2023年高考數學一輪復習第9章算法初步、統計與統計案例第3節(jié)統計圖表、數據的數字特征、用樣本估計總體學案文北師大版

第三節(jié)統計圖表、數據的數字特征、用樣本估計總體[考綱]1.了解分布的意義與作用，能根據概率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點.2.理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差.3.能從樣本數據中提取根本的數字特征(如平均數、標準差)，并做出合理的解釋.4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的根本數字特征估計總體的根本數字特征．理解用樣本估計總體的思想，會用樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題．(對應學生用書第137頁)[根底知識填充]1．統計圖表(1)統計圖表是表達和分析數據的重要工具，常用的統計圖表有條形統計圖、扇形統計圖、折線統計圖、莖葉圖等．(2)莖葉圖：莖葉圖不但可以保存所有的數據信息，而且可以隨時記錄，這對數據的記錄和表示都能帶來方便．莖葉圖中的“莖〞是指中間的一列數，“葉〞是從“莖〞的旁邊生長出來的數，是單個數字．2．頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數和組距，組距＝eq\f(極差,組數)；第二步：分組，通常對組內數值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表．(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖9-3-1)．圖9-3-1橫軸表示樣本數據，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內的頻率．(3)頻率分布折線圖頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖3．數據的數字特征數字特征定義眾數在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數中位數將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數．在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等平均數樣本數據的算術平均數，即eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中s為標準差[知識拓展]1．頻率分布直方圖的特點(1)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值，所以各小長方形高的比也就是頻率比．(2)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數據頻率分布的兩種形式，前者準確，后者直觀．2．計算方差的兩種方法(1)s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](2)s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)23．平均數、方差的公式推廣(1)假設數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數是meq\x\to(x)＋A．(2)數據x1，x2，…，xn的方差為s2.①數據x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數據ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.[根本能力自測]1．(思考辨析)判斷以下結論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢．()(2)一組數據的方差越大，說明這組數據越集中.()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數據落在該區(qū)間的頻率越高．()(4)莖葉圖一般左側的葉按從大到小的順序寫，右側的葉按從小到大的順序寫，相同的數據可以只記一次．()[解析](1)正確．平均數、眾數與中位數都在一定程度上反映了數據的集中趨勢．(2)錯誤．方差越大，這組數據越離散．(3)正確．小矩形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．(4)錯誤．莖相同的數據，葉可不用按從小到大的順序寫，相同的數據葉要重復記錄，故(4)錯誤．[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改編)假設某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖9-3-2所示，那么這組數據的中位數和平均數分別是()圖9-3-2A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92A[這組數據由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96.∴中位數是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數eq\x\to(x)＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.]3．(2023·南昌二模)如圖9-3-3所示是一樣本的頻率分布直方圖．假設樣本容量為100，那么樣本數據在[15,20)內的頻數是()圖9-3-3A．50 B．40C．30D．14C[因為[15,20]對應的小矩形的面積為1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以樣本落在[15,20]的頻數為0.3×100＝30，應選C．]4．(2023·江蘇高考)一組數據4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，那么該組數據的方差是________.【導學號：00090327】0．1[5個數的平均數eq\x\to(x)＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它們的方差s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.]5．(2023·山東高考)如圖9-3-4所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據(單位：件)．假設這兩組數據的中位數相等，且平均值也相等，那么x和y的值分別為()圖9-3-4A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7A[甲組數據的中位數為65，由甲、乙兩組數據的中位數相等得y＝5.又甲、乙兩組數據的平均值相等，∴eq\f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.應選A．](對應學生用書第138頁)莖葉圖及其應用(2023·沈陽模擬)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民．根據這50位市民對這兩部門的評分(評分越高說明市民的評價越高)，繪制莖葉圖如圖9-3-4：圖9-3-5(1)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數；(2)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率；(3)根據莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價．[解](1)由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故樣本中位數為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數的估計值是75.3分50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故樣本中位數為eq\f(66＋68,2)＝67，所以該市的市民對乙部門評分的中位數的估計值是67.5分(2)由所給莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為eq\f(5,50)＝0.1，eq\f(8,50)＝0.16，故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1,0.16. 8分(3)由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數高于對乙部門的評分的中位數，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大．12分[規(guī)律方法]1.莖葉圖的優(yōu)點是保存了原始數據，便于記錄及表示，能反映數據在各段上的分布情況．2．(1)作樣本的莖葉圖時，先要根據數據特點確定莖、葉，再作莖葉圖；作“葉〞時，要做到不重不漏，一般由內向外，從小到大排列，便于數據的處理．(2)根據莖葉圖中數據的數字特征進行分析判斷，考查識圖能力、判斷推理能力和創(chuàng)新應用意識；解題的關鍵是抓住“葉〞的分布特征，準確提煉信息．[變式訓練1](2023·雅禮中學質檢)甲、乙兩組數據如莖葉圖9-3-6所示，假設兩組數據的中位數相同，平均數也相同，那么m＋n＝________.圖9-3-611[∵兩組數據的中位數相同，∴m＝eq\f(2＋4,2)＝3.又∵兩組數據的平均數也相同，∴eq\f(27＋33＋39,3)＝eq\f(20＋n＋32＋34＋38,4)，∴n＝8，因此m＋n＝11.]頻率分布直方圖角度1利用分布直方圖求頻率、頻數(2023·山東高考)某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖9-3-7所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30]，樣本數據分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是()圖9-3-7A．56 B．60C．120D．140D[由直方圖可知每周自習時間不少于22.5小時的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，那么每周自習時間不少于22.5小時的人數為0.7×200＝140.應選D．]角度2用頻率分布直方圖估計總體(2023·四川高考)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)．將數據按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖9-3-8所示的頻率分布直方圖．【導學號：00090328】圖9-3-8(1)求直方圖中a的值；(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，說明理由；(3)估計居民月均用水量的中位數．[解](1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3，3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06，0．04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0．04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30. (2)由(1)知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數為300000×0.12＝36000.8分(3)設中位數為x噸．因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5. 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估計居民月均用水量的中位數為2.04噸.12分[規(guī)律方法]1.準確理解頻率分布直方圖的數據特點，頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距的結果，易誤認為縱軸上的數據是各組的頻率．2．(1)例3－2中抓住頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，這是解題的關鍵．(2)利用樣本的頻率分布估計總體分布．[變式訓練2](2023·北京高考)某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖．圖9-3-9(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；(2)樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區(qū)間[40,50)內的人數；(3)樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．[解](1)根據頻率分布直方圖可知，樣本中分數不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，2分所以樣本中分數小于70的頻率為1－0.6＝0.4，3分所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數小于70的概率估計為0.4.4分(2)根據題意，樣本中分數不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，6分分數在區(qū)間[40,50)內的人數為100－100×0.9－5＝5，7分所以總體中分數在區(qū)間[40,50)內的人數估計為400×eq\f(5,100)＝20.8分(3)由題意可知，樣本中分數不小于70的學生人數為(0.02＋0.04)×10×100＝60，9分所以樣本中分數不小于70的男生人數為60×eq\f(1,2)＝30，所以樣本中的男生人數為30×2＝60，10分女生人數為100－60＝40，所以樣本中男生和女生人數的比例為60∶40＝3∶2，所以根據分層抽樣原理，估計總體中男生和女生人數的比例為3∶2.12分樣本的數字特征(1)樣本數據x1，x2，…，xn的均值eq\x\to(x)＝5，那么樣本數據2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值為________．(2)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組．為了比擬他們的研發(fā)水平，現隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產品的結果如下：(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(a，b)，(eq\x\to(a)，b)，(eq\x\to(a)，eq\x\to(b))，(a，b)，(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，eq\x\to(b))，(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，b)．其中a，eq\x\to(a)分別表示甲組研發(fā)成功和失??；b，eq\x\to(b)分別表示乙組研發(fā)成功和失?。偌僭O某組成功研發(fā)一種新產品，那么給該組記1分，否那么記0分．試計算甲、乙兩組研發(fā)新產品的成績的平均數和方差．并比擬甲、乙兩組的研發(fā)水平；②假設該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產品，試估計恰有一組研發(fā)成功的概率．(1)11[由條件知eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，那么所求均值eq\x\to(x)0＝eq\f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq\f(2x1＋x2＋…＋xn＋n,n)＝2eq\x\to(x)＋1＝2×5＋1＝11.](2)①甲組研發(fā)新產品的成績?yōu)?,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均數為eq\x\to(x)甲＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).3分方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,15)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×10＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×5))＝eq\f(2,9).乙組研發(fā)新產品的成績?yōu)?,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均數為eq\x\to(x)乙＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).方差seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,15)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))2×9＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,5)))2×6))＝eq\f(6,25).因為eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組.6分②記E＝{恰有一組研發(fā)成功}．在所抽得的15個結果中，恰有一組研發(fā)成功的結果是(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，共7個．因此事件E發(fā)生的概率為eq\f(7,15).用頻率估計概率，即得所求概率為P(E)＝eq\f(7,15).12分[規(guī)律方法]1.平均數反映了數據的中心，是平均水平，而方