概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(完整公式,知識(shí)點(diǎn)梳理)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)完整版公式第1章隨機(jī)事件及其概率（1）排列組合公式從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方（2）加法法可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n種方法來(lái)完成。和乘法原理乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m×n種方法來(lái)完成。（3）一些重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件（至少有一個(gè)）常見(jiàn)排列順序問(wèn)題（4）隨機(jī)如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱(chēng)這試驗(yàn)和隨機(jī)事件種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱(chēng)為基本事件，用來(lái)表示。（5）基本基本事件的全體，稱(chēng)為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。事件、樣本空間和事件一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫(xiě)字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件①關(guān)系：的關(guān)系與運(yùn)如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)算生）：如果同時(shí)有，，則稱(chēng)事件A與事件B等價(jià)，或稱(chēng)A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱(chēng)為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱(chēng)事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。-A稱(chēng)為事件A的逆事件，或稱(chēng)A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：1°0≤P(A)≤1，（7）概率2°P(Ω)=1的公理化定3°對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有義常稱(chēng)為可列（完全）可加性。則稱(chēng)P(A)為事件的概率。1°，2°。（8）古典設(shè)任一事件，它是由組成的，則有概型P(A)==若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同（9）幾何此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱(chēng)A，概型。其中L為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）。（10）加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)公式P(A-B)=P(A)-P(AB)（11）減法當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)公式當(dāng)A=Ω時(shí)，P()=1-P(B)定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱(chēng)件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為為事件A發(fā)生條（12）條件概率。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，則有公式…………。（14）獨(dú)立①兩個(gè)事件的獨(dú)立性性設(shè)事件、滿(mǎn)足的。，則稱(chēng)事件、是相互獨(dú)立，則有若事件、相互獨(dú)立，且若事件、相互獨(dú)立，則可得到相互獨(dú)立。與、與、與也都必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿(mǎn)足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿(mǎn)足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類(lèi)似。設(shè)事件1°滿(mǎn)足兩兩互不相容，，（15）全概2°則有，公式。設(shè)事件，，…，及滿(mǎn)足1°，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，2°，，則（16）貝葉斯公式，i=1，2，…n。，，…，），通常叫先驗(yàn)概率。此公式即為貝葉斯公式。，（，（，，…，），通常稱(chēng)為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。我們作了次試驗(yàn)，且滿(mǎn)足◆每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；◆次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；（17）伯努否是互不影響的?！裘看卧囼?yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與利概型這種試驗(yàn)稱(chēng)為伯努利概型，或稱(chēng)為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為次的概率，，用第二章隨機(jī)變量及其分布（1）離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個(gè)值的概率，即隨機(jī)變量的事件(X=X)的概率為kP(X=xk)=pk，k=1,2,…，分布律則稱(chēng)上式為離散型隨機(jī)變量的形式給出：的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列。顯然分布律應(yīng)滿(mǎn)足下列條件：（1）（2）連續(xù)型設(shè)，是隨機(jī)變量，（2）的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)。，對(duì)任意實(shí)隨機(jī)變量的數(shù)，有分布密度，則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱(chēng)為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1°。2°。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)積分元在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)似。在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與變量的關(guān)系（4）分布函設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)數(shù)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)?？梢缘玫絏落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（–∞，x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°2°；是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有；；3°4°5°，，即是右連續(xù)的；。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，（5）八大分0-1分布。P(X=1)=p,P(X=0)=q布二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為發(fā)生的概率為。事件。發(fā)生的次數(shù)，其中，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí)，，，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，，，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。，其中p≥0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即a≤x≤b均勻分布其他，在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。則稱(chēng)隨機(jī)變量分布函數(shù)為a≤x≤b0，x<a，1，x>b。當(dāng)a≤x1<x2≤b時(shí)，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。,指數(shù)分布0,,其中，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為,x<0。記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，，其中、為常數(shù)，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為。、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為具有如下性質(zhì)：1°的圖形是關(guān)于對(duì)稱(chēng)的；2°當(dāng)時(shí)，，則為最大值；若的分布函數(shù)為。。參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。第三章二維隨機(jī)變量及其分布（1）聯(lián)合分離散型布如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y），則稱(chēng)為離散型隨機(jī)量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件{=}的概率為pij,,稱(chēng)為=（X，Y）的分布律或稱(chēng)為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示：YXy1y2………yj………x1x2p11p21p12p22p1jp2jxipi1……這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱(chēng)f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱(chēng)為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(wàn)(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）f(x,y)≥0;（2）（2）二維隨機(jī)變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)布函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時(shí)，有F（x2,y）≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時(shí)，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對(duì)于.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分離散型布X的邊緣分布為Y的邊緣分布為；。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分離散型布在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨(dú)立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布＝0隨機(jī)變量的若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：函數(shù)h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。（8）二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱(chēng)（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1D1O1x圖3.1y1O2x圖3.2ydcOabx圖3.3（9）二維正設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為態(tài)分布其中是5個(gè)參數(shù)，則稱(chēng)（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）～N（由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)Z=X+Y分布根據(jù)定義計(jì)算：對(duì)于連續(xù)型，fZ(z)＝兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線(xiàn)性組合，仍服從正態(tài)分布。，Z=max,min(X1,X2,…Xn)若相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)離散型連續(xù)型字特征期望期望就是平均值設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求絕對(duì)收斂）（要求絕對(duì)收斂）函數(shù)的期望方差Y=g(X)Y=g(X)D(X)=E[X-E(X)]2，標(biāo)準(zhǔn)差，矩①對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即①對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即νk=E(Xk)=,k=1,2,….②對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為νk=E(Xk)=k=1,2,….，即②對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=，k=1,2,….=k=1,2,….切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對(duì)于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（1）E(C)=C（2）期望的性質(zhì)（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無(wú)條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件成立。（4）常見(jiàn)分布的期望和方差期望方差0-1分布二項(xiàng)分布泊松分布pnp幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n02nt分布(n>2)（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)期望字特征函數(shù)的期望方差＝＝協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，稱(chēng)它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱(chēng)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡(jiǎn)記為）。||≤1，當(dāng)||=1時(shí)，稱(chēng)X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時(shí)，稱(chēng)X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：①；（6）(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).協(xié)方差的性質(zhì)（獨(dú)立和7）（i）若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。第五章大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),則對(duì)于任意的正數(shù)ε，有特殊情形：若X1，X2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=μ，則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)μ是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)ε，有伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xn）=μ，則對(duì)于任意的正數(shù)ε有（2）中心極限定列維－林德伯格定理理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有此定理也稱(chēng)為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗－拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量實(shí)數(shù)x,有為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理統(tǒng)總體計(jì)的基本概念在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱(chēng)為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個(gè)體樣本總體中的每一個(gè)單元稱(chēng)為樣品（或個(gè)體）。我們把從總體中抽取的部分樣品稱(chēng)為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱(chēng)為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱(chēng)之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱(chēng)（統(tǒng)計(jì)量）為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(chēng)（）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量①關(guān)系：及其性質(zhì)如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，，則稱(chēng)事件A與事件B等價(jià)，或稱(chēng)A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱(chēng)為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱(chēng)事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?A稱(chēng)為事件A的逆事件，或稱(chēng)A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，（2）正態(tài)總正態(tài)分布體下的四大分布設(shè)若滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=1為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，3°對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有常稱(chēng)為可列（完全）可加性。則稱(chēng)P(A)為事件的概率。t分布1°，2°。設(shè)任一事件P(A)=，它是由組成的，則有=若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱(chēng)此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A，。其中L為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）。P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)F分布（3）正態(tài)總體下分布的P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)與獨(dú)立。第七章參數(shù)估計(jì)（1）點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點(diǎn)矩中也包含了未知參數(shù)。又設(shè)，即為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩估計(jì)量。若為的矩估計(jì)，為連續(xù)函數(shù)，則為的矩估計(jì)。極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱(chēng)為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)n.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為，則稱(chēng)為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱(chēng)分別為的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為最大似然估計(jì)量。若為的極大似然估計(jì)，為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計(jì)。（2）估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)有效性無(wú)偏性設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E（）=，則稱(chēng)為的無(wú)偏估計(jì)量。E（）=E（X），E（S2）=D（X）設(shè)和是未知參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。若，則稱(chēng)有效。一致性設(shè)是的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)，都有則稱(chēng)為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。若為的無(wú)偏估計(jì)，且則為的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量