大一上畫(huà)法幾何課件2直線(xiàn)的投影

直線(xiàn)的投影第三章直線(xiàn)的投影§3.1直線(xiàn)的投影一、直線(xiàn)的投影特征

●形成：將直線(xiàn)上所有點(diǎn)線(xiàn)投影面投影，投影點(diǎn)的集合稱(chēng)為直線(xiàn)的投影●畫(huà)法：將直線(xiàn)的端點(diǎn)向投影面投影，將得到的投影點(diǎn)連成線(xiàn)段，該線(xiàn)段即為直線(xiàn)的投影直線(xiàn)的投影線(xiàn)段用粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)●投影特征：直線(xiàn)的投影為直線(xiàn)或點(diǎn)平行于投影面的直線(xiàn)其投影反映真長(zhǎng)分段成比例AB12CDEFabcdefⅠⅡOVHZYHWYWX直線(xiàn)的投影圖二、直線(xiàn)的三面投影●作直線(xiàn)的三面投影圖VHXOZYWABa’b’a”b”ababa’b’a”b”●表示方法：

用小寫(xiě)字母表示端點(diǎn)●特殊位置直線(xiàn)投影面平行線(xiàn)（平行線(xiàn)）投影面垂直線(xiàn)（垂直線(xiàn)）VHXOZYWc’d’cdc”d”DCVHXOZYWe’f’efFEf”e”dd’d”cc’c”f’e”efe’f”P(pán)S直線(xiàn)的相對(duì)位置§3.2直線(xiàn)的相對(duì)位置一、一般位置直線(xiàn)VHXOZYWABa’b’a”b”ab●直線(xiàn)與平面的夾角（線(xiàn)面角）：過(guò)直線(xiàn)作已知平面的垂直面，該面與已知平面的交線(xiàn)同已知直線(xiàn)的夾角，為直線(xiàn)與平面的夾角。ABabB0α●直線(xiàn)對(duì)投影面的傾角：直線(xiàn)與投影面的夾角。對(duì)H面:α;對(duì)V面:β;對(duì)W面:γA0αA’0βγA”0XOZYHYWaba’b’a”b”直線(xiàn)真長(zhǎng)與傾角的圖解

●

三角形法：利用兩面投影的長(zhǎng)度關(guān)系，作直角三角形，得到直線(xiàn)的真長(zhǎng)和對(duì)某一投影面的傾角。直線(xiàn)的真長(zhǎng)與傾角●輔助記憶：根據(jù)一面投影反映的兩個(gè)空間坐標(biāo)差；添加缺失的第三個(gè)坐標(biāo)差，滿(mǎn)足真長(zhǎng)計(jì)算公式:L=(xA-xB)2+(yA-yB)2+(zA-zB)2VHXOZYWABa’b’a”b”abA0αA’0βαΔzA0ΔzΔyB0βΔxA”0γA”0γΔzΔzΔyΔyΔxΔxΔyΔx三角形法三角形法作圖●求直線(xiàn)的真長(zhǎng)●求對(duì)投影面的傾角

H面上，對(duì)應(yīng)求αV面上，對(duì)應(yīng)求βW面上，對(duì)應(yīng)求γ

●兩種應(yīng)用[例]已知直線(xiàn)AB的兩面投影，作直線(xiàn)AB的真長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角α、β及γ。aba’b’OXΔzαΔzA0ΔyYHYWZa”b”ΔxΔxβΔyA’0γΔxA”0a”b”γ真長(zhǎng)真長(zhǎng)Δya’b’βXOa’a三角形法作圖三角形法作圖（2）[例]直線(xiàn)AB長(zhǎng)27mm，對(duì)投影面的傾角α=45、β=30，已知前方左下端A點(diǎn)的投影，作AB的兩面投影。[解題步驟]1.由真長(zhǎng)、傾角作兩個(gè)三角形，分別得到ab、Δz和a’b’、Δy的長(zhǎng)度；2.根據(jù)A的方位確定B點(diǎn)在A(yíng)點(diǎn)的右側(cè)、后面、上方；3.分別作圓弧、平行線(xiàn)，得到相應(yīng)交點(diǎn)即為B點(diǎn)的兩面投影；[思考]如果B點(diǎn)的方位未知，可能的解有多少個(gè)？aΔzbΔya’b’β=30°27α=45°27bb’ΔzΔy圖解思考問(wèn)題三角形法作圖（續(xù)）ABB4B1B5B2B6B3B7XOa’abb’b’2b3b2b1b’1b’3投影面平行線(xiàn)二、投影面平行線(xiàn)●特征：在平行的投影面上的投影反映真長(zhǎng)，與投影軸的夾角為直線(xiàn)與另外兩個(gè)投影面的傾角；另兩個(gè)面的投影平行投影軸●水平線(xiàn)γβaba”b”a’b’Lab=LABab∧OX=βab∧OYH=γa’b’∥OXa”b”∥OYWLa’b’=LABa’b’∧OX=αa’b’∧OZ=γab∥OXa”b”∥OZ●正平線(xiàn)γaba”b”a’b’αLa”b”=LABa”b”∧OZ=βa”b”∧OYW=αa’b’∥OZab∥OYH●側(cè)平線(xiàn)βaba”b”a’b’α●鉛垂線(xiàn)aba”b”a’b’投影面垂直線(xiàn)三、投影面垂直線(xiàn)●特征：在垂直的投影面上的投影集聚為一點(diǎn)；直線(xiàn)在另兩個(gè)面的投影平行于相應(yīng)投影軸，且等于直線(xiàn)長(zhǎng)度。La’b’=La”b”=LABα=90°;β=γ=0°a’b’∥a”b”∥OZ;a’b’⊥OXa”b”⊥OYW●正垂線(xiàn)aba”b”a’b’Lab=La”b”=LABβ=90°;α=γ=0°ab∥OYH;a”b”∥OYW

ab⊥OX;a”b”⊥OZLa’b’=Lab=LABγ=90°;β=α=0°a’b’∥ab∥OXa’b’⊥OZab⊥OYH

●側(cè)垂線(xiàn)aba”b”b”a’b’直線(xiàn)上的點(diǎn)§3.3直線(xiàn)上的點(diǎn)一、直線(xiàn)上的點(diǎn)●直線(xiàn)上點(diǎn)的投影必然落在直線(xiàn)的同名投影上●點(diǎn)分直線(xiàn)所成的比例與其投影分直線(xiàn)所成的比例相等aVHXZYWa’a”b”bOABb’cc’c”CXOZYHYWaba’b’a”b”cc”c’[例]已知直線(xiàn)EF和點(diǎn)S、P的投影；判斷點(diǎn)S、P是否在直線(xiàn)EF上。ee’ff’ss’pp’OX圖解直線(xiàn)上的點(diǎn)（1）圖解直線(xiàn)上的點(diǎn)（1）●在直線(xiàn)上作點(diǎn)的投影[例]已知C、D為直線(xiàn)AB上的點(diǎn)；AC=20mm；AD:DB=3:2；作C、D的投影。OXb’ba’ad’dcc’C020ΔyA0Δy●判斷點(diǎn)與直線(xiàn)的位置e”f”s”p”f’0p’0s’0[例]已知直線(xiàn)CD的兩面投影，求作直線(xiàn)上兩點(diǎn)E、F，使得CE:ED=1:3；F為V、W的等距點(diǎn)。c’d’c”d”[例]已知直線(xiàn)AB通過(guò)原點(diǎn)，且對(duì)V面的傾角β=30°，補(bǔ)全直線(xiàn)AB的三面投影。abOXZYHYW圖解直線(xiàn)上的點(diǎn)（2）圖解直線(xiàn)上的點(diǎn)（2）a’b’a”b”o’a’β=30°ΔyOAcde’e”fOc”0d”0f’f”XOaba’b’VHXO直線(xiàn)的跡點(diǎn)二、直線(xiàn)的跡點(diǎn)●跡點(diǎn)：直線(xiàn)與投影面的交點(diǎn)●表示：與H面：M；與V面：N；與W面：S●投影特性：M、N、S均為投影面上的點(diǎn)aa’bABb’n’mm’nNMm’Mmnn’N兩直線(xiàn)的相對(duì)位置§3.4兩直線(xiàn)的相對(duì)位置一、兩直線(xiàn)的相對(duì)位置●相互平行

投影特征：若空間兩直線(xiàn)相互平行，則兩直線(xiàn)的同名投影也平行

應(yīng)用：作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)；判斷兩條直線(xiàn)是否平行XOZYHYWaba’b’a”b”dcc’d’c”d”b’0cc’dd’l’1l1l’2l2l’3l3l’4l4l”1l”2l”3l”420O[例]已知直線(xiàn)AB和點(diǎn)C的投影，過(guò)C點(diǎn)作直線(xiàn)CD平行于A(yíng)B，使CD=20mm,且與AB反向。[例]已知L1、L2、L3、L4四條直線(xiàn)的兩面投影，判斷四條直線(xiàn)的相對(duì)位置關(guān)系。XOcdd’c’aba’b’e’兩直線(xiàn)相交

●兩直線(xiàn)相交

投影特征：兩條直線(xiàn)投影的交點(diǎn)為直線(xiàn)焦點(diǎn)的投影，即直線(xiàn)投影的交點(diǎn)應(yīng)為同一個(gè)點(diǎn)的交點(diǎn)。VHXOaba’b’BAcdd’c’DCEe’eabb’a’cdd’c’ee’[例]過(guò)E點(diǎn)作水平線(xiàn)，與AB、CD都相交，交點(diǎn)分別為G、F。egfg’f’兩交叉直線(xiàn)

●兩交叉直線(xiàn)VHXO

交叉直線(xiàn)：既不平行又不相交的兩條直線(xiàn)

投影特征：直線(xiàn)在某一面上投影的交點(diǎn)不是直線(xiàn)的交點(diǎn)，而是兩直線(xiàn)對(duì)該投影面上的重影點(diǎn)的投影。aba’b’BAcdc’DCd’XOaba’b’cc’dd’1(2)1’2’34(3’)4’1(2)1’2’ⅠⅡⅢ43(3’)4’Ⅳ[例]作兩條交叉直線(xiàn)EF、GH的重影點(diǎn)。XZYHYWOee’ff’gg’hh’[例]作兩條交叉直線(xiàn)AB、CD的重影點(diǎn)。cdd’c’XZYHYWOaba’b’交叉直線(xiàn)的重影點(diǎn)

●交叉直線(xiàn)的重影點(diǎn)a”b”d”c”1’2’1”2”(1)23(4)3”4”345’6’565”(6”)Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為AB上的點(diǎn)；Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為CD上的點(diǎn)。Ⅰ、Ⅱ是對(duì)H面的重影點(diǎn)；Ⅲ、Ⅳ對(duì)V面，Ⅴ、Ⅵ對(duì)W面。Ⅰ、Ⅲ為EF上的點(diǎn)，Ⅱ、Ⅳ為CD上的點(diǎn)。Ⅰ、Ⅱ是對(duì)H面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ對(duì)V面，Ⅰ、Ⅳ對(duì)W面。e”f”g”h”1”

(4”)2”1(2)1’2’3’(4’)343”兩條直線(xiàn)垂直二、兩直線(xiàn)垂直，且一邊平行于投影面●兩直線(xiàn)垂直相交VHXOCBAabca’b’c’[原理]已知AB⊥BC，且AB∥H面，那么AB、BC的投影之間有何關(guān)系？[證明]作AB、CB的投影，得到ab、cb、a’b’、c’b’；則：Bb⊥H面；又：AB∥H面；則：AB⊥Bb;已知：AB⊥BC；則：AB⊥面BCcb；已知：AB∥H面；∴AB∥ab；∴ab⊥面BCcb因此：

ab⊥cb

[結(jié)論]兩直線(xiàn)相交成直角，當(dāng)一邊平行于某一投影面時(shí)，該直角在該投影面上的投影仍然為直角。[例]已知等腰三角形BC為正平線(xiàn)，頂點(diǎn)A在直線(xiàn)EF上，作△ABC的投影。

[分析]

等腰△底邊上的高垂直平分

底邊。OXff’be’ecc’b’[例]已知矩形ABCD的邊AB、AD的部分投影；補(bǔ)全ABCD的投影。

[作圖]AB∥W面AB⊥AD∴a”b”與a”d”垂直特殊直角投影特殊直角投影圖AB⊥BC；AB∥V面，則：a’b’⊥b’c’DE⊥EF；DE∥W面；則：d”e”⊥e”f”aa’bb’cc’OXOZe’e”f’d’d”f”c’c”d”a”a’b”b’d’OZd’a’a[例]求作點(diǎn)A到正平線(xiàn)BC的距離。

[分析]過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)垂直相交的直線(xiàn)，點(diǎn)到垂足的距離為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。

[作圖]過(guò)a’作b’c’的垂線(xiàn)，交點(diǎn)為d’；相應(yīng)作ad；作AD直線(xiàn)的真長(zhǎng)

特殊直線(xiàn)的距離特殊直角投影應(yīng)用[例]求作兩直線(xiàn)AB、CD的距離。[分析]兩條交叉直線(xiàn)的距離是指與兩直線(xiàn)都垂直相交的線(xiàn)段的長(zhǎng)度。圖中已知CD為正垂線(xiàn)，則與之垂直的直線(xiàn)為正平線(xiàn)，正平線(xiàn)又與AB垂直，則該正平線(xiàn)在正面的投影應(yīng)與a’b’垂直。OXaa’bcb’c’dd’△y△yLADOXaa’bb’cdc’d’efe’f’LEFVHXOCDBA交叉垂直直線(xiàn)●兩直線(xiàn)垂直交叉A0a