2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-2022年高考真題)19 數(shù)列的綜合應(yīng)用(含詳解)

專題19數(shù)列的綜合應(yīng)用

【題型歸納目錄】

題型一：數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實際問題中的應(yīng)用

題型二：數(shù)列中的新定義問題

題型三：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題

題型四：數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用

題型五：數(shù)列不等式的證明

題型六：公共項問題

題型七：插項問題

題型八：蛛網(wǎng)圖問題

題型九：整數(shù)的存在性問題（不定方程）

題型十：數(shù)列與函數(shù)的交匯問題

題型十一：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題

題型十二：數(shù)列與概率的交匯問題

題型十三：數(shù)列與幾何的交匯問題

【典型例題】

題型一：數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實際問題中的應(yīng)用

例1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學(xué)思想方法，對時代的進步起

了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,

13,21,34,55,89,……即尸⑴="（2）=1,尸⑺=尸（N-1）+尸（"2乂〃W3,〃eN*）,此數(shù)列在現(xiàn)代物理、

準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列{4},則

&+&+%+…+&022的值為（）

A.2696B.2697C.2698D.2700

例2.（2022?新疆喀什?高三期末（文））70周年國慶閱兵活動向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象,

展示了科技強軍的偉大成就以及維護世界和平的堅定決心，在閱兵活動的訓(xùn)練工作中，不僅使用了北斗導(dǎo)

航、電子沙盤、仿真系統(tǒng)、激光測距機、邁速表和高清攝像頭等新技術(shù)裝備，還通過管理中心對每天產(chǎn)生

的大數(shù)據(jù)進行存儲、分析，有效保證了閱兵活動的順利進行，假如訓(xùn)練過程中第一天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為a,其

后福天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是前一天的4（?>1）倍，那么訓(xùn)練〃天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為（）

例3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解

釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總

和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、

40、50,則此數(shù)列的第21項是（）

A.200B.210C.220D.242

例4.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，上面記載了一道有名的“孫子

問題”，后來南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《算書九章?大衍求一術(shù)》中將此問題系統(tǒng)解決.“大衍求一術(shù)''屬現(xiàn)代數(shù)論

中的一次同余式組問題，后傳入西方，被稱為“中國剩余定理”.現(xiàn)有一道同余式組問題：將正整數(shù)中，被3

除余2且被5除余1的數(shù)，按由小到大的順序排成一列數(shù)，則281是第幾個數(shù)（）

A.18B.19C.20D.21

例5.（2022?山西太原?三模（理））斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、

化學(xué)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的：％=%=1，

%=3+4“-2（心3,〃€”）.已知備+%+：.+…+4；是該數(shù)歹［J的第100項，貝、加一（）

A.98B.99

C.100D.101

【方法技巧與總結(jié)】

（1）解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問題的關(guān)鍵

讀懂題意H一套腸去藪學(xué)支正的酉■「俵?？悼?...!

再盤和」一由施疊:而連尊寶藪疥最辱百藪的晟遑森；

-------二關(guān)系式的模型

0二二二二二二二二二二二二二二二

港磯」利用所學(xué)知識求解數(shù)列的相關(guān)信息，如求1

-----推定項工遐項公式或期2項利的公區(qū)-一」（2）解答數(shù)列應(yīng)用題需過好“四關(guān)”

審題關(guān)|~4存畫而凌君科「認(rèn)商包薜窗看：

0隔百而豕稱曲每瓶藪孕語音「蔣耍標(biāo)同窗；

建模關(guān)H轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題,并分清數(shù)列是等差數(shù)列;

.n.；還是等比數(shù)列_______________題型二：數(shù)列中的新定義問題

求解關(guān)H求解該數(shù)列問題

0

還原關(guān)I雨而隸的結(jié)臬這原薊實標(biāo)M至審

例6.（2022?陜西?長安一中模擬預(yù)測（理））意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯

數(shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列｛%｝滿足卬=1,%=1，

a"=a,T+a“-2（〃N3,〃eN）若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1,記前〃

項所占的格子的面積之和為S“，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為％,則其中不正確結(jié)論

的是（）

c.at+a｝+a5+---+a2n^=a2n-lD.4（c?-c?_.）=^a?-2＞3）

例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”（斐波

那契數(shù)列）：1，1,2,3,5,8,13,21,34,55,...?在實際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草等）的

瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列

｛%｝滿足:%=1,a2=l,4+2=+?！?，若%+牝+/+。9=%-。2，則左等于（）

A.12B.13C.89D.144

例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）高斯函數(shù)丁=1］也稱為取整函數(shù)，其中［月表示不超過x的最大整數(shù)，例

如［3.4］=3.已知數(shù)列｛叫滿足q=1,%=｛+4,設(shè)數(shù)列］備，的前〃項和為E,,則區(qū)。2］=.

例9.（2022?陜西西安?二模（理））“0,1數(shù)列”在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，它是指各項的值都等于0或1

的數(shù)列.設(shè)n是一個有限“0,1數(shù)列”，/（/）表示把4中每個0都變?yōu)?,0,1,每個1都變?yōu)?,1,0,

所得到的新的“0,1數(shù)列“，例如力=｛1,0｝,則/"）=｛0,1,0,1,0,1｝.設(shè)4是一個有限“0,1數(shù)列“，定義

4—12,3....若有限“0,1數(shù)列“4=｛0,1,0｝,則數(shù)列4儂的所有項之和為.

例10.（2022?甘肅張掖?高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列｛4｝滿足%=1籌2（一）.給出定義：使數(shù)列｛4｝的

〃+1

前k項和為正整數(shù)的€N+）叫做“好數(shù)”，則在［1,2022］內(nèi)的所有“好數(shù)”的和為

例11.（2022?山東濰坊?模擬預(yù)測）對于項數(shù)為皿〃左3）的有窮數(shù)列｛凡｝,若存在項數(shù)為機+1的等比數(shù)列也｝,

使得“＜做＜如，其中2,m,則稱數(shù)列抄“｝為｛。,,｝的“等比分割數(shù)列”.已知數(shù)列7,14,38,60,

則該數(shù)列的一個“等比分割數(shù)列”可以是.（寫出滿足條件的一個各項為整數(shù)的數(shù)列即可）

例12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知「x］表示不小于x的最小整數(shù)，1x」表示不大于x的最大整數(shù)，如

「1.6］=2,艮1」=3,數(shù)列｛%｝滿足4=；,且對有4用=1|\］+。,」+6，若｛《,｝為遞增數(shù)列，則

整數(shù)b的最小值為.

例13.（2022?江蘇南通?高三期末）數(shù)列｛“,｝：1,1,2,3,5,8,稱為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列是由意

大利數(shù)學(xué)家菜昂納多?斐波那契從觀察兔子繁殖而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.數(shù)學(xué)上,

該數(shù)列可表述為6=%=1，a“+2=a“+i+《,（〃eN*）.對此數(shù)列有很多研究成果，如：該數(shù)列項的個位數(shù)是

以60為周期變化的，通項公式?！?等.借助數(shù)學(xué)家對人類的此項貢獻，我們不難

得到=?！?|（?！?2-?！埃?，從而易得a；+W+裙+…+境6值的個位數(shù)為

例14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛《｝中，nwN"，若"廣廳=4（左為常數(shù)），則稱｛《,｝為“等差

比數(shù)列“，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：

①人不可能為0;

②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；

③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；

④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0.

其中所有正確的序號是.

例15.（2022?全國?高三階段練習(xí)（文））任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，

就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限步驟后，必進入循環(huán)圈1-4-271.這就是數(shù)學(xué)史上著

名的“冰雹猜想''（又稱"角谷猜想''等）.如取正整數(shù)機=6,根據(jù)上述運算法則得出

6-3-10-5-16-8-4-2-1,至少需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.一般地，一個正整數(shù)

“首次變成1需經(jīng)過〃個步驟（簡稱為〃步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推，關(guān)系如下：已知數(shù)列｛%｝滿足

an當(dāng)a為偶數(shù)時

4="7（加為正整數(shù)），。,田=萬"，若4。=1，即9步“雹程”對應(yīng)的胴的所有可能取值的中位

3a“+1,當(dāng)a“為奇數(shù)時

數(shù)為.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）新定義數(shù)列問題的特點

通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求

考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解

題的目的.

（2）新定義問題的解題思路

遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”,

逐條分析、運算、驗證，使問題得以解決.

題型三：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題

例16.（2022?山西呂梁?二模（文））已知｛《,｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，4=；，/=[，且

+〃2+。3---卜?！?lt;上，則人的最小值是.

例17.（2022?山東煙臺?三模）已知數(shù)列出｝的前〃項和為S“，q=g,當(dāng)〃22時，S；=anS?-a?.

⑴求S,；

（2）設(shè)數(shù)列的前〃項和為7；,若2（4〃2+9）2恒成立，求力的取值范圍.

例18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，S35<0,邑6>0.若對任意的正整數(shù)〃，

都有S“2耳，則整數(shù)k=（）

A.34B.35C.18D.19

例19.（2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃，S4=2S2+8,々=3.

若對任意〃￡N+且〃22,總有7二十4…+不=二丸恒成立，則實數(shù)力的最小值為（）

?-133T3〃T

321

A.1B.-C.-D.-

433

例20.（2022?河南?模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列｛叫中，?,=1,則滿足%>人的〃的最

4a?+2an+in+11000

大值為（）

A.3B.5C.7D.9

例21.（2022?四川?樹德中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知數(shù)列｛〃,｝的首項q=1,且滿足“向-勺=（〃eN'）,

則存在正整數(shù)〃，使得（?！?4（?！?1+/1）<0成立的實數(shù)/1組成的集合為（）

人?卜,-￡HK）B.朋c?切D.（—IMK）

例22.（2022?寧夏?銀川一中三模（文））已知數(shù)列｛可｝滿足a,=2,a?=a^+（；）（〃22且〃eN，）,若?！?lt;〃

恒成立，則"的最小值是（）

95

A.2B."C.-D.3

42

例23.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）數(shù)列包｝的前〃項和為E,,且q+3生+…+3"%,=〃3’，若對任意〃eN*,

S.2（-1）"〃久恒成立，則實數(shù)4的取值范圍為（）

A.[-3,4]B.卜2四,20]

C.[-5,5]D.[-272-2,272+2]

例24.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛"“｝的通項公式為4,=丁二；，前〃項和為S,,若實數(shù)4滿足

n(n+2)

(T)葭<3+(一1)，”5對任意正整數(shù)〃恒成立，則實數(shù)2的取值范圍是()

10,9?10.99,109.10

AA-4B--T<2<4C--4<4TD--^<A<T

例25.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝中，a,=2,n(a?+1-a?)=a?+1,若對于任意的〃eN*,

不等式也〈/恒成立，貝打的最小值是()

〃+1

A.2B.3C.4D.5

【方法技巧與總結(jié)】

(1)數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略

①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.

②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前〃項和公式、求和方

法等對式子化簡變形.

注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊

性.

(2)數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略

解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、

分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.

利用等價轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.

a>尸(〃)恒成立=4>尸；

a<F(〃)恒成立oa<F(n)min.

題型四：數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用

例26.(2022?上海長寧?二模)甲、乙兩人同時分別入職48兩家公司，兩家公司的基礎(chǔ)工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：A

公司第一年月基礎(chǔ)工資數(shù)為370()元，以后每年月基礎(chǔ)工資比上一年月基礎(chǔ)工資增加300元；B公司第一年

月基礎(chǔ)工資數(shù)為4000元，以后每年月基礎(chǔ)工資都是上一年的月基礎(chǔ)工資的1.05倍.

(1)分別求甲、乙兩人工作滿10年的基礎(chǔ)工資收入總量(精確到1元)

(2)設(shè)甲、乙兩人入職第〃年的月基礎(chǔ)工資分別為b”元,記c.=%-b”,討論數(shù)列｛%｝的單調(diào)性，指出哪

年起到哪年止相同年份甲的月基礎(chǔ)工資高于乙的月基礎(chǔ)工資，并說明理由.

例27.(2022?全國?高三專題練習(xí))保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要

決策部署.2021年7月，國務(wù)院辦公廳發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國內(nèi)多個城市陸

續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關(guān)政策或征求意見稿.為了響應(yīng)國家號召，某地區(qū)計劃2021年新建住房40萬

平方米，其中有25萬平方米是保障性租賃住房.預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上

一年增長8%,另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬平方米.

（1）到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積（以2021年為累計的第一年）將首次不少于475萬

平方米？

（2）到哪一年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?

例28.（2022?內(nèi)蒙古?海拉爾第二中學(xué)高三期中（理））某高校2021屆畢業(yè)生春季大型招聘會上，/,8兩家

公司的工資標(biāo)準(zhǔn)分別是：/公司許諾第一年的月工資為3000元，以后每年月工資比上一年月工資增加300

元；8公司許諾第一年月工資為3500元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上增加5%.若某人被4B

兩家公司同時錄取，試問：

（1）若此人分別在N公司或8公司連續(xù)工作年，則他在第〃年的月工資收入分別是多少？

（2）此人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資總收入作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)，此人應(yīng)該選擇哪家公司？

參考數(shù)據(jù)：1.05晨1.629.

例29.（2022?全國?高三專題練習(xí)）商學(xué)院為推進后勤社會化改革，與桃園新區(qū)商定：由該區(qū)向建設(shè)銀行貸

款500萬元在桃園新區(qū)為學(xué)院建一棟可容納一千人的學(xué)生公寓，工程于2002年初動工，年底竣工并交付使

用，公寓管理處采用收費償還建行貸款形式（年利率5%,按復(fù)利計算），公寓所收費用除去物業(yè)管理費和

水電費18萬元.其余部分全部在年底還建行貸款.

（1）若公寓收費標(biāo)準(zhǔn)定為每生每年800元，問到哪一年可償還建行全部貸款；

（2）若公寓管理處要在2010年底把貸款全部還清，則每生每年的最低收費標(biāo)準(zhǔn)是多少元（精確到元）？

（參考數(shù)據(jù)：Igl.7343=0.2391,lgl.05=0.0212,1.058=1.4774）

例30.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個數(shù)開始依次從左下方選出來的數(shù)可組

成等差數(shù)列，如：2,4,6,8,...；依次選出來的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：2,4,8,16,....

1

22

344

,,?記第〃行第加個數(shù)為/（〃,加）,

4ooo

58121616

（I）若〃23,寫出〃〃,2）,〃〃,3）的表達式，并歸納出了（〃，加）的表達式；

（II）求第10行所有數(shù)的和

例31.（2022?全國?模擬預(yù)測（文））某企業(yè)年初在一個項目上投資2千萬元，據(jù)市場調(diào)查，每年獲得的利潤

為投資的50%,為了企業(yè)長遠發(fā)展，每年底需要從利潤中取出500萬元進行科研、技術(shù)改造，其余繼續(xù)投入

該項目.設(shè)經(jīng)過〃（〃eN*）年后，該項目的資金為萬元.

（1）求證：數(shù)列｛%-1000｝為等比數(shù)列；

（2）若該項目的資金達到翻一番，至少經(jīng)過幾年？（lg3?0.5,lg2?0.3）

例32.（2022?遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合

征（MERV）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（S4?5）等較嚴(yán)重疾病.新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新

毒株，人感染了冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.日前正在世界范圍內(nèi)廣泛

傳播，并對人類生命構(gòu)成了巨大威脅.針對病毒對人類的危害，科研人員正在不斷研發(fā)冠狀病毒的抑制劑.某

種病毒抑制劑的有效率為60%,現(xiàn)設(shè)計針對此抑制劑的療效試驗：每次對病毒使用此抑制劑，如病毒被抑

制，得分為2分，如抑制劑無效，得分1分，持續(xù)進行試驗.設(shè)得分為〃時的概率為

（1）進行兩次試驗后，總得分為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）求證：

例33.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））足球運動被譽為“世界第一運動”.深受青少年的喜愛.

（I）為推廣足球運動，某學(xué)校成立了足球社團，由于報名人數(shù)較多，需對報名者進行“點球測試”來決定是

否錄取，規(guī)則如下：踢點球一次，若踢進，則被錄??；若沒踢進，則繼續(xù)踢，直到踢進為止，但是每人最

多踢點球3次.

下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以這150個點球中的進球頻率代表其單次點球踢進的概率.為加入足球社

團，該同學(xué)進行了“點球測試”，每次點球是否踢進相互獨立，他在測試中所踢的點球次數(shù)記為求J的分

布列及數(shù)學(xué)期望；

點球數(shù)203030252025

進球數(shù)101720161314

的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機

地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為

第1次觸球者，第〃次觸球者是甲的概率記為匕，即8=1.

（力求，鳥（直接寫出結(jié)果即可）；

（"）證明：數(shù)列｛匕為等比數(shù)列，并判斷第19次還是第20次觸球者是甲的概率大.

【方法技巧與總結(jié)】

現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常常考慮用數(shù)列的知

識去解決.

（1）數(shù)列實際應(yīng)用中的常見模型

①等差模型：如果增加（或減少）的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差；

②等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就

是公比；

③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，則應(yīng)考慮是第〃

項可與第〃+1項a?+1的遞推關(guān)系還是前〃項和S.與前〃+1項和S?+1之間的遞推關(guān)系.

在實際問題中建立數(shù)列模型時，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；

二是從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進行求解.一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增

加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時要往這些方面聯(lián)系.

(2)解決數(shù)列實際應(yīng)用題的3個關(guān)鍵點

①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；

②利用數(shù)列知識準(zhǔn)確求解模型；

③問題作答，不要忽視問題的實際意義.題型五：數(shù)列不等式的證明

例34.(2022?浙江?模擬預(yù)測)己知正項數(shù)列｛4｝滿足%=0,。：“-a；=2(〃+1),〃eN.

⑴求證：—<—；

%%

1I1,

(2)求證：—+—+???+—<lnn.

%%a?

例35.(2022秋?邛珠市月考)已知函數(shù)f(x)=x/〃(l+x)-a(x+l)(x>0),其中a為實常數(shù).

(1)若函數(shù)g(x)=/'(x)-二土...0定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍；

1+X

(2)證明：當(dāng)a=0時，卒,，1;

X

(3)求證：-+-+<bi(l++-+-+.

23/7+123n

例36.(2022?廣州二模)已知數(shù)列｛%｝和｛"｝滿足q=々，且對任意〃eM都有可+也,=1,曲=—：.

M1-%

(1)求數(shù)列｛”“｝和｛“｝的通項公式；

(2)證明："+&+二+...+&</〃(1+〃)〈幺+”+2+

A仇b4b,l+lb｝b2b3b?

例37.(2022秋?泰山區(qū)校級月考)設(shè)函數(shù)=+其中6"

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)〃cN+且比2時證明不等式：打［弓+1)(；+1)?一(：+1)］+*+*+…—土.

例38.(2021?山東?嘉祥縣第一中學(xué)高三期中)已知函數(shù)/(x)=lnx-x+1,xe(0,+oo),g(x)=sinx-ar(oeR).

(1)求/(x)的最大值;

(2)若對VXI?0,+8),總存在々e(0，$，使得/(xj<g(x2)成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)證明不等式sin仕］+sin⑶+…⑶<—(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).

\nJ\nj\nJe-1

例39.(2021?四川?射洪中學(xué)高三月考(文))已知函數(shù)/(x)=lnx-x+l,xe(0,+oo),g(x)=ex-ax.

(1)求/(X)的最大值；

(2)若對立1￡(0,+8),總存在工2￡［1，2］使得/(再)”(占)成立，求。的取值范圍；

(3)證明不等式：

nnne-\

例40.(2021?全國?高三專題練習(xí))已知正項數(shù)列｛可｝的前〃項和為S,,,且S,,=”+D.

(1)計算6、%、%，猜想數(shù)列｛0“｝的通項公式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列｛”“｝的通項公式；

(3)證明不等式3+；+；+???+［<］對任意〃wN,恒成立.

a\a2an今

例41.(2021?全國?高二單元測試)設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，已知2S“=%M—2"“+l(〃eN.),且g=5.

(1)證明］表+1｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)設(shè)々=k>g3(a“+2"),且>=*■+，■+“?+(,證明北<2；

(3)在(2)的條件下，若對于任意的“eN,不等式“(1+〃)-2〃(4+2)-6<0恒成立，求實數(shù)2的取值范

圍.

例42.(2021?全國?高三月考(理))設(shè)函數(shù)/(x)=f+bln(x+l),其中bwO.

(1)當(dāng)b=2時，求函數(shù)y=/(x)的圖象在點(0,0)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑶當(dāng)〃wN*，且n22時，證明不等式In&+屜+l>"d+1)+=+7^+…+4月...

23nJZJn2n+I

【方法技巧與總結(jié)】

(1)構(gòu)造輔助函數(shù)(數(shù)列)證明不等式

(2)放縮法證明不等式

在證明不等式時，有時把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方

法為放縮法.

放縮時常采用的方法有：舍去一些正項或負(fù)項、在和或積中放大或縮小某些項、擴大(或縮小)分式

的分子(或分母).放縮法證不等式的理論依據(jù)是：A>B,B>CnA>C；A<B,B〈C=A<C.

放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標(biāo)，目標(biāo)可從要證的結(jié)論中去查找.

方法1：對進行放縮，然后求和.

當(dāng)既不關(guān)于”單調(diào)，也不可直接求和，右邊又是常數(shù)時，就應(yīng)考慮對可進行放縮，使目標(biāo)變成可

k=l

求和的情形，通常變?yōu)榭闪秧椣嘞驂嚎s等比的數(shù)列.證明時要注意對照求證的結(jié)論，調(diào)整與控制放縮的度.

方法2：添舍放縮

方法3：對于一邊是和或者積的數(shù)列不等式，可以把另外一邊的含n的式子看作是一個數(shù)列的前n項的

和或者積，求出該數(shù)列通項后再左、右兩邊一對一地比較大小，這種思路非常有效，還可以分析出放縮法

證明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一邊不是含有71的式子，而是常數(shù)，則需要尋找目標(biāo)

不等式的加強不等式，再予以證明.

方法4：單調(diào)放縮

題型六：公共項問題

例43.（2022?全國?高二課時練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列5,8,11,…，302與3,7,11,399,則它們所

有公共項的個數(shù)為（）

A.23B.24C.25D.26

例44.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知將數(shù)列｛4〃+1｝與數(shù)列6｝的公共項從小到大

排列得到數(shù)列｛6｝,則（）

A.a?=5nB.an=5"

C.｛?！埃那啊椇虳.｛%｝的前〃項和為"25"7）

424

例45.（2022?江蘇?蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知兩個等差數(shù)列｛“"｝：5,8,11,…與｛"｝：

3,7,11,它們的公共項組成數(shù)列｛q,｝,則數(shù)列｛g｝的通項公式q,=；若數(shù)列｛%｝和｛"｝的

項數(shù)均為100,則｛%｝的項數(shù)是.

例46.（2022?北京昌平?高二期末）數(shù)列｛4｝：［,a2,L,%,L.也｝:々，b2,L,",L,定義數(shù)列

a?&b?:at,a2,b3,a4,as,bh,%,L.

-為奇數(shù)

①設(shè)%=2=1，1<M<29,則數(shù)列a“&6”的所有項的和等于

2,〃為偶數(shù)

②設(shè)%=5"，bn=4n-\,14〃429,則數(shù)列與"&a"有個公共項.

例47.（2022?江蘇?高二單元測試）將數(shù)列｛2"｝與｛2〃｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛劭｝,則｛服｝的前10

項和為________

例48.（2022?江西?南昌市八一中學(xué)高一月考）將數(shù)列｛4〃-3｝與｛3〃-1｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列僅“｝,

則｛%｝的前n項和為.

例49.（2022?河南商丘?高三月考（理））將數(shù)列｛2"｝與｛3〃+1｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛對｝,則其

通項.

題型七：插項問題

例50.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把

所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.現(xiàn)將數(shù)列1,2進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次

得到數(shù)列1,4,3,5,2；依次構(gòu)造，第）次得到數(shù)列1,七,々，不，…，置，2；記4=1+再+x?+…+%+2,

若a?>2022成立，則〃的最小值為.

例51,（2022?全國?高二課時練習(xí)）在-9和3之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成和為-21的等差數(shù)列，則

〃=（）

A.4B.5C.6D.7

例52.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的通項公式為?！?2",在q和生之間插入1個數(shù)孫，使

q,X”，4成等差數(shù)列；在。2和。3之間插入2個數(shù)》21,》22,使。2戶21，工22，。3成等差數(shù)列；…在4和4+1之間插

入〃個數(shù)X,,.,使%,4,%,%…,3.成等差數(shù)列.這樣得到一個新數(shù)列也｝:

“”孫,出,—。3，X31?32戶33，。4…，記數(shù)列｛"｝的前項和為S,，有下列結(jié)論：①X”+/+...+匕.=3〃?2"”②

③%=3072④$55=14337其中，所有正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

例53.（2022?全國?高二課時練習(xí)）已知數(shù)列｛叫滿足在可，?！啊爸g插入〃個1,構(gòu)成數(shù)列也｝:

卬，1,a2,1,1,%，1,1，1，/，…，則數(shù)列｛4｝的前100項的和為（）

A.211B.232C.247D.256

例54.（2022?全國?高二專題練習(xí)）在a,6中插入〃個數(shù)，使它們和。力組成等差數(shù)列a,%,十,,則

tz,+a2+---+an=（）A.n（a+b）B.'）

（、（"+l）（"+b）D（〃+2）（a+6）

'2'T'

例55.（2022?全國?高二課時練習(xí)）等比數(shù)列｛%｝的通項公式為a“=2?i,現(xiàn)把每相鄰兩項之間都插入兩個

數(shù)，構(gòu)成一個新的數(shù)列｛4｝,那么162是新數(shù)列也,｝的

A.第5項B.第12項C.第13項D.第6項

例56.（多選題）（2022?吉林松原?高三月考）在數(shù)學(xué)課堂上，為提高學(xué)生探究分析問題的能力，教師引導(dǎo)學(xué)

生構(gòu)造新數(shù)列：現(xiàn)有一個每項都為1的常數(shù)列，在此數(shù)列的第〃（〃eN*）項與第”+1項之間插入首項為2,

公比為2,的等比數(shù)列的前“項，從而形成新的數(shù)列｛q｝,數(shù)列｛對｝的前〃項和為S“，則（）

56

A.a2O2l=2B.a202l=2

64

C.邑必=3x26?+59D.S2021=2-3

例57.（多選題）（2022?湖南?永州市第一中學(xué)高三月考）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列

的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將

數(shù)列1,2進行構(gòu)造，第I次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第"（〃eN）次得到數(shù)列1,

X”X2，X3,…，xk,2；…記4,=1+匹+%+…+演+2,數(shù)列｛““｝的前〃項為S,,則（）

,,+l

A.k+\=2"B.fl?+[=3a?-3C.an+3n）D.Sn=-|（3+2,?-3）

題型八：蛛網(wǎng)圖問題

例58.（2022秋?虹口區(qū)校級期中）已知數(shù)列｛a,J滿足：4=0,%”=/〃（*+eN*）,前〃項和為S.，

則下列選項錯誤的是（）（參考數(shù)據(jù)：Ini-0.693,1.099）

/.是單調(diào)遞增數(shù)列，｛%“｝是單調(diào)遞減數(shù)列

an+a?+1?/?3

C,S2020<670

D-a2n-^a2n

例59.（2022?浙江模擬）數(shù)列｛4,｝滿足q>0,an+l=a^-an+\,nwN*，S,,表示數(shù)列［-i-1前〃項和，

MJ

則下列選項中錯誤的是（）4若0<%<|,則%<1

B.若:<%<1,則｛%｝遞減

C.若4=,，則S,>4（-1--2）

2%

2

D.若q=2,則￡ooo>-

例60.（2022?浙江模擬）已知數(shù)列｛a“｝滿足：q=0,a,,=加（浮+1）_%（〃€>*）,前〃項和為S,,（參考數(shù)

據(jù)：0.693,M3?1.099）,則下列選項中錯誤的是（）

/?｛用._｝是單調(diào)遞增數(shù)列，｛%」是單調(diào)遞減數(shù)列

B.a?+a?+1?ln3

C?S?o2o<666

D.。2"-1<a2n

例61.（2022?下城區(qū)校級模擬）已知數(shù)列｛q｝滿足：a?>0,且屋=3匕「2《川（〃eN*）,下列說法正確的

是（）

A.若則B.若％=2,則l+（|yT

C.4+%,2%D.|an+2-a?+1|...y-|a?tl-a?|

a

例62.（多選題）（2022秋?9月份月考）已知數(shù)列｛%｝滿足：%=0,a?+l-ln｛e"+1）-an（neN*）,

前N項和為S,（參考數(shù)據(jù)：/”2ao.693,比3a1.099）,則下列選項正確的是（）

4｛%"一』是單調(diào)遞增數(shù)列，｛的」是單調(diào)遞減數(shù)列

B-a?+a?+l?/?3

C$2020<670

D?a2n

題型九：整數(shù)的存在性問題(不定方程)

例63.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為，，4=2,2〃?3=(〃+l>S,[€N，).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；(2)判斷數(shù)列13”-高為｝中是否存在成等差數(shù)列的三項，并證明你的結(jié)論.

例64.(2022?福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測)在①@=(〃+2)%,②邑=卓?！斑@兩個條件中任選一個

Tnn3

補充在下面問題中，并解答下列題目.

設(shè)首項為2的數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.,前n項積為T?,且.

(1)求數(shù)列｛七｝的通項公式；

(2)在數(shù)列｛""｝中是否存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列，若存在，請舉例說明，若不存在，請說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

例65.(2022?天津?耀華中學(xué)一模)設(shè)數(shù)列｛q,｝(〃eN*)是公差不為零的等差數(shù)列，滿足的+6=%，

%+短=6a,.數(shù)列｛〃｝(〃eN*)的前〃項和為S,,且滿足4S,,+26,=3.

⑴求數(shù)列m｝和也｝的通項公式；

(2)在4和仇之間插入1個數(shù)為，使仄,孫，打成等差數(shù)列；在仇和4之間插入2個數(shù)孫，心，使打，孫,

X22，4成等差數(shù)列；；在“和2+I之間插入〃個數(shù)Xn2,Xnn,使“，X?,,Xn2,Xlm,4+1

成等差數(shù)列.

(i)求],=如+?1+》22)+(/+X32+》33)+L+(xn,+Xn2+L+Xnll);

(ii)是否存在正整數(shù)〃?，〃，使(,=羅成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(也〃)；若不存在，請說明

理由.

例66.(2022?江蘇南通?模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛〃〃｝滿足。產(chǎn)16,“7=22,正項等比數(shù)列｛加｝的前〃項和為

Sn,滿足S6=5S,一4s2,且b=。八

(1)求｛“〃｝和｛加｝的通項公式；

(2)是否存在〃使得｝eZ,若存在，求出所有〃的值；若不存在，請說明理由.

例67.(2022?江蘇?模擬預(yù)測)已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,現(xiàn)在有以下三個條件：

①數(shù)列｛碼的前n項和為T”=籠?；

②％=1,%+|=J叱L"；③4=1,。2=夜，當(dāng)"23時，(”“+%)(S“-2S,”|+S“_J=1.

從上述三個條件中任選一個，完成以下問題:

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足&=1也=an-an_\n>2),試問他,｝中是否存在連續(xù)三項4也+|也十?，使得，，gL，，~構(gòu)

成等差數(shù)列？請說明理由.

例68.(2022?遼寧遼陽?二模)①｛27,,｝為等差數(shù)列，且?=］；②為等比數(shù)列，且生=(.從①②兩

個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.

在數(shù)列｛%｝中，卬=；，.

(1)求｛叫的通項公式；

(2)已知｛4｝的前八項和為S"，試問是否存在正整數(shù)p,q,r,使得5,=。-照““？若存在，求p,q,廠的值;

若不存在，說明理由.

例69.(2022?全國?高三專題練習(xí)(理))等差數(shù)列｛%｝(〃€/*)中，卬叼牝分別是如表所示第一、二、三

行中的某一個數(shù)，且其中的任意兩個數(shù)不在表格的同一列.

第一列第二列第三列

第一行582

第二行4312

第三行1669

(1)請選擇一個可能的H，%，%｝組合，并求數(shù)列｛4｝的通項公式.

(2)記(1)中您選擇的｛勺｝的前〃項和為S〃，判斷是否存在正整數(shù)4,使得卬4，耳,2成等比數(shù)列?若存在,

請求出％的值;若不存在，請說明理由.

例70.(2022?天津?耀華中學(xué)模擬預(yù)測)己知數(shù)列｛助｝的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2

的等比數(shù)列.數(shù)列｛汨前〃項和為S",且滿足Sj=a“03+05=2+04

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛a〃｝前2人項和S公

(3)在數(shù)列｛“〃｝中，是否存在連續(xù)的三項〃〃?，am.,,am+2,按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿

足條件的正整數(shù)的值；若不存在，說明理由.

例71.(2022?浙江?舟山市田家炳中學(xué)高三開學(xué)考試)已知數(shù)列｛4｝是公差大于0的等差數(shù)列，其前〃項和

為5“，且%”3=15,品$2，5成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛氏｝的通項公式；

2

(2)設(shè)2=〃eN*),其前"項和為則是否存在正整數(shù)見〃(加H〃)，使得％七二成等差數(shù)列？若

un""+1

存在，求出機，〃的值；若不存在，請說明理由.

例72.(2022?河南?南陽中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為￡,公差4*0,4+%=8,

且小是q與生的等比中項.

(1)求｛叫的通項公式；

(2)設(shè)"=工，是否存在一個非零常數(shù)，，使得數(shù)列也,｝也為等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，

n+t

請說明理由.

題型十：數(shù)列與函數(shù)的交匯問題

例73.(2022?龍泉驛區(qū)校級一模)已知定義在H上的函數(shù)/(x)是奇函數(shù)且滿足/g-x)=/(x),/(-2)=-3,

數(shù)列｛勺｝是等差數(shù)列,若。2=3，%=13,則./(%)+/(%)+/(%)+???+/(。2015)=()

A.-2B.-3C.2D.3

例74.(2022?日照模擬)已知數(shù)列｛”"｝的通項公式%=〃+"Q，則-。21+1。2-d31+…+1。99-《001=(

n

)

A.150B.162C.180D.210

例75.(2022?新鄭市校級模擬)已知等差數(shù)列也｝的前〃項和為S〃，若(生-爐+2010(%-1)=1，

(出財-+2010(a2009-1)=-1

,下列為真命題的序號為()

①§2009=2009；②S2010=2010；③“2009<a2；④*^2009<^2,

A.①②B.②③C.②④D.③④

例76.(2022秋?仁壽縣月考)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，已知(%-1)3+2012(%-1)=1，

(。2009-I),+2012(%)09—1)=-1，則卜列結(jié)論中正確的是()

A.5,20|2=2012，。2009<“4B**5*2012=2012