理論力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程

理論力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日艦載飛機(jī)在發(fā)動(dòng)機(jī)和彈射器推力作用下從甲板上起飛

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題若已知初速度、一定的時(shí)間間隔后飛離甲板時(shí)的速度，則需要彈射器施加多大推力，或者確定需要多長(zhǎng)的跑道。若已知推力和跑道可能長(zhǎng)度，則需要多大的初速度和一定的時(shí)間隔后才能達(dá)到飛離甲板時(shí)的速度。第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題

棒球在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發(fā)生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。Fv1v2第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題載人飛船的交會(huì)與對(duì)接Av1Bv2第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題航空航天器的姿態(tài)控制第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題高速列車的振動(dòng)問(wèn)題第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日動(dòng)力學(xué)基本定律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題10質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日牛頓及其在力學(xué)發(fā)展中的貢獻(xiàn)

牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個(gè)中等農(nóng)戶家中。在他出生之前父親即去世，他不到三歲時(shí)母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。1661年牛頓進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)學(xué)士學(xué)位。在大學(xué)期間他全面掌握了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)和光學(xué)。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學(xué)校暫時(shí)停辦，他回到老家。這段時(shí)間中他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定律，開(kāi)始了光學(xué)中的顏色實(shí)驗(yàn)，即白光由7種色光構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)。而且由于一次躺在樹(shù)下看到蘋(píng)果落地開(kāi)始思索地心引力問(wèn)題。在30歲時(shí)，牛頓被選為皇家學(xué)會(huì)的會(huì)員，這是當(dāng)時(shí)英國(guó)最高科學(xué)榮譽(yù)。第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日★

牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說(shuō)?！锱ｎD在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，給出了二項(xiàng)式定理。★牛頓在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)，也是牛頓對(duì)整個(gè)自然科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)是他的巨著《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》。這本書(shū)出版于1687年，書(shū)中提出了萬(wàn)有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究成果，后人將這本書(shū)所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日10.1動(dòng)力學(xué)的基本定律第一定律(慣性定律)不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日10.1動(dòng)力學(xué)的基本定律第二定律(力與加速度關(guān)系定律)在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是守恒的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。上式是推導(dǎo)其它動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)，稱為動(dòng)力學(xué)基本方程。質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日10.1動(dòng)力學(xué)的基本定律國(guó)際計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)g＝9.80665m/s2，一般取g＝9.8m/s2在國(guó)際單位制(SI)中，長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量為基本量，它們的單位以米(m)、秒(s)和千克(kg)為基本單位。其它量均為導(dǎo)出量，它們的單位則是導(dǎo)出單位。在地球表面，任何物體都受到重力P的作用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用g表示。由第二定律有或第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日10.1動(dòng)力學(xué)的基本定律必須指出的是：質(zhì)點(diǎn)受力與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，但質(zhì)點(diǎn)的加速度與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標(biāo)都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系。第三定律（作用與反作用定律）兩個(gè)物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。

以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日10.2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影3.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影1.矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日10.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題第一類基本問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。這類問(wèn)題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問(wèn)題。第二類基本問(wèn)題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這類問(wèn)題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問(wèn)題。第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日10.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題1.力是常數(shù)或是時(shí)間的簡(jiǎn)單函數(shù)3.力是速度的簡(jiǎn)單函數(shù)，分離變量積分2.力是位置的簡(jiǎn)單函數(shù),利用循環(huán)求導(dǎo)變換第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例10.1例1如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知其運(yùn)動(dòng)方程為x＝acoswt，y＝asinwt，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F。ijvrF解：以質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象。分析運(yùn)動(dòng)：由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t，得質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)得：代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即可求得主動(dòng)力的投影為：力F與矢徑r共線反向，其大小正比于矢徑r的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。yxxbaOM第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例10.2

例2質(zhì)量為1Kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點(diǎn)A、B，如圖。已知小球以速度v＝2.5m/s在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的半徑r＝0.5m,求兩繩的拉力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，任一瞬時(shí)小球受力如圖。方向指向O點(diǎn)。MOrBA45o60o小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。B60oArOMmgFBFAvan第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

建立自然坐標(biāo)系得：解得：分析:由(1)、(2)式可得:因此，只有當(dāng)時(shí)，兩繩才同時(shí)受力。否則將只有其中一繩受力。B60oArOMmgFBFAvanbnt第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例10.3

例3從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計(jì)空氣阻力，求物體在重力單獨(dú)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：研究拋射體,列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程積分后得xyM初始條件為第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

軌跡方程為：由此可見(jiàn)，物體的軌跡是一拋物線。于是物體的運(yùn)動(dòng)方程為：確定出積分常數(shù)為：第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例10.4

例4垂直于地面向上發(fā)射一物體，求該物體在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)速度，并求第二宇宙速度。不計(jì)空氣阻力及地球自轉(zhuǎn)的影響。由于所以由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得：由于，將上式改寫(xiě)為解：以物體為研究對(duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)。質(zhì)點(diǎn)在任一位置受地球引力的大小為：第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

分離變量得：設(shè)物體在地面發(fā)射的初速度為v0，在空中任一位置x處的速度為v，對(duì)上式積分得所以物體在任意位置的速度為：可見(jiàn)物體的速度將隨x的增加而減小。第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日若v02<2gR，則物體在某一位置x＝R+H時(shí)速度將為零，此后物體將回落，H為以初速v0向上發(fā)射物體所能達(dá)到的最大高度。將x＝R+H及v＝0代入上式可得若v02>2gR，則不論x為多大，甚至為無(wú)限大時(shí)，速度v均不會(huì)減小為零，因此欲使物體向上發(fā)射一去不復(fù)返時(shí)必須具有的最小速度為若取g＝9.8m/s2，R＝6370km，代入上式可得這就是物體脫離地球引力范圍所需的最小初速度，稱為第二宇宙速度。第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例10.5

例5在重力作用下以仰角a初速度v0拋射出一物體。假設(shè)空氣阻力與速度成正比，方向與速度方向相反，即FR＝-Cv，C為阻力系數(shù)。試求拋射體的運(yùn)動(dòng)方程。解：以物體為研究對(duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。建立圖示坐標(biāo)。在任一位置質(zhì)點(diǎn)受力如圖。由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得因?yàn)関0vMFRmgOyxaq第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日將它們代入運(yùn)動(dòng)微分方程，并令，得：這是兩個(gè)獨(dú)立的線性二階常系數(shù)常微分方程，由常微分方程理論可知，它們的解為求導(dǎo)得其中，C1、C2、D1、D2為積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)初始條件確定。第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)t＝0時(shí)，x0＝0，y0＝0；vx0＝v0cosa，vy0＝v0sina代入以上四式，求得于是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為上式即為軌跡的參數(shù)方程，軌跡如圖所示。由第一式可知軌跡漸近線為。對(duì)于拋射體的射程：當(dāng)a較大時(shí)，，當(dāng)a較小時(shí)，由運(yùn)動(dòng)方程求。v0vMFRmgOyxaq第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

質(zhì)點(diǎn)的速度公式為由上式可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)的速度在水平方向的投影vx不是常量，而是隨著時(shí)間的增加而不斷減小，當(dāng)t→∞時(shí)，vx→∞；質(zhì)點(diǎn)的速度在y軸上的投影vy，隨著時(shí)間的增加，大小和方向都將變化，當(dāng)t→∞時(shí)，vx→g/m，方向鉛垂向下。因此，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后將鉛直向下作勻速運(yùn)動(dòng)。第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例10.6

例6如圖所示，一細(xì)常桿桿端有一小球M，其質(zhì)量為m，另一端用光滑鉸固定。桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量不計(jì)，桿在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)小球位于鉛垂位置，突然給小球一水平初速度v0，求桿處于任一位置q時(shí)對(duì)球的約束力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。建立圖示的自然坐標(biāo)。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知：qOlO1Sv0M(+)nt第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

（1）式是一常系數(shù)二階非線性微分方程，其解為橢圓積分，較為復(fù)雜。將其積分一次求出，代入（2）式即可求出FT。因?yàn)樗詑OlO1Sv0mgFTM(+)nt在任一位置質(zhì)點(diǎn)受力如圖。由自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得即第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

得：由初始條件：t＝0時(shí)，q0＝0，代入上式得將其代入（2）式，得下面將計(jì)算結(jié)果作進(jìn)一步的討論：第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

由(3)得此式表示桿在任意位置時(shí)球的速度。由此式可知:當(dāng)時(shí)小球才能作圓周運(yùn)動(dòng)，否則球作擺動(dòng)。(4)式給出約束力FT隨q角的變化規(guī)律。當(dāng)q＝0時(shí)，當(dāng)q＝p時(shí)，若令T=0，可由(4)式給出約束力為零時(shí)，桿的位置(設(shè)此時(shí)桿的位置用qA表示)所滿足的條件因此，要使T>0，必須滿足。第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日即若則因此，在區(qū)間范圍內(nèi)，總存在確定的qA值，使小球在這一點(diǎn)不受桿的作用。當(dāng)q<qA時(shí)，F(xiàn)T＞0，即小球受拉；當(dāng)q>qA時(shí)，F(xiàn)T＜0，即小球受壓。第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例10.7umgs例7：質(zhì)量為m長(zhǎng)為l的擺在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)。初始時(shí)小球的速度為u,=0。求繩作用在小球上的力F(),并分析小球的運(yùn)動(dòng)。解：1、取研究對(duì)象畫(huà)受力圖2、確定坐標(biāo)系3、建立微分方程4、求解5、分析小球運(yùn)動(dòng)Fn運(yùn)動(dòng)微分方程積分上式可得：第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8