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文檔簡介

2023年高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.2.在滿足,的實數(shù)對中,使得成立的正整數(shù)的最大值為()A.5 B.6 C.7 D.93.袋中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個小球,從袋子中一次性摸出兩個球,記下號碼并放回,如果兩個號碼的和是3的倍數(shù),則獲獎,若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎的概率是()A. B. C. D.4.已知α,β表示兩個不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,則“α∥β是“l(fā)∥β”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.一只螞蟻在邊長為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行,則在離三個頂點距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A. B. C. D.6.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.337.《九章算術(shù)》“少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列:列出“全步”(整數(shù)部分)及諸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去約其分子,將所得能通分之分數(shù)進行通分約簡,又用最下面的分母去遍乘諸(未通者)分子和以通之數(shù),逐個照此同樣方法,直至全部為整數(shù),例如:及時,如圖:記為每個序列中最后一列數(shù)之和,則為()A.147 B.294 C.882 D.17648.已知函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.9.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點最多,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A.k2+1C.k2+111.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A. B. C. D.12.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示,在這一年中的水、電、交通開支(單位:萬元)如圖2所示,則該單位去年的水費開支占總開支的百分比為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等差數(shù)列的前n項和為,,,則=_______.14.已知平面向量、的夾角為,且,則的最大值是_____.15.的展開式中,若的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為32,則________.16.如圖,在中,已知,為邊的中點.若,垂足為,則的值為__.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某省新課改后某校為預測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況,從該校上一屆高三(1)班到高三(5)班隨機抽取50人,得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù),并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖,估計本屆高三學生本科上線率.(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬,假設(shè)以(1)中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.(i)若從甲市隨機抽取10名高三學生,求恰有8名學生達到本科線的概率(結(jié)果精確到0.01);(ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬,假設(shè)該市每個考生本科上線率均為,若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市,求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù):取,.18.(12分)已知函數(shù)的定義域為.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)實數(shù)為的最小值,若實數(shù),,滿足,求的最小值.19.(12分)為響應(yīng)“堅定文化自信,建設(shè)文化強國”,提升全民文化修養(yǎng),引領(lǐng)學生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”,某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中,在某高中學校隨機抽取了120名學生做調(diào)查,統(tǒng)計結(jié)果顯示:樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是5:3.(1)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關(guān)系?男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學不喜歡閱讀中國古典文學總計(2)為做好文化建設(shè)引領(lǐng),實驗組把該校作為試點,和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經(jīng)從所調(diào)查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表,這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學.現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會,記為參加會議的人中喜歡古典文學的人數(shù),求5的分布列及數(shù)學期望附表及公式:.20.(12分)秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念,為推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展,有必要調(diào)查研究新能源汽車市場的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量(單位:萬臺)按季度(一年四個季度)統(tǒng)計制成的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值,并估計銷量的中位數(shù);(2)請根據(jù)頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量(同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表),并以此預計年的銷售量.21.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當時,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對任意的和恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當時,,在上單調(diào)遞減,當時,,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當時,,在遞減;當時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C【點睛】本題主要考查了根據(jù)導數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進而求導構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.2、A【解析】

由題可知:,且可得,構(gòu)造函數(shù)求導,通過導函數(shù)求出的單調(diào)性,結(jié)合圖像得出,即得出,從而得出的最大值.【詳解】因為,則,即整理得,令,設(shè),則,令,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,因為,,由題可知:時,則,所以,所以,當無限接近時,滿足條件,所以,所以要使得故當時,可有,故,即,所以:最大值為5.故選:A.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值,以及運用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法,同時考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.3、C【解析】

先確定摸一次中獎的概率,5個人摸獎,相當于發(fā)生5次試驗,根據(jù)每一次發(fā)生的概率,利用獨立重復試驗的公式得到結(jié)果.【詳解】從6個球中摸出2個,共有種結(jié)果,兩個球的號碼之和是3的倍數(shù),共有摸一次中獎的概率是,5個人摸獎,相當于發(fā)生5次試驗,且每一次發(fā)生的概率是,有5人參與摸獎,恰好有2人獲獎的概率是,故選:.【點睛】本題主要考查了次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率,考查獨立重復試驗的概率,解題時主要是看清摸獎5次,相當于做了5次獨立重復試驗,利用公式做出結(jié)果,屬于中檔題.4、A【解析】試題分析:利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷.解:根據(jù)題意,由于α,β表示兩個不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,由于“α∥β,則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知,則必然α中任何一條直線平行于另一個平面,條件可以推出結(jié)論,反之不成立,∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件.故選A.考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷;平面與平面平行的判定.5、A【解析】

求出滿足條件的正的面積,再求出滿足條件的正內(nèi)的點到頂點、、的距離均不小于的圖形的面積,然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.【詳解】滿足條件的正如下圖所示:其中正的面積為,滿足到正的頂點、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點到三個頂點、、的距離都大于的概率是.故選:A.【點睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.6、C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時,,n=2時,,n=3時,,n=4時,,n=5時,.故選:C【點睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7、A【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進行計算,由此求得的值.【詳解】依題意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選:A【點睛】本小題主要考查合情推理,考查中國古代數(shù)學文化,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù),可得,時,,單調(diào)遞增,∵,故不等式的解集等價于不等式的解集..∴.故選:B.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性解不等式,屬于中檔題.9、D【解析】

將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)問題,畫出函數(shù)的圖象,易知直線過定點,故與在時的圖象必有兩個交點,故只需與在時的圖象有兩個交點,再與切線問題相結(jié)合,即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可,即,當設(shè)切點,則,.故選:D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)的問題,曲線的切線問題,注意運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.10、C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當n=k時,等式左端=1+1+…+k1,當n=k+1時,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了項(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故選:C.【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法,屬于中檔題./11、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為,故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,以及古典概型及其概率的計算問題,其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù),利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例,再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例,相乘即可求出水費開支占總開支的百分比.【詳解】水費開支占總開支的百分比為.故選:A【點睛】本題考查折線圖與柱形圖,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用求出公差,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求.【詳解】設(shè)公差為,因為,所以,即.所以.故答案為:【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式的求解,利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問題的通性通法,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).14、【解析】

建立平面直角坐標系,設(shè),可得,進而可得出,,由此將轉(zhuǎn)化為以為自變量的三角函數(shù),利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標系如圖所示,設(shè),,以、為鄰邊作平行四邊形,則,設(shè),則,,且,在中,由正弦定理,得,即,在中,由正弦定理,得,即.,,則,當時,取最大值.故答案為:.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積最值的計算,將問題轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵,考查計算能力,屬于難題.15、【解析】試題分析:由已知得,故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為,,,,,其系數(shù)之和為,解得.考點:二項式定理.16、【解析】

,由余弦定理,得,得,,,所以,所以.點睛:本題考查平面向量的綜合應(yīng)用.本題中存在垂直關(guān)系,所以在線性表示的過程中充分利用垂直關(guān)系,得到,所以本題轉(zhuǎn)化為求長度,利用余弦定理和面積公式求解即可.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)60%;(2)(i)0.12(ii)【解析】

(1)利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解;(2)(i)利用二項分布求解;(ii)甲、乙兩市上線人數(shù)分別記為X,Y,得,.,利用期望公式列不等式求解【詳解】(1)估計本科上線率為.(2)(i)記“恰有8名學生達到本科線”為事件A,由圖可知,甲市每個考生本科上線的概率為0.6,則.(ii)甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數(shù)分別記為X,Y,依題意,可得,.因為2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市,所以,即,解得,又,故p的取值范圍為.【點睛】本題考查二項分布的綜合應(yīng)用,考查計算求解能力,注意二項分布與超幾何分布是易混淆的知識點.18、(1);(2)【解析】

(1)首先通過對絕對值內(nèi)式子符號的討論,將不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組,再分別解各不等式組,最后求各不等式組解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(1)因為函數(shù)定義域為,即恒成立,所以恒成立由單調(diào)性可知當時,有最大值為4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,即的最小值為.當且僅當,,時,等號成立【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法,柯西不等式及其應(yīng)用,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19、(1)見解析,沒有(2)見解析,【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,計算出的值,由此判斷出沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關(guān)系.(2)先判斷出的所有可能取值,然后根據(jù)古典概型概率計算公式,計算出分布列并求得數(shù)學期望.【詳解】(1)男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學423072不喜歡閱讀中國古典文學301848總計7248120所以,沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關(guān)系.(2)設(shè)參加座談會的男生中喜歡中國古典文學的人數(shù)為,女生中喜歡古典文學的人數(shù)為,則.且;;.所以的分布列為則.【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗,考查隨機變量分布列和數(shù)學期望的求法,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.20、(1),中位數(shù)為;(2)新能源汽車平均每個季度的銷售量為萬臺,以此預計年的銷售量約為萬臺.【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計算出的值,利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值;(2)利用每個矩形底邊的中點值乘以相應(yīng)矩形的面積,相加可得出銷量的平均數(shù),由此可預計年的銷售量.【詳解】(1)由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為,則,解得,由于,因此,銷量的中位數(shù)為;(2)由頻率分布直方圖可知,新能源汽車平均每個季度的銷售量為(萬臺),由此預測年的銷售量為萬臺.【點睛】本題考查利

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