漫談天體運動問題的十種物理模型

漫談天體運動問題的十種物理模型閆俊仁（山西省忻州市第一中學034000）航空航天與宇宙探測是現(xiàn)代科技中的重點內容，也是高考理綜物理命題的熱點內容，所涉及到的知識內容比較抽象，習題類型較多，不少學生普遍感覺到建模困難，導致解題時找不到切入點．下面就本模塊不同類型習題的建模與解題方法做一歸類分析。一、“橢圓軌道”模型指行星(衛(wèi)星)的運動軌道為橢圓，恒星(或行星)位于該橢圓軌道的一個焦點上．由于受數(shù)學知識的限制，此類模型適宜高中生做的題目不多，所用知識為開普勒第三定律及橢圓軌道的對稱性。例1天文學家觀察到哈雷彗星的周期約是75年，離太陽最近的距離是1010m，但它離太陽的最遠距離不能測出。試根據(jù)開普勒定律計算這個最遠距離，已知太陽系的開普勒常量k＝1018解析設哈雷彗星離太陽的最近距離為，最遠距離為R2，則橢圓軌道半長軸為根據(jù)開普勒第三定律，得==1012二、“中心天體——圓周軌道”模型指一個天體(中心天體)位于中心位置不動(自轉除外)，另一個天體（環(huán)繞天體）以它為圓心做勻速圓周運動，環(huán)繞天體只受中心天體對它的萬有引力作用。解答思路由萬有引力提供環(huán)繞天體做圓周運動的向心力，據(jù)牛頓第二定律，得式中M為中心天體的質量，m為環(huán)繞天體的質量，an、v、w和T分別表示環(huán)繞天體做圓周運動的向心加速度、線速度、角速度和周期．根據(jù)問題的特點條件，靈活選用的相應的公式進行分析求解。此類模型所能求出的物理量也是最多的。（1）對中心天體而言，可求量有兩個：①質量M=，②密度ρ=，特殊地，當環(huán)繞天體為近地衛(wèi)星時(r＝R)，有ρ=。（2）對外繞大體而目，可求量有六個：①線速度，②角速度，③周期，④向心加速度an=，⑤向心力，⑥軌道所在處的重力加速度g′=（各式推導略）（3）可求第一宇宙速度物體在地球表面附近環(huán)繞地球運轉，其實就是“中心天體——圓周軌道”模型，求第一宇宙速度有兩種方法：由，得；或由，得；其他星球的第一宇宙速度計算方法同上，M為該星球的質量，R為該星球的半徑，g為該星球表面的重力加速度。依據(jù)已知條件，靈活選用計算公式。例2（2022年全國理綜卷Ⅰ第16題）我國將要發(fā)射一顆繞月運行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號”．設該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面。已知月球質量約為地球質量的，月球的半徑約為地球半約，地球上的第一宇宙速度約為7.9km／s，則該探月衛(wèi)星繞月運行的速度約為()A．0.4km／sB．36km／sC．11km／sD．1.8km／s解析設地球質量、半徑分別為M、R，月球質量、半徑分別為m、r，則，。在星體表面，物體的重力近似等于萬有引力，若物體質量為m0，則；即，在月球表面，滿足，由此可得，地球表面的第一宇宙速度，在月球表面，有v′=三、“同步衛(wèi)星”模型地球同步衛(wèi)星是位于赤道上方，相對于地面靜止不動的一種人造衛(wèi)星，主要用于全球通信和轉播電視信號。同步衛(wèi)星在赤道上空一定高度環(huán)繞地球運動也屬于“中心天體——環(huán)繞天體”模型．同步衛(wèi)星具有四個一定：①定軌道平面：軌道平面與赤道平面共面；②定運行周期：與地球的自轉周期相同，即T＝24h；③定運行高度：由，得同步衛(wèi)星離地面的高度為：④定運行速率：一顆同步衛(wèi)星可以覆蓋地球大約40%的面積，若在此軌道上均勻分布3顆通信衛(wèi)星，即可實現(xiàn)全球通信(兩極有部分盲區(qū))．為了衛(wèi)星之間不相互干擾，相鄰兩顆衛(wèi)星對地心的張角不能小于3。，這樣地球的同步軌道上至多能有120顆通信衛(wèi)星?？梢?，空間位置也是一種資源。例3某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天(太陽光直射赤道)在日落12小時內有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星?已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉周期為了，不考慮大氣對光的折射。解析設所求的時間為t，用m、M分別表示衛(wèi)星和地球的質量，r表示衛(wèi)星到地心的距離，有春分時，太陽光直射地球赤道，如圖1所示，圖中圓正表示赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，O表示地心．由圖可看出當衛(wèi)星S繞地心O轉到圖示位置以后(設地球自轉是沿圖中逆時針方向)，其正下方的觀察者將看不見它。據(jù)此再考慮到對稱性，有,,由以上各式可解得四、“天體相遇”模型兩天體(行星、衛(wèi)星或探測器)相遇，實際上是指兩天體相距最近．若兩環(huán)繞天體的運轉軌道在同一平面內，則兩環(huán)繞天體與中心天體在同一直線上，且位于中心天體的同側時相距最近．兩環(huán)繞天體與中心天體在同一直線上，且位于中心天體的異側時則相距最遠。設衛(wèi)星1(離地球近些)與衛(wèi)星2某時刻相距最近，如果經過時間2，兩衛(wèi)星與地心連線半徑轉過的角度相差2x的整數(shù)倍，則兩衛(wèi)星又相距最近，即(n=1,2,3……)；如果經過時間，兩衛(wèi)星與地心連線半徑轉過的角度相差n的奇數(shù)倍，則兩衛(wèi)星相距最遠，即例4(2022年江蘇物理卷14題)如圖2所示，A是地球的同步衛(wèi)星。另一衛(wèi)星月的圓形軌道位于赤道平面內，離地面高度為A。已知地球半徑為R，地球自轉角速度為，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心。(1)求衛(wèi)星月的運行周期；(2)如衛(wèi)星月繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻A、月兩衛(wèi)星相距最近(O、B、A在同一直線上)，則至少經過多長時間，他們再一次相距最近?解析(1)由萬有引力定律和向心力公式得①②聯(lián)立①、②兩式得③(2)由題意得(ωB-ω0)t=2π④由③式得⑤代人④式得對一些未知天體，通過測量一些數(shù)據(jù)并應用萬有引力定律的計算，可以發(fā)現(xiàn)和預測未知天體的一些物理量。五、“地球自轉忽略”模型在地球表面，分析計算表明：物體在赤道上所受的向心力最大，也才是地球引力的%，故通常情形可忽略地球的自轉效應，近似地認為質量為m的物體重力等于所受的地球引力，即所以，地表附近的重力加速度為利用這一思路，我們可推出“黃金代換式”GM=gR2若物體在距地面高處，則有所以，在距地面高A處的重力加速度為例5“神舟”六號飛船發(fā)射升空時，火箭內測試儀平臺上放一個壓力傳感器，傳感器上面壓著一個質量為m的物體，火箭點火后從地面向上加速升空，當升到某一高度時，加速度為，壓力傳感器此時顯示出物體對平臺的壓力為點火前壓力的，已知地球的半徑為R,g為地面附近的重力加速度，試求此時火箭離地面的高度。解析設此時火箭升空高度為h，此處重力加速度為g’，對火箭內測試儀平臺上的小物體，應用牛頓第二定律，有根據(jù)萬有引力定律，有將代入上式解得六、“星體自轉不解體”模型指星球表面上的物體隨星球自轉而繞自轉軸(某點)做勻速圓周運動，其特點為：①具有與星球自轉相同的角速度和周期；②萬有引力除提供物體做勻速圓周運動所需的向心力外，還要產生重力．因此，它既不同于星球表面附近的衛(wèi)星環(huán)繞星球做勻速圓周運動(二者軌道半徑雖然相同，但周期不同)，也不同于同步衛(wèi)星的運轉（二者周期雖相同，但軌道半徑不同）。這三種情況又極易混淆，同學們應弄清。例6如果一個星球上，宇航員為了估測星球的平均密度，設計了一個簡單的實驗：他先利用手表，記下一晝夜的時間T；然后，用彈簧秤測一個砝碼的重力，發(fā)現(xiàn)在赤道上的重力僅為兩極的90%．試寫出星球平均密度的估算式。解析設星球的質量為M，半徑為R，平均密度為ρ，砝碼的質量為m．砝碼在赤道上失重：1-90%=10%，表明砝碼在赤道上隨星球自轉做圓周運動的向心力為而一晝夜的時間T就是該星球的自轉周期．根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有又所以，該星球平均密度的估算式為七、“雙星”模型對于雙星問題要注意：①兩星球所需的向心力由兩星球間萬有引力提供，兩星球圓周運動向心力大小相等；②兩星球繞兩星球間連線上的某點(轉動中心)做圓周運動的角速度ω或周期T的大小相等；③兩星球繞轉的半徑r1、r2的和等于兩星球間的距離L，即例7(2022年北京春招題改編)在天文學上把兩個相距較近，由于彼此的引力作用而沿軌道互相繞轉的恒星系統(tǒng)稱為雙星．已知兩顆恒星質量分別為m1、m2，兩星之間的距離為L，兩星分別繞共同的中心做勻速圓周運動，求各個恒星的運轉半徑和角速度。解析兩恒星構成的系統(tǒng)能保持距離L不變，則兩恒星轉動的角速度(周期)相同，設它們的角速度為ω，半徑分別為r1、r2，則它們間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，則①對恒星ml：②對恒星m2：③聯(lián)立①、②、③式解得將代人②式得討論：(1)當ml＝m2時，(2)當，m1》m2時，r1≈r2，r2≈L，這正是我們已熟知的人造地球衛(wèi)星的運轉模型．說明萬有引力公式和向心力公式中都有r這個物理量，但它們的含義不同：萬有引力定律中的r是指兩物體間的距離，而向心力公式中的r則指的是圓周運動的半徑．一般情況下，它們二者是相等的，如月球繞地球的運動，但在此雙星問題則根本不同：萬有引力定律中的r：L，而向心力公式中的，則分別為r1和r：，它們的關系是例8(2022年廣東高考物理試題)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為只的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設每個星體的質量均為m．(1)試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期；(2)假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少?解析(1)第一種形式下，如圖4甲所示，以某個運動的體為研究對象，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有(2)第二種形式下，設星體之間的距離為r，如圖4乙所示，則三個星體做圓周運動的半徑為，由于星體做圓周運動所需要的向心力靠其他兩個星體的萬有引力的合力提供，由力的合成和牛頓第二定律，有解得八、“衛(wèi)星變軌”模型解答這一模型的有關問題，可根據(jù)圓周運動的向心力供求平衡關系進行分析求解：①若F供＝F求，供求平衡——物體做勻速圓周運動；②若F供<F求，供不應求——物體做離心運動；③若F供>F求，供過于求——物體做向心運動。例92022年2月10日，面向社會征集的月球探測工程標志最終確定．上海設計師作品“月亮之上”最終當選．我國的探月計劃分為“繞”“落”“回”三階段．第一階段“繞”的任務由我國第一顆月球探測衛(wèi)星“嫦娥一號”來承擔．發(fā)射后，“嫦娥一號”探測衛(wèi)星將用8天至9天的時間完成調相軌道段、地一月轉移軌道段和環(huán)月軌道段的飛行。其中，假設地一月轉移軌道階段可以簡化為：繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，在適當?shù)奈恢命c火加速，進入近地點在地球表面附近、遠地點在月球表面附近的橢圓軌道運行，如圖5所示．若要此時的“嫦娥一號”進入環(huán)月軌道，則必須()A．在近地點P啟動火箭向運動的反方向噴氣B．在近月點(遠地點)Q啟動火箭向運動的反方向噴氣C．在近月點(遠地點)Q啟動火箭向運動方向噴氣D．在近地點戶啟動火箭向運動方向噴氣解析要使月球探測衛(wèi)星在地球橢圓軌道上變軌繞月球運行，則必須在近月點Q處點火減速，即啟動火箭向運動的方向噴氣使探測器減速，使月球對探測衛(wèi)星的引力大于做圓周運動所需的向心力而做向心的變軌運動，正確答案為選項C。九、“航天器對接”模型航天器對接是指兩個航天器(宇宙飛船、航天飛機、空間站等)在太空軌道會合并連接成一個整體．它是實現(xiàn)太空裝配、補給、維修、航天員交換等過程的先決條件．空間交會對接技術包括兩部分相互銜接的空間操作，即空間交會和空間對接，所謂交會是指兩個航天器在軌道上按預定位置和時間相會，而對接則是兩個航天器相會后在結構上連成一個整體。解答兩個航天器的交會對接問題，其實質仍然是航天器的變軌運行問題，即根據(jù)圓周運動的向心力“供”和“求”關系進行分析。例10如圖6所示，m1、m2：為兩顆一前一后在同一軌道繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，試述用何種方法可使衛(wèi)星m2追上前面的衛(wèi)星m1?解析m2不能像在地面上行駛的汽車一樣加大速度去追趕m1，而應先通過反向制動火箭把速度變小，這樣萬有引力就大于m2做勻速圓周運動所需要的向心力，從而軌道半徑變小，在較低軌道上勻速圓周運動。由于在較低軌道上m2的運行速率要大些，大于m1的運行速率，就會慢慢趕上前上方的m1，再在恰當位置m2通過助推火箭把速度變大，這時萬有引力又小于所需要的向心力m2將做離心運動，軌道半徑將變大到與m1相同，這時m2就追上了m1。十、“能量守恒”模型在發(fā)射人造衛(wèi)星(或探測器、太空飛船)過程中，火箭要克服地球引力做功，所以將衛(wèi)星發(fā)射到越高的軌道，在地面上所需的發(fā)射動能(速度)就越大。利用功能關系或能量守恒可計算出發(fā)射人造衛(wèi)星而運轉于某圓軌道所