湖北省四市2023屆起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

第第頁(yè)湖北省四市2023屆高三起點(diǎn)考試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為() A． B． C． D．【答案】D【解析】2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則() A．3 B．4 C．5 D．25【答案】C【解析】3．已知，，是三個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是() A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】4．已知，，則() A． B． C． D．【答案】B【解析】5．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且，，，設(shè)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為() A．1078 B．1068 C．566 D．556【答案】A【解析】6．我國(guó)古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載：今有方雉下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭，令上方六尺，問(wèn)亭方幾何？大致意思：有一個(gè)正四棱雉下底邊長(zhǎng)為二丈，高三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺(tái)狀方亭，且正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為六尺，則該正四棱臺(tái)的體積是(注：1丈尺)() A．1946立方尺 B．3892立方尺 C．7784立方尺 D．11676立方尺【答案】B【解析】7．已知，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，，，則有() A． B． C． D．【答案】A【解析】8．一個(gè)袋子中裝有形狀大小完全相同的4個(gè)小球，其中2個(gè)黑球，2個(gè)白球．第一步：從袋子里隨機(jī)取出2個(gè)球，將取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再?gòu)拇永镫S機(jī)取出2個(gè)球，計(jì)第二步取出的2個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)為，則() A． B． C． D．【答案】D【解析】①計(jì)第一步取出兩個(gè)白球?yàn)槭录?，則，，，②計(jì)第一步取出兩球?yàn)橐缓谝话诪槭录?，則，，，③計(jì)第一步取出兩個(gè)黑球?yàn)槭录?，則，，，，故由全概率公式，，同理，，．另解：在第一步完成之后，服從超幾何分布，故．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法正確的是() A．?dāng)?shù)據(jù)7，4，2，9，1，5，8，6的第75百分位數(shù)為7 B．若，，則 C．已知，，若，則，相互獨(dú)立 D．根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)且犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)【答案】BC【解析】10．已知函數(shù)，則() A．的最大值為2 B．在上單調(diào)遞增 C．在上有4個(gè)零點(diǎn) D．把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【解析】11．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，點(diǎn)在橢圓外，點(diǎn)在橢圓上，則() A．橢圓的離心率的取值范圍是 B．當(dāng)隨圓的離心率為時(shí)，的取值范圍是 C．存在點(diǎn)使得 D．的最小值為1【答案】BCD【解析】12．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且是奇函數(shù)，設(shè)，，則以下結(jié)論正確的有() A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．若的導(dǎo)函數(shù)為，定義域?yàn)?，則 C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若，則【答案】BCD【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及的對(duì)稱性，在和處的切線也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其斜率總相等，故，是偶函數(shù)，對(duì)稱軸為，A錯(cuò)；由的對(duì)稱性，在和處的切線關(guān)于縱軸對(duì)稱，其斜率互為相反數(shù)，故，為奇函數(shù)，又定義域?yàn)?，，B對(duì)；，由為奇函數(shù)知為奇函數(shù)，圖像關(guān)于對(duì)稱，可以看作由按向量平移而得，故C對(duì)；由C選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，，由等差數(shù)列性質(zhì)，，以此類推倒序相加，D正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在中，是邊上的點(diǎn)，且，設(shè)，則_____．【答案】【解析】14．已知展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為_(kāi)______．【答案】【解析】15．已知圓：，過(guò)點(diǎn)作不過(guò)圓心的直線交圓于，兩點(diǎn)，則面積的取值范圍是________．【答案】【解析】16．在三棱錐中，底面，，，為的中點(diǎn)，球?yàn)槿忮F的外接球，是球上任一點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值是，則球的體積為_(kāi)_______．【答案】【解析】正中，為的中點(diǎn)，則，而平面，平面，即，而，，平面，則平面，平面，有，又，因此與的斜邊中點(diǎn)到點(diǎn)，，，的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點(diǎn)，從而點(diǎn)是三棱雉外接球球心，設(shè)球的半徑為，有，的外接圓圓心為的中點(diǎn)，設(shè)為，連接，則平面，如圖，則有，即到平面的距離為，因此到平面距離的最大值為，又，即有，解得，，，所以球的體積為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．(10分)已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，． (1)求； (2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)，，，，數(shù)列為等差數(shù)列，且，……3分又時(shí)，，，；……5分(2)，，，，兩式相減得，．……10分18．(12分)如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，其軸截面是正三角形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，點(diǎn)，是底面圓上不同的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線與圓錐底面所成角滿足． (1)求證：； (2)求二面角的正弦值．【解析】(1)，，取的中點(diǎn)，連接，．則，且，平面，平面，即為直線與平面所成角，，從而，由勾股定理得，在中，，所以，……3分平面，，由，平面，所以．……6分(2)以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，得，，，設(shè)平面、的法向量分別為，．由，令得，由，令得；所以，則二面角的正弦值為．……12分19．(12分)在中，內(nèi)角，，滿足． (1)求證：； (2)求最小值．【解析】(1)由正弦定理有，從而，則，所以，即有，；……6分(2)由(1)，有，則，……10分故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等．所以的最小值為3．……12分20．(12分)設(shè)某種植物幼苗從觀察之日起，第天的高度為，測(cè)得的一些數(shù)據(jù)如下表所示： (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷與哪一個(gè)更適宜作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(給出判斷即可，不需說(shuō)明理由)？ (2)根據(jù)(1)的判斷，建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，估計(jì)第100天幼苗的高度(估計(jì)的高度精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位)； (3)在作出的這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，甲同學(xué)隨機(jī)選取其中的4個(gè)點(diǎn)，記這4個(gè)點(diǎn)中幼苗的高度大于的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，其中為表格中所給的幼苗高度的平均數(shù)，試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程的斜率的最小二乘估計(jì)為．【解析】(1)，……2分(2)令，則，根據(jù)已知數(shù)據(jù)表得到如下表：，，……4分．……6分，故關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，……7分令，；……8分(3)這7天中幼苗高度大于的有4天，服從超幾何分布，其中，，，；；；所以隨機(jī)變量的分布列為：，……10分隨機(jī)變量的期望值．……12分21．(12分)已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)． (1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)已知，，是雙曲線上不同于的兩點(diǎn)，且，于，證明：存在定點(diǎn)，使為定值．【解析】(1)因?yàn)殡p曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；……4分(2)①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，設(shè)、，聯(lián)立與雙曲線，化簡(jiǎn)得，……5分，即，則有，，又，因?yàn)?，…?分所以，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以，，且均滿足，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，……9分②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性不妨設(shè)直線：，與雙曲線方程聯(lián)立解得，此時(shí)也過(guò)點(diǎn)，綜上，直線過(guò)定點(diǎn)，……10分由于，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，所以存在定點(diǎn)，使為定值．……12分22．(12分)已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． (1)當(dāng)時(shí)，設(shè)的最小值為，求證：； (2)求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，……1分由于，，故存在，使得，由基本初等函數(shù)性質(zhì)知，在遞增，所以當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，所以，設(shè)函數(shù)，，，故在遞減，，所以．……