用數(shù)形結(jié)合的方法解決函數(shù)問題

用“數(shù)形結(jié)合”的方法解決函數(shù)問題上海石化工業(yè)學(xué)校陳慧慧202212摘要：“數(shù)形結(jié)合”一直是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法。對于一些復(fù)雜的函數(shù)問題，如果用代數(shù)方法解決，解題思路會比較復(fù)雜，假如首先畫出函數(shù)的圖像，再利用圖像“數(shù)形結(jié)合”來分析問題、解決問題，就會得到事半功倍的效果。關(guān)鍵字：數(shù)形結(jié)合函數(shù)圖像“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)問題中的兩個基本要素。對于數(shù)學(xué)中的有些函數(shù)問題，如果單純地從“數(shù)”的方面考慮，解題思路會比較復(fù)雜，需要討論很多種情況。假如從“形”的角度入手，通過畫出函數(shù)的直觀圖像來分析問題，就會發(fā)現(xiàn)復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系變得十分簡單，解題思路也會豁然開朗?！皵?shù)形結(jié)合”的思想方法一直是研究函數(shù)問題的重要方法。本文針對函數(shù)中幾個常見的問題，說明“數(shù)形結(jié)合”的方法在函數(shù)中的應(yīng)用。利用數(shù)形結(jié)合，解決函數(shù)的奇偶性問題我們在學(xué)習(xí)函數(shù)的時候，經(jīng)常遇到判斷函數(shù)的奇偶性問題。有些題目比較復(fù)雜，如果利用定義來判斷函數(shù)的奇偶性，需要分多次來判斷，解題過程繁瑣。假設(shè)先畫出函數(shù)的圖像，利用“偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱”來判斷函數(shù)的奇偶性,問題就變得簡單多了。例1：判斷函數(shù)的奇偶性。解：當(dāng)x≥0時，y＝x＋1；當(dāng)x＜0時，y＝－x＋1，函數(shù)的表達(dá)式為：函數(shù)的圖像如圖1所示，從圖像中可以看出此函數(shù)為偶函數(shù)。-3y-3yx-11-1-222221O圖1總結(jié)：這是一個分段函數(shù)。先畫出函數(shù)圖像，再利用圖像判斷函數(shù)的奇偶性，解題會更加直觀、簡單。利用數(shù)形結(jié)合，解決函數(shù)的單調(diào)性問題有些函數(shù)的單調(diào)性問題十分復(fù)雜。如果依靠定義來判斷，解題過程十分繁瑣，為了使問題簡單化，可以先畫出函數(shù)的圖像，再從圖像直接判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例2：設(shè)函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：當(dāng)x＞0時，y＝＋2x；當(dāng)x＜0時，y＝－2x，函數(shù)的表達(dá)式為：此函數(shù)的圖像如圖2所示，從圖像中可以看出，函數(shù)在區(qū)間［―1,0］和［1，＋∞）上單調(diào)增加，在區(qū)間（―∞，―1）和（0,1）上單調(diào)減少。圖2總結(jié)：用“數(shù)形結(jié)合”的方法，先畫出函數(shù)的圖像，再由圖像可以直接觀察出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。利用數(shù)形結(jié)合，解決函數(shù)的相交問題一些函數(shù)求交點(diǎn)的問題，利用代數(shù)方法，解題過程復(fù)雜。如果先畫出兩個函數(shù)的圖像，通過圖像觀察兩個函數(shù)的交點(diǎn)，問題就直接解決了。例3：已知函數(shù)，，問函數(shù)和有幾個交點(diǎn)？解：如圖3所示，函數(shù)和有3個交點(diǎn)。圖3總結(jié)：有些函數(shù)求交點(diǎn)的問題，可以首先畫出函數(shù)的圖像，再通過圖像來判斷交點(diǎn)的個數(shù)以及坐標(biāo)等等。利用數(shù)形結(jié)合，解決函數(shù)的最值問題對于一些函數(shù)求最值的問題，利用代數(shù)方法解題，思維過程會很抽象，常常使人無從入手，如果利用函數(shù)的圖像，所求的問題具體化，則解題過程馬上一目了然，題目的答案也呼之欲出.例4：求函數(shù)的最大值和最小值解：本題目中的y可以看作是過點(diǎn)P(―3，―2)和單位圓上的切點(diǎn)的切線的斜率。如圖4所示，設(shè)過點(diǎn)P（―3，―2）到單位圓的切線的斜率為k，則切線方程為：y＋2＝k(x＋3)，整理得kx―y＋3k―2＝0，又原點(diǎn)O（0，0）到切線的距離為1，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，整理得得到：所以，函數(shù)值的最大值為，最小值為。-2-2-1-3-22-11OyPx圖4總結(jié)：如果用代數(shù)方法做這道題，則需要經(jīng)過比較復(fù)雜的運(yùn)算過程。很明顯，用“數(shù)形結(jié)合”的方法，計算過程就簡單多了。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾寫詩贊美“數(shù)形結(jié)合”的方法：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直覺，形無數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離?！薄皵?shù)形結(jié)合“的方法可以有效地幫助我們分析問題，解決問題，使紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得思路清晰。用“數(shù)形結(jié)合”解決的函數(shù)問題還有很多，遠(yuǎn)不止文中列出的這些。如何