合情推理-歸納推理 教學(xué)設(shè)計(jì)VIP

合情推理--歸納推理教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：理解合情推理的概念，掌握歸納推理與類比推理的方法.過程與方法：掌握歸納法與類比法的步驟，體會(huì)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，開拓?cái)?shù)學(xué)思維，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：歸納推理和類比推理.難點(diǎn)：歸納推理.教學(xué)過程在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)自覺不自覺地根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)（或假設(shè)）得出一個(gè)判斷.例如，當(dāng)我們看到天空烏云密布、燕子低飛、螞蟻搬家等現(xiàn)象時(shí),會(huì)得出即將下雨的判斷.這種思維方式就是推理.［引入］.哥德巴赫猜想：觀察4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,……，50=13+37,……,1003+97,猜測(cè)：任一偶數(shù)（除去2,它本身是一素?cái)?shù)）可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和.1742年哥德巴赫寫信給歐拉提出此猜想，但無人能解，成為數(shù)學(xué)史上舉世聞名的猜想.1973年，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)，證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個(gè)素?cái)?shù)與至多兩個(gè)素?cái)?shù)乘積之和，數(shù)學(xué)上把它稱為“1+2”..費(fèi)馬猜想:觀察品=2?0+1=3,^=22'+1=5,瑪=2"+1=17,瑪=2"+1=257,入=2’+1=65537,發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素?cái)?shù),猜想：對(duì)所有的自然數(shù)〃，任何形如%=22.+1的數(shù)都是素?cái)?shù).1640年法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家之王一費(fèi)馬提出，后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，發(fā)現(xiàn)工=2"+1=4294967297=641x6700417不是素?cái)?shù)，推翻費(fèi)馬猜想.3.四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國(guó)倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題.1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用1200個(gè)小時(shí)，作了100億邏輯判斷，完成證明.從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)（或假設(shè)），叫做前提；一部分是由已知判斷推出的新判斷，叫做結(jié)論.例如，推理allb.bllcallc中的是前提，“a〃c”是結(jié)論.推理也可以看作是用連接詞將前提和結(jié)論邏輯的連接，常用的連接詞有：“因?yàn)椤?，所以……”?如果……，那么……”；”根據(jù)……，可知……”：等等.推理一般可以分為合情推理與演繹推理.合情推理前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理叫合情推理.數(shù)學(xué)中常見的合情推理有歸納推理和類比推理.①概念：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理.簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.②歸納練習(xí)：（力由銅、鐵、鋁、金、銀能導(dǎo)電，能歸納出什么結(jié)論？（力）由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和180度，能歸納出什么結(jié)論？—觀察等式：1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7+9=16=4?,能得出怎樣的結(jié)論？③討論：（。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，是否屬歸納推理？（萬）歸納推理有何作用？（發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段）（力?/）歸納推理的結(jié)果是否正確？（不一定）歸納推理在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，我們是這樣推導(dǎo)首項(xiàng)為4,公差為△的等差數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式的：〃[=《+（）d,%=%+d=%+Id,ay=a2+d=+2d,a4=a3+d=a1+3d,??????等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是a”=%+（〃-1M.這種根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）.歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理.下面，我們通過一個(gè)例子來得出歸納推理的一般步驟.6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11.這樣下去總是對(duì)的嗎？這個(gè)命題叫做哥德巴赫猜想，即：任何一個(gè)大于4的偶數(shù)都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和.歸納推理的一般步驟：.通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；.從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）.一般地，如果歸納的一般情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題就越可能為真.例1.用推理的形式表示等差數(shù)列1,3,5,…，（2〃-1）,…的前〃項(xiàng)和S〃的歸納過程.解:5.=1=12;52=1+3=4=22;S；=1+3+5=9=32；S4=1+3+5+7=16=42;S5=1+3+5+7+9=25=52;S6=1+3+5+7+9+11=36=62;數(shù)列1,3,5,…，…的前〃項(xiàng)和S.=/.例2.設(shè)/（〃）=/+〃+41,〃￡乂，計(jì)算/（l）J⑵J（3）J⑷,…J（10）的值，同時(shí)作出歸納推理，并用〃=40驗(yàn)證猜想是否正確.解：將各數(shù)值代入得/（1）=12+1+41=43,/（2）=22+2+41=47,/（3）=32+3+41=53,/（4）=42+4+41=61,/（5）=52+5+41=71,/⑹=6?+6+41=83,/⑺=7?+7+41=97,/⑻=8?+8+41=113,/（9）=92+9+41=131,/（10）=102+10+41=151,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是質(zhì)數(shù).當(dāng)〃取任何正整數(shù)時(shí)，/（〃）=M+〃+41的值都是質(zhì)數(shù).因?yàn)楫?dāng)〃=40時(shí)，/（40）=402+40+41=41x41,所以/（40）是合數(shù).因此，上面由歸納推理得到的推理得到的猜想不正確.雖然由歸納推理所得到的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的.觀察、實(shí)驗(yàn)，對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，是數(shù)學(xué)研究的基本方法之一.小結(jié)：.根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）.歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理..歸納推理的一般步驟：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）..特點(diǎn)：（1）歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理，（2）歸納推理的前提是部分的、個(gè)別的事實(shí)，因此歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，”前提真結(jié)論假”的情況是有可能發(fā)生的，（3）人們?cè)谶M(jìn)行歸納推理的時(shí)候，總是先搜集一定的事實(shí)，有了個(gè)別性的、特別性的事實(shí)作為前提，然后才能進(jìn)行歸納推理，因此歸納推理要在觀察實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，（4）歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，是做科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段.練習(xí)：.凸四邊形有條對(duì)角線，凸五邊形有條對(duì)角線，凸六邊形有條對(duì)角線，比凸五邊形多條；……凸n邊形有多少條對(duì)角線？猜想：凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)比凸「1邊形多條對(duì)角線.由此，凸n邊形對(duì)角線條數(shù)為..下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在下圖四個(gè)三