2023年高考數學二輪復習（高考22題）12+4分項練8立體幾何文

12＋4分項練8立體幾何1．(2023屆江西鷹潭一中月考)a，b為異面直線，以下結論不正確的選項是()A．必存在平面α使得a∥α，b∥αB．必存在平面α使得a，b與α所成角相等C．必存在平面α使得a?α，b⊥αD．必存在平面α使得a，b與α的距離相等答案C解析由a，b為異面直線知，在A中，在空間中任取一點O，過點O分別作a，b的平行線，那么由過點O的a，b的平行線確定一個平面α，使得a∥α，b∥α，故A正確；B中，平移b至b′與a相交，因而確定一個平面α，在α上作a，b′夾角的平分線，明顯可以做出兩條．過角平分線且與平面α垂直的平面使得a，b′與該平面所成角相等，角平分線有兩條，所以有兩個平面都可以．故B正確；在C中，當a，b不垂直時，不存在平面α使得a?α，b⊥α，故C錯誤；在D中，過異面直線a，b的公垂線的中點作與公垂線垂直的平面α，那么平面α使得a，b與α的距離相等，故D正確．應選C.2．直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下面四個命題：(1)α∥β?l⊥m；(2)α⊥β?l∥m；(3)l∥m?α⊥β；(4)l⊥m?α∥β.其中正確的命題是()A．(1)與(2)B．(1)與(3)C．(2)與(4)D．(3)與(4)答案B解析∵直線l⊥平面α，α∥β，∴l(xiāng)⊥平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)⊥m，故(1)正確；∵直線l⊥平面α，α⊥β，∴l(xiāng)∥平面β或l?平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)與m可能平行也可能相交，還可以異面，故(2)錯誤；∵直線l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直線m?平面β，∴α⊥β，故(3)正確；∵直線l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m?α，又∵直線m?平面β，那么α與β可能平行也可能相交，故(4)錯誤．應選B.3．(2023屆福建省廈門外國語學校適應性考試)如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點，用過點A，E，C1答案A解析取DD1中點F，連接AF，C1F平面AFC1E為截面．如下圖，所以上半局部的正視圖，如A選項，應選A.4．(2023屆甘肅高臺縣一中檢測)某三棱錐的三視圖如下圖，該三棱錐的外表積是()A．28＋6eq\r(5)B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5)D．60＋12eq\r(5)答案B解析畫出直觀圖如下圖，S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD＝eq\f(1,2)·2eq\r(5)eq\r()·6＋eq\f(1,2)·5·4＋eq\f(1,2)·5·4＋eq\f(1,2)·5·4＝30＋6eq\r(5).5．(2023屆云南省民族中學適應性考試)某幾何體的三視圖如下圖，其中俯視圖中圓的直徑為4，那么該幾何體的體積為()A.eq\f(4π,3)B.eq\f(16π,3)C．4πD．8π答案B解析由三視圖知，幾何體為圓柱挖去一個圓錐，且圓錐與圓柱的底面直徑都為4，高為2，故該幾何體的體積V＝π×22×2－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(16π,3)，應選B.6．(2023屆北京市海淀區(qū)二模)現有編號為①，②，③的三個三棱錐(底面水平放置)，俯視圖分別為圖1、圖2、圖3，那么至少存在一個側面與此底面互相垂直的三棱錐的所有編號是()A．①B．①②C．②③D．①②③答案B解析根據題意可得三個立體幾何圖形：由圖一可得側面ABD，ADC與底面垂直，由圖二可得面ACE垂直于底面，由圖三可知無側面與底面垂直，應選B.圖一圖二圖三7．(2023屆四川省宜賓市二診)三棱錐A—BCD內接于半徑為2的球O，BC過球心O，當三棱錐A—BCD體積取得最大值時，三棱錐A—BCD的外表積為()A．6＋4eq\r(3)B．8＋2eq\r(3)C．4＋6eq\r(3)D．8＋4eq\r(3)答案D解析由題意得，當底面△BCD為等腰直角三角形，且AO⊥底面BCD時，三棱錐A—BCD的體積最大，所以在等腰直角△BCD中，BC＝4，且BD＝CD＝2eq\r(2)，所以△BCD面積為S1＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4，△ABC的面積為S2＝eq\f(1,2)×4×2＝4，△ABD和△ACD是邊長為2eq\r(2)的等邊三角形，此時面積為S3＝S4＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3)，此時三棱錐的外表積為S＝S1＋S2＋2S3＝4＋4＋2×2eq\r(3)＝8＋4eq\r(3)，應選D.8．(2023·全國Ⅲ)圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，那么該圓柱的體積為()A．πB.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)答案B解析設圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構成直角三角形．∴r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).∴圓柱的體積為V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).應選B.

9．三棱錐S—ABC的各頂點都在一個球面上，△ABC所在截面圓的圓心O在AB上，SO⊥平面ABC，AC＝eq\r(3)，BC＝1，假設三棱錐的體積是eq\f(\r(3),3)，那么球體的外表積是()A．25πB.eq\f(25π,12)C.eq\f(125π,48)D.eq\f(25π,4)答案D解析由題意可知，△ABC為直角三角形，其中AB為斜邊，如下圖，那么球心位于直線SO上，設球心為O′，由三棱錐的體積公式，得V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(3)×1))×SO＝eq\f(\r(3),3)，解得SO＝2，如下圖，那么OO′2＋OC2＝O′C2＝O′S2，設OO′＝x，據此可得x2＋12＝(2－x)2，解得x＝eq\f(3,4)，球的半徑為R＝eq\r(\f(9,16)＋1)＝eq\f(5,4)，所以球的外表積為S＝4πR2＝eq\f(25,4)π.應選D.10.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，∠BAC＝60°，AC＝4，E為AA1的中點，點F為BE的中點，點H在線段CA1上，且A1H＝3HC，那么線段FH的長為()A．2eq\r(3)B．4C.eq\r(13)D．3答案C解析由題意知，AB＝8，過點F作FD∥AB交AA1于點D，連接DH，那么D為AE中點，FD＝eq\f(1,2)AB＝4，又eq\f(A1H,HC)＝eq\f(A1D,DA)＝3，所以DH∥AC，∠FDH＝60°，DH＝eq\f(3,4)AC＝3，由余弦定理得FH＝eq\r(42＋32－2×4×3×cos60°)＝eq\r(13)，應選C.

11．(2023屆河北省石家莊市?？?我國古代數學名著?九章算術?中“開立圓術〞曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑．“開立圓術〞相當于給出了球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈eq\r(3,\f(16,3)V)，人們還用過一些類似的近似公式，根據π＝3.14159…判斷，以下近似公式中最精確的一個是()A．d≈eq\r(3,\f(60,31)V)B．d≈eq\r(3,2V)C．d≈eq\r(3,\f(15,8)V)D．d≈eq\r(3,\f(21,11)V)答案D解析根據球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))3，得d＝eq\r(3,\f(6V,π))，設選項中的常數為eq\f(a,b)，那么π＝eq\f(6b,a)，選項A代入得π＝eq\f(31×6,60)＝3.1，選項B代入得π＝eq\f(6,2)＝3，選項C代入得π＝eq\f(6×8,15)＝3.2，選項D代入得π＝eq\f(11×6,21)＝3.142857，D選項更接近π的真實值，應選D.12．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D．2π答案C解析過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周而形成的旋轉體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如下圖，那么該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，應選C.13.(2023屆廣東省揭陽市調研)魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸局部(即榫卯結構)嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90°榫卯起來，如圖，假設正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現將該魯班鎖放進一個球形容器內，那么該球形容器的外表積的最小值為________．(容器壁的厚度忽略不計)答案41π解析外表積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1,2,6的長方體的外接球．設其半徑為R，R2＝32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(22＋12),2)))2＝eq\f(41,4)，所以該球形容器的外表積的最小值為4πR2＝41π.14.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側面BCC1B1是半球底面圓的內接正方形，那么側面ABB1A1答案eq\r(2)解析由題意知，球心在正方形的中心上，球的半徑為1，那么正方形的邊長為eq\r(2).∵三棱柱ABC—A1B1C1為直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴側面ABB1A1的面積為eq\r(2)×1＝eq\r(2).15．(2023屆云南省曲靖市第一中學月考)三棱錐O—ABC中，A，B，C三點均在球心為O的球面上，且AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，假設球O的體積為eq\f(256π,3)，那么三棱錐O—ABC的體積是________．答案eq\f(\r(5),4)解析三棱錐O—ABC中，A，B，C三點均在球心為O的球面上，且AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，那么AC＝eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×1×1×sin120°＝eq\f(\r(3),4)，設球半徑為R，由球的體積V1＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(256π,3)，解得R＝4.設△ABC外接圓的圓心為G，∴外接圓的半徑為GA＝eq\f(\r(3),2sin120°)＝1，∴OG＝eq\r(R2－GA2)＝eq\r(42－12)＝eq\r(15)，∴三棱錐O—ABC體積為V2＝eq\f(1,3)S△ABC·OG＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)·eq\r(15)＝eq\f(\r(5),4).16．(2023·河北省衡水中學二模)點M是棱長為3eq\r(2)的正方體ABCD—A1B1C1D1的內切球O球面上的動點，點N為B1C1上一點，2NB1＝NC1，DM⊥BN，那么動點M的軌跡的長度為________．答案eq\f(3\r(30),5)π解析由，要有DM⊥BN，如圖1，只需考慮DM在平面BCC1B1的射影CM1與BN垂直，由平面幾何知識可知M1為BB1靠近B點的三等分點，如圖2所示，此時，動點M的軌跡即為過CM1與平面BCC1B1垂直的平面α與球O面相交截得的圓，此時球心O到此圓面的距離，即為O1到CM1的距離O1H.由于CM1＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，BM1＝eq\r(2)，BC＝3eq\r(2)，O1C＝eq\f(1,2)×3×(eq\r(2))2＝3，所以sin∠BCM1＝eq\f(1,\r(10))，cos∠BCM1＝e