第二十四章時(shí)間序列模型

第二十四 時(shí)間序列模的概率分布與時(shí)間t無(wú)關(guān)，則稱該序列為嚴(yán)格的（狹義的）平穩(wěn)時(shí)間序列。如果序列的一、二階矩存在，而且對(duì)任意時(shí)刻t滿足：協(xié)方差為時(shí)間間隔的函數(shù)。 通常用Tt表示長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)，St表示季節(jié)變動(dòng)趨勢(shì)項(xiàng)，Ct表示循環(huán)變動(dòng)趨勢(shì)項(xiàng)，Rt

TtStCtTtStCtTtStStTtCtyE(R0E(R22 tM(1)t

N(ytyt

LytN11(

1(L )

)M(1) (y

t

t

t

t ytN M(1)

1(

L

)，tN,N1,L,T t

tN(y?y(y?y2 tN T最近N期序列值的平均值作為未來(lái)各期的預(yù)測(cè)結(jié)果。一般N取值范圍：5N200。當(dāng)歷史序列的基本趨勢(shì)變化不大且序列中隨動(dòng)成分較多時(shí)，N的N的取值應(yīng)小一些。在有確定的季節(jié)變動(dòng)周期的資料中，移動(dòng)N值的一個(gè)有效方法是，比較若干模型的預(yù)測(cè)誤11月～1111企業(yè)銷售收月份123456月份789解：分別取N4N5y?y?

ytyt1yt2yt3，t4,5,L,11ytyt1yt2yt3yt4，t5( y2tt( y2tt1S 1

11

) y? y?y2t 11銷售收入為993.6。 for%由于n的取值不同，yhat的長(zhǎng)度不一致，下面使用了細(xì)胞數(shù)組s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-2.2移動(dòng)平均在簡(jiǎn)單移動(dòng)平均中，每期數(shù)據(jù)在求平均時(shí)的作用是等同的。但是，每期數(shù)據(jù)設(shè)時(shí)間序列為y1,y2,L,yt,L；移動(dòng)平均 w1ytw2y2LwNytN1，t w1w2L即以第t期移動(dòng)平均數(shù)作為第t1期的預(yù)測(cè)值

例2 我國(guó)1979～1988年原煤產(chǎn)量如表2所示試用移動(dòng)平均法預(yù)測(cè)1989年表2我國(guó)原煤產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值年三年移動(dòng)平均預(yù)測(cè)相對(duì)誤差w13,w22,w31

3yt2yt1yt32計(jì)算三年移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值，其結(jié)果列于表2中。1989年我國(guó)原煤產(chǎn)量的預(yù)測(cè)

39.829.288.94619826.666.235

y100%y

)100%1

y=[6.35 fori=1:m-n+1在移動(dòng)平均法中，wt的選擇，同樣具有一定的經(jīng)驗(yàn)性。一般的原則是：近期 1(Mt(1)

yt1LytN1M(2)1(M(1)LM )M(2)1(M(1)M(1) tN t ty?tmatbtm，m atyt1ytbtyt2yt2bt…ytN1yt(NM(1)ytyt1LytN1yt(ytbt)L[yt(N1)bt Nyt[12L(N1)]btyyM(1)N1

N1

M(1)N1 y M(1)M(1) t t M(1)M(2)N1 a2M(1)M 2

(

31965～1985319861987年的發(fā)3我國(guó)發(fā)電量及一、二次移動(dòng)平均值t123456789解由散點(diǎn)圖1可以看出，發(fā)電總量基本呈直線上升趨勢(shì)，可用趨勢(shì)移動(dòng)平均法1原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)M(1)3461.2，M(2) （12 2M(1)M(2) 2 (M(1)M(2)) 6 于是，得t21?22?23load yhat1(i)=sum(y(i:i+n-fori=1:m2-n+1yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n- 1 ；而NN1 N設(shè)時(shí)間序列為y1,y2,L,yt,L， 系數(shù)，01，一次指數(shù)平 S(1)y(1)S(1)S(1)(yS(1) t t tM(1)M(1)ytytN 以 以 t

t

yM 1 Mt1 t1 t1 N令SM(1)，即得式 S(1)y(1)S S(1)yt(1)[yt1(1)St(1)]L(1)jyt t（14）式表明S(1)是全部歷史數(shù)據(jù)的加權(quán)平均，加權(quán)系數(shù)分別為t,(1),(1)2,L；顯然(1)j

1(1)tt即

S也就是以第t期指數(shù)平滑值作為t1

在進(jìn)行指數(shù)平滑時(shí)，系數(shù)的選擇是很重要的。由式（15）可以看出，的大小規(guī)定了在新預(yù)測(cè)值中新數(shù)據(jù)和原預(yù)測(cè)值所占的。值越大，新數(shù)據(jù)所占的就?t 體現(xiàn)了修正的幅度，值愈大，修正幅度愈大；值愈小，修正幅度也愈小。慮任何新信息；若選取1，則y?t1yt，即下期預(yù)測(cè)值就等于本期觀測(cè)值，完全不相信過(guò)去的信息。這兩種情況很難的預(yù)測(cè)。因此，值應(yīng)根據(jù)時(shí)間序列的0～1之間選擇。具體如何選擇一般可遵循下列原則：①如果時(shí)間序列波動(dòng)不大，比較平穩(wěn)，則應(yīng)取小一點(diǎn)，如（0.1～0.5。以減少修正幅度，使預(yù)測(cè)模型能（0.6～0.800例 解采用指數(shù)平滑法，并分別取0.2,0.5和0.8S(1)y1y2 即y?S(1)

y?t1yt(1)4某種電器銷售額及指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值計(jì)算表（單位：萬(wàn)元ttttt234567894可以看出，0.20.5和0.8時(shí)，預(yù)測(cè)值是很不相同的。究竟取何值為好，5預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤S為y?198851.1754。loaddianqi.txt yt=dianqi;n=length(yt);alpha=[0.20.50.8];m=length(alpha);for一次指數(shù)平滑法雖然克服了移動(dòng)平均法的缺點(diǎn)。但當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)出現(xiàn)直線趨為S(1)y(1)S S(2)S(1)(1)S( t式中S(1)為一次指數(shù)的平滑值；S(2)為二次指數(shù)的平滑值。當(dāng)時(shí)間序列{y}，從某 y?tmatbtm，m a2S(1)S

531965～1985年的發(fā)電總量資料為例，試用二次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)1986年和1987年的發(fā)電總量。表6我國(guó)發(fā)電總量及一、二次指數(shù)平滑值計(jì)算 tyt16789解取0.3S(1和S(2S(1S(2)676 S(1S(2)，列于6 S(1)3523.1，S(2) （19， 2S(1)S(2)4013.7 (S(1)S(2)) 1 于是，得t21?22?23y?(2S(1)S(2))

(S(1)S(2)即

1 y?1 S(1) S(

1

1 令t1,2,L,20，由（20）可求出各期的模擬值。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6。計(jì)算的程序如下：loadfadian.txt yt=fadian;n=length(yt);fori=2:n S(1)y(1)S t tS(2)S(1)(1) tS(3)S(2)(1)S t式中St(3)為三次指數(shù)平 abmCm2，m a3S(1)3S(2)S

( bt2(1)2[(65 2(54 (43)St ct2(1)2 St例 7某省全民所有制單位固定資產(chǎn)投資總額及一、二、三次指數(shù)平滑值計(jì)算表（單位：億元tyt的估123456789 2某省固定資產(chǎn)投資總額趨勢(shì)(0)S(0)S(0) y1y2y321.94S

S(1)151.77，S(2)101.28，S(3) （23，a11219.91，b1138.38，c11于是，得t11y?1989y?12y?111a11b11c11 （22并令m1，則得33 3 ( (1 (1)2 (1)2 令t0,1,2,L,10，（24）可求出各期的模擬值，見(jiàn)表7。計(jì)算的程序如下：loadtouzi.txt yt=touzi;n=length(yt);for指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型是以時(shí)刻t為起點(diǎn)，綜合歷史序列的信息，對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)的。選擇合適的系數(shù)是提高預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，的取值范圍一般以0.1～0.3為宜。值愈大，系數(shù)序列衰度，所以實(shí)際上取值大小起著控制參加平均的歷史數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的作用。值愈大意味著采用的數(shù)據(jù)愈少。因此，可以得到選擇值的一些基本準(zhǔn)則。如果預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)已發(fā)生系統(tǒng)的變化，則值應(yīng)取得大一些。這樣，另外，由于指數(shù)平滑是遞推計(jì)算，所以必須確定初始值S(1),S(2),S(3) §4當(dāng)時(shí)間序列呈直線增加時(shí)，可運(yùn)用一階差分指數(shù)平滑模型來(lái)預(yù)測(cè)。其如下：ytyty?t1yt(1

其中的為差分記號(hào)。式（25）表示對(duì)呈現(xiàn)直線增加的序列作一階差分，構(gòu)成一個(gè)平實(shí)際值迭加，作為變量下一期的預(yù)測(cè)值。對(duì)于這個(gè)的數(shù)學(xué)意義可作如下的解釋。yt1yt1ytytyt1 的yt1也要改為預(yù)測(cè)值，亦即成為式（27。的平均數(shù)（指數(shù)平滑值）加上當(dāng)前值的實(shí)際數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，比一次指數(shù)平滑法只用變例7某工業(yè)企業(yè)1977～1986年鍋爐消耗量資料如表8所示，試預(yù)測(cè)1987年表8某企業(yè)鍋爐消耗量的差分指數(shù)平滑法計(jì)算表（0.4）（單位：百噸t22435273843解由資料可以看出，消耗量，除個(gè)別年份外，逐期增長(zhǎng)量大體在200噸左右，即呈直線增長(zhǎng)，因此可用一階差分指數(shù)平滑模型來(lái)預(yù)測(cè)。我們?nèi)?.4，初始值為差分序列首項(xiàng)值，計(jì)算結(jié)果列于表8中。預(yù)測(cè)1987年消耗量為y?19872.494446.49（百噸 ytyt2ytyt

其中2表示二階差分。yt1yt1ytytyt1yt(yt1yt)ytyt2yt1yt這種組合模型來(lái)取代。但是，對(duì)于指數(shù)平滑法存在的系數(shù)的選擇問(wèn)題，以及只§5 NNy?t1w1ytw2yt1LwNytN1wiyt

ti1期的觀測(cè)值，N為權(quán)數(shù)的個(gè)數(shù)。其調(diào)整權(quán)數(shù)的為w'w2k i1t 式中，i1,2,LN，tNN1,Ln，n為序列數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，wi為調(diào)整前的第i個(gè)權(quán)數(shù)，w'為調(diào)整后的第i個(gè)權(quán)數(shù)，k為學(xué)習(xí)常數(shù)，e為第t1 差、原觀測(cè)值和學(xué)習(xí)常數(shù)等三個(gè)因素。學(xué)習(xí)常數(shù)k的大小決定權(quán)數(shù)調(diào)整的速度。9某時(shí)間序列數(shù)據(jù)123456789開(kāi)始，當(dāng)t2（33，（34，w'w2k

i1tw'w2key 3w'w2key 3利用所得到的權(quán)數(shù)，計(jì)算第t14個(gè)觀測(cè)值y1，增加一個(gè)新的觀測(cè)值y3。?t1?4w'yw'y1 21w'0.55420.90.130.312w'0.52720.90.130.22這樣進(jìn)行到t10y?y?w' w' 1 2但由于沒(méi)有t11的觀測(cè)值y11et1e11y11w'2.0，w' y?w' w'y 1 2計(jì)算的程序如下：N=2;Terr=10000;forj=N+1:m-

w,在開(kāi)始調(diào)整權(quán)數(shù)時(shí)，首先要確定權(quán)數(shù)個(gè)數(shù)N和學(xué)習(xí)常數(shù)k。一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)時(shí)間序列的觀測(cè)值呈季節(jié)變動(dòng)時(shí)，N應(yīng)取季節(jié)性長(zhǎng)度值。如序列以一年為周期進(jìn)行季節(jié)變動(dòng)N12N4。如果時(shí)間序列無(wú)小的k值。初始權(quán)數(shù)的確定也很重要，如無(wú)其它依據(jù)，也可用1/Nw1(i1,2,L,N 趨勢(shì)外推法是根據(jù)事物的歷史和現(xiàn)時(shí)資料，尋求事物發(fā)展規(guī)律，從而推測(cè)出事物推；（e）（f）yy0其中系數(shù)y0和K值由歷史數(shù)據(jù)利用回歸方法求得。對(duì)式（35）取對(duì)數(shù)可得lnylny0

令Ylny，Aln則YAK0a00b1tabt0y?tK

y1,y2,L,ym；第二部分ym1,ym2,L,y2m；第三部分：y2m1,y2m2,L,y3mmS1y,S

tt且

yt,S3t

t S1

(Kabt)mKab(1bb2Lbm1mm

(Kabt)mKabm1(1bb2Lbm1

(Kabt)mKab2m1(1bb2(1bb2Lbm1)(b1)bm則根據(jù)39)SmKabbm

bSmKabm1bmS3mK

b2m1bmb

Sb S 1a

S b

b(bm 1 ab(bm1)KS1 b 據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方法是看給定數(shù)據(jù)的逐期增長(zhǎng)量的比率是否接近某一常數(shù)b。即yt1ytbytyt1

例 11某廠收音機(jī)解經(jīng)計(jì)算可知yt1ytytyt

5n15m51969年作為開(kāi)始年份t1。（38，得S1262.5，S2377.8，S3b0.9608，a143.2063，Ky179.7162143.2063y1986179.7162143.20630.960818110（萬(wàn)部functionchanliangglobalab

a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-%定義預(yù)測(cè)函數(shù)functiony=yuce(t)globalabkCompertz曲線ty?Kabt，K0,0a1,0b t量的比率是否接近某一常數(shù)b。即lnyt1lnyt lnytlnCompertz曲線用于描述這樣一類現(xiàn)象：初期增長(zhǎng)緩慢，以后逐漸加快。當(dāng)達(dá)到一ln記

logK(ln

得mS1y't,S2

y't,S3

y'tlnyt。則類似式（42），

Sb S 1a'

S b

b(bm 1 a'b(bm1)K'S1 b 9（8）10Gompertz曲線方程，求出各年收音機(jī)銷售量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)1986年的銷售量。（48S119.7558，S221.6094，S3（49ba'1.2588，aK'4.8929，Ky?1986108.3143（萬(wàn)部）計(jì)算的程序如下：yuce=@(t,a,b,k)k*a.^(b.^t);%定義預(yù)測(cè)的函數(shù)yt=log(xsh);n=length(yt);m=n/3;a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-Logistic曲線的一般數(shù)學(xué)模型是dyry(1y y 1式中c為常y ，K0，a0，0b K

近某一常數(shù)b。即1/yt11/yt1/yt1/

y't得ty'tKmS1y't,S2

y't,S3

（42

1S21 Sb S 1 1a12

S bb(bm 55 1

KS1 b 10（8）根據(jù)表10Logisticn15m5，根據(jù)式（54），得S10.0971，S20.0666，S3（55b0.8493，a0.0174，K

0.00850.01740.8493tloadxsh.txtxsh.txt中yt=1./xsh;n=length(yt);m=n/3;a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1(1(yy? S

定義1 給定隨機(jī)過(guò)程{Xt,tT}。固定t，Xt是一個(gè)隨 量，設(shè)其均值為t，當(dāng)t變動(dòng)時(shí)，此均值是t的函數(shù)，記為tE(Xt固定tX的方差為2。當(dāng)t變動(dòng)時(shí)，這個(gè)方差也是t

2Var(X)E[(X)2 稱為隨機(jī)過(guò)程的方差函數(shù)。方差函數(shù)的平方根t 定義 對(duì)隨機(jī)過(guò)程{Xt,tT}，取定t,sT，定義其自協(xié)方差函數(shù)t,sCov(Xt,Xs)E[(Xtt)(Xss 為刻畫{Xt,tT}在時(shí)刻t與s之間的相關(guān)性，還可將t,s標(biāo)準(zhǔn)化，即定義t

t tt

因此，自相關(guān)函數(shù)t,s是標(biāo)準(zhǔn)化自協(xié)方差函數(shù)。定義3設(shè)隨機(jī)序列{Xtt0,1,2,L滿足1）EXt)常數(shù)；2）tk,tk（k0,1,2,L）與t定義 設(shè)平穩(wěn)序列{t,t0,1,2,L}的自協(xié)方差函數(shù)kk

2k

2

kk其中k,0k01k10平穩(wěn)白噪聲序列的方差是常數(shù)2，因?yàn)閗0(k0)，則t的任意兩個(gè)不同時(shí)點(diǎn)檢驗(yàn)序列平穩(wěn)性的方法很多，在此介紹其中一種，即Daniel檢驗(yàn)。Daniel檢驗(yàn)方法建立在Spearman相關(guān)系數(shù)的基礎(chǔ)上。Spearman相關(guān)系數(shù)是一種秩相關(guān)系數(shù)。先講樣本的秩的概念。設(shè)x1,x2,L,xn是從nx(1x(2Lx(nxix(k，則kxiRi，對(duì)每一個(gè)i1,2,LnRi是第i個(gè)秩統(tǒng)計(jì)量。R1R2L,Rn總稱為秩統(tǒng)計(jì)量。例如，對(duì)樣本數(shù)據(jù)-0.8,-3.1,1.1,-5.2,-5.2,-3.1,-0.8,1.1,對(duì)于二維總體X,Y)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)(x1y1x2y2L,(xn,yn)X,Y的一元樣本數(shù)據(jù)x1,x2L,xny1y2L,ynx1,x2L,xn的秩統(tǒng)計(jì)量R1,R2,L,Rny1,y2,L,ynS1,S2,L,Snn這兩組秩統(tǒng)計(jì)量的相關(guān)系數(shù)，即Spearman相關(guān)系數(shù)是n(RiR)(SiSn(SS2in(SS2ini(RRi1 1其中R Ri，S qxy1n(n21)diRiSii1,2,LnH0:XY0，H1:XY可以證明，當(dāng)(X,Y)是二元正態(tài)總體，且H0成立時(shí)，統(tǒng)t

n2的t分布t(n2)ttt2n2 H0對(duì)于時(shí)間序列的樣本X1X2L,Xn，記Xt的秩為RtRXt)，考慮變量對(duì)(tRtt1,2,LnSpearmanqs qs1n(n21)(tRt

T n11DanielXt計(jì)算(tRtt1,2,Ln則 則

t2n2例11某城鎮(zhèn)1964～1983每年發(fā)生的偷竊率（每萬(wàn)人平均發(fā)生的偷盜次數(shù)）12（時(shí)間t:1~201964年～1983年。問(wèn)偷盜率數(shù)據(jù)是否可看表12某城鎮(zhèn)年偷盜率數(shù)123456789 對(duì)顯著水平0.05，算得qs0.5624，計(jì)算得t統(tǒng)計(jì)量的值T2.8857，上2分位點(diǎn)的值t2n2)2.1009，所Tt2n1)，x0=[1.372.961.913.102.082.544.073.622.913.964.192.713.423.023.542.664.114.25 x0=x0';x0=x0(:)'; %計(jì)算Qs的值 %計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值 %計(jì)算上alpha/2分位點(diǎn)XtX1X2LXn?1 t tn

k通常有如下兩

1nk(Xnt1

X

，0k

且?k?kk的估

1nk(Xnkt1

X

，0k

?k，0k

AR模型，即自回歸序列（AutoRegressiveModel；Model；ModelAR(p)序設(shè){Xtt0,1,2,LXt1Xt12Xt2LnXtp 其中是零均值、方差是2Xp 為AR(p)序列，(1,2,L,p稱為自回歸參數(shù)向量，其分量j,j1,2,L,p稱為自回歸系數(shù)。

Xt1，BkXtX(B)11B2B2LpBp，(B)XtMA(q)設(shè){Xtt0,1,2,LXtt1t12t2Lqtq， 其中是零均值、方差是2Xq的滑動(dòng)平均序列，簡(jiǎn) 記為MA(q)序列(1,2,L,q稱為滑動(dòng)平均參數(shù)向量，其分量j,j1,2,Lq性疊加，那么這一輸出服從MA模型。Btt1，

(B)11B2B2LXt(B)ARMApq)設(shè){Xtt0,1,2,LXt1Xt1LpXtpt1t1Lqtq， 其中是零均值、方差是2的平穩(wěn)白噪聲，則稱Xpq的自回歸滑動(dòng)平均 序列，簡(jiǎn)記為ARMApqq0時(shí)，它是ARpp0MA(q)應(yīng)用算子多項(xiàng)式(B),(B，式（70）(B)Xt(B)對(duì)于一般的平穩(wěn)序列{Xtt0,1,2,LEXt(Xt)1(Xt1)Lp(Xtp)t1t1L 其中是零均值、方差是2的平穩(wěn)白噪聲，利用后移算子(B),(B)，式（71）可 為(B)(Xt)(B)t關(guān)于算子多項(xiàng)式(B),(B)，通常還要作下列假定：1）(B和(B無(wú)公共因子，又p0，q0)(B)0設(shè){t0,1,2,L}是零均值平穩(wěn)白噪聲，Var(

2。若{Gk1,2,L}t

k

，G0

XtGktk k可以通過(guò)以往白噪聲ttj,L， 的運(yùn)算，其輸入是平穩(wěn)白噪聲t，其輸出是平穩(wěn)線性序列Xt。XtE(Xt)GkE(tk)k tk,tE(XtkXt)E[(Gjtkj)(Giti 式中，只有當(dāng)tkjtijikE

tk

t

)jik0 2 G（k0tk,t iki從而Xt是平穩(wěn)的。嚴(yán)格地說(shuō)，在條件（72）下，級(jí)數(shù)GikGi是收斂的引進(jìn)算子G(B)G(B)GBk，G k則XtGktkk

例 AR(1)：Xt1Xt1解(B)11B(B11

t，

1(B) t。1t 1B2B2Lk1

kXkBk k即

k

1t Gk（k0,1,2,L 1注意到(B)1B0的根是 。當(dāng)1時(shí) 1

1，即(B)對(duì)于ARMA(p,q)序列(B)Xt(B)當(dāng)(B)滿足平穩(wěn)性條件（(B)的根全在單位圓外）時(shí)，可證Gk是負(fù)指數(shù)下降的，即存在g1,g20，使得Ggeg1k（k0 設(shè){Xtt0,1,2,L是ARMApq(B)XtXtXtI1Xt1I2Xt2LXtIkXtkI(B)Xtt kI(B)1I

IkBk（I1kk

k 則稱ARMApqXt具有逆轉(zhuǎn)形式，而{Ikk0,1,2,L 當(dāng)(B1BLBq的根全在單位圓外，即(B滿足可逆條件時(shí)，可證存在h1,h20， 2k heh1k2k例13 MA(1)：Xt(1 1解t Xt1Xt1 kIkk0,1,2,L 設(shè){Xtt0,1,2,L是MA(qXt(B)tt1t12t2Lqtq其中是零均值，方差是2Xt

2(122L2

k2( L

1k

k

qk

k

L

k k 1k qkq 1k 122L k0，k

k這表明對(duì)于MA(qtsqXtXs不相關(guān)，這一性質(zhì)稱為自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的q步截尾性。AR(p)序列的自相關(guān)函數(shù)先證明ARMA(p,q)的一個(gè)重要E(Xtkt)0，k XtGjtj，XtkGjtk

E(Xtkt)E(Gjtkjt)GjE(tkjt)0，(k Xt是ARpXt1Xt12Xt2LpXtptVar()2，用 （k0）乘上式兩端，求均值 E(XtXtk)1E(Xt1Xtk)2E(Xt2Xtk)LpE(XtpXtk)E(tXtk由式（80）E(tXtk0(k0)，故k1k12k2Lpkp，k0即(B)k0k0這是自協(xié)方差函數(shù)k滿足的差分方程。自相關(guān)函數(shù)k也滿足同樣的差分方程(B)k0，k在式（81）k1,2,Lp01kk1121Lp

2

Lp

p1p12p2L或者寫為1 p11 2 p22 M MM p

p 還可證明，對(duì)于AR(p)序列

2

pp0j

2E(2)E[(XXLX)2]2 p由于jiji

1t1 tp jj

j1

jij 22jj

j

)

2j

j

0j

ji

0

cec1k（c,c0 對(duì)于自相關(guān)函數(shù)k也有同樣性質(zhì)。這說(shuō)明k或k不能在有限步之后截尾，而是按負(fù)ARMA(pq)設(shè){Xtt0,1,2,L是ARMApqXt1Xt1LpXtpt1t1L(B)

k2 k

q由（84）kq1,q2,Lqpq11q2q1Lpq1

1q12qLpq2qp1qp12qp2Lpq1 q1p1Lq2qq2p2M MM qp

q

q p 解此方程組，可得自回歸系數(shù)向量(,,L, t其次，令Yt(BXtXt1Xt1LpXtp，則{Ytt0,1,2,L是參數(shù)為(1,2,L,q)T的MA(q序列。{Yt0,1,2,L的自協(xié)方差函數(shù)t(Y)E(Y

Y)

X

)(X

)]

，（ppp tkt ppp

tk t

i,

jkj k將(Y)代入（78）式k 2(122L2 kijk

2

i, (k1k1Lqkq 1k解此方程組，得滑動(dòng)平均系數(shù)向量(1,2,L,q)T及2對(duì)于重要的ARMA(1,1序列Xt1Xt1t1t1111。122, 1,1

k

(1)( 1 12k1 k11

1 (111)(11)k1，k 122 1例 Xt0.8Xt1t0.4t1，其中t~N解利用如下的程序：));% forj=2:10000x(j)=0.8*x(j-1)+elps(j)-0.4*elps(j- %產(chǎn)生樣 for 由樣本算得樣本自相關(guān)函數(shù)如下（其中的一次運(yùn)行結(jié)果：?10.5284，?20.4287，?30.3442，?4（8810.5231，20.4185，30.3348，4偏相關(guān)函數(shù)及AR(p)序列偏相關(guān)函數(shù)的截尾性設(shè){Xtt0,1,2,L是零均值平穩(wěn)序列，從時(shí)間序列預(yù)報(bào)的角度引出偏相關(guān)函數(shù)的定義。如果已知{Xt1Xt2LXtk的值，要求對(duì)Xt作出預(yù)報(bào)。此時(shí)，可以考慮由{Xt1,Xt2,L,Xtk對(duì)Xt的線性最小均方估計(jì)，即選擇系數(shù)k,1,k,2,L,k,k，將

E[(Xtk,jXtj)2] 02k,jjk,jk,i令k,

0j1,2,Lk

j1kjk,iji0，j1,2,L,兩端同除0并寫成矩陣形式，可知k,j應(yīng)滿足下列線性方 k1k,1 1 k2k,22 MM M

k k

1k,k

k我們稱{k,k,k1,2,L為Xt的偏相關(guān)函數(shù)。式（89）Toeplitz矩陣。這一線性方程組的解k,1,L,k,k推1,1

k

k , 1

k

)( k

k,j1jj11

k, 0）k1,jk,jk1,k1k,k1j j1,2,L,ARp序列的偏相關(guān)函數(shù){k,kk1,2,Lpk,kk 1kk

k對(duì)于MA(q)和ARMA(p,q)序列，其偏相關(guān)函數(shù){k,k,k1,2,L}具有拖尾性。例15 討論例14所述時(shí)間序列的偏相關(guān)特性。?1,10.5351，?2,20.2075，?3,30.0683，?4,4計(jì)算的程序如下：));% forj=2:10000x(j)=0.8*x(j-1)+elps(j)-0.4*elps(j- %產(chǎn)生樣 for for forj=1:k-1s1=s1-rho(k-j)*f(k-s2=s2-rho(j)*f(k- forj=1:k-1f(k,j)=f(k-1,j)-f(k,k)*f(k-1,k- %式（90）中第三式的計(jì) %直接利 工具箱計(jì)算偏相關(guān)函 (B)Xt(B)t首先要進(jìn)行模型的識(shí)別與定階，即要判斷是ARpMA(qARMApq模型的ARMA設(shè)Xt是AR(p)序列Xt1Xt1LpXtpp其中p已知(1,2,L,)T未知，需要估計(jì)。在式（82）中?j代替jpj1,2,L,p，得1,2,L,p)T的矩估計(jì)??,?,L,?p)T所滿足的方程組 ? 2 p22 M MM? ?p

1?p在式（83）中，以?代替?代替，得2 jj?還可以由遞推計(jì)算得到，式（90）中?jj，以?k,j代替kj

?j?p,j，j1,2,L,

j1,2,L,MA(q)Xt為MA(qq已知，1,2,L,q)T未知。在式（78）?代替，可得(,,L,)T和2的矩估計(jì)(?,?,L,?)T、?2 ?2?(1?2L?2???

k1k1Lqkq?2 k1,2,L, 下面介紹MA(q序列參數(shù)估計(jì)的線性迭代算法。給定?(?,?,L,?)T與?2 一組初值（例如?0,?2?），代入式（93）右邊，由此得到等式左邊的值?2(1????T?? ????T??(1(1),(1),L,(1))，稱為2 右邊得到?2(2)和?(2)。以此方式迭代下去，直到某步的?2(m)和?(m)與前一步 ?2(m1)和?(m1)相差不大時(shí)停止迭代?2?2(m)，? ARMA(p,q) ,L,?)Ttt

由式（91）得，自回歸系數(shù)(1,2,L,p)T的矩估計(jì)(?,?,L,?p)T

? ? 2 p22M MM? 1?p

p令YtXt?1Xt1L?pXtp，則Yt的自協(xié)方差函 ，（ tk ijk i,以?代替，得(Y ijk i,把Yt近似看作MA(q)序列，Ytt1t1Lq再根據(jù)前面介紹的MA(q序列的參數(shù)估計(jì)方法求出2和(,,L,)T的矩估計(jì)?和(?,?,L,?)T

計(jì)算實(shí)踐表明，當(dāng)n充分大時(shí)，AR(p)序列的矩估計(jì)效果較好，但MA(q)ARMA(p,q)序列的矩估計(jì)則不太理想，ARMA序列參數(shù)ARMA(p,q)序列參因?yàn)镸A(q序列和ARMApq序列參數(shù)的矩估計(jì)涉及到非線性運(yùn)算，所以只解，因而計(jì)算簡(jiǎn)便，快速，易于實(shí)現(xiàn)，便于對(duì)高階ARMA序列參數(shù)進(jìn)行初估計(jì)。方程組求解或采用偏相關(guān)遞推求出，將它們近似地當(dāng)作相應(yīng)ARMA(p,q)模型的p*個(gè)逆函數(shù)估計(jì)I?I?,LI?。 (1BB2LBq)I? jmax(p,q)1,max(p,q)2,L,p得到滑動(dòng)平均系數(shù)向量(,,L,)T的初估計(jì)(?,?,L,?)T jIj1Ij12Ij2Lj1I1其中當(dāng)jq時(shí)，j0。得到1,2,L,p的初估計(jì)?1,?2,L,?p值得注意的是，由上述三步所得的ARMA(p,q)模型參數(shù)的初估計(jì)，并不能保統(tǒng)計(jì)性不變，只需不斷地將?(B1?B?B2L?Bq0 逐步用相應(yīng)根的倒數(shù)代替。那么換根后所產(chǎn)生的*(B既滿足可逆性又能保持模型的ARMA(p,q)序列參數(shù)的最小二乘估XtAR(p)序列，則Xt1Xt12Xt2LpXtpX1X2LXnnpXt1Xt1LpXtpt，tp1,p2,L,n

p)T，定義函2S()(2t

Lp

tpS(達(dá)到極小的?為參數(shù)的最小二乘估計(jì)，記作??L,L,?L)TLS()0，得

(ATA)X X X1 Xp1A

X X

，

p2

M

M 令?L1

np n i0,1,L,pj1,2,L,p

i

t

t

?L1?L1

1 ?L?L?2 2p02 M MM?L ?L?L p 若用?L代替，則得t?LX?L L?L

，tp1,p2,L, t

t從而方差2的最小二nn?2

(X?L L?L )2

S(?L當(dāng)n充分

npttt

t n |i此時(shí)，最小二乘估計(jì)?L與矩估計(jì)?是非常接近的MA(q)與ARMA(p,q)序列參數(shù)的最小二乘估ARMA(pq與MA(q這兩種序列參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法基本相同，以下只敘述ARMApq)序列參數(shù)的估計(jì)方法。設(shè)Xt是ARMApq)Xt的一個(gè)觀測(cè)樣本X1X2L,Xn。如7.2.3小節(jié)討論偏相關(guān)函數(shù)時(shí)，由{Xt1Xt2L,Xtk}預(yù)報(bào)Xt，現(xiàn)取kt1，即由{Xt1,Xt2L,X1}的線性組合預(yù)報(bào)Xtt2,3,Ln，估t

t1,jXtj，j2,3,L,由式（89，知t1,1,t1,2,t1,t1滿足下列方程 t2t1,1 1 t3 t1,2 2，t2,3,L, M M M

t

1t1,t1

t1因?yàn)樵诶碚撋?，?, )T，(, )T的函數(shù)，所以 t1,,的函數(shù)，從而預(yù)報(bào)的殘差平方和也是,

XtjS(,)(

t1,2

LLL LLL估計(jì)（CLS）和最大似然估計(jì)（ML。設(shè)Xt是ARMA(p,q)序列Xt1Xt1LpXtpt1t1L其中是零均值，方差為2X

XtIjXtj

(11B2B2L

p)Xt(11B2B2LqBq)

t(1I1BI2B2L)X

（98 11BLBp(1BLBq)(1IBIB211 1I 331I22I1jj1Ij12Ij2Lj1I1Ijq時(shí)，令j0ip時(shí)，令i0。將式（100）I11I222

I3331I2Ijjj1Ij1L

給定1,2,L,p)T，1,2,L,q)T（101）可以遞推算得逆函數(shù){Ij,I(B)XtXtIjXtj需要注意，,的取值必須使得ARMApqXt,Xt ?t2(XtIjXtj)2 Xt0，當(dāng)t0（X1X2LXnIj由式（101）遞推算得，因?yàn)镮j是,的函數(shù)，故殘差平方和也是,的函數(shù)，即 S(,)(

IjXtj

注意到上述平方和是,的非線性函數(shù)，最小化式（102）需用非線性最小二乘法。即X的平穩(wěn)可逆域中尋求?*,?*，使得? ?S(?*,*)

是因?yàn)樗俣ㄟ^(guò)去未觀測(cè)值等于零。又2的估 rpq

n 假設(shè){Xtt0,1,2,L是零均值正態(tài)ARMApqX XX,LX f(x|,)(2)22exp(1xT2其中(,L,, )T，x(x,x,L,x)T，E(XXT)令M21

xTf(x|,2)(22)2M2exp( 2

2 xTL(,|x)lnf(x|,)

ln2

ln(2)2

ln2

2xxx,Lx)T 是rijE(XiXj)r|i設(shè)Xt的傳遞形式是Xt Gjtj， G |i

k

kk|i 由此即M21與2無(wú)關(guān)xTMx有關(guān)，與2無(wú)關(guān) S()xT則稱S()為平方和函數(shù)。進(jìn)?tE(t|x1,x2,L,xn

即?t是tx1x2Lxnx1x2Lxn時(shí)關(guān)于t的估計(jì)，則nS()

s可見(jiàn)S()是一殘差平方和的形式。sS()?s稱為最小平方和估計(jì)。L(,2|x)1lnMnln(2)nln2S( 2注意M,S()均與2無(wú)關(guān)

2

S()2(2

?2S()xT n L(,?2|x)

lnM

nln(xTMx) 其中c [ln(2)1lnn]。略去常數(shù)c，2L()1ln2

mmmm?

)2的最大似然估計(jì)（ML估計(jì)（108）即得

對(duì)于AR(p)序(B)XtXt1Xt1LpXtp S()xTMxd iji

i0其中01dijxtijxtdjii,j0,1,L,pt1 d1p d01 dD 2p，d02 M Mdd

dp

dpp

d0pdS()TD2TdS()達(dá)到最小的

ULS3.工具箱相關(guān)命中GARCH工具箱可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列建模的功能。工具箱中的模型ARMAX(R,M,Nx)的標(biāo) ytCiytitjtjkX(t,k k其中{i}是自回歸系數(shù)，{j是滑動(dòng)平均系數(shù)；X是解釋回歸矩陣，它的每一個(gè)列是一個(gè)時(shí)間序列，X(t,k)表示第tk列的數(shù)據(jù)。AR表示自回歸中的R個(gè)系數(shù)向量；Regress表示回歸系數(shù)k。標(biāo)函數(shù)值，Innovations是殘差向量，Sigmas是對(duì)應(yīng)于Innovations的標(biāo)準(zhǔn)差。16Xt0.8Xt1t0.4t1，t~N解編寫如下程序));% forj=2:10000x(j)=0.8*x(j-1)+elps(j)-0.4*elps(j- %產(chǎn)生樣spec=garchset('R',1,'M',1,'Disy','off');%指定模型的結(jié)構(gòu)[coeffX,errorsX,LLFX]=garchfit(spec,x) 11例 Xt0.5Xt10.3Xt2t，t~N10000的數(shù)據(jù)，對(duì)其參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。解編寫如下程序));% x(1)=0;x(2)=0; forj=3:10000x(j)=-0.5*x(j-1)+0.3*x(j- %產(chǎn)生樣本spec=garchset('R',2,'M',0,'Disy','off');%指定模型的結(jié)構(gòu)[coeffX,errorsX,LLFX]=garchfit(spec,x) 間序列，若已知服從ARMApqpq的值。實(shí)際上在建模過(guò)程中，首先要解決定階問(wèn)題，才能進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。在定階與參數(shù)估計(jì)后，對(duì)建立的模型要進(jìn)行檢驗(yàn)。其基本做法是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼`差 是否為白噪聲。若檢驗(yàn)認(rèn)為 是白 g(x|,L f(x)g(x|0I(f(),g(|))f(x) f(x)|00K－Lf(xg(x| ?(m,L)T（kk未知）的最大似然估 kkkAIC(k)2ln(L(?(m)))2k kXt是ARMApqkpq1個(gè)，包括自回歸參數(shù)1,2,L,p)T，滑動(dòng)平均參數(shù),,L,q)T及2。在式（106）中， 略去lnM L'(,2|x)nln2S( 2由式（108）可得，2的最大似然估計(jì)?21 （17L'(,2|x)

nln2 因此ARMA(p,q)序列AIC定階準(zhǔn)則為：選p,q，使 ?值，則認(rèn)為序列是ARMA(p?,q?)。(B)(Xt)這時(shí)，未知參數(shù)個(gè)數(shù)為kpq2，AICpq2

若擬合模型的殘差記為?t，它是t的估計(jì)。例如，對(duì)ARp序列，設(shè)未知參數(shù)的估計(jì)是?1,?2,L,?p，則殘差?tXt?1Xt1L?pXtp，t1,2,Lp（設(shè)X0X1LX1p0記nk ，k1,2,L,nttLjung－Box2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是2n(n k1n

H0k0kmH1：對(duì)某些kmk002檢驗(yàn)法：給定顯著性水平，查表得上分位數(shù)2(mr22(mr)

22(mr 例 Xt0.8Xt1t0.4t1，t~N));% forj=2:10000x(j)=0.8*x(j-1)+elps(j)-0.4*elps(j- %產(chǎn)生樣forforspec=garchset('R',i,'M',j,'Disy','off');%指定模型的結(jié)構(gòu)[coeffX,errorsX,LLFX]=garchfit(spec,x); %computeAkaikeandBayesianInformationCriteria 計(jì)算結(jié)果顯示應(yīng)為ARMA(1,1)序列若實(shí)際序列是ARMApqpq值計(jì)算其AIC。因此，計(jì)算量較大。只有認(rèn)真反復(fù)計(jì)算，才能求得真階p和q。例 Xt0.8Xt1t0.4t1，t~N解編寫程序如下：));% forj=2:10000x(j)=0.8*x(j-1)+elps(j)-0.4*elps(j- %產(chǎn)生樣spec=garchset('R',1,'M',1);%指定模型的結(jié)構(gòu)[coeffX,errorsX,LLFX]=garchfit(spec,x)%擬合參數(shù) fore(j)=x(j)-coeffX.AR*x(j-1)-coeffX.MA*e(j- %計(jì)算%下面進(jìn)行chi2檢驗(yàn)，是否服從0均值的正態(tài)分布，nparam表示估時(shí)間序列的m步預(yù)報(bào)，是根據(jù){Xk,Xk1,L}的取值對(duì)未來(lái)km時(shí)刻的隨量Xkm(m0)X?k(mXk,Xk1,L的線性組合。引進(jìn)估k{x|x

Xk

2j,

現(xiàn)設(shè)Xt是零均值正態(tài)ARMApq)序列。所謂平穩(wěn)線性最小均方預(yù)報(bào)X?k(m)是指X?k(mk，且使kE[(XkmX?(m))2]k在正態(tài)性的條件下X?k(m)Xkm對(duì)于{Xk,Xk1,L的條件期望X?k(m)E(Xkm|Xk,Xk1,L)E(Xkm|k

因?yàn)閧XkXk1,LX?k(m用{XkXk1,L的元素的線性表示不甚方便。考慮到對(duì)于ARMA(p,q)序列，總存在著傳遞形式，令{|d

,d2} k

jk

則可以證明kkX?k(m可以用k中的元素來(lái)表示。設(shè)零均值A(chǔ)RMApq序列{Xtt0,1,2,LXtGjtj則X?k(m)GjmkjGmkGm1k1Gm2k2

若令ek(mXkmX?k(m，ek(m)kmG1km1LGm1k 有Var(e(m))2(1G2G2LG2 m1時(shí)，由式（126，ek(1)Xk1X?k(1)說(shuō)明k時(shí)刻的一步預(yù)報(bào)誤差是k1。X?k(m)E(Xkm|k)E(Xkm|k

E(cjXkj|k)cjE(Xkj|kE( |)E(

|)X?k(m),mk k km,mXE(km|k)E(km|k)k

m,m如{Xtt0,1,2,L是零均值A(chǔ)RMApq Xkm1Xkm12Xkm2LpXkmp1km1LqkmqkmpX?k(m)E(Xkm|k)1E(Xkm1|k)LpE(Xkmp|k1E(km1|k)LqE(kmq|k)E(km|k1X?k(m1)2X?k(m2)LpX?k(mXt是MA(qX?k(m)0，mX?k1(m)X?k(m1)Gm[Xk1X?k這是因?yàn)橛墒剑?25）及k1Xk1X?k(1)，

X?k1(m)Gjmk1jGmk1Gmjk1 Gm(Xk1X?k(1))Gm1ikiX?k(m1)Gm(Xk1X?k（130）可以這樣理解：Xk1X?k(1)表示取得觀測(cè)值Xk1后帶1時(shí)刻的m步預(yù)報(bào)值等于k時(shí)刻的m1步預(yù)報(bào)值與“新息”的和，這里取“權(quán)”為Gm。設(shè)ARMApqXttXtIjXt則 (

k(m) Ij

Xk1I(1) I(m)

m1II(mi

i

,Xk

,LI(m。又式j(luò)jI(m)的遞推計(jì)算式由逆函數(shù){Ij,j1,2,L決定jARMAp,q)AR(p)序列的預(yù)報(bào)又X?k(m)Xkm，m這就給出AR(p)序列的預(yù)報(bào)遞推X?k(1)1Xk2Xk1LpXkX?k(2)1X?k(1)2XkLpXk ? k ? k

(p1)2X?

(p2)L

(1)p?k(m)1X?k(m1)2X?k(m2)LpX?k(mp),m)Xk,Xk1L,Xkp1。這是AR(p)MA(q)與ARMA(pq)序列的關(guān)于MA(q序列{Xtt0,1,2,LX?k(m)0，m X?(q)(X?(1),X?(2),L,X? （130 kGmmm1,2,LqX?k1(2)2X?k(1)X?k(3)2X?k1(q1)q1X?k(1)X?k(q)X?k1(q)qX?k(1)q 1

0 1 X?(q) MX?(q)2 k M k

0

) 對(duì)于ARMA(p,q)序列，由式義預(yù)報(bào)向量（134。令*

j j1,2,L, j 0 G1 0 G 2 X?(q) MX?(q)M k k 1 Gq1 * * Gqq L1 Gq j

kq1j 020隨機(jī)產(chǎn)生下列時(shí)間序列的10000個(gè)觀測(cè)值Xt0.65Xt1解利用模擬數(shù)據(jù)計(jì)算得到其1，2，3步預(yù)測(cè)（其中的一次運(yùn)行結(jié)果）為- -以下進(jìn)行理論驗(yàn)證。模擬數(shù)據(jù)中X100001.4925，故理論預(yù)報(bào)值為（由式（133）?10000?10000?100003步預(yù)報(bào)理論標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算如下。因G110.65G220.42251G30.2746Std表示，由式 Std[e10000(1)](1G(1G(1GG2

(3)]

));% forj=2:10000x(j)=-0.65*x(j-1)+elps(j);%產(chǎn)生樣本spec=garchset('R',1);%指定模型的結(jié)構(gòu)[coeffX,errorsX,LLFXgarchfit(spec,x)擬合參數(shù)%下面計(jì)算3步預(yù)測(cè)值，其中第一個(gè)參數(shù)返回值是標(biāo)準(zhǔn)差，第二個(gè)參數(shù)返回值為預(yù)[sigmaForecast,x_Forecast]=garchpred(coeffX,x,3) x_theory(3)=-0.65*x_theory(2)%計(jì)算三步理論預(yù)測(cè)值 ARMA序列的建模與預(yù)報(bào)。在實(shí)際中遇到的時(shí)間序列往往有三個(gè)特性：趨勢(shì)性、季節(jié)性與非平穩(wěn)性。本節(jié)主要采用Box－ARMA序列，再用上面介紹的方法去研究。我們先看一個(gè)例子。考慮研究時(shí)間序列{Xtt0,1,2,LXt1.5Xt10.5Xt2 改寫為(BXtt，其中(B11.5B0.5B2(B)0B1，B221B11在單位圓周上，并非在單位圓外，即原序列非平穩(wěn)，因而不是AR(2)序列。(XtXt1)0.5(Xt1Xt2)令XtXtXt1Wt0.5Wt1

Wt是AR(1)序列。式（138）定義的運(yùn)算11階差分運(yùn)算，原來(lái)的非平穩(wěn)序列Xt轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列Wt。XtXtXt1(1B)2XtXt2Xt1Xt2(1B)2XdXt(1B)dX其中dd d d d

d (1B)11B2

L 1)Bd 設(shè){Xtt0,1,2,LddX Xt(B)dXt(B)

若dX0，則dX (B)(dXt)(B)t，t Xt為一般ARIMApdq序列，若未知，可用dXtx估計(jì)。XtX1X2LXn1n1個(gè)；2X1X2L,XdtXtX1X2L,Xn，計(jì)算樣本，說(shuō)明已服ARMA模型。若自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)1個(gè)不是截尾的或拖尾的，說(shuō)Xt1階差分Xtt2,3,Ln，并求其樣本自相關(guān)函數(shù)與樣本偏相關(guān)函數(shù)，再用上述方法討論。這樣，直至判斷dX是平穩(wěn)序列為止。在實(shí)際計(jì)tX1,X2,L,XdWtdZt，td1,L,（1）dt tXtX1Wj1XkWjk tk （2）d

XtX2(t2)(X2X1)(tjtXk(tk)(XkXk1)(tjk1)Wjk，tk

Xt是ARIMApdqp0時(shí)，稱為IMA(dqq0時(shí)，稱為ARI(p,d)序列。設(shè){Xtt0,1,2,L是ARIMApdqd1d2當(dāng)d1XtWt?k ?k

kk

kk

X?k(m)2X?k(m1)X?k(m2)W?kmX?k(m)Xkm(XkXk1) )?k例 XtXt1t1tXtXt

解經(jīng)1階差分以后成為MA(1,1)序列。式（145）是可逆的(B)111時(shí)，(B0的根1/1I(B)Xt即XtI1Xt1I2Xt2L

（15(1B)Xt(11B)（147(1B)Xt(11B)I(B)X

1B(11B)I即I(B)1B11B(11)B1(1)(BB22B3即1得

1 I(1)j1，j XtX(1

t記WtXtXt1t1t1，則Wt是MA(1)序列。由式（143，k?kkXk11[W?k(1)Xk1Xk](11)Xk11X?k （143X?k(m)X?k(1)，m式（149）的含義是：k1時(shí)刻Xt的1步預(yù)報(bào)是Xk1,X?k(1)的 別是11,1。式（148）取tk1，并兩邊對(duì)k）X?(1)(1 ）

k1表明Xt在k時(shí)刻的1步預(yù)報(bào)是Xk,Xk1,L 線性組合，其權(quán)是11，(11)1 ,L的指數(shù)平滑。這是時(shí)間序列預(yù)報(bào)的指數(shù)平滑法的1 k適的。式（149（150）是時(shí)間序列IMA(1,1預(yù)報(bào)的特點(diǎn)。例 13化工生產(chǎn)過(guò)程濃度數(shù)ARIMA(3,1,3)模型。計(jì)算得?11.1762，?21.1158，?3?1

1.8129，?1.8174，? (11.1762B1.1158B20.1706B3)(1B)X (11.8129B1.8174B20.8412B3) 6789 a=nonzeros(a')';%按照原來(lái)數(shù)據(jù)的順序去掉零元素 %計(jì)算偏相關(guān)函數(shù) %計(jì)算1階差分 %計(jì)算偏相關(guān)函數(shù) fori=0:3forspec=garchset('R',i,'M',j,'Disy','off');%指定模型的結(jié)構(gòu)[coeffX,errorsX,LLFX]=garchfit(spec,da); %computeAkaikeandBayesianInformationCriteria r=input('輸入階數(shù)R＝');m=input('輸入階數(shù)spec2=garchset('R',r,'M',m,'Disy','off');%指定模型的結(jié)構(gòu)[coeffX,errorsX,LLFX]=garchfit(spec2,da) [sigmaForecast,w_Forecast]=garchpred(coeffX,da,10) %計(jì)算10步預(yù)報(bào)值 %計(jì)算原始數(shù)據(jù)的10步預(yù)測(cè)值負(fù)荷1小時(shí)為采樣間隔，顯然Xt將包24小時(shí)的周期性變化。一般，上午有一sXt(1Bs)XD(1Bs)Dt時(shí)間序列{Xtt0,1,2,L如果滿足下列模型：(Bs)DX(Bs tB(Bs)1BsB2sL B (Bs)11Bs2B2sLQ式（151）中，Et一般不必是白噪聲，而可設(shè)它是另一個(gè)ARIMA(p,d,q)序(B)dEt(B)由式

(Bs)dDX(Bs)d (B)(Bs)dDX(Bs)(B)dE(Bs) 令WtdDX t(B)(Bs)Wt(B)(Bs t式（152）稱為乘積型季節(jié)性模型，其階數(shù)常用(p,d,q)(P,D,Q)表示。式（152）中的WX經(jīng)差分dDX的 列相鄰時(shí)刻與相隔為周期s的時(shí)刻之間復(fù)雜變化的規(guī)律。例如，W(1B)(1Bs

W(1BBs 1 它是MA(s1)模型，但是其系數(shù)1,2,L,s102Ls10，s1，s11）(0d,10D,1)sW(1B)(1Bs 2）(0d,11D,1)s(1Bs)W(1B)(1Bs 3）(0,d,2)0,D,2)sW(1B

B2)(1BsB2s

例 測(cè)得某地區(qū)一口井7年的水埋深數(shù)據(jù)如表 所示試預(yù)報(bào)第年全年 例 789111263647510687解（1）12個(gè)月的季W(wǎng)t12對(duì)Wt進(jìn)行稠密系數(shù)ARMA模型擬合。用選取的pq的各種階數(shù)形式進(jìn)行試算，用計(jì)算的程序如下：loadwater.txt;%water.txt % fori=s+1:m1y(i-s)=x(i)-x(i-m2=length(y);%周期差分后數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù) m3=length(w);%計(jì)算最終差分后數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)fori=0:3forspec=garchset('R',i,'M',j,'Disy','off');%指定模型的結(jié)構(gòu)[coeffX,errorsX,LLFX]=garchfit(spec,w); %computeAkaikeandBayesianInformationCriteria savebdataxywnm1m2 789spec2=garchset('R',1,'M',13,'Disy','off');%指定模型的結(jié)構(gòu)[coeffX,errorsX,LLFX]=garchfit(spec2,w); [sigmaForecast,w_Forecast]=garchpred(coeffX,w,n)%求w的預(yù)報(bào)值 %求y的預(yù)報(bào)值forx(m1+j)=yhat(j)+x(m1+j- 例 89解（1）這一時(shí)間序列的圖形見(jiàn)圖3。3數(shù)據(jù)變化趨而且波動(dòng)的幅度越來(lái)越大。這個(gè)例子是Box－Jenkins建模的范例。該范例采用了數(shù)據(jù)變換的方法使數(shù)據(jù)平穩(wěn)化。對(duì)Xt作對(duì)數(shù)變換Ytln設(shè)Yt為一個(gè)乘積型季節(jié)性序列。對(duì)Yt再作差WttW(11B2B2L13B13)tloadhang.txt; x=log(x0);%做對(duì)數(shù)變換y=lnx %周期s=12 fori=s+1:m1y(i-s)=x(i)-x(i-m2=length(y);%周期差分后數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù) m3=length(w);%計(jì)算最終差分后數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)fori=0:3forspec=garchset('