第9講 數(shù)論綜合（講義）人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)

第9講小升初專項(xiàng)復(fù)習(xí)（6）——數(shù)論綜合思維啟航一、訓(xùn)練目標(biāo)知識(shí)傳遞：掌握數(shù)論的相關(guān)知識(shí)，并能用之分析、解決一些數(shù)論基本問(wèn)題。能力強(qiáng)化：分析能力、理解能力、推理能力、轉(zhuǎn)化能力、推算能力、綜合能力。思想方法：整除思想、奇偶思想、比較思想、對(duì)應(yīng)思想、恒等思想、同余思想。二、知識(shí)與方法歸納1．?dāng)?shù)的整除（1）熟悉并掌握2、3、5、9的倍數(shù)的特征。（2）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4或25整除，這個(gè)數(shù)就一定能被4或25整除。（4×25=100）（3）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8或125整除。那么這個(gè)數(shù)就能被8或125整除。（8×125=1000）（4）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)的差分別能被7、11、13整除，這個(gè)數(shù)就能被7、11、13整除。另外，一個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和的差（差等于0比較常見(jiàn)）能被11整除，這個(gè)數(shù)就能被11整除。（很常用，請(qǐng)牢記。）（7×11×13=1001）（5）如果兩個(gè)數(shù)都能被同一個(gè)數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和或差也能被這個(gè)數(shù)整除。即如果cQUOTE︱a，c︱b，則c︱（a+b）或c︱（a-b）。（6）如果一個(gè)數(shù)能被另一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)的整倍數(shù)也一定能被另一個(gè)數(shù)整除。即如果c︱a，b是整數(shù)，則c︱ab。（7）如果一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除，第二個(gè)數(shù)又能被第三個(gè)數(shù)整除，那么，第一個(gè)數(shù)也能被第三個(gè)數(shù)整除。即如果a︱b，b︱c，則a︱c。（8）如果一個(gè)數(shù)能同時(shí)被另外兩個(gè)數(shù)整除，而且這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么這一個(gè)數(shù)一寂能被另外兩個(gè)數(shù)的積整除。即如果a︱c，b︱c，且a、b互質(zhì)，則ab︱c。2．奇數(shù)和偶數(shù)（1）兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，兩個(gè)數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)奇偶性相同；兩個(gè)數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶。（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個(gè)偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。（3）若干個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，如果若干個(gè)數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；如果若干個(gè)數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（4）相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。因?yàn)椋?n）2=因?yàn)椋?n+1）2（7）如果一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)（包括1和這個(gè)數(shù)本身），那么這個(gè)數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個(gè)整數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定不是平方數(shù)。3.質(zhì)數(shù)與合數(shù)（1）一個(gè)數(shù)的約數(shù)只有1和它本身的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫素?cái)?shù)。反之，一個(gè)數(shù)的約數(shù)除了1和它本身以外，還有其他的約數(shù)，這個(gè)數(shù)就叫合數(shù)。（2）由于1的約數(shù)只有1個(gè)，所以1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。（3）兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)只有1，而沒(méi)有其他公約數(shù)的，這兩個(gè)數(shù)就叫互質(zhì)數(shù)。（4）質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)這兩個(gè)概念沒(méi)有什么聯(lián)系。兩個(gè)質(zhì)數(shù)，不能肯定就是互質(zhì)數(shù)。只有兩個(gè)不相同的質(zhì)數(shù)，才能肯定是互質(zhì)數(shù)。另外，兩個(gè)合數(shù)既可能是互質(zhì)數(shù)，也可能不是互質(zhì)數(shù)，但不能說(shuō)兩個(gè)合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)。（5）把一個(gè)合數(shù)分解成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的過(guò)程，就叫做分解質(zhì)因數(shù)。4.公因數(shù)和最大公因數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。一般地我們用（a,b）表示a,b這兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,則a,b兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。5.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。一般地，我們用[a,b]表示自然數(shù)a,b的最小公倍數(shù)，如[12，18]=36。6.最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（1）最大公因數(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)一般有以下幾種方法：①分解質(zhì)因數(shù)法②短除法③輾轉(zhuǎn)相除法④小數(shù)縮倍法⑤公式法：a×b=（a,b）×[a,b]，這個(gè)公式表示：兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。（2）最小公倍數(shù)求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法也有以下幾種：①分解質(zhì)因數(shù)法②短除法③公式法：a×b=（a,b）×[a,b]，這個(gè)公式表示：兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。④大數(shù)翻倍法思維進(jìn)階例1.有四個(gè)小朋友，年齡逐個(gè)增加兩歲，4個(gè)人年齡的乘積是9009，問(wèn)其中年齡最大的一個(gè)是幾歲？例2.要使4個(gè)數(shù)的乘積135×975×342×（）的結(jié)果最后5位數(shù)字全是0，（）內(nèi)的數(shù)最小應(yīng)是多少？思維訓(xùn)練1一個(gè)正整數(shù)與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，的最小值與這個(gè)完全平方數(shù)分別是多少？例3.求5957與4107的最大公因數(shù)。例4.在2012后面補(bǔ)上3個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，這個(gè)七位數(shù)最大是多少？思維訓(xùn)練2一本陳年老賬上記著：88只桶，共□67.9□元。這里□處字跡不清?！跆帞?shù)字是多少？桶的單價(jià)是多少元？例5.（1）480有幾個(gè)因數(shù)？（2）求3715×266+4583×2172-1518×216除以11的余數(shù)。例6.（1）一堆蘋(píng)果,7個(gè)數(shù)余6個(gè),9個(gè)數(shù)余8個(gè),11個(gè)數(shù)余10個(gè),這堆蘋(píng)果至少是多少個(gè)?（2）有一堆水果，按3個(gè)一堆分多1個(gè)，按4個(gè)一堆分也多1個(gè)，按5個(gè)一堆分也多1個(gè)。這堆水果至少有多少個(gè)？（3）一個(gè)大于1的整數(shù)，除300，262，205，得到相同的余數(shù)，這個(gè)整數(shù)是多少？思維深化（訓(xùn)練時(shí)間：滿分：120分，訓(xùn)練得分：）1.計(jì)算題。（每小題5分，共20分）（1）計(jì)算下面各題：EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)+EQ\F(1,32)+EQ\F(1,64)1EQ\F(1,3)－EQ\F(7,12)+EQ\F(9,20)－EQ\F(11,30)+EQ\F(13,42)－EQ\F(15,56)（2）解下列方程：2.填空題。（每空10分，共60分）（1）分解質(zhì)因數(shù)：54=（）；120=（）。（2）在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)馁|(zhì)數(shù)：148=（）+（）+（）。（3）三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是120，這三個(gè)數(shù)分別是（）、（）、（）。（4）一個(gè)兩位數(shù)去除253，得到的余數(shù)是43，那么這個(gè)兩位數(shù)是（）。（5）已知六位數(shù)33□34□，如果它能被28整除，這個(gè)六位數(shù)是（）。（6）一堆水果，按3個(gè)一堆分少1個(gè)，按4個(gè)一堆分也少1個(gè)，按5個(gè)一堆分也少1個(gè)。這堆水果至少有（）個(gè)。3.解答題。（每小題10分，共40分）（1）有12張卡片，其中有3張上面寫(xiě)著1，3張寫(xiě)著3，3張寫(xiě)著5，3張寫(xiě)著7.問(wèn)：能否從中選出5張，使它們上面的數(shù)字之和為20？為什么？（2）現(xiàn)在有100枝玫瑰花，80枝康乃馨和60枝蘭花，要配成同樣的花束，最多可以配多少束？每束中三種花各有幾枝？（3），積的末尾一共有多少個(gè)0？（4）69，90，125被某個(gè)正整數(shù)除時(shí)，余數(shù)相同，試求這個(gè)數(shù)的最大是多少？思維體操猜牌問(wèn)題S先生、P先生、Q先生他們知道桌子的抽屜里有16張撲克牌：紅桃A、Q、4黑桃J、8、4、2、7、3草花K、Q、5、4、6方塊A、5。約翰教授從這16張牌中挑出一張牌來(lái)，并把這張牌的點(diǎn)數(shù)告訴P先生，把這張牌的花色告訴Q先生。這時(shí)，約翰教授問(wèn)P先生和Q先生：你們能從已知的點(diǎn)數(shù)或花色中推知這張牌是什么牌嗎？于是，S先生聽(tīng)到如下的對(duì)話：P先生：我不知道這張牌。Q先生：我知