也談曲線切點弦的處理方法

也談曲線切點弦的處理方法王懷明(安徽省樅陽縣會宮中學,246740)文由一道測試題提出一個問題：過圓外一點作圓的兩條切線，如何求兩切點所在的直線方程？然后通過對大綱版教材和人教A版教材處理方法的比較，得出結(jié)論：大綱版教材的處理方法（即下面的解法1，筆者注）“這樣求解思維轉(zhuǎn)彎多，且對圓的一般位置需要另行推理，這對學生而言，有一定的困難”，人教A版教材的處理方法（即下面的解法2，筆者注）“優(yōu)于大綱版教材，主要表現(xiàn)在計算快，轉(zhuǎn)化少，突出圓的地位而淡化切（直）線方程”。事實真的是這樣嗎？本文先列舉文的兩種解法，并增加解法3。然后通過解法的應用，比較三種解法，得到不同解法的適用范圍。1解法呈現(xiàn)為了方便說明，將文中的問題一般化：過圓：外一點作圓的兩條切線，切點分別為、，求切點弦所在的直線方程。解法1因為圓在點處的切線垂直于，當時，，所以圓在點處切線的斜率為，方程為，即，又，所以；當或時，切點弦線也滿足方程。同理圓在點處的切線方程為。而點在切線上，故有且。這說明點、的坐標滿足，因此切點弦的方程為。解法2由題意知，,，因此，點、在以為直徑的圓上。設點是以為直徑的圓上任意一點，則,得。即以為直徑的圓的方程為由題意知點、既在圓上，又在以為直徑的圓上，與相減得，因此切點弦的方程為。解法3當切線的斜率存在時，設切線斜率為，則過點的切線方程為，由得。由得，方程為，即，又，所以；同理圓在點處的切線方程為。而點在切線上，故有且。這說明點、的坐標滿足，因此直線的方程為。當切線的斜率不存在時，切點弦也滿足方程。說明：解法1利用性質(zhì)“圓心和切點的連線垂直于過該點的切線”，直接求出切線的斜率；解法3是從代數(shù)角度處理問題，利用直線和圓相切時的判別式求出斜率，它們后面的處理方法完全一樣。2解法的應用例1（2022廣東理20，文21）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線：的距離為。設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線,其中為切點。（1）求拋物線的方程；（2）當點為直線上的定點時，求直線的方程；（3）略。解：（1）過程略，拋物線的方程為；（2）拋物線的方程為，即，求導得。設，（其中，），則切線的斜率分別為，。所以切線的方程為，即。同理，可得切線的方程為。因為切線均過點，所以，。所以，為方程的兩組解。所以直線的方程為。說明：求切線的斜率時，可按照解法3的思路，聯(lián)立方程組，消元后由求出斜率為，只是這里的斜率能用求導公式直接求出，不需要聯(lián)立方程組而已。若把拋物線該為，則必須先聯(lián)立方程組，消元后由求出斜率。由上述解題過程知，當圓換成拋物線時，解法1和解法3仍然適用，而解法2則不適用。切點弦問題在高考試題中很常見,如:例2（2022遼寧文20，理20）：如圖（圖略），拋物線:，。點在拋物線上，過作的切線，切點為（為原點時，重合于）。當時，切線的斜率為。（1）求的值；（2）當在上運動時，求線段中點的軌跡方程（重合于時，中點為）。解：（1）；（2）同例1的解法得到切點弦的方程為，聯(lián)立與得。設，由點為的中點，得…=1\*GB3①，由點在直線上，得…=2\*GB3②，由點在上，得…=3\*GB3③。由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③消、得。因此中點的軌跡方程為。與參考答案相比，該解法思路簡單，易于掌握。同樣的，該題求切點弦的方程時，只適用于解法1和解法3。例3（2022江西理21）設點在直線上，過點作雙曲線的兩條切線、，切點為、，定點。（1）略；（2）求證：、、三點共線。證明：設，，切線的方程為，由得，從而，解得，因此的方程為：，同理的方程為：，又在、上，所以，，即點，都在直線上，即的方程為。又也在直線上，所以、、三點共線。說明：這里主要是求切點弦的問題。我們發(fā)現(xiàn)，不僅解法2不適用，解法1也不適用，因為沒有辦法直接求斜率，必須利用解法3的思路求解。3不同解法比較及求解策略首先，從難度來看，解法1的難點在于先求兩切點、處的切線方程，再利用點在切線上直接得到切點弦方程。解法2的難點在于，一是能看出點、在以為直徑的圓上，二是能順利寫出圓的方程，三是注意到是兩圓的公共弦，由兩圓方程相減得到直線的方程。解法3與解法1的區(qū)別是：解法3沒有直接寫出斜率，利用一元二次方程根的判別式求出斜率，其他相同。因此三種解法難度差不多，即便是圓的一般位置，處理起來也沒有多大區(qū)別。其次，從適用范圍來看，解法1或解法3不僅適用于直線和圓相切時切點弦的求法，也適用于直線與一般的圓錐曲線相切時切點弦的求法，解法2僅適用于直線和圓相切時切點弦的求法。因此，在求二次曲線的切點弦問題時，可遵循以下要求：若過圓外一點作圓的切線，則三種解法都可以，只是解法1和解法2相對簡潔一點。若過一般的二次曲線外一點作曲線的切線，則要具體情況具體對待，能直接求切點處斜率的，按照解法1的思路即可；不能直接求切點處斜率的，則要按照解法3的思路，聯(lián)立方程組，消元后由求斜率。再由曲線外一點是兩切線的公共點，寫出切點弦方程。讀者可以做下面兩道題，從中進一步體會三種解法適用范圍的不同。練習1（2022遼寧理9）過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為（）A.B.C.D.（三種解法均可，答案為A）練習2已知橢圓和圓。過圓上任一點作橢圓的兩條切線，兩切點、的連線與軸、軸分別相交于點、，求面積的最小值。（本題是把2022華約自主招生試題改編而成的，只解法3適用，切點弦的方程為，答案為）4高等數(shù)學背景曲線切點弦問題的知識背景是高等數(shù)學中圓錐曲線的極點和極線問題：已知圓錐曲線,則稱點和直線是圓錐曲線的一對極點和極線.若極點在曲線上,則極線就是曲線在點處的切線；若過極點可作曲線的兩條切線,、為切點,則極線就是直線。若利用極點和極線的有關(guān)性質(zhì)，則可以直接寫出切點弦方程。如本文開始的引例，極點相應的極線方程為，即為切點弦的方程。例1中曲線，極點相應的極線方程為，即。例2同例1，略。例3中曲線，極點相應的極線方程為，即。5結(jié)束語通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn),解法2(即新教材的處理方法)是最特殊的解法,只能適用于直線與圓相切的問題。解法1比解法2適用范圍更廣,只要切點的斜率能求即可,如文的兩個題目和本文的例1、例2。解法3的適用范圍最廣，只要是直線與二次曲線相切的問題，都可以求解。因此，這三種解法之間是特殊與一般的關(guān)系，我們要正確看待特殊方法與一般方法的關(guān)系。不僅要通過研究教材例題和習題，尋求解決一個問題的最優(yōu)途徑，更要透過現(xiàn)象看透本質(zhì)，尋求一類問題的普遍適用的解決方法，讓學生能觸類旁通，舉一反三。教材是教學的出發(fā)點和歸宿，作為教師，在教學中既不能全盤否定教材，另起爐灶；也不能過分盲從、迷信教材的權(quán)威，照本宣科。要有自己的理解和思考，用批判的眼光看待教材，創(chuàng)造性的使用教材。只有這樣，我們的課堂教學才會充滿生機和活力。作為學生，無須知道曲線切點弦的高等數(shù)學知識背景，也不能直接寫出切點弦的方程，必須利用他們所掌握的知識方法解決問題。但作為教師，不僅要知道切點弦問題