一元二次方程根的分布講課

關(guān)于一元二次方程根的分布講課第1頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的定義：等價(jià)關(guān)系一、復(fù)習(xí)第2頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二結(jié)論xy0ab..零點(diǎn)存在定理(1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：(2)f(a)·f(b)<0函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；第3頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二知識(shí)系統(tǒng)第4頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍（1）兩個(gè)正根一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)兩根均為正根（負(fù)根）yx1x2ox第5頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍

（2）有兩個(gè)負(fù)根第6頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根為正,另一根為負(fù)x1x2yoxx1x2yox或af（0）

第7頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題的引入：1、若關(guān)于x的方程的兩個(gè)根都大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.

2、關(guān)于x的方程的兩個(gè)根均大于-2小于4，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第8頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題的解決：例1、若關(guān)于x的方程的兩個(gè)根都大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.

分析（1）方程有根，與有關(guān).僅僅靠韋達(dá)定理是不夠的.(2)方程有什么樣的根，可以結(jié)合對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合解決.此時(shí)與有有關(guān)，及有關(guān).判別式端點(diǎn)的函數(shù)值對(duì)稱軸

如圖，函數(shù)的圖象決定著：（1）最小值的正負(fù)，與判別式有關(guān);（2）對(duì)稱軸；（3）函數(shù)值的正負(fù).第9頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題的解決：例1、若關(guān)于x的方程的兩個(gè)根都大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.

解：令，則

第10頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題的解決：

例2、關(guān)于x的方程的兩個(gè)根均大于-2小于4，求實(shí)數(shù)m

的取值范圍.

解：令，則

所以,實(shí)數(shù)m的取值范圍是.第11頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題的解決：其實(shí),有那么復(fù)雜嗎?

例2、關(guān)于x的方程的兩個(gè)根均大于-2小于4，求實(shí)數(shù)m

的取值范圍.

另解:原方程的兩個(gè)根分別為而，

所以，由此可得.

所以,實(shí)數(shù)m的取值范圍是.第12頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題的啟示：學(xué)會(huì)具體問(wèn)題具體分析.

對(duì)于這道題而言,后一種辦法比較簡(jiǎn)單,但是要會(huì)前一種通法.

例如,關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

用后一種方法解答比較困難.

兩種方法都要會(huì),我們提倡具體問(wèn)題具體分析,哪一種解法簡(jiǎn)單就用哪一種.

第13頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題的根源：方程根的分布問(wèn)題，與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象有關(guān).（1）

函數(shù)的性質(zhì)決定函數(shù)的圖象,函數(shù)的圖象反映函數(shù)的性質(zhì).（2）方程有根，與判別式有關(guān).對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象與軸有交點(diǎn).（3）方程有什么樣的根，與端點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)，與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸有關(guān).僅僅靠韋達(dá)定理是不夠的.

注:拋物線就象一根電線,函數(shù)值（包括最小值）就象鉚釘一樣,決定著它的走向.

第14頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二結(jié)論：我們從上面的例子總結(jié)一下解決這類問(wèn) 題的步驟：1.根據(jù)題意大致畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象。2.列出不等式組(一般重點(diǎn)考慮下面四個(gè)方面)①判別式△②對(duì)稱軸③端點(diǎn)④開(kāi)口方向3.解不等式組，得出結(jié)論。思路說(shuō)明第15頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第16頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二考慮：a>0的一元二次方程，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，先化為正。強(qiáng)調(diào)：把一元二次方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

ax2+bx+c=0(a>0)第17頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個(gè)根都小于m，求a,b,c滿足的條件。1類型一：第18頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的一個(gè)根大于m,另一個(gè)根小m,求a,b,c滿足的條件。類型二：第19頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例3、若關(guān)于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的兩根一個(gè)小于1，另一根大于1，試求實(shí)數(shù)k

的取值范圍。1第20頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1、若關(guān)于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的兩根一個(gè)小于1，另一根大于1，試求實(shí)數(shù)k

的取值范圍。1第21頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的一個(gè)根在(m,n)，另一根在(p,q)，求a,b,c滿足的條件。1類型三：第22頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例4、若關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，試求實(shí)數(shù)a

的取值范圍。1第23頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二四、若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)有且僅有一個(gè)根在(m,n)，求a,b,c滿足的條件。類型四：第24頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二五、若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個(gè)根都在(m，n)內(nèi),求a,b,c滿足的條件。1類型五：第25頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例4、已知關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上有兩個(gè)根，求m的取值范圍。1第26頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一元二次方程根的分布（一）與0比較（1）有兩正根（2）有兩負(fù)根（3）一正一負(fù)（二）與k比較（1）有兩個(gè)大于k的根（2）有兩個(gè)小于k的根（3）一個(gè)大于k，一個(gè)小于k（4）有一個(gè)根在區(qū)間(k1,k2)內(nèi)（5）區(qū)間(k1,k2)內(nèi)有兩個(gè)根第27頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布兩個(gè)正根兩個(gè)負(fù)根一正根一負(fù)根一根為零一正一負(fù)，且負(fù)的絕對(duì)值大

C＝0

考慮：①判別式?、②兩根之和、③兩根之積第28頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布兩個(gè)根都小于k兩個(gè)根都大于k一個(gè)根小于k,一個(gè)根大于k

yxkoyxkoyxkof(k)<0考慮：①判別式?、②開(kāi)口方向、③對(duì)稱軸、④端點(diǎn)值的正負(fù)第29頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布兩個(gè)根都在（k1,k2)內(nèi)兩個(gè)根有且僅有一個(gè)在(k1,k2)內(nèi)x1<k1<

k2<x2

yxk