原理后半部分激光器件

激光原理與器件（二）文錦輝

2016年5月主要參考書目《激光器件原理與設(shè)計(jì)》第2版，李適民、黃維玲等編，國(guó)防工業(yè)出版社，2005年《光纖激光器及其應(yīng)用》，郭玉彬、霍佳雨主編，科學(xué)出版社，2008年3.《激光器件與技術(shù)》，劉敬海、徐榮甫主編，北京理工大學(xué)出版社，1995年4.《固體激光工程》(Solid-StateLaserEngineering)，W.Koechner著，孫文、江澤文等譯，科學(xué)出版社5.《半導(dǎo)體激光器》閻吉祥主編，高等教育出版社激光器的分類按工作波段分類遠(yuǎn)紅外、紅外激光器可見(jiàn)光激光器紫外、真空紫外激光器X光激光器按運(yùn)轉(zhuǎn)方式分類連續(xù)激光器脈沖激光器超短脈沖激光器按工作物質(zhì)分類氣體激光器固體激光器液體激光器（染料）半導(dǎo)體激光器光纖激光器化學(xué)激光器自由電子激光器★授課內(nèi)容第一講：激光基礎(chǔ)知識(shí)補(bǔ)充光學(xué)諧振腔理論第二講氣體激光器氣體放電基本原理，He-Ne,Ar+,CO2激光器的工作特性和應(yīng)用第三講固體激光器光泵浦方式，熱效應(yīng)影響；紅寶石,YAG和釹玻璃激光器的特性與設(shè)計(jì)第四講半導(dǎo)體激光器

半導(dǎo)體激光器的工作特性（模式，動(dòng)態(tài)特性）；各種類型的半導(dǎo)體激光器（同質(zhì)結(jié)、異質(zhì)結(jié)、分布反饋,量子阱、表面發(fā)射）授課內(nèi)容第五講光纖激光器

光纖激光器的工作原理；稀土摻雜、雙包層大功率激光器，其它新型光纖激光器（如PCF）；光纖激光器的用途第六講其它激光器

染料、準(zhǔn)分子、化學(xué)和自由電子激光器的結(jié)構(gòu)和特性課程要求考勤：習(xí)題作業(yè)：

共布置3次作業(yè)，兩周內(nèi)完成作業(yè)上交。激光器的結(jié)構(gòu)激光器基本構(gòu)成：工作物質(zhì)：激光器的核心。譜線波段，增益，結(jié)構(gòu)形態(tài)。泵浦源：電、光、熱、化學(xué)能、核能激勵(lì)。激光電源，控制電路，能量轉(zhuǎn)換效率。光學(xué)諧振腔：為激光振蕩建立提供正反饋；其參數(shù)影響輸出激光束的質(zhì)量。穩(wěn)定性，模式；鏡片加工和鍍膜工藝，調(diào)整精度。輔助設(shè)施：散熱系統(tǒng)，濾光設(shè)施。調(diào)Q，鎖模，穩(wěn)頻，選模，放大。激光器的性能指標(biāo)能量特性：平均功率，轉(zhuǎn)換效率，功率穩(wěn)定性

對(duì)于脈沖激光器：峰值功率，單脈沖能量、脈沖重復(fù)率

時(shí)間特性：相干時(shí)間、脈沖寬度光譜特性：波段，帶寬，單色性，可調(diào)諧？光束質(zhì)量：模式，穩(wěn)定性，方向性、空間相干性體積（包括泵浦源、冷卻系統(tǒng)）：全固態(tài)？便攜性，環(huán)境適應(yīng)能力不同激光器性能各異，滿足不同應(yīng)用的需要。第一講：激光基礎(chǔ)知識(shí)補(bǔ)充第一章光學(xué)諧振腔理論第一章光學(xué)諧振腔理論最簡(jiǎn)單的光學(xué)諧振腔，是由在激活介質(zhì)兩端恰當(dāng)?shù)胤胖脙蓚€(gè)鍍有高反射率的反射鏡構(gòu)成。常用的基本概念：光軸：光學(xué)諧振腔中間垂直與鏡面的軸線孔徑：光學(xué)諧振腔中起著限制光束大小、形狀的元件，大多數(shù)情況下，孔徑是激活物質(zhì)的兩個(gè)端面，但一些激光器中會(huì)另外放置元件以限制光束為理想的形狀。（一）光腔理論的一般問(wèn)題

一、光學(xué)諧振腔的構(gòu)成光學(xué)諧振腔的種類諧振腔的開放程度，閉腔、開腔、氣體波導(dǎo)腔開放式光學(xué)諧振腔(開腔)，通?？梢苑譃榉€(wěn)定腔、非穩(wěn)定腔反射鏡形狀，球面腔與非球面腔，端面反射腔與分布反饋腔反射鏡的多少，兩鏡腔與多鏡腔，簡(jiǎn)單腔與復(fù)合腔閉腔、開腔、氣體波導(dǎo)腔閉腔氣體波導(dǎo)腔固體激光器的工作物質(zhì)通常具有比較高的折射率，在側(cè)壁上將發(fā)生大量的全反射。如果腔的反射鏡緊貼激光棒的兩端，作為介質(zhì)（閉）腔來(lái)處理。通常認(rèn)為側(cè)面沒(méi)有光學(xué)邊界。典型結(jié)構(gòu)：一段空心介質(zhì)波導(dǎo)管兩端的適當(dāng)位置上放置反射鏡。在空心介質(zhì)波導(dǎo)管內(nèi)，光場(chǎng)服從波導(dǎo)中的傳播規(guī)律；在波導(dǎo)管與腔鏡之間的空間中，光場(chǎng)按與開腔中類似的規(guī)律傳播。開腔穩(wěn)定腔和非穩(wěn)定腔看在腔內(nèi)是否存在穩(wěn)定振蕩的高斯光束，或者光線在腔內(nèi)往返傳播時(shí)是否容易逸出腔外。由兩個(gè)以上反射鏡構(gòu)成的腔：折疊腔，環(huán)形腔n2>n1，n2>n3開腔內(nèi)插入透鏡一類光學(xué)元件——復(fù)合腔二、腔的模式腔的模式：光學(xué)諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場(chǎng)的本征態(tài)諧振腔所約束的一定空間內(nèi)存在的電磁場(chǎng)，只能存在一系列分立的本征態(tài)

腔內(nèi)電磁場(chǎng)的本征態(tài)

麥克斯韋方程組,腔的邊界條件模的基本特征：1、每一個(gè)模的電磁場(chǎng)分布

E(x,y,z)，腔的橫截面內(nèi)的場(chǎng)分布（橫模）和縱向場(chǎng)分布（縱模）；2、每一個(gè)模在腔內(nèi)往返一次經(jīng)受的相對(duì)功率損耗；3、每一個(gè)模的激光束發(fā)散角。腔的參數(shù)唯一確定模的基本特征。開腔傍軸傳播模式的縱模特征傍軸光線：光傳播方向與腔軸線夾角非常小，可認(rèn)為

sintanE0-E0E1E2E3開腔傍軸傳播模式的縱模頻率間隔(F-P腔，平面波):

光波在腔內(nèi)往返一次的相位滯后:光波在腔內(nèi)往返一次的電場(chǎng)變化率（=12）E0E1=E0e-jE2=E1e-jE4E3=E2e-jET=E0+E1+E2+E3+E4+…ET當(dāng)||1的情況下（往返傳播次數(shù)無(wú)限多），只有當(dāng)=q2時(shí)，ET幅度可以達(dá)到腔內(nèi)縱模需要滿足的諧振條件相長(zhǎng)干涉條件：腔中某一點(diǎn)出發(fā)的波，經(jīng)往返一周回到原來(lái)位置時(shí)，應(yīng)與初始出發(fā)的波同相位。0—真空中的波長(zhǎng)；L’—腔的光學(xué)長(zhǎng)度為腔內(nèi)介質(zhì)折射率縱模間隔

多縱模情況下，不同的縱模對(duì)應(yīng)腔內(nèi)不同的駐波場(chǎng)分布縱模序數(shù)q對(duì)應(yīng)駐波場(chǎng)波節(jié)個(gè)數(shù)

在F-P腔中均勻平面波縱模場(chǎng)分布的特點(diǎn)——場(chǎng)沿腔的軸線方向形成駐波，駐波的波節(jié)數(shù)為q，波長(zhǎng)為q?？v模間隔與序數(shù)q無(wú)關(guān)，在頻率尺度上等距排列；縱模間隔大小與腔長(zhǎng)成反比。腔的縱模在頻率尺度上是等距離排列的

激光器諧振腔內(nèi)可能存在的縱模示意圖激光器中可能出現(xiàn)的縱模數(shù)工作原子自發(fā)輻射的熒光線寬DnD越大，可能出現(xiàn)的縱模數(shù)越多。激光器腔長(zhǎng)越大，相鄰縱模的頻率間隔越小，同樣的熒光譜線線寬內(nèi)可以容納的縱模數(shù)越多。諧振腔具有選頻作用：激光的單色性明顯優(yōu)于熒光，特別是單頻情形。單頻激光器和多模激光器L=10厘米和L=30厘米的He-Ne氣體激光器L=10厘米的He-Ne氣體激光器L=30厘米的He-Ne氣體激光器Ne原子的中心頻率：Ne原子的中心波長(zhǎng)：熒光光譜線寬：632.8nm激光縱模分布示意圖

橫?！獧M向X-Y面內(nèi)的穩(wěn)定場(chǎng)分布

激光的模式用符號(hào)：TEMmnqq為縱模的序數(shù)(縱向駐波波節(jié)數(shù))，m,n(p,l)為橫模的序數(shù)。

對(duì)于方形鏡，m表示X方向的節(jié)線數(shù)，n表示Y方向的節(jié)線數(shù)；對(duì)于圓形鏡，p表示徑向節(jié)線數(shù)，即暗環(huán)數(shù)，l

表示角向節(jié)線數(shù)，即暗直徑數(shù)基模(橫向單模)：m=n=0,其它的橫模稱為高階橫模方形反射鏡和圓形反射鏡的橫模圖形(TEMplq)軸對(duì)稱模式TEMmnm表示X方向的節(jié)線數(shù)，n表示Y方向的節(jié)線數(shù)(c)TEM02(d)TEM03(a)TEM00(b)TEM10旋轉(zhuǎn)對(duì)稱模式TEMpl

p表示徑向節(jié)線數(shù)，即暗環(huán)數(shù);l表示角向節(jié)線數(shù)

橫模電場(chǎng)分布及強(qiáng)度示意圖(a)TEM00

(b)TEM10

(c)TEM20橫模的形成a、諧振腔中穩(wěn)定的激光等效于任何波面的光通過(guò)一系列相同光欄后形成的自再現(xiàn)光場(chǎng)（高斯光束）b、光欄有衍射，因此在光束的不同位置光將形成干涉疊加，這種穩(wěn)定的疊加就形成了橫模c、不同位置穩(wěn)定場(chǎng)形成的條件不同，故而有不同頻率。不同頻率的橫模的光場(chǎng)有不同的橫向分布，它們是重疊在激光腔的同一空間內(nèi)。初始入射波自再現(xiàn)模211橫模的形成激光多橫模振蕩示意圖激光模式的測(cè)量方法橫模的測(cè)量方法：在光路中放置一個(gè)光屏；拍照；小孔或刀口掃描方法獲得激光束的強(qiáng)度分布，確定激光橫模的分布形狀縱模的測(cè)量方法：法卜里－珀洛F-P掃描干涉儀測(cè)量，實(shí)驗(yàn)中利用球面掃描干涉儀縱模的測(cè)量方法：球面掃描干涉儀測(cè)量測(cè)量原理：通過(guò)測(cè)量激光輸出的頻率譜來(lái)判定模式?波片球面掃描干涉儀工作原理兩球面鏡：組成無(wú)源腔；小孔光闌：增加高次橫模的衍射損耗，選基橫模。壓電陶瓷：通過(guò)改變電壓引起腔長(zhǎng)改變，導(dǎo)致該無(wú)源腔所允許通過(guò)的激光頻率改變;示波器的鋸齒波掃描電壓，對(duì)激光允許通過(guò)的頻率作周期性的掃描;光電探測(cè)器：接收掃描到的激光頻率;雙凸薄透鏡：待測(cè)的激光光束變換為無(wú)源腔的高斯光束，使待測(cè)激光束的全部能量耦合到無(wú)源腔的基模中去。偏振器和1/4波片：組成光學(xué)隔離器，防止光重新回到待測(cè)激光器中去.（二）幾何光學(xué)分析方法一、幾何光學(xué)中的光線傳輸矩陣（ABCD矩陣）1.光線的特征參量r－光線離光軸的距離

－光線與光軸的夾角rz光線矩陣和光線矢量Opticalsystem?2x2RaymatrixABCD矩陣r0,q0r’,q’用微分表示光線矩陣角放大率空間放大率2.自由空間區(qū)的光線矩陣A處：r0,q0B處：r’,q’LAB自由空間光線矩陣

3.空氣與介質(zhì)(折射率為n2)的界面入射出射4.薄透鏡傳輸矩陣f注意：Tf表示光線從透鏡前表面?zhèn)鞑サ胶蟊砻娴淖兓?.球面鏡反射矩陣薄透鏡與球面反射鏡等效R由幾個(gè)元件組成的系統(tǒng)，將光線矩陣相乘。T1T3T2注意矩陣相乘的順序！例子：透鏡組的矩陣（截面1→截面2）f1f2L截面1截面2當(dāng)B=0，系統(tǒng)成像當(dāng)B=0時(shí),

從點(diǎn)

xin出發(fā)的光線，不管光線的角度如何，都將匯集在同一點(diǎn)

xout上r’=Ar0可推導(dǎo)出透鏡定律T6.ABCD矩陣的應(yīng)用：球面鏡腔球面鏡腔中往返一周的光線矩陣薄透鏡與球面反射鏡等效L往返周期單位

其中光線往返n次時(shí)j取實(shí)數(shù)，要求（利用薛爾凡斯特定理）（穩(wěn)定腔條件）總結(jié)：1、反射鏡R符號(hào)規(guī)定：凹面向著腔內(nèi)，R>0，相當(dāng)于凸薄透鏡f>0；凸面向著腔內(nèi)時(shí)，R<0，相當(dāng)于凹薄透鏡f<0。2、對(duì)于同樣的光線傳播次序，往返矩陣T、Tn與初始坐標(biāo)（r0,0）無(wú)關(guān)；3、當(dāng)光線傳播次序不同時(shí)，往返矩陣不同，但(A+D)/2相同。二、共軸球面腔的穩(wěn)定性條件1、穩(wěn)定腔——傍軸光線在腔內(nèi)任意多次往返不會(huì)橫向逸出腔外2、非穩(wěn)腔——傍軸光線在腔內(nèi)有限次往返必然從側(cè)面溢出腔外適用于任意的共軸球面腔雙鏡共軸球面腔3、臨界腔（2）平行平面腔

(R1=R2=,g1=g2=1)不穩(wěn)定穩(wěn)定

雖然是臨界腔，其實(shí)是穩(wěn)定的（1）對(duì)稱共焦腔：滿足R1=R2=L，此時(shí)g1=g2=0；類似于平行平面腔，通過(guò)公共中心的光線穩(wěn)定 不通過(guò)公共中心的光線不穩(wěn)定

適用任何形式的腔,只需列出往返矩陣就能判斷其穩(wěn)定性（3）共心腔

(R1+R2=L)雙鏡光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定區(qū)諧振腔穩(wěn)定性的幾何判別法1、任一鏡的兩個(gè)特征點(diǎn)(頂點(diǎn)與曲率中心)之間,只包含另一鏡的一個(gè)特征點(diǎn)時(shí),為穩(wěn)定;包含兩個(gè)特征點(diǎn)或不含特征點(diǎn)時(shí)為非穩(wěn)。2、兩鏡特征點(diǎn)有重合時(shí),一對(duì)重合為非穩(wěn);兩對(duì)重合為穩(wěn)定。例穩(wěn)定：非穩(wěn)：腔的穩(wěn)定性的意義

腔的穩(wěn)定性，只是用來(lái)說(shuō)明傍軸光束是否能在腔內(nèi)往返足夠多次而不逸出腔外。即，穩(wěn)定性只是用來(lái)衡量傍軸光束幾何損耗高低。并不涉及腔的工作狀態(tài)是否穩(wěn)定的問(wèn)題（不是能否形成穩(wěn)定激光振蕩的判據(jù)）。穩(wěn)定腔的損耗較低，對(duì)增益不太大的工作物質(zhì)，用它作諧振腔比較容易起振產(chǎn)生激光；而非穩(wěn)腔的損耗較高，對(duì)增益較高的工作物質(zhì)，同樣可以起振，也可以穩(wěn)定的工作。實(shí)際上用“低損耗腔”與“高損耗腔”這樣的名稱來(lái)表達(dá)會(huì)更加貼切。2023/2/2057三、非穩(wěn)腔的特性

激光器產(chǎn)生初期，為了得到激光一般都采用穩(wěn)定腔，因?yàn)榉€(wěn)定腔損耗小，容易實(shí)現(xiàn)激光輸出。隨著高功率激光器的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定腔存在一些缺點(diǎn)：（1）束腰半徑小，光強(qiáng)很大時(shí)容易損傷激光介質(zhì)（2）模體積小，輸出功率?。?）發(fā)散角大（因?yàn)槭。┓欠€(wěn)腔的優(yōu)點(diǎn)模體積大，輸出功率高具有較好的選模能力，容易實(shí)現(xiàn)單橫模輸出，提高光束的定向性和亮度。能實(shí)現(xiàn)激光側(cè)向輸出。2023/2/20592023/2/2060非穩(wěn)腔的幾何自再現(xiàn)波形

非穩(wěn)腔的能量放大率非穩(wěn)腔的能量損耗率有用損耗（三）開腔的衍射理論分析方法一、理想開腔模型，孔闌傳輸線理想開腔模型：兩塊反射鏡片（平面或曲面）沉浸在均勻、無(wú)限、各向同性的介質(zhì)中。

不考慮幾何偏折損耗情況下（穩(wěn)定腔），由于反射鏡的有限大小導(dǎo)致的衍射損耗，將決定開腔中激光震蕩能量的空間分布。在反射鏡邊緣處由于衍射發(fā)生損耗，進(jìn)而改變us+1的分布。當(dāng)經(jīng)過(guò)足夠多次渡越，形成這樣一種場(chǎng)分布，渡越時(shí)分布情況不再受衍射影響，只有整體按同樣比例衰減?！_腔的自再現(xiàn)?；驒M模孔闌傳輸線幅度、相位空間相干性的衍化1、初始入射波的形狀，不影響自再現(xiàn)模的形成；2、不同初始入射波，可能導(dǎo)致不同自再現(xiàn)模-橫模的形成。等效于波動(dòng)光學(xué)分析方法從波動(dòng)光學(xué)的菲涅耳-基爾霍夫衍射積分理論出發(fā)，可以建立一個(gè)描述光學(xué)諧振腔模式特性的本征積分方程。利用該方程原則上可以求得任意光腔的模式，從而得到場(chǎng)的振幅、相位分布，諧振頻率以及衍射損耗等腔模特性。雖然數(shù)學(xué)上已嚴(yán)格證明了本征積分方程解的存在性，但只有在腔鏡幾何尺寸趨于無(wú)窮大的情況下，該積分方程的解析求解才是可能的。對(duì)于腔鏡幾何尺寸有限的情況，迄今只對(duì)對(duì)稱共焦腔求出了解析解。多數(shù)情況下，需要使用近似方法求數(shù)值解。雖然衍射積分方程理論使用了標(biāo)量場(chǎng)近似，也不涉及電磁波的偏振特性，但與其他理論相比，仍可認(rèn)為是一種比較普遍和嚴(yán)格的理論。只研究無(wú)源諧振腔，又稱非激活腔或被動(dòng)腔，即無(wú)激活介質(zhì)存在的腔。雖然處于運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)的激光器的諧振腔都是存在增益介質(zhì)的有源腔(又稱激活腔或主動(dòng)腔)，但理論和實(shí)踐表明，對(duì)于中、低增益的激光器，無(wú)源腔的模式理論可以作為有源腔模式的良好近似。對(duì)于高增益激光器，適當(dāng)加以修正也是適用的。這是由于激活介質(zhì)的主要作用在于補(bǔ)償腔內(nèi)本征模在振蕩過(guò)程中能量的損耗，使之滿足諧振條件，形成和維持自激振蕩。其對(duì)場(chǎng)的空間分布以及諧振頻率的影響是次要的，不會(huì)使腔的模式發(fā)生本質(zhì)的改變。二、菲涅耳-基爾霍夫衍射積分S曲面上光場(chǎng)分布函數(shù)各子波源發(fā)出的球面波傾斜因子

u(x,y)可以看作S曲面上各子波源發(fā)出的非均勻球面波的疊加右圖左圖三、自再現(xiàn)模所應(yīng)滿足的積分方程考慮對(duì)稱開腔的情況：為與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的復(fù)常數(shù)，表示自再現(xiàn)模在渡越一次時(shí)的幅度衰減和相位滯后。若j足夠大，上式為自再現(xiàn)模場(chǎng)V(x,y)應(yīng)滿足的積分方程式，K(x,y,x’,y’)稱為積分方程的核。 |V(x,y)|描述鏡面上場(chǎng)振幅的分布， 輻角argV(x,y)描述鏡面上的相位分布。簡(jiǎn)化得注意：指數(shù)上的(x,y,x’,y’)不能做這樣的簡(jiǎn)化。其中其中

積分方程適用任何對(duì)稱光學(xué)開腔（平行平面，共焦，一般球面鏡腔）本征函數(shù)本征值滿足積分方程的任一個(gè)光場(chǎng)分布函數(shù)，稱為諧振腔的一個(gè)自再現(xiàn)模或橫模

要求出積分方程的解V(x,y)，應(yīng)根據(jù)開腔的具體幾何結(jié)構(gòu)寫出積分方程的具體形式。這一步的關(guān)鍵是要對(duì)指數(shù)項(xiàng)e-ikρ，將ρ(x,x’,y,y’)展開，舍去無(wú)關(guān)緊要的高階小量，將積分方程進(jìn)一步化簡(jiǎn)。1.本征函數(shù)形式－鏡面上振幅分布－鏡面上場(chǎng)的相位分布－鏡面上場(chǎng)分布函數(shù)(本征函數(shù)橫模)四、自再現(xiàn)模積分方程的解的物理意義

對(duì)應(yīng)于本征值mn2.本征值gmn

－復(fù)常數(shù)單程模振幅的衰減相移設(shè)g－量度自再現(xiàn)模的單程損耗,不同橫模有不同的g和dd

，g

模的單程損耗

dd－光場(chǎng)在腔中渡越一次的相對(duì)功率損耗－單程損耗3.單程相移

dmn

－自再現(xiàn)模在腔內(nèi)渡越一次的總相移開腔自再現(xiàn)模的諧振條件幾何相移附加相移，與模式有關(guān)若gmn被求解出來(lái),即可求得模的諧振頻率。兩種情況下的處理方式對(duì)稱開腔自再現(xiàn)模積分方程的本征函數(shù)決定了鏡面上不同橫模光場(chǎng)的振幅和相位分布。本征值決定了不同橫模的單程損耗、單程相移以及諧振頻率。非對(duì)稱開腔按光場(chǎng)在腔內(nèi)往返一周才能自再現(xiàn)這一條件寫出相應(yīng)的積分方程。此時(shí)，方程的本征函數(shù)解只能確定某一個(gè)鏡面上的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布,本征值的模表示自再現(xiàn)模在腔內(nèi)往返一次的功率損耗,輻角表示模往返一次的相移。

五、分離變量法Y方向和X方向無(wú)限長(zhǎng)的窄帶鏡的自洽積分方程1、矩形平面平行鏡腔平行平面腔的自再現(xiàn)模所滿足的積分方程至今尚未得到精確的解析解。這里首先給出矩形平行平面鏡腔模式積分方程的具體形式，然后介紹條形鏡平行平面腔自再現(xiàn)模積分方程的數(shù)值迭代解法，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果分析條形鏡平行平面腔自再現(xiàn)模的特征。（1）矩形平面鏡腔模式積分方程菲涅耳數(shù)N如果略去小量以Vm和Vn表示第m個(gè)和第n個(gè)解，m和n表示相應(yīng)的復(fù)常數(shù)：積分本征值問(wèn)題，m、n為一系列不連續(xù)的特定值，分別對(duì)應(yīng)相應(yīng)的本征函數(shù)Vm(x)和Vn(y)。要點(diǎn)：將求解一個(gè)二元函數(shù)積分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解兩個(gè)單元函數(shù)的積分方程。其中，第一式為在x方向?qū)挾葹?a，沿y方向無(wú)限延伸的條形鏡平面腔的模式積分方程。第二式為在y方向?qū)挾葹?b，沿x方向無(wú)限延伸的條形鏡平面腔的模式積分方程。由于這兩個(gè)方程的形式是完全一樣的，因而只須求解其中之一。（2）平行平面腔模的數(shù)值迭代解法

利用數(shù)值迭代法求解自再現(xiàn)模式積分方程首先由福克斯和厲鼎毅提出。用該方法求得了很多種類型諧振腔的數(shù)值解，給出了自再現(xiàn)模的各種特征，包括場(chǎng)的振幅和相位分布曲線，單程損耗和單程附加相移曲線等。因此稱為?？怂?厲迭代法（Fox-Li）。例如要求解基橫模，可先設(shè)u1=1,然后計(jì)算u2；歸一化u2，再計(jì)算u3；。。。。Fox-Li迭代法的重要意義：用逐次近似計(jì)算直接求出一系列自再現(xiàn)模，從而第一次證明了開腔模式的存在。雖然已經(jīng)嚴(yán)格證明了開腔模的存在性，但迭代法卻更為直觀。迭代法能加深對(duì)模的形成過(guò)程的理解，因?yàn)樗臄?shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程與波在腔中往返傳播而最終形成自再現(xiàn)模這一物理過(guò)程相對(duì)應(yīng)，而且用迭代法求出的結(jié)果使我們具體地、形象地認(rèn)識(shí)了模的各種特征。迭代法雖然比較繁雜，但卻具有普遍的適用性，它原則上可以用來(lái)計(jì)算任何幾何形狀的開腔中的自再現(xiàn)模，而且還可以計(jì)算諸如平行平而腔中腔鏡的傾斜、鏡面的不平整性等對(duì)模的擾動(dòng)。平行平面鏡腔模的疊代解法對(duì)于鏡的寬度為a×a的方形鏡對(duì)稱平平腔例：取a=25λ，L=100λ。右圖為經(jīng)第一次渡越（實(shí)線）及第300次渡越（虛線）后得到的振幅和相位分布初始分布：均勻平面波平行平面腔的自再現(xiàn)模（基模）的特點(diǎn)在鏡面中心處振幅最大，從中心到邊緣振幅逐漸降落，整個(gè)鏡面上的場(chǎng)分布具有偶對(duì)稱性。將具有這種特征的橫模稱為腔的最低階偶對(duì)稱?；蚧?。矩形鏡腔和圓形鏡腔的基模通常以符號(hào)TEM00表示。其中，振幅分布曲線為偶對(duì)稱形式，從鏡面中心到鏡邊緣光場(chǎng)振幅逐漸減小。相位分布曲線不是直線，而是有起伏的曲線，說(shuō)明鏡面不是等相面，在鏡面邊緣處相位產(chǎn)生滯后。TEM00不僅不再是均勻平面波，而且也已經(jīng)不再是平面波了。平行平面腔的自再現(xiàn)模（高階橫模）對(duì)不同形式的初始激發(fā)波作類似計(jì)算，可以得到條狀腔高階模的場(chǎng)分布。高階模振幅分布曲線出現(xiàn)零點(diǎn)，也就是在鏡面上出現(xiàn)節(jié)線，節(jié)線數(shù)與模階數(shù)一致。對(duì)于相同菲涅耳數(shù)的腔，高階模在鏡邊緣的相對(duì)場(chǎng)振幅比基模大，且隨模階數(shù)增高而增大，說(shuō)明模階數(shù)越高，在鏡面上形成的光斑尺寸越大。高階模的相位分布則在越過(guò)場(chǎng)節(jié)線時(shí)發(fā)生相位躍變。求出自再現(xiàn)模后，便可計(jì)算單程損耗和單程相移。條形鏡平面腔中基模與一階模的單程損耗與菲涅耳數(shù)之間的關(guān)系曲線

規(guī)律：對(duì)于同一橫模，δ唯一地由N值決定，且隨N的增大而減小。對(duì)于同一N值，δ隨模階次的增大而增大，其中基模的δ最低。計(jì)算結(jié)果表明，Dfm僅有幾度到幾十度，因此相對(duì)q可以忽略。

頻率間隔：KL為單程幾何相移，Dj為附加單程相移。對(duì)于同一橫模Dj由N唯一決定，且隨N的增大而增大?；５南嘁艱j最低。條形腔的自再現(xiàn)諧振頻率的計(jì)算公式單程相移P2(x’,y’)P1(x,y)P’1P’2D2D12、方形球面腔∴∵比平平腔多了這兩項(xiàng)方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模滿足積分方程：特例：對(duì)稱共焦腔對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模滿足條件R1＝R2=L的諧振腔稱為對(duì)稱共焦腔，這時(shí)腔的中心即為兩個(gè)鏡面的公共焦點(diǎn)。博伊德和戈登首先證明方形球面鏡共焦腔模式積分方程具有嚴(yán)格的解析函數(shù)解，它們是一組特殊定義的長(zhǎng)橢球函數(shù)，并且當(dāng)腔的菲涅耳數(shù)足夠大時(shí)，可近似表示為厄米多項(xiàng)式與高斯函數(shù)乘積的形式。而對(duì)于圓形球面鏡共焦腔，本征函數(shù)的解為超橢球函數(shù)，在腔的菲涅耳數(shù)足夠大的條件下，可近似表示為拉蓋爾多項(xiàng)式與高斯函數(shù)乘積的形式。據(jù)此，共焦腔模的一系列基本特征都可以解析地表示出來(lái)。此外，共焦腔的模式理論還可用來(lái)研究一般穩(wěn)定球面腔系統(tǒng)，因此在開腔模式理論中占有重要位置。共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解法1.解析解：

精確解

近似解方形鏡共焦腔長(zhǎng)橢球函數(shù)厄米～高斯函數(shù)圓形鏡共焦腔超橢球函數(shù)拉蓋爾～高斯函數(shù)2.數(shù)值解(數(shù)值迭代法)...…...振幅相位300次迭代結(jié)果（四）方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形共焦腔分離變量Vmn=Fm(X)Gn(Y)Y方向和X方向無(wú)限長(zhǎng)的窄帶鏡共焦腔的自洽積分方程其中一、精確解：長(zhǎng)橢球函數(shù)系采用類比法(m=0,1,2….)某確定值通過(guò)對(duì)比，找到了m,Fm(X)和n,Gn(Y)的表達(dá)式！對(duì)于一定的c值，可查長(zhǎng)橢球函數(shù)表確定徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)角向長(zhǎng)橢球函數(shù)

本征函數(shù)－角向長(zhǎng)橢球函數(shù)

表征鏡面上場(chǎng)的振幅、相位分布

本征值－徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)

決定模的相移和損耗均為實(shí)函數(shù)對(duì)給定c值，當(dāng)m、n取一系列不連續(xù)的整數(shù)時(shí)，即得到一系列本征函數(shù)鏡面上為等相位面。渡越時(shí)，附加相位由m,n決定可得二、厄米～高斯函數(shù)－近似解當(dāng)x<<a

，y<<a的區(qū)域內(nèi)，即在共焦反射鏡面中心附近，下面近似成立：近似解：角向長(zhǎng)橢球函數(shù)＝厄米多項(xiàng)式與高斯函數(shù)的乘積注：厄米多項(xiàng)式：當(dāng)c=2N>>1時(shí)，厄米-高斯函數(shù)能近似滿足積分方程；即使不能滿足c=2N>>1，厄米-高斯函數(shù)仍然能描述鏡面中心附近的共焦腔模的振幅和相位分布。至此，可得到了厄米-高斯近似下共焦鏡面上的場(chǎng)分布特性。Cmn－常系數(shù)厄米-高斯近似下，共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布特性：1、基模:TEM00

m=0,n=0y1/eEx基模在鏡面上分布為高斯型定義：光斑尺寸定義(1)—w0s：光斑尺寸定義(2)

：光強(qiáng)降到中心光強(qiáng)的一半處的半徑—w'0s：2、高階橫模的場(chǎng)振幅分布（m,n不同時(shí)為0）TEM00TEM10TEM20TEM03TEM11TEM31TEM0nTEM1nTEM2nTEM3n厄米多項(xiàng)式的零點(diǎn)決定場(chǎng)振幅的節(jié)線3、高階橫模的光斑尺寸定義：光場(chǎng)分布坐標(biāo)均方差值的四倍為光斑半徑的平方4、鏡面上光場(chǎng)的相位分布

的輻角決定鏡面上場(chǎng)的相位分布長(zhǎng)橢球函數(shù)為實(shí)函數(shù)，表明鏡面上各點(diǎn)場(chǎng)的相位值相等等相位面與共焦腔鏡面重合5、單程損耗(mn)

本征值－決定模的相移和損耗徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)

m、n與腔的菲涅爾數(shù)(N)腔的單程損耗

同種腔

ND

m,n

D

選橫模的物理基礎(chǔ)

不同腔共焦腔衍射損耗<平行平面鏡腔衍射損耗共焦腔TEM00近似公式00=10.9×10－4.94N方形鏡共焦腔的單程功率損耗不同光場(chǎng)的衍射損耗6.單程相移和諧振頻率

單程相移

諧振條件

諧振頻率

同一橫模的相鄰縱模的頻率間隔同一縱模的相鄰橫模的頻率間隔附加相位超前量模簡(jiǎn)并－不同模式有相同的頻率，模簡(jiǎn)并是共焦腔的一個(gè)特點(diǎn)頻率簡(jiǎn)并的不同橫模，其單程損耗并不相同同一頻率可以有多種模式可以存在：共焦腔的振蕩頻譜E0，Amn,w0

均為常數(shù)，

w0－基模高斯光束腰斑半徑

w(z)－

基模高斯光束z處光斑半徑w0=w(0)（五）方形鏡共焦腔的行波場(chǎng)：厄米-高斯光束菲涅耳-基爾霍夫衍射積分鏡面上的場(chǎng)腔內(nèi)、外任一點(diǎn)的場(chǎng)坐標(biāo)原點(diǎn)在腔中心在鏡面上的場(chǎng)能用厄米-高斯函數(shù)描述的情況下，共焦腔場(chǎng)可以表示為：在一定近似情況下：區(qū)別共焦腔鏡面上腰斑尺寸基模光斑大小變化規(guī)律——雙曲線函數(shù)

基模光斑尺寸

基模場(chǎng)振幅分布模體積－－模式在腔內(nèi)所擴(kuò)展的空間范圍

對(duì)稱共焦腔基模體積

高階模體積－模階次，模體積

模體積～有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)～輸出功率例：（二氧化碳激光器）=10.6m,L=1m,2a=20mm=5.3cm3

V=314cm3

/V=5.3/314=1.7%

難以獲得高功率w0s等相位面(波面)其中對(duì)于一個(gè)等相位面應(yīng)有L為共焦腔腔長(zhǎng)=2f相位的坐標(biāo)原點(diǎn)

k=2/為很大數(shù)近軸情況，z0z拋物面方程=f+z=f+z0近軸球面波cR0(x,y,z)zz00球面波y當(dāng)z>0時(shí)：比較近軸球面波近軸高斯光波比較

高斯光波在腔軸附近可近似為球面波， 球面半徑拋物面方程近軸處近似為球面當(dāng)z<0時(shí)，同樣處理可得：cR0(x,y,z)zz00球面波y等相位面在腔軸附近，拋物面球面，與m,n

模序數(shù)無(wú)關(guān)R(z0)

相等，共焦腔光束的波面在腔中心兩側(cè)對(duì)稱分布無(wú)窮遠(yuǎn)處，等相位面為平面共焦腔中心，波面為垂直腔軸的平面波面與共焦腔鏡面重合與波面重合的反射鏡面將不擾動(dòng)場(chǎng)的分布

光束波面的曲率中心曲率中心永遠(yuǎn)不會(huì)在共焦腔中心波面離腔中心越遠(yuǎn)，曲率中心離中心越近LL/2R0|z0|鏡面本身是波面，曲率中心落在另一個(gè)鏡面的中心在腔內(nèi)的波面，曲率中心落在腔外在腔外的波面，曲率中心落在腔內(nèi)遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角q(共焦腔基模光束)——光束方向性基模光斑大小變化規(guī)律——雙曲線函數(shù)

實(shí)例:He-Ne:

L=30cml=632.8nm~2.3

毫弧度

CO2:L=100cml=10.6m