圓錐曲線(xiàn)試題匯總2

高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)詳解——圓錐曲線(xiàn)

一、選擇題

22

1.(2009全國(guó)卷1理)設(shè)雙曲線(xiàn)1-與=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=x?+l相切,

ab

則該雙曲線(xiàn)的離心率等于(C)

(A)V3(B)2(C)V5(D)V6

解：設(shè)切點(diǎn)2/,%)，則切線(xiàn)的斜率為y1口,=2玉).由題意有&=2%又%=/2+1

22

解得：x0=l,:.—=2,e=yjl+(―)=V5.

r2

2.(2009全國(guó)卷I理)已知橢圓C:—+y2=1的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線(xiàn)為，，點(diǎn)4e/,線(xiàn)段AF

交C于點(diǎn)8,若西=3而，則I布=

(A).V2(B).2(C).V3(D).3

解:過(guò)點(diǎn)B作_U于M,并設(shè)右準(zhǔn)線(xiàn)/與X軸的交點(diǎn)為N,易知FN=1.由題意成=3而，故

\BM1=-.又由橢圓的第二定義，得IB/1=-——=—.'.IAb1=J5.故選A

3233

22

3.(2009浙江理)過(guò)雙曲線(xiàn)二-之=1(。〉0力>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線(xiàn)，該直

a~b~

―-1—■

線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為3,C.若AB=-BC,則雙曲線(xiàn)的離心率是()

2

A.B.V3C.V5D.V10

答案：C

【解析】對(duì)于A(a,0),則直線(xiàn)方程為x+y—a=0,直線(xiàn)與兩漸近線(xiàn)的交點(diǎn)為B,C,

/21\21

B-,C(—,則有

、a+ba+bJa-ba-b

__?2cTb2,cih、--7；(cibcth、m---=?-=—；2?2/r

BC=(―---—-----y),A8=-------,-----,因2A3=BC,:.=b~e=\5.

a2-h2a2-h2(a+ha+bj

4.（2009浙江文）已知橢圓=+3=l（a〉b>0）的左焦點(diǎn)為P，右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢

CT卜

圓上，且5/J_x軸，直線(xiàn)AS交y軸于點(diǎn)P.若而=2而，則橢圓的離心率是（）

V37211

A.B.C.-D.一

2232

5.D【命題意圖】對(duì)于對(duì)解析幾何中與平面向量結(jié)合的考查，既體現(xiàn)了幾何與向量的交匯，

也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的巧妙應(yīng)用.

―■―-1

【解析】對(duì)于橢圓，因?yàn)?P=2P8,則。A=2OF,；.a=2c,；.e=一

2

6.（2009北京理）點(diǎn)P在直線(xiàn)/:y=x-1上，若存在過(guò)P的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)y=x?于4,8兩

點(diǎn)，且

IPA=IABI,則稱(chēng)點(diǎn)尸為“4點(diǎn)”,那么下列結(jié)論中正確的是()

A,直線(xiàn)/上的所有點(diǎn)都是“K點(diǎn)”

B.直線(xiàn)/上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“1點(diǎn)”

C.直線(xiàn)/上的所有點(diǎn)都不是“力點(diǎn)”

D.直線(xiàn)/上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“力點(diǎn)”

【答案】A

【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決

問(wèn)題的能力.屬于創(chuàng)新題型.

本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖,

設(shè)A（〃z,〃）,P（x,x-l）,

則B{2m-x,2n-x-2）,

4,8在卜=》2上，

.n-m2

2n-x+1=（2m-x）2

（第8題解答圖）

消去n,整理得關(guān)于x的方程Y-（4加一l）x+2加_1=0（1）

A=(4/n-I)2-4(2〃/-1)=8機(jī)2—8m+5>0恒成立,

...方程（1）恒有實(shí)數(shù)解，，應(yīng)選A.

7.（2009山東卷理）設(shè)雙曲線(xiàn)3-4=1的一條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=x?+l只有一個(gè)公共點(diǎn)，則

雙曲線(xiàn)的離心率為（

5

A.-B.5

4

b

【解析】：雙曲線(xiàn)馬一二=1的一條漸近線(xiàn)為yby=-x

x,由方程組〈a，消去y,得

a2b2~a

y=x2+1

f-2x+l=0有唯一解，所以△=(2)2—4=0,

aa

所以2=2,e=￡==卜+昌2=&，故選D

aaa\a

答案:D.

【命題立意】：本題考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程和離心率的概念,以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)

系，只有一個(gè)公共點(diǎn),則解方程組有唯一解?本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

8.（2009山東卷文）設(shè)斜率為2的直線(xiàn)/過(guò)拋物線(xiàn)y2=ax（awO）的焦點(diǎn)F,且和y軸交于點(diǎn)A,

若△OAF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4,則拋物線(xiàn)方程為（）.

A.y2=±4xB.）2=±8xC.y2-4xD.y2-8x

【解析】：拋物線(xiàn)>2=公（awO）的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（@,0）,則直線(xiàn)/的方程為丁=2（工一區(qū)）,它

44

與y軸的交點(diǎn)為A（0,-q）,所以△。AF的面積為，1區(qū)1?1@1=4,解得a=±8.所以?huà)佄锞€(xiàn)方程

2242

為了2=±8x,故選B.

答案:B.

【命題立意】：本題考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)以及直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和三角形面枳

的計(jì)算.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，其中還隱含著分類(lèi)討論的思想,因參數(shù)。的符號(hào)不定而引發(fā)

的拋物線(xiàn)開(kāi)口方向的不定以及焦點(diǎn)位置的相應(yīng)變化有兩種情況，這里加絕對(duì)值號(hào)可以做到合二

為一.

9.（2009全國(guó)卷H文）雙曲線(xiàn)”=1的漸近線(xiàn)與圓（x—3）2+y2=/&>0）相切，則

63

(A)V3(B)2(C)3(D)6

答案：A

解析：本題考查雙曲線(xiàn)性質(zhì)及圓的切線(xiàn)知識(shí)，由圓心到漸近線(xiàn)的距離等于r,可求r=J5

10.(2009全國(guó)卷n文)已知直線(xiàn)y=A(x+2)(k>0)與拋物線(xiàn)C：y2=8x相交A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)

為C的焦點(diǎn)。若|E4|=2\FB\，則k=

V22V2

(A)—(B)T(D)

答案：D

解析：本題考查拋物線(xiàn)的第二定義，由直線(xiàn)方程知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)即拋物線(xiàn)焦點(diǎn)(2,0),由

\FA\=2恒用及第二定義知XA+2=2(XB+2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求1<=半o

11.(2009安徽卷理)下列曲線(xiàn)中離心率為逅的是

2

2222

(A)--21=1(B)—-21=1(C)E_￡=l(D)^_￡=1

244246410

—匚』指,曰3?/3/1田

［解析］由6=得一r=—,14—Z-=—,—Z-=一，選B

2/2a-2a22

邁

12.(2009安徽卷文)下列曲線(xiàn)中離心率為2的是

已=1日一色=1日一二=1金-2=1

A.24B.42C.46D.410

【解析】依據(jù)雙曲線(xiàn)E—與=1的離心率e=￡可判斷得.e=￡=".選B。

cTb~aa2

【答案】B

13.(2009安徽卷文)直線(xiàn)'過(guò)點(diǎn)(-1,2)且與直線(xiàn)垂直，貝”的方程是

A3bc+2y-l=OB3r+2/+7=0

(、2x-3y+5=O[)2x-3^+8=O

_33

【解析】可得/斜率為一]2=—1(x+l)即3x+2y—1=0,選A。

【答案】A

14.（2009江西卷文）設(shè)片和居為雙曲線(xiàn)三―2=1（。＞0,%＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若耳,居，

ab'

P（0,2。）是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線(xiàn)的離心率為

3c5

A.一B.2C.-D.3

22

答案：B

【解析】由tan工=￡=走有3c2=4/=4（/—/）則e=￡=2,故選B.

62b3a

22

15.（2009江西卷理）過(guò)橢圓二+'=1（。＞%＞0）的左焦點(diǎn)寫(xiě)作X軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P,

a~h

尸2為右焦點(diǎn)，若/片尸尼=60°,則橢圓的離心率為

AV2G11

A.——B.---C.-D.一

2323

答案：B

【解析】因?yàn)镻（—c,土匕），再由/耳PK=6（y有次-=2a,從而可得e=￡=坦，故選B

aaa3

16.（2009天津卷文）設(shè)雙曲線(xiàn)「一4=1（。＞0,8〉0）的虛軸長(zhǎng)為2,焦距為2內(nèi)，則雙

ab'

曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）

I-1

Ay=±V2xBy=+2xCy=--^~xDy=+—x

【答案】C

【解析】由已知得到手=l,c=瓜a=&2一/=行,因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，故漸

近線(xiàn)方程為y=±;x=±半x

【考點(diǎn)定位】本試題主要考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)和運(yùn)用。考察了同學(xué)們的運(yùn)算能力和推理

能力。

2222

17.（2009湖北卷理）已知雙曲線(xiàn)工-匕=1的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)橢圓二+2=1的焦點(diǎn)，則直線(xiàn)

224b2

y=履+2與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是

A.KG

2,1

V2V2

C.Ke

22

【答案】A

【解析】易得準(zhǔn)線(xiàn)方程是尤=±《=±2=±1

b2

22

所以c、2=/-b2=4-/=1即6,=3所以方程是土+匕=1

43

聯(lián)立y=fcv+2可得3/+(4k2+16k)x+4=0由AMO可解得A

18.(2009四川卷文)已知雙曲線(xiàn)^--2=1仍>0)的左、右焦點(diǎn)分別是K、B，其一條

2b~

漸近線(xiàn)方程為y=x,點(diǎn)

P(g,y0)在雙曲線(xiàn)上?則西?而=

A.—12B.—2C.0D.4

【答案】C

【解析】由漸近線(xiàn)方程為y=x知雙曲線(xiàn)是等軸雙曲線(xiàn)，.?.雙曲線(xiàn)方程是％2—>2=2,于是

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(一2,0)和(2,0),且或P(Q,-1).不妨去尸(右,1),則

所=(-2-"-1),

而=(2-Q,—1).二西?Pf；=(-2-V3-1)(2-V3-1)=-(2+73)(2-V3)+1=0

19.(2009全國(guó)卷II理)已知直線(xiàn)3=1(》+2)(女>0)與拋物線(xiàn)(7:9=8光相交于A、B兩點(diǎn),

產(chǎn)為C的焦點(diǎn)，若IE4I=2IEBI,則％=

解：設(shè)拋物線(xiàn)C：y=8x的準(zhǔn)線(xiàn)為/:x=—2直線(xiàn)?=左"+2)9>0)恒過(guò)定點(diǎn)P(-2,0).

如圖過(guò)4B分別作AM于J./于N,FA\=2\FB\,^\\AM\=2\BN\,

點(diǎn)B為AP的中點(diǎn).連結(jié)。8,則IO5I=3AEI,.?.1。⑶=188點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為1,故點(diǎn)8

2

的坐標(biāo)為(1,2A/2):.k=2向°,故選D

1-(-2)3

20.(2009全國(guó)卷II理)已知雙曲線(xiàn)C：1->=1(a>02>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)尸且斜率為

百的直線(xiàn)交C于4、B兩點(diǎn)，若赤=4而，則C的離心率為

6759

A.-B.-C.-D.一\

5585

22\

解：設(shè)雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)為/，過(guò)A、B分別

ah

作AM于M于N,于。，由

直線(xiàn)AB的斜率為力，知直線(xiàn)AB的傾斜角為

60°ABAD=60°,IAD\=^\AB\,

由雙曲線(xiàn)的第二定義有

1—■―-

\AM\-\BN\=\AD\=-(.\AF\-\FB\)

e

11—■―■

=-IABI=-(IAFI+IFBI).

——1—5—■6

又???AF=4FB：.--3\FB\=-\FB\:.e=-故選A

e25

21.(2009湖南卷文)拋物線(xiàn)V=—8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是[B]

A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)

解：由y2=—8x，易知焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-^-,0)=(-2,0),故選B.

22.(2009遼寧卷文)已知圓C與直線(xiàn)X—y=0及x—y—4=0都相切，圓心在直線(xiàn)x+y=0

±,則圓C的方程為

(A)(x+l)2+(y—=2(B)(x-l)2+(y+l)2=2

(0(x-l)2+(y-l)2=2(D)(x+l)2+(y+l>=2

【解析】圓心在x+y=0,匕排除C、D,再結(jié)合圖象，或者驗(yàn)證A、B中圓心到兩直線(xiàn)的距離等于

半徑、區(qū)即可.

【答案】B

22

23.(2009寧夏海南卷理)雙曲線(xiàn)工-匕=1的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為

412

(A)2A/3(B)2(C)V3(D)1

X2y2廠|V3x4-0|

解析：雙曲線(xiàn)--L=1的焦點(diǎn)(4,0)到漸近線(xiàn)y=y/3x的距離為cl=J---------=26,選A

4122

24.(2009寧夏海南卷理)設(shè)己知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(l,0),直線(xiàn)I與拋物

線(xiàn)C相交于A,B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)為(2,2),則直線(xiàn)，的方程為.

解析：拋物線(xiàn)的方程為>2=4x,

犬=4須

4(網(wǎng),%),8(々,%)，則有玉*》2，，

y；=4X2

兩式相減得，y；-y\=4(Xj-x2),~—=---=1

二直線(xiàn)1的方程為y-2=x-2,即y=x

答案：y=x

25.(2009陜西卷文)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線(xiàn)被圓/+》2-4'=0所截得的弦長(zhǎng)為

(A)Vs(B)2(C)V6(D)273

答案:D.

解析：直線(xiàn)方程y=6x,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程/+(y-2產(chǎn)=4,圓心(0,2)到直線(xiàn)的距離

|V3x0-2|,------「

d=1=1,由垂徑定理知所求弦長(zhǎng)為^=2V22-12=2V3故選D.

J(省產(chǎn)+(—1)2

26.(2009陜西卷文)“機(jī)>〃〉0”是“方程始2+〃>2=1”表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

答案:C.

解析:將方程，收2+〃)，2=1轉(zhuǎn)化為千+年=1，根據(jù)橢圓的定義，要使焦點(diǎn)在y軸上必須滿(mǎn)

mn

足一＞0,—〉0,所以—＞一,故選C.

mnnm

22

27.(2009四川卷文)已知雙曲線(xiàn)5-%=1仍＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是片、F2,其一條

漸近線(xiàn)方程為y=x，點(diǎn)

P(Q,yo)在雙曲線(xiàn)上廁所?配=

A.-12B.-2C.0D.4

【答案】C

【解析】由漸近線(xiàn)方程為y=x知雙曲線(xiàn)是等軸雙曲線(xiàn)，.?.雙曲線(xiàn)方程是-=2,于是

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(一2,0)和(2,0),且P(右,1)或P(VI,-1).不妨去P(石,1),則

麗=(-2-6,-1)，

所=(2—百,一1)....麗?PF^^(-2-V3-1)(2-V3-1)=-(2+73)(2-73)+1=0

22

28.(2009全國(guó)卷1文)設(shè)雙曲線(xiàn)3一方=1(。＞0,b＞0)的漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=x?+l相切，

則該雙曲線(xiàn)的離心率等于

(A)V3(B)2(C)Vs(D)指

【解析】本小題考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、雙曲線(xiàn)的離心率，

基礎(chǔ)題。

丫2K

解：由題雙曲線(xiàn)》一,=1(。＞0,b＞0)的一條漸近線(xiàn)方程為y=匕，代入拋物線(xiàn)方程整

理得4*2一6*+4=0,因漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，所以。2-442=0,即

c2=5a2oe=V5,故選擇C。

29.(2009全國(guó)卷I文)已知橢圓C：+=1的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線(xiàn)/,點(diǎn)Ae/,線(xiàn)段AF

交C于點(diǎn)B。若成=3而，則|喬卜

(A)V2(B)2(C)百(D)3

【解析】本小題考查橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)、向量的運(yùn)用、橢圓的定義，基礎(chǔ)題。

解:過(guò)點(diǎn)B作，/于M,并設(shè)右準(zhǔn)線(xiàn)/與X軸的交點(diǎn)為N,易知FN=1.由題意包=3而，故

IBM1=-.又由橢圓的第二定義,得IBF?！?2一.'.IAF1=.故選A

3233

2222

30.(2009湖北卷文)已知雙曲線(xiàn)土-21=1的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓±+與=1(b>0)的焦點(diǎn)，則6=

224b2

A.3B.V5C.V3D.V2

【答案】C

2_______

【解析】可得雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為x=±—=±1,又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)為(土J4Z廬,0)所以有

C

2

J4=1即b=3故b=石.故C.

31.(2009天津卷理)設(shè)拋物線(xiàn)V=2x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)M(百，0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于

A,B兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相交于C,忸日=2,則ABCF與AACF的面積之比2二=

SiMCF

4241

(A)-(B)-(C)-(D)-

5372

【考點(diǎn)定位】本小題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)、三點(diǎn)共線(xiàn)的坐標(biāo)關(guān)系，和綜合運(yùn)算數(shù)學(xué)的能力，

中檔題。

X+1

“八sMCFBCB22x?+1

解析:由題知3^=——=----4=—g一,

SZMVCICFrAC丫i,_1_2xA,+1

人4TC

又IBF1=+；=2==|=>=-^3

…"點(diǎn)共線(xiàn)有年十年仁庶二置

故x.=2,

SAR「F2xR+13+14.,.._

=一耳—=——=-,故X選1擇A。

SMCF2以+14+15

xv

32.（2009四川卷理）已知雙曲線(xiàn)了——=13〉0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，與，其一條漸近線(xiàn)

方程為y=x，點(diǎn)尸（6,打）在該雙曲線(xiàn)上，貝I」西?麗=

A.-12B.-2C.oD.4

【考點(diǎn)定位】本小題考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程、雙曲線(xiàn)的定義，基礎(chǔ)題。（同文8）

解析：由題知〃=2,故？0=±"5=±1,凡（一2,0）,尸2（2,0），

...西?瓦=（-2一行,±1）?（2—行,±1）=3—4+1=0,故選擇C。

解析2：根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程可求出雙曲線(xiàn)方程工-二=1,則左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為

22

々（-2,0）,乙（2,0）,再將點(diǎn)P（6,九）代入方程可求出P（G，±1），則可得麗?庵=0,故

選Co

33.（2009四川卷理）已知直線(xiàn)4：4x—3y+6=0和直線(xiàn)4：x=—1，拋物線(xiàn)V=4x上一動(dòng)

點(diǎn)P到直線(xiàn)人和直線(xiàn)4的距離之和的最小值是

1137

A.2B.3C.——D.—

516

【考點(diǎn)定位】本小題考查拋物線(xiàn)的定義、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，綜合題。

解析：直線(xiàn)4：%=T為拋物線(xiàn)/=4x的準(zhǔn)線(xiàn)，由拋物線(xiàn)的

定義知,P到12的距離等于P到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（1,0）的距離，

故本題化為在拋物線(xiàn)V=4x上找一個(gè)點(diǎn)尸使得P到點(diǎn)尸（1,0）和直線(xiàn)4的距離之和最小，最

小值為尸（1,0）到直線(xiàn)4：4x—3y+6=0的距離，即一14-0-―+61'=2,故選擇A。

13x1-0+61

解析2：如下圖，山題意可知d=2

>/32+42

34.（2009寧夏海南卷文）已知圓c：（x+1）2+（），—1）2=1,圓G與圓G關(guān)于直線(xiàn)x—y—i=o

對(duì)稱(chēng)，則圓G的方程為

(A)(X+2)2+(y-2)2=1(B)(x—2y+(y+2戶(hù)1

(C)(x+2)2+(y+2)2=l(D)(x—2)~+(y—2)~=1

【答案】B

紇H—i=o

則依題意，有［22,解得:a=2

【解析】設(shè)圓G的圓心為（a，b）,

<b=-2

J-1

對(duì)稱(chēng)圓的半徑不變，為1,故選B。.

35.（2009福建卷文）若雙曲線(xiàn)二-1=1（?！祇）的離心率為2,則。等于

a3

A.2B.也

3

C.-D.1

2

解析解析=而離心率e—=J"+3=2,解得a=l或a=3,

a3aa

參照選項(xiàng)知而應(yīng)選D.

36.（2009重慶卷理）直線(xiàn)y=x+l與圓尤？+y2=i的位置關(guān)系為（）

A.相切B.相交但直線(xiàn)不過(guò)圓心C.直線(xiàn)過(guò)圓心D.相離

【答案】B

1

【解析】圓心（0,0）為到直線(xiàn)y=x+l,即x-y+l=0的距離1=&=號(hào)，而

亞

0<---<1,選B0

2

myji-X1,XG(-1,1]

37.（2009重慶卷理）已知以7=4為周期的函數(shù)，（x）=<，其中機(jī)〉0。

、1-卜-2|”(1,3]

若方程3/（x）=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則機(jī)的取值范圍為（）

48、

A.B.訴U引)D.(于S)

【答案】B

【解析】因?yàn)楫?dāng)xe（—1,1］時(shí)，將函數(shù)化為方程x2+［=l（yN0）,實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢

m

圓，其圖像如圖所示，同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)X￡（l,3］得圖像，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它

X

部分的圖像，由圖易知直線(xiàn)y=：與第二個(gè)橢

圓（x—4『+2下=l（yN0）相交，而與第三個(gè)

m"

半橢圓（》一4）2+工=1（〉20）無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，

m

2

方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，將y=土代入（x-4『+2T=l（y20）得

3m

(9/n23+l)x2-72mlx+135m2=0,令f=9m2Q〉0)則(f+l)x2-8及+15f=0

由公=(8r)2-4xl5rQ+l)>0,得t>15,由9小>15,且m>0得機(jī)>-^

3

2

同樣由y=土與第二個(gè)橢圓（x-8）2+J=l（y20）由△<0可計(jì)算得加<幣

3m

（里布

綜上知mG

38.（2009重慶卷文）圓心在y軸上，半徑為1,且過(guò)點(diǎn)（1,2）的圓的方程為（）

A./+(>一2>=1B.x2+(y+2)2=1

C.(x-l)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1

【答案】A

解法1（直接法）：設(shè)圓心坐標(biāo)為（0,。），則由題意知J（?！?-+S—2）=1,解得6=2,

故圓的方程為爐+⑶―2>=1。

解法2（數(shù)形結(jié)合法）：由作圖根據(jù)點(diǎn)（1,2）到圓心的距離為1易知圓心為（0,2）,故圓

的方程為/+（>—2>=1

解法3（驗(yàn)證法）：將點(diǎn)（1,2）代入四個(gè)選擇支，排除B,D,又由于圓心在y軸上，

排除Co

39.（2009年上海卷理）過(guò)圓C：（x-1尸+（>-1>=1的圓心，作直線(xiàn)分別交x、y正半軸于點(diǎn)

A、B,A4O8被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿(mǎn)足5+S*=Sn+S”,則直線(xiàn)

人8有（）

（A）。條（B）1條（C）2條（D）3條

Ax

EA

【解析】由已知，得：S/y—S〃=S/〃—S”，第II,IV部分的面積是定值，所以，S/y—S〃為

定值，即S,〃-S”為定值，當(dāng)直線(xiàn)AB繞著圓心C移動(dòng)時(shí)，只可能有個(gè)位置符合題意，即直

線(xiàn)AB只有一條，故選B。

二、填空題

1.（2009四川卷理）若。。1：%2+,2=5與。。2：。一川）2+,2=20（m^/?）相交于人、B兩

點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是

【考點(diǎn)定位】本小題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí)，綜合題。

解析：由題知。1（0,0）,。2（，〃,0）,月.Ji<1mI<3A/5,又01ALAO2,所以有

m2=（A/5）2+（2-\/5）2=25=>m=±5,AB=2?遮5^^=4°

2.（2009全國(guó)卷I文）若直線(xiàn)機(jī)被兩平行線(xiàn)4:x—y+l=0與，2：x—y+3=0所截得的線(xiàn)段

的長(zhǎng)為2JI,則機(jī)的傾斜角可以是

①15°②30°③45°@60°⑤75°

其中正確答案的序號(hào)是.（寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào)）

【解析】本小題考查直線(xiàn)的斜率、直線(xiàn)的傾斜角、兩條平行線(xiàn)間的距離，考查數(shù)形結(jié)合的思

想。

解：兩平行線(xiàn)間的距離為d=4W=J5,由圖知直線(xiàn)，”與。的夾角為30°,。的傾斜角

V1+1

為45°,所以直線(xiàn)機(jī)的傾斜角等于30"+45°=75°或45°—30°=15°。故填寫(xiě)①或⑤

3.（2009天津卷理）若圓Y+y2=4與圓f+y2+2@一6=0（a>0）的公共弦的長(zhǎng)為2M,

貝IIa=o

【考點(diǎn)定位】本小題考查圓與圓的位置關(guān)系，基礎(chǔ)題。

解析：由知f+>2+2町—6=0的半徑為.6+一,由圖可知6+。2一（—a-l）2=（JJ）2

解之得。=1

4.（2009湖北卷文）過(guò)原點(diǎn)。作圓x2+「-6x—8y+20=0的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q,

則線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為o

【答案】4

【解析】可得圓方程是（x—3>+（y-4>=5又山圓的切線(xiàn)性質(zhì)及在三角形中運(yùn)用正弦定理

得忸。|=4

5.（2009重慶卷文）已知橢圓「+[=1（?！礲〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為々（—c,o）,a（c,o）,

a"h

若橢圓上存在?點(diǎn)P使---=---,則該橢圓的離心率的取值范圍

sinsinPFF

PFXF22X

為—?

【答案】（向1,1）

PH

解法1,因?yàn)樵谛摹旯ぶ?，由正弦定理?/p>

sinPF^F2sinPF2FX

則由已知，得，一=上，即。?片二。尸居

設(shè)點(diǎn)（x0,y0）由焦點(diǎn)半徑公式，得PF]=a+exQ,PF1=a-ex^則

Q（Q+氣）=C（4一%）

記得％=公h黑不由橢圓的幾何性質(zhì)知一洲篝￥＞一?！淼?/p>

e?+2e—1〉0,解得e＜—血―1或e＜啦一1,又ee（O,l）,故橢圓的離心率

ee(V2-l,l)

解法2由解析1知PF[=±PF,山橢圓的定義知

a

c2/

尸1+尸工=2。貝Ij-P￡+PK=2。即PF,=——,由橢圓的幾何性質(zhì)知

ac+a

22

2呂<a+c,則」一<a+c,既c?+2c—/>0,所以e2+2e—1>0,以下同解析1.

C+4

6.（2009重慶卷理）已知雙曲線(xiàn)三一與=1（。〉02〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為

cTb~

K（-C,O）,G（C,O）,若雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)「使空必退=應(yīng),則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范

sinPF2F{C

圍是.

PFPF

解法1,因?yàn)樵贏P￡居中，由正弦定理得"———=-----!—

sinPFtF2sinPF2G

則由已知，得一L=_J,即。2耳=。尸乙，且知點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,

設(shè)點(diǎn)、（玉），%）由焦點(diǎn)半徑公式，得PF、=a+ex。,PF?=ex。-a則

a(a+exQ)=c(ex0一。)

解得x0==如匕D由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)知x0>。則或±D>a,整理得

e(c-a)e(e-l)e(e-l)

e2—2e—l<0,解得—血+l<e<行+1,又ee(l,+8),故橢圓的離心率

ee(l,V2+1)

解法2由解析1知「耳=￡尸工由雙曲線(xiàn)的定義知

a

e2a2

P片一P居=2。則一尸工一尸K=2a即尸鳥(niǎo)=——，由橢圓的幾何性質(zhì)知

a--c-a

Q2

PF,>c—a,則WL>c—a,既。2—2ac—/<0,所以e?—2e—1<0,以下同解析1.

c-a

22

7.(2009北京文)橢圓上+上~=1的焦點(diǎn)為月，工，點(diǎn)P在橢圓上，若1尸7"=4,則

92

；尸居的大小為_(kāi)_______

1PF21=_______/6

【答案】2,120°

【解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理.屬

于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.

y.

■；a2=9,b2=3,

P

c=\Ja2—b2-,9-2--布,

.?.恒用=2"

又|P用=4,|「片|+|尸用=2。=6,；.|P居|=2,(第13題解答圖)

22+42—077)21

又由余弦定理，得cos/6P6=——

2x2x42

/.ZF}PF2=120°,故應(yīng)填2,120°.

8.(2009北京理)設(shè)/(X)是偶函數(shù)，若曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線(xiàn)的斜率為1,則

該曲線(xiàn)在(-1J(-1))處的切線(xiàn)的斜率為_(kāi)_______.

【答案】-1

【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與曲線(xiàn)在某一點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率的概念.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算

的考查.

1f(x)=x^

取/（x）=/,如圖，采用數(shù)形結(jié)合法，

易得該曲線(xiàn)在（-1,/（-1））處的切線(xiàn)的斜率為-1.

故應(yīng)填-1.

（第11題解答圖）

XV

9.（2009北京理）橢圓一+乙=1的焦點(diǎn)為耳,￡,點(diǎn)尸在

9212

橢圓上，若IP[I=4,貝乙1=:

"PF2的小大為.

【答案】2,120°

【解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點(diǎn)、K軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理.屬

于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.

a2-9,b2-3,

/.c=\la2—b'=49-2=>/7,

.-.|F,F2|=2V7,

又歸用=4,歸耳|+歸入