橢圓的參數(shù)方程

橢圓的參數(shù)方程教學(xué)目標(biāo)：了解橢圓的參數(shù)方程及參數(shù)的意義，并能利用參數(shù)方程來(lái)求最值、軌跡問(wèn)題;通過(guò)橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的參數(shù)方程。教學(xué)難點(diǎn)：橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的理解.教學(xué)方式：講練結(jié)合，引導(dǎo)探究。教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：三+二=1（。>b>0）a2b2焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：^2+抒=1（a>b>0）a2b2二、橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的參數(shù)方程因?yàn)椋ㄈ?+（y）2=1，又C0S2甲+sin2甲=1ab設(shè)x=cos飽y=sin中，即「=aC0S氣這是中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓ab [y=bsin甲的參數(shù)方程。y__TOC\o"1-5"\h\z參數(shù)中的幾何意義 X問(wèn)題、如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以a，b，七（a>b>0）為半徑作兩個(gè)圓。設(shè)A為大圓上的一4——:”']一"任意一點(diǎn)，連接OA,與小圓交于點(diǎn)B。過(guò)點(diǎn)A作 尤AN±ox，垂足為N，過(guò)點(diǎn)B作BMXAN，垂足 /為M，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡 ?.、參數(shù)方程.設(shè)以O(shè)x為始邊，OA為終邊的角為甲，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,y）。那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y。由于點(diǎn)A,B均在角甲的終邊上，由三角函數(shù)的定義有x=1OAIcos中=acos中，y=IOBIsin中=bcos中。當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，就得到了點(diǎn)M的軌跡，它的參數(shù)方程是|x=acos甲 （中為參數(shù)）[y=bsin甲這是中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的參數(shù)方程。在橢圓的參數(shù)方程中，通常規(guī)定參數(shù)甲的范圍為^e[0,2兀）。{x=rcosB八（。為參數(shù)）y=rsin6中參數(shù)6的意義類似嗎？由圖可以看出，參數(shù)甲是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓的半徑OA（或OB）的旋轉(zhuǎn)角（稱為點(diǎn)M的離心角），不是OM的旋轉(zhuǎn)角。參數(shù)6是半徑OM的旋轉(zhuǎn)角。焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的參數(shù)方程、、\x=bcos甲+J,U>]y=asin甲b2a2三、例題分析例1.把下列普通方程化為參數(shù)方程?+22=1 ⑵x2+翌=14 9 16（3）號(hào)+噲=1 （4）若+100=1

變式：把下列參數(shù)方程化為普通方程2cos3sincos4sin2cos3sincos4sin8cos10sin,、x 3cos⑷y 5sin例2.已知橢圓mb21ab0),求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值.解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(acos,bsin)S 4|acosbsin|2ab|sir2|2ab., k.?當(dāng)^a(kZ)^S矩形2ab最大。所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為2ab2y100例3、在橢圓牛了1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到直線x2y100的距離最小，并求出最小距離x3cos解：因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為 (為參數(shù))y2sin所以可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3cos,2sin)。由點(diǎn)到直線的距離公式，得到點(diǎn)M到直線的距離為◎十4sin<p一10cos<p,-y+sin<p?§)—1075

其中啊漪足cos 1瘟宜物==u由三角函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)甲一轉(zhuǎn)=0時(shí)"，"取最小值"敏此時(shí)，3cos/=3cos啊-=號(hào)？2奇11雪=Zsin啊=^.因此.當(dāng)點(diǎn)M位于自哥時(shí)，點(diǎn)M與直線舛電一1。=。的距離取最小值屆變式1：與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行類比，你能在實(shí)數(shù)尤,y滿足22+希=1的前提下，求出z=x-2伸勺最大值和最小值嗎？由此可以提出哪些類似的問(wèn)題？變式2、設(shè)尸（x,y）是橢圓2x2+3y2=12上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求x+2y的取值范圍。解：橢圓的方程可化為二+之=1,6 4它的一個(gè)參數(shù)方程為{X=*6cos°（9為參數(shù)，0<9<2兀）y=2sin9x+2y=\/6cos9+4sin9=\22cos（9一中）cos（9-中）e[-1,1]:;:x+2ye[-J22,V'22]四、課堂練習(xí)1、尸1、尸是橢圓{x=4cos9

y=2,3sin9（9為參數(shù)）上一點(diǎn)，且在第一象限，冗OP（O為原點(diǎn)）的傾斜角為-，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為A、（2,3）,B、；志,4<15） C、（2、3、方）,D、（4,3）答案：B解：。戶的傾斜角為生k=tan—=(3又k=—=2^3si;。=、33op3opx4cos0sin0=2cos0又sin20+cos20=1,且點(diǎn)尸在第一象限「.cos0=—,sin0=至95 5從而有入=4cos0=^^>—=2(3sin0=~~5~2.已知圓的方程為x2+—2-4xcos0-2—sin0+3cos20=0,(0為參數(shù))，那么圓心的軌跡的普通方程為?解：方程X2+—2一4xcos0一2—sin0+3cos20=0,可以化為(x-2cos0)2+(—-sin0)2=1所以圓心的參數(shù)方程為｛X="O嚴(yán)(0為參數(shù))，化為普通方程是蘭+—2=1—=sin0 4五、 課堂小結(jié):本課要求大家了解了橢圓的參數(shù)方程及參數(shù)的意義，通過(guò)推導(dǎo)橢圓的參數(shù)方程，體會(huì)求曲線的參數(shù)方程方法和步驟，對(duì)橢圓的參數(shù)方程常見(jiàn)形式要理解和掌握，并能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程正確使用參數(shù)式來(lái)求解最值問(wèn)題，六、 課后作業(yè)：課本P34頁(yè)1、2.七、 板書設(shè)計(jì)橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 3.例題分析參數(shù)的幾何意義八、