高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)精-導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(理)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算精選ppt()=(v0).uv-uvv2uv一、復(fù)習(xí)目標(biāo)掌握兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,會求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、重點(diǎn)解析在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行簡單函數(shù)的求導(dǎo)時,要熟記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則.對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),要搞清復(fù)合關(guān)系,選好中間變量,分清每次是對哪個變量求導(dǎo),最終要把中間變量換成自變量的函數(shù).三、知識要點(diǎn)1.函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù):(uv)=uv;

(uv)=uv+uv;

(cu)=cu(c

為常數(shù));精選ppt2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)

u=(x)

在點(diǎn)

x

處有導(dǎo)數(shù)

ux=(x),函數(shù)

y=f(u)

在點(diǎn)

x

的對應(yīng)點(diǎn)

u

處有導(dǎo)數(shù)

yu=f

(u),則復(fù)合函數(shù)

y=f((x))

在點(diǎn)

x

處有導(dǎo)數(shù),且

yx=yu·

ux.

或?qū)懽?/p>

fx((x))=f(u)(x).

即復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).典型例題1解:(1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(2x2+3)(3x-2);(2)y=x2sinx+2cosx;(2)y=(x2sinx)+(2cosx)=18x2-8x+9.法2

y=(6x3-4x2+9x-6)(3)y=(

x+1)(-1).x1=18x2-8x+9.=(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx)=2xsinx+x2cosx-2sinx.精選ppt典型例題1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(3)y=(

x+1)(-1).x1解:(3)y=(

x+1)(-1)+(

x+1)(-1)x1x1=(x+1)(x-

-1)+(x+1)(x-

-1)12121212=

x-

(x-

-1)+(x+1)(-

x-

)121212321212=

x-1-

x-

-x-1-

x-

123212121212=-

-

2

x12x

x1=-

.2x

xx+1=-

-

2

x12x

x1法2

∵y=1-

x

+

-1=-

x

,

x1

x1

x1∴y=(-

x

)=-

.2x

xx+1精選ppt典型例題2已知

f(x)

的導(dǎo)數(shù)

f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且

f(0)=2a,若

a≥2,

求不等式

f(x)<0

的解集.解:

∵f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,∴可設(shè)

f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.∵f(0)=2a,

∴b=2a.∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a

=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)=(x-a)(x2-x-2)=(x+1)(x-2)(x-a)令

(x+1)(x-2)(x-a)<0,由于

a≥2,則當(dāng)

a=2

時,不等式

f(x)<0

的解集為(-∞,-1);當(dāng)

a>2

時,不等式

f(x)<0

的解集為(-∞,-1)∪(2,a).精選ppt典型例題3設(shè)曲線

y=e-x(x≥0)

在點(diǎn)

M(t,e-t)

處的切線

l與

x

軸、y

軸所圍成的三角形面積為

S(t).(1)求切線

l的方程;(2)求

S(t)

的最大值.解:(1)∵y=(e-x)=-e-x,∴切線

l的斜率為

-e-t,切線

l的方程為

y-e-t=-e-t(x-t),

即

e-tx+y-e-t(t+1)=0.

(2)令

y=0,得

x=t+1;令

x=0,得

y=e-t(t+1).∴S(t)=

(t+1)e-t(t+1)12=

(t+1)2e-t(t≥0).1212又S(t)=

e-t(1-t)(1+t),令

S(t)>0,得

0≤t<1;令

S(t)<0,得

t>1.∴S(t)

在

[0,1)

上為增函數(shù),在

(1,+∞)

上為減函數(shù).∴S(t)max=S(1)2e=.精選ppt典型例題4求曲線

y=x3+3x2-5

過點(diǎn)

M(1,-1)

的切線方程.

解:由

y=x3+3x2-5

知

y=3x2+6x,設(shè)切點(diǎn)為

P(x0,y0),則y

|

x=x0=3x02+6x0,曲線在點(diǎn)

P

處的切線方程為y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).又切線過點(diǎn)

M(1,-1),

∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即

y0=3x03+3x02-6x0-1.而點(diǎn)

P(x0,y0)在曲線上,滿足

y0=x03+3x02-5,∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.整理得

x03-3x0+2=0.解得

x0=1

或

x0=2.∴切點(diǎn)為

P(1,-1)

或

P(-2,-1).故所求的切線方程為

9x-y-10=0

或

y=-1.

精選ppt典型例題5已知函數(shù)

f(x)=2x3+ax

與

g(x)=bx2+c

的圖象都過點(diǎn)

P(2,0),且在點(diǎn)

P

處有相同的切線.(1)求實(shí)數(shù)

a,b,c

的值;(2)設(shè)函數(shù)

F(x)=f(x)+g(x),求

F(x)

的單調(diào)區(qū)間,并指出函數(shù)

F(x)

在該區(qū)間上的單調(diào)性.解:(1)∵f(x)=2x3+ax

的圖象過點(diǎn)

P(2,0),∴a=-8.∴f(x)=2x3-8x.∴f(x)=6x2-8.∵g(x)=bx2+c

的圖象也過點(diǎn)

P(2,0),∴4b+c=0.又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,∴b=4.∴c=-16.∴F(x)=2x3+4x2-8x-16.綜上所述,實(shí)數(shù)

a,b,c

的值分別為

-8,4,-16.∴223+2a=0.∴f(2)=622-8=16.(2)由(1)知

f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.∴F(x)=6x2+8x-8.由

F(x)>0

得

x<-2

或

x>;23由

F(x)<0

得

-2<x<.23∴F(x)

的單調(diào)區(qū)間為:(-∞,-2)、(-2,

)

和

(

,+∞),2323(-∞,-2)

上是增函數(shù),在

(

,+∞)上也是增函數(shù).2323并且

F(x)

在

(-2,)

上是減函數(shù),在精選ppt典型例題6已知

a>0,函數(shù)

f(x)=,x(0,+∞),設(shè)

0<x1<

.記曲線y=f(x)

在點(diǎn)

M(x1,f(x1))

處的切線為

l.(1)求

l

的方程;(2)設(shè)

l

與

x軸的交點(diǎn)為

(x2,0),證明:①

0<x2≤;②若

x1<,則

x1<x2<

.x1-ax1a2a1a1a(1)解:

f(x)=(

-a)=(x-1)1x=-x-2=-.1x2∴切線

l的方程為

y=-(x-x1)+.

x11-ax1

1x12(2)證:依題意,在切線

l的方程中令

y=0,得x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),∴ax1<2,其中

0<x1<

.2a∴2-ax1>0.又

x1>0,∴x2=x1(2-ax1)>0.①當(dāng)

x1=時,x2=-a(x1-)2+取得最大值,1a1a1a1a1a∴0<x2≤.②當(dāng)

x1<時,ax1<1,1a∴x2=x1(2-ax1)>x1.又由①知

x2<,1a1a∴x1<x2<

.精選ppt課后練習(xí)1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=

+;(2)y=cos(x2-4);1+

x

11-

x

112(3)y=(sinx)cosx.1-x

2解:(1)∵y==2(1-x)-1,∴y=-2(1-x)-2(1-x)(2)y=-sin(x2-4)(x2-4)1212=-xsin(x2-4).12(3)∵y=(sinx)cosx=ecosxlnsinx,∴y=(ecosxlnsinx)=ecosxlnsinx(cosxlnsinx)=(sinx)cosx[-sinxlnsinx+cosx(lnsinx)]=(sinx)cosx(-sinxlnsinx+cosxcosx)sinx1=(sinx)cosxsinx(cot2x-lnsinx)=(sinx)1+cosx(cot2x-lnsinx)=.(1-x)22

精選ppt課后練習(xí)2(1)求

y=(x2-3x+2)sinx

的導(dǎo)數(shù).

(2)求

y=ln

1+x2

的導(dǎo)數(shù).

3解:(1)y=(x2-3x+2)sinx+(x2-3x+2)(sinx)=(2x-3)sinx+(x2-3x+2)cosx

(2)∵y=

ln(1+x2),13∴y=

2x

131+x213(1+x2)

2x=.精選ppt解:由已知

f(x)=[aex+bln(2+x)]=(aex)+[bln(2+x)]課后練習(xí)3設(shè)

f(x)=aex+bln(2+x),若

f(1)=e,且

f(-1)=,求函數(shù)

f(x)

的解析式.1e=aex+b2+x∴f(x)=ex.∵f(1)=e,f(-1)=,1e解得

a=1,b=0.

ae+

=e,ae+b=

.1e∴b3精選ppt課后練習(xí)4對于

x[0,2],令

f(x)>0

得0≤x<1;令

f(x)<0

得1<x≤2.∴f(x)

在

[0,1)

上為增函數(shù),在

(1,2]

上為減函數(shù).∴f(1)>f(2).∴f(0)=0

為函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

[0,2]

上的最小值;求函數(shù)

f(x)=ln(1+x)-

x2

在區(qū)間

[0,2]

上的最大值和最小值.14解:f(x)=

-x,1+x112又∵f(0)=0,f(1)=ln2-,f(2)=ln3-1>0,

14f(1)=ln2-為函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

[0,2]

上的最大值.14精選ppt又∵切線過原點(diǎn),解得

x0=-3

或

x0=-15.課后練習(xí)5解:由已知可設(shè)切點(diǎn)為

(x0,),其中,x0-5.x0+9x0+5試求經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線

y=相切的切線方程.x+9x+5∵y==-(x-5),(x+5)2

4(x+5)2

x+5-x-9∴過切點(diǎn)的切線的斜率為

-

(x0-5).(x0+5)2

4x0+9x0+5x0∴=-

.(x0+5)2

4當(dāng)

x0=-3

時,

y0=3.此時切線的斜率為

-1,切線方程為x+y=0.x+25y=0.35當(dāng)

x0=-15

時,

y0=

.此時切線的斜率為

-

,切線方程為251精選ppt課后練習(xí)6已知函數(shù)

f(x)=2x3+ax

與

g(x)=bx2+c

的圖象都過點(diǎn)

P(2,0),且在點(diǎn)

P

處有公共切線,求

f(x)、g(x)

的表達(dá)式.解:∵f(x)=2x3+ax

的圖象過點(diǎn)

P(2,0),∴a=-8.∴f(x)=2x3-8x.∴f(x)=6x2-8.∵g(x)=bx2+c

的圖象也過點(diǎn)

P(2,0),∴4b+c=0.又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,∴b=4.∴c=-16.∴g(x)=4x2-16.綜上所述,

f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.精選ppt課后練習(xí)7設(shè)函數(shù)

y=ax3+bx2+cx+d

的圖象與

y

軸的交點(diǎn)為

P

點(diǎn),且曲線在

P

點(diǎn)處的切線方程為

12x-y-4=0.若函數(shù)在

x=2

處取得極值

0,試確定函數(shù)的解析式.解:由已知,P

點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,d).∵曲線在

P

點(diǎn)處的切線方程為

12x-y-4=0,∴120-d-4=0.又切線斜率

k=12,解得:d=-4.故函數(shù)在

x=0

處的導(dǎo)數(shù)

y|x=0=12.而

y=3ax2+2bx+c,y|x=0=c,∴c=12.∵函數(shù)在

x=2

處取得極值

0,∴y|x=2=0

且當(dāng)

x=2