坐標(biāo)變換和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)化

坐標(biāo)變換和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)化第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日問題的提出三相異步電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型坐標(biāo)變換和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)化矢量控制的變頻調(diào)速系統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩控制變頻調(diào)速系統(tǒng)無速度傳感器變頻調(diào)速系統(tǒng)本章提要第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日3.2坐標(biāo)變換和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)化

上節(jié)中雖已推導(dǎo)出異步電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，但是，要分析和求解這組非線性方程顯然是十分困難的。在實(shí)際應(yīng)用中必須設(shè)法予以簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化的基本方法是坐標(biāo)變換。第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日直流電動(dòng)機(jī)調(diào)速性能優(yōu)異且便于控制是因?yàn)槠渚邆湟韵聨讉€(gè)條件：（1）直流電動(dòng)機(jī)的主磁場(chǎng)由直流勵(lì)磁電流產(chǎn)生，補(bǔ)償繞組基本上克服了電樞反應(yīng)，所以一般認(rèn)為其主磁場(chǎng)是一個(gè)穩(wěn)定的直流磁場(chǎng)。（2）當(dāng)電刷位于幾何中性線上時(shí)，電樞磁場(chǎng)與主磁場(chǎng)在空間是垂直的（互差90電角度），是自然解耦的。（3）勵(lì)磁電流和電樞電流互相獨(dú)立，各自在不同的回路中，控制簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。（4）直流電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型只有一個(gè)輸入/輸出變量——電樞電壓/轉(zhuǎn)速，在工程允許的一些假定條件下，直流電動(dòng)機(jī)可以描述成單輸入單輸出的二階線性系統(tǒng)。第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日異步電動(dòng)機(jī)和直流電動(dòng)機(jī)相比有著本質(zhì)上的區(qū)別：（1）三相異步電動(dòng)機(jī)的定子通以三相平衡正弦交流電流，產(chǎn)生一個(gè)隨時(shí)間和空間都在變化的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)。（2）轉(zhuǎn)子電流也產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，它和定子旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)相位不同，但穩(wěn)態(tài)時(shí)都是同步旋轉(zhuǎn)的，在空間上不存在垂直關(guān)系。（3）三相異步電動(dòng)機(jī)（鼠籠式）的轉(zhuǎn)子是短路的，只能調(diào)節(jié)定子電流。（4）異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型至少是一個(gè)七階的模型，其輸入量為電壓（電流）和頻率，輸出量為磁鏈和轉(zhuǎn)速，是一個(gè)多變量系統(tǒng)。在靜止的A、B、C坐標(biāo)系中，異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型為時(shí)變方程組。第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日如果能夠簡(jiǎn)化異步電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，從而像直流電動(dòng)機(jī)那樣分別獨(dú)立控制勵(lì)磁電流和轉(zhuǎn)矩電流，并使它們的磁場(chǎng)在空間位置上也互差90電角度，就可以獲得像直流電動(dòng)機(jī)那樣優(yōu)異的調(diào)速性能。由以上分析可以推想：坐標(biāo)變換？！第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日交流電機(jī)的物理模型二、坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換：從一種坐標(biāo)軸系轉(zhuǎn)換到另一種坐標(biāo)軸系的變換矢量控制相關(guān)的三種坐標(biāo)系：靜止的三相ABC坐標(biāo)系、靜止的二相、坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)的二相d、q坐標(biāo)系；由機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的基本原理可知，電動(dòng)機(jī)內(nèi)氣隙磁場(chǎng)是進(jìn)行能量轉(zhuǎn)換的媒介，由定子側(cè)輸入的能量正是通過氣隙磁場(chǎng)傳遞到轉(zhuǎn)子的。在進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)，只要能使變換前后產(chǎn)生的氣隙基波合成磁勢(shì)不變（幅值和空間相位相同），兩者就是等效的。因此，磁勢(shì)不變是不同坐標(biāo)系間進(jìn)行變換的一項(xiàng)基本原則。（一）坐標(biāo)變換的原則第七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)在某坐標(biāo)系下的電路或系統(tǒng)的電壓和電流向量分別為u和i，在新的坐標(biāo)系下，電壓和電流向量變成u′和i′，定義新向量與原向量的坐標(biāo)變換關(guān)系為Cu

u=u′ （3-33）Cii=i′ （3-34）其中Cu和Ci分別為電壓和電流變換陣。當(dāng)滿足功率不變的約束條件時(shí)，Cu和Ci的關(guān)系為

CuT

Ci=I（3-35）式中I為單位矩陣。這里對(duì)Cu和Ci的選擇并沒有加任何約束，它們可以是任意的。第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日在一般情況下，為了使變換陣簡(jiǎn)單易記，令Cu=Ci=C即把電壓和電流變換陣取為同一矩陣，則式（3-35）變成

CT

C=I或CT=C-1 （3-36）式（3-36）就是坐標(biāo)變換滿足功率不變的約束條件，且取電壓和電流變換陣相同時(shí)對(duì)變換矩陣的要求，這樣的坐標(biāo)變換屬于正交變換。第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日眾所周知，交流電機(jī)三相對(duì)稱的靜止繞組A、B、C，通以三相平衡的正弦電流時(shí)，所產(chǎn)生的合成磁動(dòng)勢(shì)是旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)F，它在空間呈正弦分布，以同步轉(zhuǎn)速1（即電流的角頻率）順著A-B-C的相序旋轉(zhuǎn)。ABCABCiAiBiCFω1圖a三相交流繞組（二）3s/2s變換第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生然而，旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)并不一定非要三相不可，除單相以外，二相、三相、四相等任意對(duì)稱的多相繞組，通以平衡的多相電流，都能產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)，當(dāng)然以兩相最為簡(jiǎn)單。不同電機(jī)模型彼此等效的原則是：在不同坐標(biāo)下所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)完全一致。第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)電機(jī)學(xué)原理，異步電動(dòng)機(jī)三相繞組的作用，完全可以用在空間上互相垂直的兩個(gè)靜止的、繞組來代替，如圖3-6所示。由三相ABC軸系變換到兩相軸系以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)為準(zhǔn)則，并需要滿足功率不變的約束條件。將交流電機(jī)的物理模型等效地變換成類似直流電機(jī)的模式，分析和控制就可以大大簡(jiǎn)化。坐標(biāo)變換正是按照這條思路進(jìn)行的。第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日uCuAuαCiββ600600AαuβuBBiAiαiBiC圖3-6定子ABC軸系到靜止軸系的變換第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日（2）等效的兩相交流電機(jī)繞組圖B兩相交流繞組兩相靜止繞組和，它們?cè)诳臻g互差90°，通以時(shí)間上互差90°的兩相平衡交流電流，也產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)F。當(dāng)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)大小和轉(zhuǎn)速都相等時(shí)，即認(rèn)為圖b的兩相繞組與圖a的三相繞組等效。Fiiω1第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日（3）旋轉(zhuǎn)的直流繞組與等效直流電機(jī)模型1FMTimitMT圖c旋轉(zhuǎn)的直流繞組第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日再看圖c中的兩個(gè)匝數(shù)相等且互相垂直的繞組M和T，其中分別通以直流電流im和it，產(chǎn)生合成磁動(dòng)勢(shì)F，其位置相對(duì)于繞組來說是固定的。如果讓包含兩個(gè)繞組在內(nèi)的整個(gè)鐵心以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則磁動(dòng)勢(shì)F自然也隨之旋轉(zhuǎn)起來，成為旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日把這個(gè)旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)的大小和轉(zhuǎn)速也控制成與圖a和圖b中的磁動(dòng)勢(shì)一樣，那么這套旋轉(zhuǎn)的直流繞組也就和前面兩套固定的交流繞組都等效了。當(dāng)觀察者也站到鐵心上和繞組一起旋轉(zhuǎn)時(shí)，在他看來，M和T是兩個(gè)通以直流而相互垂直的靜止繞組。如果控制磁通的位置在M軸上，就和直流電機(jī)物理模型沒有本質(zhì)上的區(qū)別了。這時(shí)，繞組M相當(dāng)于勵(lì)磁繞組，T相當(dāng)于偽靜止的電樞繞組。第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日等效的概念由此可見，以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)為準(zhǔn)則，圖a的三相交流繞組、圖b的兩相交流繞組和圖c中整體旋轉(zhuǎn)的直流繞組彼此等效。或者說，在三相坐標(biāo)系下的iA、iB、iC，在兩相坐標(biāo)系下的i、i和在旋轉(zhuǎn)兩相坐標(biāo)系下的直流im、it是等效的，它們能產(chǎn)生相同的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日有意思的是：就圖c的M、T兩個(gè)繞組而言，當(dāng)觀察者站在地面看上去，它們是與三相交流繞組等效的旋轉(zhuǎn)直流繞組；如果跳到旋轉(zhuǎn)著的鐵心上看，它們就的的確確是一個(gè)直流電機(jī)模型了。這樣，通過坐標(biāo)系的變換，可以找到與交流三相繞組等效的直流電機(jī)模型。第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日現(xiàn)在的問題是，如何求出iA、iB、iC與i、i和im、it之間準(zhǔn)確的等效關(guān)系，這就是坐標(biāo)變換的任務(wù)。注意:在這里，不同電機(jī)模型彼此等效的原則是：在不同坐標(biāo)下所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)完全一致。第二十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日2.三相--兩相變換（3/2變換）現(xiàn)在先考慮上述的第一種坐標(biāo)變換—-在三相靜止繞組A、B、C和兩相靜止繞組、之間的變換，或稱三相靜止坐標(biāo)系和兩相靜止坐標(biāo)系間的變換，簡(jiǎn)稱

3/2變換。第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日下圖中繪出了A、B、C和、兩個(gè)坐標(biāo)系，為方便起見，取A軸和軸重合。設(shè)三相繞組每相有效匝數(shù)為N3，兩相繞組每相有效匝數(shù)為N2，各相磁動(dòng)勢(shì)為有效匝數(shù)與電流的乘積，其空間矢量均位于有關(guān)相的坐標(biāo)軸上。由于交流磁動(dòng)勢(shì)的大小隨時(shí)間在變化著，圖中磁動(dòng)勢(shì)矢量的長(zhǎng)度是隨意的。第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日三相和兩相坐標(biāo)系與繞組磁動(dòng)勢(shì)的空間矢量AN2iN3iAN3iCN3iBN2iβ60o60oCB第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)磁動(dòng)勢(shì)波形是正弦分布的，當(dāng)三相總磁動(dòng)勢(shì)與二相總磁動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，兩套繞組瞬時(shí)磁動(dòng)勢(shì)在、軸上的投影都應(yīng)相等，第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日寫成矩陣形式，得（3-37）

第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日匝數(shù)比應(yīng)為

當(dāng)三相總磁動(dòng)勢(shì)與二相總磁動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，并考慮變換前后總功率不變，得

第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日代入式（3-37），得（3-37-1)第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日令C3s/2s表示從三相坐標(biāo)系變換到兩相坐標(biāo)系的變換矩陣，則（3-38）

三相—兩相坐標(biāo)系的變換矩陣第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日如果三相繞組是Y形聯(lián)結(jié)不帶零線，則有iA+iB+iC=0，或iC=iAiB。代入式（3-38）并整理后得第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日按照所采用的條件，電流變換陣也就是電壓變換陣，同時(shí)還可證明，它們也是磁鏈的變換陣。第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日3.兩相—兩相旋轉(zhuǎn)變換（2s/2r變換）從上圖等效的交流電機(jī)繞組和直流電機(jī)繞組物理模型的圖b和圖c中從兩相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d、q變換稱作兩相—兩相旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱2s/2r變換其中s表示靜止，r表示旋轉(zhuǎn)。把兩個(gè)坐標(biāo)系畫在一起，即得下圖。第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日dqiαφθ1φjcosdiβiqisiidω1jsindi第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D中，兩相交流電流i、i和兩個(gè)直流電流id、iq產(chǎn)生同樣的以同步轉(zhuǎn)速1旋轉(zhuǎn)的合成磁動(dòng)勢(shì)Fs。由于各繞組匝數(shù)都相等，可以消去磁動(dòng)勢(shì)中的匝數(shù)，直接用電流表示，例如Fs可以直接標(biāo)成is。但必須注意，這里的電流都是空間矢量，而不是時(shí)間相量。第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日

M，T軸和矢量Fs（is）都以轉(zhuǎn)速1旋轉(zhuǎn)，分量id、iq的長(zhǎng)短不變，相當(dāng)于d，q繞組的直流磁動(dòng)勢(shì)。但、軸是靜止的，軸與d軸的夾角

隨時(shí)間而變化，因此is在、軸上的分量的長(zhǎng)短也隨時(shí)間變化，相當(dāng)于繞組交流磁動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日2s/2r變換公式由圖可見，i、i和id、iq之間存在下列關(guān)系第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日寫成矩陣形式，得是兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換到兩相靜止坐標(biāo)系的變換陣。式中兩相旋轉(zhuǎn)—兩相靜止坐標(biāo)系的變換矩陣(3-41)第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)兩邊都左乘以變換陣的逆矩陣，即得(3-40)第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日則兩相靜止坐標(biāo)系變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換陣是電壓和磁鏈的旋轉(zhuǎn)變換陣也與電流（磁動(dòng)勢(shì)）旋轉(zhuǎn)變換陣相同。兩相靜止—兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換矩陣第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日電壓和磁鏈的旋轉(zhuǎn)變換與電流的旋轉(zhuǎn)變換相同。dq坐標(biāo)系產(chǎn)生的氣隙磁勢(shì)同坐標(biāo)系一樣，也正是ABC坐標(biāo)系中三相繞組產(chǎn)生的氣隙旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)。但與坐標(biāo)系相比，dq坐標(biāo)系產(chǎn)生該旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)的方法不同：它是在同步旋轉(zhuǎn)的dq線圈中通入兩直流量id和iq，合成磁勢(shì)F1相對(duì)dq軸系是靜止的，依靠dq軸系本身的同步旋轉(zhuǎn)，使F1成為同步旋轉(zhuǎn)的圓形磁勢(shì)。正是通過坐標(biāo)系到dq坐標(biāo)系的變換，最終將三相正弦交流電流變換為兩相直流量。第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日

令矢量is和M軸夾角為s，已知id、iq，求is和1，就是直角坐標(biāo)/極坐標(biāo)變換，簡(jiǎn)稱K/P變換。顯然，其變換式應(yīng)為

4.直角坐標(biāo)/極坐標(biāo)變換(K/P)（3-42)第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日變換過程ABC坐標(biāo)系坐標(biāo)系dq坐標(biāo)系3/2變換C2s/2r第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日三、異步電動(dòng)機(jī)在、靜止坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型

把異步電機(jī)在三相靜止ABC坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型變換到兩相坐標(biāo)系上，由于兩相坐標(biāo)軸互相垂直，兩相繞組之間沒有磁的耦合，僅此一點(diǎn)，就會(huì)使數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單了許多。圖3-9用兩相靜止坐標(biāo)系表示的異步機(jī)等效電路RsLmLmLsLsRsLmLrLmLrRrRrω第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日1.電壓方程式中，下標(biāo)s和r分別表示定子和轉(zhuǎn)子變量；下標(biāo)和分別表示軸和軸變量.

——坐標(biāo)系定子等效兩相繞組的互感；(3-43)第四十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日2.磁鏈方程ABC三相坐標(biāo)系的磁鏈方程經(jīng)坐標(biāo)變換簡(jiǎn)化為以下坐標(biāo)系磁鏈方程：

在兩相坐標(biāo)系中，定子和轉(zhuǎn)子的等效繞組落在互相垂直的兩根軸上，它們之間沒有耦合關(guān)系，互感磁鏈只在同軸繞組之間存在，所以式中的每個(gè)磁鏈分量只剩下兩項(xiàng)。

(3-44)第四十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日3.電磁轉(zhuǎn)矩方程以上電壓方程、磁鏈方程和電磁轉(zhuǎn)矩方程再加上式（3-1）運(yùn)動(dòng)方程和式（3-2）轉(zhuǎn)角微分方程構(gòu)成了靜止坐標(biāo)系上的異步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型。這種在兩相靜止坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型又稱作Kron異步電機(jī)方程式或雙軸原型電機(jī)（T