新教材人教a版選擇性必修第一冊1.3.1空間直角坐標(biāo)系作業(yè)

課時跟蹤檢測(六)空間直角坐標(biāo)系[A級基礎(chǔ)鞏固]1．點A(－2，3，－4)關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx對稱點A′的坐標(biāo)為()A．(－2，－3，－4) B．(2，－3，4)C．(－2，－3，4) D．(2，3，－4)解析：選A點A的坐標(biāo)中橫、豎坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即得A′的坐標(biāo)為(－2，－3，－4)．2．已知i，j，k分別是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中x軸、y軸、z軸的正方向上的單位向量，且eq\o(OB,\s\up6(→))＝－i＋j－k，則點B的坐標(biāo)是()A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1) D．不確定解析：選A由空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的定義可知點B的坐標(biāo)為(－1，1，－1)．3.如圖，在長方體OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，點P是B1C1的中點，則點P的坐標(biāo)為()A．(3，5，4)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，4))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5，4))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,2)，2))解析：選C由題圖知，點P在x軸、y軸、z軸上的射影分別為P1，P2，P3，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別是eq\f(3,2)，5，4，故點P的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5，4)).4．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，則點A的坐標(biāo)為()A．(12，14，10) B．(10，12，14)C．(14，10，12) D．(4，2，3)解析：選Aeq\o(OA,\s\up6(→))＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)．5．已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基底{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))}下的坐標(biāo)為(2，1，－3)，則向量a在基底{eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))}下的坐標(biāo)為()A．(2，1，－3) B．(－1，2，－3)C．(1，－8，9) D．(－1，8，－9)解析：選B∵a＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－3eq\o(AA1,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))－3eq\o(DD1,\s\up6(→))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))＋2eq\o(DC,\s\up6(→))－3eq\o(DD1,\s\up6(→))，∴向量a在基底{eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))}下的坐標(biāo)為(－1，2，－3)，故選B.6．設(shè){i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，則向量a＋b的坐標(biāo)是________．解析：a＋b＝3i－2j＋2k＝(3，－2，2)．答案：(3，－2，2)7.三棱錐P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分別是PC，AC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________．解析：因為AB＝BC＝PB＝1，所以可設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝i，eq\o(BC,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝k，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)i－eq\f(1,2)k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))8．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5k，則向量eq\o(AC1,\s\up6(→))在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是________．解析：eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝3i＋2j＋5k，∴向量eq\o(AC1,\s\up6(→))在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(3，2，5)．答案：(3，2，5)9.已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為2的正方體，E，F(xiàn)分別為BB1和DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出eq\o(DB1,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解：eq\o(DB1,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2i＋2j＋2k＝(2，2，2)．eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2i＋2j＋k＝(2，2，1)．eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝j(luò)＝(0，1，0)．10．已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且PA＝AD＝1，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并寫出向量eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解：如圖所示，因為PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可設(shè)eq\o(DA,\s\up6(→))＝i，eq\o(AB,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k，以{i，j，k}為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因為eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)j＋k＋eq\f(1,2)(－k－i＋j)＝－eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)k，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝j(luò)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，1，0)．[B級綜合運(yùn)用]11．若p＝xa＋yb＋zc，則稱(x，y，z)為p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)．若一向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1，2，3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，3))解析：選B設(shè)p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝2，,z＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(1,2)，,z＝3，))故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3)).12．已知a＝(3，4，5)，e1＝(2，－1，1)，e2＝(1，1，－1)，e3＝(0，3，3)，若a＝xe1＋ye2＋ze3，則x＝________，y＝________，z＝________．解析：由題意設(shè)a＝3i＋4j＋5k，e1＝2i－j＋k，e2＝i＋j－k，e3＝3j＋3k，又a＝xe1＋ye2＋ze3，所以3i＋4j＋5k＝x(2i－j＋k)＋y(i＋j－k)＋z(3j＋3k)＝(2x＋y)i＋(－x＋y＋3z)j＋(x－y＋3z)k，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝3，,－x＋y＋3z＝4，,x－y＋3z＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,6)，,y＝\f(2,3)，,z＝\f(3,2).))答案：eq\f(7,6)eq\f(2,3)eq\f(3,2)13.如圖所示，正四面體ABCD的棱長為1，G是△BCD的中心，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則eq\o(AG,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________，eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________．解析：設(shè){i，j，k}為所建空間直角坐標(biāo)系的一個單位正交基底，由題意可知，BG＝eq\f(2,3)BE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，所以AG＝eq\r(AB2－BG2)＝eq\f(\r(6),3)，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝－eq\f(\r(6),3)k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，－\f(\r(6),3)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))－eq\o(GA,\s\up6(→))＝－eq\f(\r(3),3)j－eq\f(\r(6),3)k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(6),3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，－\f(\r(6),3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(6),3)))14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點E，F(xiàn)分別在線段A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1分別作為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)．(1)試求向量eq\o(EF,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(2)求證：EF∥BD1.解：(1)∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，根據(jù)題意知{eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))}為單位正交基底，設(shè)eq\o(DA,\s\up6(→))＝i，eq\o(DC,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝k，∴向量eq\o(EF,\s\up6(→))可用單位正交基底{i，j，k}表示．∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))與eq\o(DA1,\s\up6(→))共線，eq\o(CF,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))共線，∴設(shè)eq\o(ED,\s\up6(→))＝λeq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝μeq\o(CA,\s\up6(→))，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝λeq\o(DA1,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋μeq\o(CA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋μ(eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝(λ＋μ)eq\o(DA,\s\up6(→))＋(1－μ)eq\o(DC,\s\up6(→))＋λeq\o(DD1,\s\up6(→))＝(λ＋μ)i＋(1－μ)j＋λk，∵EF⊥A1D，EF⊥AC，即eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝0，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(A1D,\s\up6(→))＝－i－k，eq\o(AC,\s\up6(→))＝－i＋j，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1([（λ＋μ）i＋（1－μ）j＋λk]·（－i－k）＝0，,[（λ＋μ）i＋（1－μ）j＋λk]·（－i＋j）＝0，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（λ＋μ）－λ＝0，,－（λ＋μ）＋1－μ＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＋μ＝0，,λ＋2μ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,μ＝\f(2,3).))∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)i＋eq\f(1,3)j－eq\f(1,3)k，∴eq\o(EF,\s\up6(→))的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f