2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練《任意角和弧度制》（含答案）

2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練《任意角和弧度制》一、單選題（本大題共12小題，共60分）1.（5分）數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對螺旋線有著濃厚的興趣，用以下方法畫出了如圖所示的螺旋線.具體作法是：先作邊長為1的正三角形ABC，分別記射線AC，BA，CB為l1，l2，l3，以C為圓心、CB為半徑作劣弧BC1?交l1于點(diǎn)C1；以A為圓心、AC1為半徑作劣弧C1A1?交l2于點(diǎn)A1；以B為圓心、BA1為半徑作劣弧A1B1?交l3于點(diǎn)B1，…，依此規(guī)律作下去，就得到了一系列圓弧形成的螺旋線.記劣弧BC1?的長，劣弧C1A1?A.30π B.45π C.60π D.65π2.（5分）tanθ<0，且cosθ>0，則θA.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角3.（5分）手表時(shí)針走過2小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為（）A.60° B.-60° C.30° D.-30°4.（5分）若sinθ.cosθ>0，則角θA.二、四 B.一、二

C.一、三 D.一、四5.（5分）若角α=-4，則α的終邊在A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限6.（5分）已知圓心角為135°的扇形的面積為6π，則該扇形的弧長為(A.3π B.322π C.7.（5分）若角α終邊在第二象限，則π-αA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.（5分）下列與-5π?

A.π4 B.3π4 C.9.（5分）若一圓弧長等于它所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則該弧所對的圓心角弧度數(shù)為(A.π3 B.3 C.2π310.（5分）寫出終邊在直線y=x上的角的集合，下列表示中不正確的是（）A.{β|β=±45°+k?360°，k∈Z}

B.{β|β=225°+k?180°，k∈Z}

C.{β|β=45°-k?180°，k∈Z}

D.{β|β=-135°+k?180°，k∈Z}11.（5分）已知扇形的弧長是4，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)的絕對值是(

)A.1?????????? B.2?????????? C.4?????????? D.12.（5分）若α為第四象限角，則(A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α二、填空題（本大題共5小題，共25分）13.（5分）已知扇形的圓心角為2，周長為6.則這個(gè)扇形的面積為______．14.（5分）已知某扇形的面積為4cm2，周長為8cm，則此扇形圓心角的弧度數(shù)是______；若點(diǎn)(a,9)在函數(shù)y=15.（5分）“圓材埋壁”是我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題，現(xiàn)有一個(gè)“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為1，截面圓圓心為O，墻壁截面ABCD為矩形，且AD=1，則扇形OAD的面積是______.

16.（5分）已知扇形的面積為4cm2，該扇形圓心角的弧度數(shù)是12，則扇形的周長為17.（5分）在區(qū)間[–4π,–2π]上，與角三、解答題（本大題共6小題，共72分）18.（12分）某公司擬設(shè)計(jì)一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后通過點(diǎn)O的兩條線段圍成．設(shè)圓弧??AB、??CD所在圓的半徑分別為r1、r2米，圓心角為θ(1)若θ=2π?3，(2)根據(jù)公司要求扇環(huán)形狀的花壇面積為32平方米，已知扇環(huán)花壇的直線部分的裝飾費(fèi)用為45元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為90元/米，求當(dāng)裝飾費(fèi)用最低時(shí)線段AD的長．19.（12分）寫出與α=-1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式-720°≤β＜360°的元素β寫出來．20.（12分）已知一扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為R．?

(1)若α=60°，R=10cm，求扇形的弧長及扇形面積；?

(2)若扇形的周長為21.（12分）某柱體實(shí)心銅制零件的截面邊長是長度為55毫米線段AB和88毫米的線段AC以及圓心為P，半徑為PB的一段圓弧BC構(gòu)成，其中∠BAC=60°.?

(1)求半徑PB的長度；?

(2)現(xiàn)知該零件的厚度為3毫米，試求該零件的重量(每1個(gè)立方厘米銅重8.9克，按四舍五入精確到0.1克).22.（12分）在與530°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．?

（1）最大的負(fù)角；?

（2）最小的正角；?

（3）-720°到-360°的角．23.（12分）如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角∠POQ=π3，A是半徑OP上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形OPQ，且OA=OD.?

(1)若∠BOP=α，求線段四、多選題（本大題共5小題，共25分）24.（5分）如圖A(2,0)，B(1,1)，C(-1,1)，D(-2,0)，CD?是以O(shè)D為直徑的圓上一段圓弧，CB?是以BC為直徑的圓上一段圓弧，BA?是以A.曲線Ω與x軸圍成的面積等于32π

B.CB?與BA?的公切線方程為：x+y-1-2=0

C.AB?25.（5分）若2014=2a1+2a2+…+2an，其中a1，aA.y<0<x B.z<x26.（5分）已知角α是銳角，則(A.2α是小于180°的正角

B.180°+α是第三象限角

C.α2是銳角

D.27.（5分）θ是第一象限角，則θ3可能是A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角28.（5分）下列說法不正確的是()A.三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角

B.第一象限角必是銳角

C.不相等的角終邊一定不相同

D.若角α，β滿足β=α+k·360

答案和解析1.【答案】A;【解析】解：由題意可知，第n個(gè)劣弧的半徑為n，圓心角為2π3，?

所以第n個(gè)劣弧的弧長an=2π3.n=2nπ3，?

所以a1+a2+…+a9=2π3×(1+2+…+9)=2.【答案】D;【解析】解：∵tanθ<0，∴θ為第二或第四象限的角，?

又cosθ>0，∴θ為第四象限的角．?

故選：D.?

由tanθ<0得θ為第二或第四象限的角，再由cosθ>03.【答案】B;【解析】解：由于時(shí)針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù)數(shù)．?

212×(-360°)=-60°，?

故選B．

4.【答案】C;【解析】本題的考點(diǎn)是三角函數(shù)值得符號判斷，需要利用題中三角函數(shù)的不等式和“一全正二正弦三正切四余弦”對角的終邊位置進(jìn)行判斷．根據(jù)題中條件：“sinθ?cosθ>0”得出三角函數(shù)sinθ，由sinθ?cosθ>0知，角θ的正弦值和余弦值同號，即θ是第一或第三象限．

5.【答案】C;【解析】?

該題考查象限角與軸線角的概念，是基礎(chǔ)的概念題．?

直接由-3π2<-4<-π可知α=-4的終邊在第二象限．?

解：∵-3π2<-4<-6.【答案】A;【解析】?

此題主要考查角度制和弧度制的互化、扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.?

將角度轉(zhuǎn)化為弧度，利用扇形的面積公式即可求出弧長.?

解：設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.?

因?yàn)樯刃蔚膱A心角為135°，所以弧度數(shù)為α=34π，?

又因?yàn)樯刃蔚拿娣e為6π，面積公式S=12αR2，?

即6π7.【答案】A;【解析】解：∵α終邊在第二象限，?

∴2kπ+π2<α<2kπ+π，k∈Z，?

則-2kπ-π<-α<-2kπ-8.【答案】B;【解析】此題主要考查了終邊相同角的概念，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．解：∵與-5π4取k=1，得α=3π4，∴故選B.9.【答案】B;【解析】解：如圖所示，?

ΔABC是半徑為r的⊙O的內(nèi)接正三角形，?

則BC=2CD=2rsinπ3=3，?

設(shè)圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為α，?

則rα=3，?

解得α=3．?

故選：B．?

如圖所示，ΔABC是半徑為r10.【答案】A;【解析】解：終邊在直線y=x上的角的集合：{β|β=45°+n?180°，n∈Z}；?

當(dāng)n=k+1時(shí){β|β=225°+k?180°，k∈Z}，B正確；?

當(dāng)n=k-1時(shí){β|β=-135°+k?180°，k∈Z}D正確；?

當(dāng)n=-k時(shí){β|β=45°-k?180°，k∈Z}C正確；?

所以A不正確，A表示終邊在±45°相同的角度集合．?

故選A

11.【答案】C;【解析】?

此題主要考查扇形面積、扇形的弧長公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．?

利用扇形的面積求出扇形的半徑，然后求出扇形的圓心角，從而可得．?

【解析】?

解：因?yàn)樯刃蔚幕￠L為4，面積為2，?

所以扇形的半徑為：12×4×r=2，解得：r=1，?

則扇形的圓心角的弧度數(shù)為41=4.?

故扇形的圓心角的弧度數(shù)的絕對值是4?

12.【答案】D;【解析】?

該題考查了角的符號特點(diǎn)，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．?

根據(jù)二倍角公式即可判斷．?

解：α為第四象限角，?

則sinα<0，cosα>0，?

則sin2α=2sinαcosα<0，?13.【答案】94【解析】?

該題考查扇形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．?

設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，由題意可求它們的值，代入扇形的面積公式可得．?

解：設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，?

則可得l+2r=6lr=2，解得：r=32l=3，14.【答案】2；{x|【解析】?

該題考查弧度的定義、扇形的面積公式，考查三角不等式，屬于基礎(chǔ)題．?

設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑為r，弧長為l，面積為S，由面積公式和周長可得到關(guān)于l和r的方程組，求出l和r，由弧度的定義求α即可；求出a，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)論．?

解：設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑為r，弧長為l，面積為S，?

則S=12(8-2r)r=4，?

即r2-4r+4=0，解得r=2，?

則l=4，|α|=lr=2；?

若點(diǎn)(a,9)在函數(shù)y=3x的圖象上，則3a=9，可得a=2，?

不等式sin2x15.【答案】π6【解析】解：∵圓柱形材料的底面半徑為1，截面圓圓心為O，墻壁截面ABCD為矩形，且AD=1，?

∴∠DOA=π3，?

∴扇形OAD的面積是：12r2?α=π16.【答案】10;【解析】?

該題考查扇形面積公式，關(guān)鍵在于掌握弧長公式，扇形面積公式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．?

設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，利用弧長公式，扇形的面積公式可求r，即可得解周長的值．?

解：設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，?

∵扇形圓心角的弧度數(shù)是12，?

∴l(xiāng)=12r，?

∵S扇=12lr=4，?

∴12?12r?r=417.【答案】-17π【解析】?

此題主要考查任意角的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．?

利用終邊相同角的概念即可求解．?

解：因?yàn)椋?π6-4π=-17π6∈[-4π,-2π]，?

所以：與角18.【答案】解：(1)設(shè)花壇的面積為S平方米，?

則S=12r22θ-12r12θ?

=12×36×2π3-12×9×2π3=9π，?

所以花壇的面積為9πm2.?

(2)AB的長為r1θ米，CD?的長為r2θ米，線段AD的長為r2-r1米，?

由題意知：?

S=12r【解析】此題主要考查的是弧長公式及扇形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.?

(1)結(jié)合扇形面積公式求解即可；?

(2)先求出費(fèi)用y=45×2r2-r1+90r2θ19.【答案】解：與α=-1910°終邊相同的角的集合為{β|β=-1910°+k?360°，k∈Z}．?

取k=4時(shí)，β=-470°；取k=5，β=-110°；取k=6，β=250°．;【解析】把α=-1910°加上k?360°可得與α=-1910°終邊相同的角的集合，分別取k=4，5，6求得適合不等式-720°≤β＜360°的元素β．

20.【答案】解：（1）根據(jù)題意得：α=60°???????=π3，?

∴l(xiāng)=αR=10π3cm?

S扇形=nπR2360=60π×102360=50π3（cm2）．?

（2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則?

l+2r=8，即l=8-2r（0＜r＜4）．?

扇形的面積S=12lr，將上式代入，?

得S=12（8-2r）r=-r2+4r=-（r-2）2+4，?

∴當(dāng)且僅當(dāng)r=2時(shí)，S有最大值4【解析】該題考查了扇形面積的計(jì)算，考查扇形的周長，半徑、圓心角，面積之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．?

(1)直接利用扇的形面積公式S扇形=nπR2360直接計(jì)算．?

(2)21.【答案】解：(1)∵AB=55，AC=88，BP=R，∠BAC=60°.AP=88-R，?

∴在ΔABP中，由余弦定理可得：BP2=AB2+AP2-2AB?AP?cos∠BAC，可得：R2=552+(88-R)【解析】?

(1)在ΔABP中，由余弦定理建立方程，即可求半徑PB的長度；?

(2)求出V柱=S底22.【答案】解：∵與530°終邊相同的角為：170°+k?360°，k∈Z，?

∴（1）當(dāng)k=-1時(shí)，得到最大的負(fù)角為：170°-360°=-190°，?

（2）當(dāng)k=0時(shí)，得到最小的正角為170°，?

（3）當(dāng)k=-2時(shí)，得到-720°到-360°的角為：170°-2×360°=-550°．;【解析】與530°終邊相同的角為：170°+k?360°，k∈Z，由此能求出最大的負(fù)角、最小的正角和-720°到-360°的角．

23.【答案】解：（1）∵∠POQ=π3且OA=OD，?

∴△AOD為等邊三角形，?

∴∠DAO=π3，?

又四邊形ABCD為矩形，∠DAB=π2，?

∴∠BAP=π6?

在扇形OPQ中，半徑OP=1．?

過B作OP的垂線，垂足為N，?

∴BN=OBsinα=sinα，?

在△ABN中，AB=BNsin∠BAP=BNsinπ6=2sinα?

（2）矩形ABCD面積S=|AB∥AD|，設(shè)∠BOP=α，?

由（1）可知|AB|=2sinα，|BN|=sinα，|ON|=|OB|cosα=cosα，【解析】?

(1)直接利用三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用求出AB的長；?

(2)利用矩形的面積和三角函數(shù)關(guān)系式的變換的和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．?

此題主要考查的知識要點(diǎn)：解三角形知識的應(yīng)用，矩形的面積公式的應(yīng)用，三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．

24.【答案】BC;【解析】解：根據(jù)題意：圓弧AB表示為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓的周長的14．?

圓弧BC表示為以(0,1)為圓心，1為半徑的圓的周長的12．?

圓弧CD是以(-1,0)為圓心，1為半徑的圓的周長的14．?

所