guān)于特征線(xiàn)法 幾何上，一階偏微分方程可以看成向量（P,Q,R)與曲面法向之間的正交關(guān)系.特征線(xiàn)法就是先由向量（P,Q,R)求出滿(mǎn)足方程的特征線(xiàn)，再以此為元素構(gòu)造出解曲面。 物理上，波動(dòng)總是從初始曲線(xiàn)出發(fā)沿特征線(xiàn)傳播，特征線(xiàn)方程給出了波的速度和傳播中的變化關(guān)系。

第47頁(yè)/共50頁(yè)第四十七頁(yè)，共51頁(yè)。第三章一階偏微分方程——小結(jié)2、關(guān)于非線(xiàn)性波動(dòng)的概念 線(xiàn)性波的波速與因變量無(wú)關(guān)，傳播過(guò)程中保持初始間斷或光滑性質(zhì)不變，特征線(xiàn)不相交。 非線(xiàn)性波容易發(fā)生追趕，形成稀疏波和激波，其類(lèi)型與通量曲線(xiàn)的性質(zhì)和初始分布狀況兩方面因素有關(guān)。 處理激波問(wèn)題的思