電磁場(chǎng)與電磁波習(xí)題答案第9章

第九章9-1推導(dǎo)式（9-1-4）。解已知在理想介質(zhì)中，無源區(qū)內(nèi)的麥克斯韋旋度方程為，令則，將上式代入旋度方程并考慮到，可得整理上述方程，即可獲得式（9-1-4）。9-2推導(dǎo)式（9-2-17）。解對(duì)于波，。應(yīng)用分離變量法，令由于滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程，得此式要成立，左端每項(xiàng)必須等于常數(shù)，令；顯然，。由上兩式可得原式通解為根據(jù)橫向場(chǎng)與縱向場(chǎng)的關(guān)系式可得因?yàn)楣鼙谔庪妶?chǎng)的切向分量應(yīng)為零，那么，TE波應(yīng)該滿足下述邊界條件：；將邊界條件代入上兩式，得故的通解為其余各分量分別為9-3試證波導(dǎo)中的工作波長(zhǎng)、波導(dǎo)波長(zhǎng)與截止波長(zhǎng)之間滿足下列關(guān)系解已知波導(dǎo)中電磁波的波長(zhǎng)為則即9-4已知空氣填充的矩形波導(dǎo)尺寸為充介質(zhì)以后，傳輸模式有無變化？為什么？，若工作頻率，則，給出可能傳輸?shù)哪Ｊ?。若填解?dāng)內(nèi)部為空氣時(shí)，工作波長(zhǎng)為截止波長(zhǎng)為那么，能夠傳輸?shù)碾姶挪úㄩL(zhǎng)應(yīng)滿足的m，n數(shù)值列表如下：，若令，則k應(yīng)滿足。滿足此不等式0.25122.253.254141.254.25由此可見，能夠傳輸?shù)哪Ｊ綖樘畛浣橘|(zhì)以后，已知介質(zhì)中的波長(zhǎng)為模式外，還可能傳輸其它高次模式。，可見工作波長(zhǎng)縮短，傳輸模式增多，因此除了上述傳輸9-5已知矩形波導(dǎo)的尺寸為，若在區(qū)域中填充相對(duì)介電常數(shù)為的理想介質(zhì)，在區(qū)域中為真空。當(dāng)TE10波自真空向介質(zhì)表面投射時(shí)，試求邊界上的反射波與透射波。解已知波導(dǎo)中沿軸傳輸?shù)牟ǖ碾妶?chǎng)強(qiáng)度為那么，反射波和透射波的電場(chǎng)強(qiáng)度可分別表示為；式中；考慮到邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量必須連續(xù)的邊界條件，因而在處，獲知根據(jù)波阻抗公式，獲知z<0和z>0區(qū)域中的波阻抗分別為將場(chǎng)強(qiáng)公式代入，得，；，根據(jù)上述邊界條件，得那么，處的反射系數(shù)及透射系數(shù)分別為;反射波與透射波的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為;根據(jù)，可得反射波的磁場(chǎng)強(qiáng)度為根據(jù)，可得透射波的磁場(chǎng)強(qiáng)度9-6試證波導(dǎo)中時(shí)均電能密度等于時(shí)均磁能密度，再根據(jù)能速定義，導(dǎo)出式（9-4-9）。解在波導(dǎo)中任取一段，其內(nèi)復(fù)能量定理式（7-11-14）成立?？紤]到波導(dǎo)為理想導(dǎo)電體，內(nèi)部為真空，因此內(nèi)部沒有能量損耗。因此式（7-11-14）變?yōu)橐驗(yàn)榱鬟M(jìn)左端面的能量應(yīng)該等于流出右端面的能量，故上式左端面積分為零，因而右端體積分為零。但是右端被積函數(shù)代表能量，只可能大于或等于零，因此獲知已知能速的定義為，對(duì)于TE波，波導(dǎo)中平均能量密度為波導(dǎo)中能流密度平均值僅與場(chǎng)強(qiáng)的橫向分量有關(guān)。對(duì)于TE波，能流密度的平均值為波導(dǎo)中電場(chǎng)和磁場(chǎng)的橫向分量關(guān)系為將上述結(jié)果代入，求得TE波的能速為同理對(duì)于TM波也可或獲得同樣結(jié)果。9-7試證波導(dǎo)中相速與群速的關(guān)系為解根據(jù)群速的定義，對(duì)于波導(dǎo)，。又知波導(dǎo)的相位常數(shù)與相速的關(guān)系為，則根據(jù)波導(dǎo)波長(zhǎng)與相位常數(shù)的關(guān)系，得則9-8推導(dǎo)式（9-6-3）解將麥克斯韋旋度方程，在圓柱坐標(biāo)系中展開，得將代入上式，并考慮到，得；；；；上式整理后，即可求得橫向分量的表示式為其中9-9推導(dǎo)式（9-6-18）解對(duì)于TE波，建立圓柱坐標(biāo)系，滿足的亥姆霍茲方程為，代入上式，得令令方程兩邊等于，獲得下述兩個(gè)常微分方程：其中由于的通解為隨角度的變化周期為2，因此，必須為整數(shù)。即式中m=1,2,3?？紤]到圓波導(dǎo)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，的坐標(biāo)軸可以任意確定，總可適當(dāng)選擇的坐標(biāo)軸，使上式中的第一項(xiàng)或第二項(xiàng)消失，因此，上式可表示為的通解為考慮到圓波導(dǎo)中心處的場(chǎng)應(yīng)為有限，但時(shí)，，故常數(shù)，即。因此的通解為那么，根據(jù)圓波導(dǎo)的橫向分量的縱向場(chǎng)分量表示式，即可求得各個(gè)分量的表示式。9-10已知空氣填充的圓波導(dǎo)直徑，若工作頻率，給出可能傳輸?shù)哪Ｊ?，若填充相?duì)介質(zhì)常數(shù)的介質(zhì)以后，再求可能傳輸?shù)哪Ｊ?。解?dāng)圓波導(dǎo)內(nèi)為空氣時(shí)，工作波長(zhǎng)為已知TM波的截止波長(zhǎng)為，因此能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄?duì)應(yīng)的第一類柱貝塞爾的根Pmn必須滿足下列不等式由教材表9-6-1可見，滿足上述條件的只有P01因此只有波存在。TE波的截止波長(zhǎng)為，那么能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄?duì)應(yīng)的第一類柱貝塞爾的導(dǎo)數(shù)根必須滿足下列不等式由教材表9-6-2可見，滿足上述條件的只有和，因此只有和波可以傳輸。填充介電常數(shù)為理想介質(zhì)后，工作波長(zhǎng)為，則能夠傳輸?shù)腡M模式對(duì)應(yīng)的第一類柱貝塞爾的根Pmn必須滿足下列不等式由教材表9-6-1可見，滿足上述條件的模式為。能夠傳輸?shù)腡E模式對(duì)應(yīng)的第一類柱貝塞爾的導(dǎo)數(shù)根必須滿足下列不等式那么，由原書表9-6-2可見，滿足上述條件的模式為。9-11當(dāng)比值）。為何值時(shí)，工作于主模的矩形波導(dǎo)中波導(dǎo)壁產(chǎn)生的損耗最小？（指獲得最小衰減常數(shù)波時(shí)，其衰減常數(shù)為解當(dāng)矩形波導(dǎo)傳播式中A僅與波導(dǎo)的參數(shù)有關(guān)。令，則求k的最小值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，解此方程，得的最小值問題。由，得若取，則。由于，則。故不合理。應(yīng)取即得9-12已知空氣填充的銅質(zhì)矩形波導(dǎo)尺寸為，工作于主模，工作頻率。試求：①截止頻率、波導(dǎo)波長(zhǎng)及衰減常數(shù)；②當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)振幅衰減一半時(shí)的距離。解當(dāng)工作于主模波導(dǎo)波長(zhǎng)為波時(shí)，則截止頻率為因矩形波導(dǎo)為空氣填充，故僅需考慮波導(dǎo)壁產(chǎn)生的衰減，則衰減常數(shù)為對(duì)于銅制波導(dǎo)，波導(dǎo)壁表面電阻，則設(shè)場(chǎng)強(qiáng)衰減一半時(shí)的距離為d，由，求得9-13已知空氣填充的銅質(zhì)圓波導(dǎo)直徑，工作于主模，工作頻率，試求，①截止頻率、波導(dǎo)波長(zhǎng)及衰減常數(shù)；②當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)衰減一半的距離。解當(dāng)圓波導(dǎo)工作于主模波時(shí)，則截止頻率為波導(dǎo)波長(zhǎng)為由于波導(dǎo)是空氣填充,因此只需考慮波導(dǎo)壁的損耗。根據(jù)衰減常數(shù)的定義，求得其中波導(dǎo)壁表面電阻波數(shù)傳播常數(shù)截止傳播常數(shù)，那么，求得，