2022年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列經(jīng)典題型專(zhuān)題提升：第3講 通項(xiàng)公式的求解策略累加法（解析版）

第3講通項(xiàng)公式的求解策略:累加法

參考答案與試題解析

一.選擇題（共3小題）

1.數(shù)列｛〃〃｝滿(mǎn)足q=1,《用+〃+l（〃￡N?），則'+'+…+」一等于（）

aa

\2^2015

2015n4028需D.回

AA.----B.----

20162015

【解答】解：???）+]=4,+〃+l（〃eNY,

/-4=1+1,

生一%=2+1,

—4=3+1,

?！ㄒ籥〃T=5-1)+1，

以上等式相力口，得%—％=1+2+3+...+(〃-1)+〃一1,

把扃口代入上式得,4=1+2+3+…+5—1)+〃=^^

-L=^=2(l--L)；

an+nn+1

11

)]

20152016

=2(1一——)

2016

2015

~1008,

故選：C.

2.（2021秋?城廂區(qū)校級(jí)月考）數(shù)列｛4｝中,4=0,%=9,貝U〃=(

G+J/2+1

)

A.97B.98C.99D.100

]1\jn+1—y/n

【解答】解:根據(jù)題意得，%一=\jn+l—\[n；

\!~n+J/2+1y[n+y}n+1\!n+\—\[n

/.%+i-a”=4+1一冊(cè)，即

出-q=6-1

%-a1~-yI^-

=A/4—5/3

a?-a?_｝=4n-；

將前"項(xiàng)相加可得：-q=?-1即a“=〃-1=9,

解得“=100.

故選：D.

3.（2021秋?河南月考）在數(shù)列｛見(jiàn)｝中,4=1,a,,-4|=〃（〃eN,，〃..2）,則氏把?的最

〃+1

小值是（）

133

A.-B.-C.1D.-

242

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛〃〃｝滿(mǎn)足q=l,%-%=〃，

n(n+1)

4=(a〃—4_])+—?！╛2)+…+(4-q)+4=〃+(〃-1)+(〃-2)+...+2+1=--—?

”(〃+l)I[

則上=_2---------=-+-1-=—+-!--—!，當(dāng)且僅當(dāng)〃=應(yīng)-1時(shí)，取等號(hào)，

/?+1〃+12〃+12/7+122

分析可得：當(dāng)”=1時(shí)，有最小值，且最小值為1;

n+\

故選：C.

二.填空題(共11小題)

4.(2021?歙縣校級(jí)模擬)已知數(shù)列｛〃〃｝滿(mǎn)足4=1,an+l-an=/i+l(neA^"),則數(shù)列｛」■｝的

%

前2021項(xiàng)的和為型史.

一1008—

【解答】解：,.?4=1,%+[-4=〃+l(〃wM),

廠.幾.2時(shí),an=(atl-a1)+(《一一a-？)+???+(%一4)+4

=〃+(〃-1)+...+2+1

="5+1)，〃=1時(shí)也成立.

2

n(n+l)

???4=——，

12J1、

—=----------=2(------------).

ann(n+1)nn+l

數(shù)列｛，｝的前2021項(xiàng)的和=2((1—!-)+(---)+...+(―..........—)J

an22320152016

1

2015

1008

故答案為:

1008

5.(2021秋?合肥校級(jí)月考)定義函數(shù)〃X)=<XYX?,其中<x>表示不小于x的最小整

數(shù)，如vl.3>=2,<-2.1>=-2,當(dāng)x￡(。，川(〃wN*)時(shí)，函數(shù)/(x)的值域?yàn)閺?，記?/p>

合兒中的元素的個(gè)數(shù)為%,則_L+-L+…+」_=_些_.

—1008

【解答】解：由題意易知I:"1〃=1時(shí)，因?yàn)閄￡(0,1],所以{x}=l,所以{%{%}}=1,所以

4=⑴，4=1；

當(dāng)九=2時(shí),因?yàn)閄￡(l,2],所以㈤=2,所以{x{x}}e(2,4],所以&={1,3,4},4=3；

當(dāng)九=3時(shí)，因?yàn)閤c(2,3],所以“}=3,所以但x}}={3x}e(6,9],所以人={1,3,4,

7,8,9},<7j=6；

當(dāng)〃=4時(shí)，因?yàn)閤e(3,4J,所以{幻=4,所以{x{x}}={4x}w(12,16J,

所以?xún)?{1,3,4,7,8,9,13,14,15,16),%=10；

當(dāng)〃=5時(shí)，因?yàn)閤e(4,5],所以{x}=5,所以{x{x}}={5x}e(20,25],

所以人={1,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25},%=15，

由此類(lèi)推：4〃=q_]+〃，所以4-4_1="，

。2—4=2,%—a2=3,4—4=4,...,[x["；

以上”-1個(gè)式子相加得，a,,-4=57)("+2),

出士攵，所以

解得4==2(-------)?

ann(n+1)nn+\

2015

1008

故答案為:

6.(2021春?崇川區(qū)校級(jí)月考)已知各項(xiàng)都為整數(shù)的數(shù)列｛/｝中，4=2,且對(duì)任意的國(guó)—

滿(mǎn)足為”-《,<2"+g,4+2-4,>3x2"-1,則a.“被3除所得余數(shù)為2.

n

【解答】解：an+l-a?<2+~,所以%，-41M<22+二

〃十1ri2HTXZITI2

兩式左右兩邊分別相加得I岡.......I，

又岡......一，且"€N",

所以a,+2-a,,=3x2",

從而a2ntg=（“2019—“2017）+（“2017—“2015）…+（%-4）+4

=3（22。*+2255+...+2）+2=3*2*^~^+2=2刈9=（3_1嚴(yán)9=3刈9_癮93238+...+算.37

4—1

岡―I，

所以叵|被3除所得余數(shù)為2.

故答案為：2.

7.（2021?婁底二模）已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列｛《,｝中，P=f"|,且對(duì)任意的同~口,滿(mǎn)足

2（,|7

4M一4<2"+g,a.+2—q>3x2"—1,則?2OI7=_2_.

【解答】解：由滿(mǎn)足s...................,

岡，岡......?

又4+2-4>3x2”-1.

an+2~an=3X2"?

,,%017=（“2017一阻015）+（。2015—“2013）???+（%一。|）+4

=3X22O,5+3X22O13+...+3X2I+2

乂

故答案為：國(guó)1

8.（2021?武昌區(qū)模擬）數(shù)列目的前〃項(xiàng)和為國(guó)目］$|岡則5202。=

11

ix|

【解答】解：由題意，可知

囚............

=（卬+42）+（。3+%）+（%+4）+…+（?2019+?202<））

=4X(1+32+344-...+32°,8)

=4x1^1

1-32

□2020_]

故答案為：f—^1.

2

9.(2021?石家莊一模)已知數(shù)列，〃｝滿(mǎn)足國(guó)一|,且可討+q=〃-1009(〃￡7*),該數(shù)列的

前〃項(xiàng)和為S“，則邑。19=1010.

【解答】解：由題意，可知

$2019=q+。2+/++%+???+。2018+。2019

=4+(〃2+°?)+(4+/)+.??+(。2018+“2019)

=1+(2-1009)+(4-1009)+...+(2018-1009)

=14-(24-4+...+2018)-1009x1009

1009x(2+2018)

1?-1009x1009

2

=1010.

故答案為：1010.

10.(2021秋?建鄴區(qū)校級(jí)月考)已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為s〃，滿(mǎn)足131,且

4+-=77^伽N*)，則國(guó)一與--

11

國(guó)

故答案為：F

11.(2021秋?龍鳳區(qū)校級(jí)期中)若數(shù)列伍,｝滿(mǎn)足4=1,(-1)"(q+1)=3.2"T(〃eN')，數(shù)

2046

2047—

累加可得=(-D"(寧J+D=(-1)"?(3?2"-2),

1—2

lljb=--------J——=(-1),,.(3.2,1-2).--------------：——

n(2n-l)(2,,+l-1)(2"-1)(2""-1)

0..............,

即fIS=-(1H)+(1)—(1)+...—(—7-----1-----)+(―7T-----1；-：-----)

1l033771529-12,°-1210-12"-1

1,2046

=F-------1=---------?

211-12047

故答案為：-義史.

2047

12.（2021?梅河口市校級(jí)模擬）設(shè)數(shù)列［an］滿(mǎn)足加"+］-+=―°（九￡M）,|^1I,an=

〃+2|______|

【解答】解：數(shù)列回滿(mǎn)足：加輻-5+1）4=號(hào)（〃€%*）,

〃+1n(〃+1)(〃+2)鹿+177+2

故答案為：/一.

〃+1

13.（2021?蘭州模擬）已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足4=1,同斗，若

a,,(4i+2%)=3%?%(〃..2,〃eN*),則數(shù)列國(guó)的通項(xiàng)直|一/j一

［解答］解：臼-----

11~11、rri

--------=2(--------)，xl

%/4%

fjn'.x.rru-Xi：-

數(shù)列0是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2,

—=2".

a“+ia?

_____1*?〃_]

-1:「時(shí)，—=2n-2+……+2+1=---=2”-1.

142"T+2-1

則數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)。“=一一

2"—1

??.貝1」數(shù)歹1」｛凡｝的通項(xiàng)4=」

2〃一1

故答案為：—

2"-1

1)與

II'I司I|岡'*|

...數(shù)列叵三|是等差數(shù)列，首項(xiàng)為3,公差為

_11、n+8

/+|-a“=3+5(z〃T)=-y-

n+7〃+61+8.

a=----+-----+…+----+2

〃333

△X(〃-D(9+〃+7)+2=(”+I6)5-1)+2.

326

故答案為：引

三.解答題（共5小題）

15.已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列同的前〃項(xiàng)和為國(guó)E,="；+；可，I囚.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列｛々｝滿(mǎn)足：4=1,2-2產(chǎn)2a,,(”..2),求數(shù)列｛'｝的

b.

前n項(xiàng)和曷

(2)若1回T對(duì)任意I岡植成立,求2的取值范圍?

【解答】解：(I)岡，①

=《,_：+2),②

①一②得：0

整理得：s...........,

又4>0,

0；'"；；".....‘又S""…,解得q=1,

.??數(shù)列｛《,｝是首項(xiàng)與公差均為g的等差數(shù)列，

n

=2:

乂I岡:卡bn-bn-\=2q,=n，

n(n+1)

bn=b、+(Z?2-bj+(4-")+...+｛bn—b”_J=]+2+3+...+〃=———，

s...........,

0...........

(2)若岡,對(duì)任意岡,上恒成立,

即叵T-對(duì)任意“eN*恒成立.岡即成匯，

日（當(dāng)且僅當(dāng)“=2時(shí)取等號(hào)）,

,-.0<―1—2

9

〃+—+5

n

|B:j,即％的取值范圍為同.

16.（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列3滿(mǎn)足，

4=l,a2=2,an+2=""N*,〃=an+{-an

（I）求力，郎值；

（H）證明：國(guó)是等比數(shù)列;

（III）求IwI的通項(xiàng)公式.

【解答】（I）解：由題意知：bx=a2—a]=2—1=1,1

（II）證明：由（i）可知，目m，

當(dāng)n..2時(shí)，b?=aII+t-a?=%；""-a?=~{an-a?_t）=一；%,

所以國(guó)是以1為首項(xiàng)，0為公比的等比數(shù)列.

綜上所述，命題得證.

n

(/〃)解：由(H)知：h?=a?+l-an=(-^)-'

當(dāng)包寸，%=4+@-4）+（4-生）+--+&一41）=1+1+（」）+-一+（一夕2

，三f+2沙

當(dāng)〃=1時(shí)，g)i=]=q

所以4=9_2（_1尸

332

綜上所述，同｝的通項(xiàng)公式為F—

17.（2021春?湖北期中）設(shè)數(shù)列伍“｝滿(mǎn)足百二“用―4=點(diǎn),

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）令d=g（2〃+l）（4-““），求數(shù)列他,｝的前”項(xiàng)和國(guó)

【解答】解：（1）數(shù)列叵|滿(mǎn)足宜JS.

??uti^r4一??—..——1一

所以：囚L....a2—a｛=2,

利用累加法：a.........,

整理得：區(qū)1".....,（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），

故?！?4一（'"-2.

（2）由（I）得〃,=g（2“+1）（4-4）=（2“+1）?（：）”“，

所以邑=3x(g)。+5x(I)1+…+(2M+1).g)"T①,

0，2,

①一②得：|S,=1+2[(1)°+(1)'+...+(I)"-']-(2?+1).(!)?,

整理得：叵1

2"%,一

18.數(shù)列|囚讖足q=\,an=(幾.2,〃eN*).

M

2+(4n-2X.1

（I）設(shè)"=土2〃，求數(shù)列電｝的通項(xiàng)公式；

（H）設(shè)c“=------1------,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為7；.并證明2”7；<1.

電+"-1）。用8

【解答】解：（I）由4=1,a?=-2，"-^一（n..2,neN*）