建筑力學(xué)(第二版)第三章力系的平衡

第3章力系的平衡第3章力系的平衡

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作用于物體上的力系分為平面力系和空間力系，工程中最常見的是平面力系。本章介紹平面力系向一點(diǎn)簡化的結(jié)果及其計(jì)算，由此得到平面力系的平衡條件和平衡方程，著重討論平衡方程的應(yīng)用和物體系平衡問題的解法。本章是剛體靜力分析的重點(diǎn)。【學(xué)習(xí)要求】1.理解力的平移定理。2.了解平面力系的簡化理論和簡化結(jié)果。

3.熟練掌握力在坐標(biāo)軸上投影的計(jì)算。4.理解各種平面力系的平衡方程，熟練掌握運(yùn)用平衡方程求解平衡問題的步驟和技巧。

1第3章力系的平衡第3章力系的平衡

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§3－1平面力系向一點(diǎn)的簡化§3－2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄§3－1平面力系向一點(diǎn)的簡化

作用于物體上各力的作用線都在同一平面內(nèi)，這種力系稱為平面力系。

例如，圖示用起重機(jī)吊裝鋼筋混凝土大梁，作用于梁上的力有梁的重力W、繩索對(duì)梁的拉力，這三個(gè)力的作用線都在同一鉛直平面內(nèi)，組成一個(gè)平面力系。3第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

屋架受到屋面自重和積雪等重力載荷W、風(fēng)力F以及支座反力FAx、FAy、FB的作用，這些力的作用線在同一平面內(nèi)，組成一個(gè)平面力系(如圖)。4第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

有時(shí)物體本身及作用于其上的各力都對(duì)稱于某一平面，則作用于物體上的力系就可簡化為該對(duì)稱平面內(nèi)的平面力系。

例如水壩(圖a)，通常取單位長度的壩段進(jìn)行受力分析，并將壩段所受的力簡化為作用于壩段中央平面內(nèi)的一個(gè)平面力系(圖b)。5第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄3－1－1力的平移定理

平面力系向一點(diǎn)簡化的理論基礎(chǔ)是力的平移定理。

設(shè)在剛體上A點(diǎn)作用一個(gè)力F，現(xiàn)要將其平行移動(dòng)到剛體內(nèi)任一點(diǎn)O(圖a)，但不能改變力對(duì)剛體的作用效應(yīng)。6第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

根據(jù)加減平衡力系公理，可在O點(diǎn)加上一對(duì)平衡力F、F，力F

和F的作用線與原力F的作用線平行，且F

＝F

＝F(圖b)。

力F

和F

組成一個(gè)力偶M，其力偶矩等于原力F對(duì)O點(diǎn)之矩。即7第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

由此得到力的平移定理：作用于剛體上的力可以平行移動(dòng)到剛體內(nèi)任一指定點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，此附加力偶的矩等于原力對(duì)指定點(diǎn)之矩。

8第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

根據(jù)力的平移定理，也可以將同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力，合成的過程如圖所示。9第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

力的平移定理不僅是力系向一點(diǎn)簡化的理論依據(jù)，而且也是分析力對(duì)物體作用效應(yīng)的一個(gè)重要方法。

例如，在設(shè)計(jì)廠房的柱子時(shí)，通常都要將作用于牛腿上的力F(圖a)平移到柱子的軸線上(圖b)，可以看出，軸向力F＇使柱產(chǎn)生壓縮，而力偶矩M將使柱彎曲。10第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄3－1－2平面力系向一點(diǎn)簡化的結(jié)果

設(shè)在剛體上作用一個(gè)平面力系F1、F2、…、Fn

，各力的作用點(diǎn)分別為A1、A2、…、An(圖a)。在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O，稱為簡化中心。

利用力的平移定理，將各力都向O點(diǎn)平移，得到一個(gè)匯交于O點(diǎn)的平面匯交力系。和一個(gè)附加的平面力偶系MO1、MO2、…、Mon(圖b)。這些附加力偶的矩分別等于原力系中的各力對(duì)O點(diǎn)之矩，即

MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）

11第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

平面匯交力系可以合成為一個(gè)作用于O點(diǎn)的合矢量(圖c)，即

式中——平面力系中所有各力的矢量和，稱為該力系的主矢。它的大小和方向與簡化中心的選擇無關(guān)。平面力偶系MO1、MO2、…、MOn可以合成為一個(gè)力偶，其矩MO為

12第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

即MO等于各附加力偶矩的代數(shù)和，也就是等于原力系中各力對(duì)簡化中心O之矩的代數(shù)和。MO稱為該力系對(duì)簡化中心O的主矩。其大小和轉(zhuǎn)向與簡化中心的選擇有關(guān)。

如果選取的簡化中心不同，主矢不會(huì)改變，故它與簡化中心的位置無關(guān)；但力系中各力對(duì)不同簡化中心的矩一般是不相等的，因而主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。13第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄3－1－3力在坐標(biāo)軸上的投影

在力F作用的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系Oxy。Fx=±a1b1Fy=±a2b2式中的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：從a1到b1（或a2到b2）的指向與坐標(biāo)軸正向相同時(shí)取正，相反時(shí)取負(fù)。

xyAB

由力F的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別向坐標(biāo)軸作垂線，設(shè)垂足分別為a1、b1和a2、b2，線段a1b1、a2b2冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)稱為力F在xa1b1a2b2FxFy軸和y軸上的投影，分別記作Fx、Fy，即F14第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

由圖可知，若已知力F的大小及力F與x、y軸正向間的夾角分別為和，則有即力在某軸上的投影等于力的大小乘以力與該軸正向間夾角的余弦。當(dāng)、為鈍角時(shí)，為了計(jì)算簡便，往往先根據(jù)力與某軸所夾的銳角來計(jì)算力在該軸上投影的絕對(duì)值，再由觀察來確定投影的正負(fù)號(hào)。

xyABa1b1a2b2FxFyF15第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

反之，若已知力F在直角坐標(biāo)軸上的投影為Fx、Fy，則可求出力F的大小及方向，即

應(yīng)該指出，力在坐標(biāo)軸上的投影與力沿坐標(biāo)軸的分力是兩個(gè)不同的概念。力的投影是代數(shù)量，而力的分力是矢量。xyABa1b1a2b2FxFyF16第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄式中：i、j——坐標(biāo)軸x、y正向的單位矢量。

在直角坐標(biāo)系中，力在軸上的投影和力沿該軸的分力的大小相等，而投影的正負(fù)號(hào)可表明該分力的指向。因此，力F沿平面直角坐標(biāo)軸分解的表達(dá)式為ijxyABa1b1a2b2FxFyF17第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄

例3－1試分別計(jì)算圖示各力在x軸和y軸上的投影。已知F1=F2=100N，F(xiàn)3=150N，

F4=200N。18第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄解由公式可算出各力在x軸和y軸上的投影分別為

F1x=F1cos45°=100N×0.707=70.7NF1y=F1cos45°=100N×0.707=70.7NF2x=－F2cos30°=－100N×0.866=－86.6NF2y=－F2cos60°=－100N×0.5=－50NF3x=F3cos90°=0F3y=－F3cos0°=－150N×1=－150N19第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄F4x=F4cos60°=200N×0.5=100NF4y=－F4cos30°=－200N×0.866=－173.2N20第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄3－1－4主矢和主矩的計(jì)算

設(shè)主矢FR在x、y軸上的投影分別為FRx

、FRy

，力系中各力Fi(i=1，2，…，n)在x、y軸上的投影分別為Fix、Fiy。則

FR=FRx

i+FRyj

以及F1

+F2+…+Fn=(F1xi+F1yj)+(F2xi+F2yj)+…+(Fnxi+Fnyj)=(F1x

+F2x

+…+Fnx)i+（F1y+F2y+…+Fny）j=(∑Fix)i+(∑Fiy)j

21第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄比較后得到

FRx=∑Fix，F(xiàn)Ry=∑Fiy

即主矢在某坐標(biāo)軸上的投影，等于力系中各力在同一軸上投影的代數(shù)和。求得主矢在坐標(biāo)軸的投影后，可求出主矢的大小和方向分別為

至于主矩可直接利用式MO=MO1+MO2+…+MOn=∑MOi進(jìn)行計(jì)算。22第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄3－1－5平面力系向一點(diǎn)簡化結(jié)果的討論

平面力系向一點(diǎn)的簡化結(jié)果，一般可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，而其最終結(jié)果為以下三種可能的情況：

(1)力系可簡化為一個(gè)合力偶。當(dāng)FR＝0、MO≠0時(shí)，力系與一個(gè)力偶等效，即力系可簡化為一個(gè)合力偶。合力偶矩等于主矩。此時(shí)，主矩與簡化中心的位置無關(guān)。

(2)力系可簡化為一個(gè)合力。當(dāng)FR≠0、MO＝0時(shí)，力系與一個(gè)力等效，即力系可簡化為一個(gè)合力。合力的大小、方向與主矢相同，合力的作用線通過簡化中心。23第3章力系的平衡\平面力系向一點(diǎn)的簡化目錄(3)力系處于平衡狀態(tài)。當(dāng)FR=0、MO＝0時(shí)，力系為平衡力系。當(dāng)FR≠0、MO≠0時(shí)，根據(jù)力的平移定理逆過程，可將FR和MO

簡化為一個(gè)合力（如圖）。合力的大小、方向與主矢相同，合力作用線不通過簡化中心。24第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄§3－2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3－2－1平衡條件和平衡方程

如果平面力系向任一點(diǎn)簡化后主矢和主矩都等于零，則該力系為平衡力系。反之，要使平面力系平衡，主矢和主矩都必須等于零，否則該力系將最終簡化為一個(gè)力或一個(gè)力偶。因此，平面力系平衡的充分和必要條件是力系的主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零，即25第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄上面的平衡條件可用下面的解析式表示

為書寫方便，已將上式中的下標(biāo)i略去。上式稱為平面力系的平衡方程。其中前兩式稱為投影方程，它表示力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零；后一式稱為力矩方程，它表示力系中所有各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。26第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

例3－2梁AB的A端為固定鉸支座，B端為活動(dòng)鉸支座(如圖)，梁上受集中力F與力偶M的作用。已知F=10kN，M=2kN·m，a=1m，試求支座A、B處的反力。27第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

解(1)取研究對(duì)象。由于已知力和待求力都作用于梁AB上，故選取梁AB為研究對(duì)象。

(2)畫受力圖。ABCFAxFAyFMFB4528第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄(3)列平衡方程。建立坐標(biāo)系A(chǔ)xy，列出平衡方程

∑Fx=0，F(xiàn)Ax－FBcos45°=0∑Fy=0，F(xiàn)Ay－F+FBsin45°=0∑MA=0，－Fa－M+FBsin45×3a=0

由于力偶中的兩個(gè)力在同一軸上投影的代數(shù)和等于零，故在寫投影方程時(shí)不必考慮力偶。

(4)解方程。得

FAx=FBcos45°=4kNFAy=F－FBsin45°=6kNFAx、FAy和FB的計(jì)算結(jié)果均為正值，表示力的指向與假定的指向相同(若為負(fù)值，則表示力的指向與假定的指向相反)。

ABCFAxFAyFMFB45yx29第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄(5)討論。本題若寫出對(duì)A、B兩點(diǎn)的力矩方程和對(duì)x軸的投影方程，則同樣可求解。即由∑Fx=0，F(xiàn)Ax－FBcos45°=0∑MA=0，－Fa－M+FBsin45×3a=0∑MB=0，－FAy×3a+F×2a－M=0解得FAx=4kN，F(xiàn)Ay=6kN，F(xiàn)B=5.66kN

若寫出對(duì)A、B、D三點(diǎn)的力矩方程∑MA=0，－Fa－M+FBsin45°×3a=0∑MB=0，－FAy×3a+F×2a－M=0∑MD=0，F(xiàn)Ax×3a－Fa－M=0則也可得到同樣的結(jié)果。ABCFAxFAyFMFB45yxD30第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

由上面例題的討論可知，平面力系的平衡方程除了基本形式外，還有二力矩形式和三力矩形式，其形式如下：∑Fx=0（或∑Fy=0）∑MA=0∑MB=0其中A、B二點(diǎn)連線不能與x軸（或y軸）垂直。以及∑MA=0∑MB=0∑MC=0其中A、B、C三點(diǎn)不能共線。31第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

在應(yīng)用二力矩形式或三力矩形式時(shí)，必須滿足其限制條件，否則所列三個(gè)平衡方程將不都是獨(dú)立的。

由上面的例題可看出，求解平面力系平衡問題的步驟如下：

(1)取研究對(duì)象。根據(jù)問題的已知條件和待求量，選取合適的研究對(duì)象。

(2)畫受力圖。畫出所有作用于研究對(duì)象上的外力。

(3)列平衡方程。適當(dāng)選取投影軸和矩心，列出平衡方程。

(4)解方程。32第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

在列平衡方程時(shí)，為使計(jì)算簡單，通常盡可能選取與力系中多數(shù)未知力的作用線平行或垂直的投影軸，矩心選在兩個(gè)未知力的交點(diǎn)上；盡可能多應(yīng)用力矩方程，并使一個(gè)方程中只包含一個(gè)未知數(shù)。但是應(yīng)注意，不管使用哪種形式的平衡方程，對(duì)于一個(gè)平面力系來說，它只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因而只能求解三個(gè)未知量。任何第四個(gè)方程都不會(huì)是獨(dú)立的，但可以利用它來校核計(jì)算的結(jié)果。

33第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄3－2－2平面力系的幾個(gè)特殊情形

1.平面匯交力系對(duì)于平面匯交力系，平衡方程中的力矩方程自然滿足，因而其平衡方程為

平面匯交力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能求解兩個(gè)未知量。34第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

例3－3起重架可借繞過滑輪A的繩索將重W=20kN的重物吊起，滑輪A用AB及AC兩桿支承(如圖)。設(shè)兩桿的自重及滑輪A的大小、自重均不計(jì)，試求桿AB、AC的受力。35第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

解如將桿AB、AC作用于滑輪A上的力求出，則兩桿所受的力即可求出(互為作用力與反作用力)。因?yàn)橹匚锏闹亓εc繩索的拉力均作用于滑輪A上，故取滑輪A為研究對(duì)象。畫出滑輪A的受力圖(圖b)。因不計(jì)滑輪A的大小，故諸力組成一個(gè)平面匯交力系。

36第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄建立坐標(biāo)系A(chǔ)xy(如圖)，列出平衡方程

∑Fx=0，－Wcos45°－FAC－FTcosl5°－FABcos75°=0∑Fy=0，－Wsin45°+FTsinl5°+FABsin75°=0解得FAC=－35.9kN解得37第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

FAB的計(jì)算結(jié)果為正值，表示力FAB的指向與假定的指向相同，桿AB所受的力FAB′與FAB等值反向，桿AB受拉力作用；同理，F(xiàn)AC的計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表示力FAC的指向與假定的指向相反，桿AC受壓力作用(如圖)。38第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

2．平面力偶系對(duì)于平面力偶系，平面力系平衡方程中的投影方程自然滿足，且由于力偶對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩都相同，故其平衡方程為∑M=0平面力偶系只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能求解一個(gè)未知量。

39第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

例3－4如圖所示梁AB受一力偶的作用，力偶的矩M=20kN·m，梁的跨長l=5m，傾角＝60，試求支座A、B處的反力，梁的自重不計(jì)。

40第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

解取梁AB為研究對(duì)象。由力偶系的平衡方程，有得

故受力如圖所示。41第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄3.平面平行力系

平面平行力系平衡方程的二力矩形式為式中A、B兩點(diǎn)的連線不能平行于各力作用線。

若平面力系中各力作用線全部平行，稱為平面平行力系。若取y軸平行于各力作用線，x軸垂直于各力作用線（如圖），顯然平衡方程中∑X=0自然滿足，因此其平衡方程只有兩個(gè)，即42第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能求解兩個(gè)未知量。

例3－5塔式起重機(jī)(如圖)的機(jī)架重W=500kN，重力作用線與右軌的距離e=1.5m。最大起重載荷F=250kN，其作用線與右軌的距離l=10m。軌距b=3m，平衡錘重力作用線與左軌的距離a=6m。

(1)欲使起重機(jī)在滿載和空載時(shí)均不致翻倒，試求平衡錘重W1的值；

(2)當(dāng)平衡錘重W1=370kN時(shí)，試求滿載時(shí)軌道對(duì)起重機(jī)輪子的約束力。43第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

解(1)取起重機(jī)為研究對(duì)象。先考慮滿載時(shí)的情況。此時(shí)，作用于起重機(jī)上的力有機(jī)身重力W，起吊載荷F，平衡錘重力W1，以及軌道對(duì)輪子的約束力FA、FB，這些力組成一平面平行力系(如圖)。滿載時(shí)起重機(jī)翻倒，將是繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。在平衡的臨界狀態(tài)，F(xiàn)A等于零，平衡錘重達(dá)到允許的最小值W1min，列出平衡方程∑MB=0，W1min（a+b）－We－Fl=0

得W1min=

=361kN44第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

再考慮空載(F=0)的情況。此時(shí)，應(yīng)使起重機(jī)不繞A點(diǎn)翻倒。在平衡的臨界狀態(tài)，F(xiàn)B等于零，平衡錘重達(dá)到允許的最大值W1max，列出平衡方程∑MA=0，W1maxa－W(e+b)=0得W1max==375kN

因此，要保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)均不致翻倒，平衡錘重W1應(yīng)滿足如下關(guān)系：361kN≤W1≤375kN45第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

(2)取起重機(jī)為研究對(duì)象，畫出受力圖。取y軸向上為正，列出平衡方∑MA=0，

W1a+FBb－W(e+b)一F(l+b)=0FB==1093kN

∑Fy=0，F(xiàn)A+FB－W1－W－F=0得FA=W1+W+F－FB=27kN得46第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

物體所受的力，如果是沿著狹長面積或體積連續(xù)分布且相互平行的力系，則稱為線分布力或線分布載荷。表示分布荷載分布規(guī)律的圖形稱為荷載圖。均布荷載沿一直線分布時(shí)，其荷載圖為一矩形。例如梁的自重，可簡化為沿梁的軸線分布的線分布載荷(圖a)；靜水壓力是非均布荷載，其荷載圖是三角形(圖b)。

單位長度上所受的力，稱為分布力在該處的集度，通常用q表示，其單位是N／m或kN／m。47第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

利用合力矩定理可以證明：線分布荷載的合力的大小等于荷載圖的面積，合力的作用線通過荷載圖的形心，合力的指向與分布荷載的指向相同。在求解平衡問題時(shí)，線分布荷載可以用其合力來替換。

例3－6圖示水平外伸梁上受均布載荷q，力偶M和集中力F的作用。試求支座A、B處的反力。48第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

解取梁為研究對(duì)象。畫出受力圖。均布載荷的合力FR(FR=qa，作用于均布載荷區(qū)段的中點(diǎn))。建立坐標(biāo)系Oxy，列出平衡方程FRMFFAyFAxFAyFBa/2a/2xyO∑Fx=0，F(xiàn)Ax=0∑MA=0，F(xiàn)R×－M+FB×2a－F×3a=0

49第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄FRMFFAyFAxFAyFBa/2a/2xyO得FB=∑Fy=0，－FR+FAy+FB－F=0得FAy=

本例中，由于水平外伸梁上沒有水平方向載荷作用，支座A處的反力FAx一定等于零，所以在受力分析時(shí)也可只畫出反力FAy(如右圖）。FRMFFAFAFBa/2a/2xyO50第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄3－2－3物體系的平衡問題

所謂物體系是指由若干個(gè)物體通過約束按一定方式連接而成的系統(tǒng)。若物體或物體系的所有約束力都可由平衡方程求出，則稱為靜定物體或靜定物體系。

求解物體系統(tǒng)的平衡問題，通常有以下兩種方法：

1）先整體后部分或先部分后整體。先取整個(gè)物體系統(tǒng)為研究對(duì)象，列出平衡方程，解得部分未知量，然后再取系統(tǒng)中某個(gè)部分（可以由一個(gè)或幾個(gè)物體組成）為研究對(duì)象，列出平衡方程，直至解出所有未知量為止。有時(shí)也可先取某個(gè)部分為研究對(duì)象，解得部分未知量，然后再取整體為研究對(duì)象，解出所有未知量。

51第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

2）逐個(gè)考察每個(gè)物體。逐個(gè)取物體系統(tǒng)中每個(gè)物體為研究對(duì)象，列出平衡方程，解出全部未知量。至于采用何種方法求解，應(yīng)根據(jù)問題的具體情況，恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象，列出較少的方程，解出所求未知量。并且盡量使每一個(gè)方程中只包含一個(gè)未知量，以避免解聯(lián)立方程。

52第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

例3－7三鉸拱(如圖)每半拱重W=300kN，跨長l=32m，拱高h(yuǎn)=10m。試求：

(1)支座A、B處的反力；

(2)鉸C處的約束力。53第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

解(1)求支座A、B處的反力先取三鉸拱整體為研究對(duì)象，畫出受力圖(圖b)。建立坐標(biāo)系A(chǔ)xy，列出平衡方程∑MB=0，－FAy×32m+W×28m+W×4m=0得

FAy=300kN

54第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄∑Fy=0，F(xiàn)Ay+FBy－2W=0

∑Fx=0，F(xiàn)Ax－FBx=0FBy=2W－FAy=300kN得FAx=FBx

得55第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

再取半拱AC為研究對(duì)象，畫出受力圖(圖c)。列出平衡方程∑MC=0，F(xiàn)Axh－FAy×+W×12m=0FAx=FBx

==120kN得56第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄

(2)求鉸C處的約束力欲求鉸C處的約束力，可以在上面計(jì)算的基礎(chǔ)上，再列出半拱AC的其他平衡方程∑Fx=0，F(xiàn)Ax－FCx=0

FCx=FAx=120kN得∑Fy=0，F(xiàn)Ay－W+FCy=0FCy=W－FAy=0得57第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄下面給出另一種解法。

分別取半拱AC和BC為研究對(duì)象，畫出它們的受力圖(圖c、d)。列出半拱AC的平衡方程∑MA=0，

FCxh+FCy－W×4m=0

(a)∑Fx=0，F(xiàn)Ax－FCx=0(b)∑Fy=0，F(xiàn)Ay+FCy－W=0(c)58第3章力系的平衡\平面力系的平衡方程及其應(yīng)用目錄列出半拱BC的平衡方程∑MB=0，－FCxh+FCy×+W×4m=0(d)∑Fx=0，F(xiàn)Cx

－FBx=0(e)∑Fy=0，F(xiàn)By－FCy

－W=0